江苏南京市玄武区2026年中考数学第二次模拟练习试卷

2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.深圳铁路部门预计年春运发送旅客万人次，日均万人次，同比增长，客流再创新高万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：万． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.下列运算一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 3.有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意得， 则、是正确的，故本选项不符合题意； B、，， 是正确的，故本选项不符合题意； C、是正确的，故本选项不符合题意； D、，原来的计算是错误的，故本选项符合题意． 故选D． 根据图示知，然后由有理数的乘法、加减法运算的计算法则即可求解． 此题考查数轴的知识，属于基础题，解答本题的关键是通过图形得出为正数，为负数，且，难度一般． 4.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以类比这种方法，计算的值为(    ) A. B.                   C. D. 【答案】B  【解析】解：在中，，，延长使，连接，得， 设，则， ， 故选：． 5.如图，，是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的外接圆圆心， ， ， ， ， ． 6.如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论中，正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：四边形是正方形， ，， ，， ， 沿折叠得到， ，，， ， 在和中， ， ≌． ，． 设，则，． 在中，由勾股定理得：． ，，， ， 解得：． ． 即，正确； 沿折叠得到， ≌． ． ≌， ． ， 正确． ， ． ，， ． ，， ． 正确； ，， ， ， ， ，正确． 正确的为； 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若分式的值为，则的值为          ． 【答案】  【解析】略 8.计算：      ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的加减先将各项化简为最简二次根式，再进行二次根式加减的运算即可． 【解答】 解：． 9.方程的解是          ． 【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 将原方程去分母后化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 10.若，，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 先将进行因式分解为，再代入求解即可． 本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 11.已知方程的两根为，求的值为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系可得，则，根据一元二次方程的解的定义可得，则可把所求式子变形为，据此可得答案． 【详解】解：方程的两根为， ，， ， ， 故答案为：． 12.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为______． 【答案】  【解析】解：作于点， 是斜边长为的等腰直角三角形， ， ， 扇形的弧长为， 设底面半径为，则， 解得：， 故答案为：． 首先求得扇形的半径，然后利用弧长公式求得弧长，然后利用圆周长公式求得底面半径即可． 考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是能够求得扇形的弧长，难度不大． 13.如图，的顶点在正六边形的边上，，则           【答案】  【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 故答案为：． 14.如图，在中，，，的面积为以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的面积为        ． 【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，于点． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 故答案为：． 如图，过点作于点，于点首先证明，求出的面积，可得结论． 本题考查了作角平分线，垂直平分线，掌握垂直平分线的性质与角平分线的性质是解题的关键． 15.在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为，则          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，已知中，，，斜边，点是三角形内的一动点，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题并解决问题． 将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作的垂线，交的延长线于，可证，则当点，点，点，点共线时，有最小值，最小值为，由勾股定理可求解． 【解答】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点， ，，， ，． 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值，最小值为， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算与化简  ；  ． 【答案】(1)解：  ；   (2)解：  ．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】．  详细解答和解析过程见【答案】． 四、解答题：本题共10小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 解不等式组并写出它的所有正整数解． 【答案】解： 由，得． 由，得． ． 正整数解为，．  【解析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 19.本小题分 已知：如图，，、、在同一条直线上，试说明：≌． 【答案】证明：如图， ， ， ， ，， ， 在和中， ≌．  【解析】根据可得，再由，对顶角，根据三角形内角和可得，然后再利用判定≌． 此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 20.本小题分 质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下单位：年： 甲公司：，，，，，，，，，； 乙公司：，，，，，，，，，； 丙公司：，，，，，，，，，． 请回答下列问题： 甲、乙、丙三家公司在该产品的销售中都声称，其销售的该产品的使用寿命是年，你如何理解他们的宣传．请用已学的统计量中加以说明 如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？ 如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据，对本公司的产品进行推销？ 【答案】解：甲厂：平均数为，众数为，中位数为； 乙厂：平均数为，众数为，中位数为； 丙厂：平均数为，众数为，中位数为； 甲公司用的是平均数；乙公司用的是众数；丙公司用的是中位数． 乙公司．因为从平均数、众数和中位数三项指标上看，都比其他的两个公司要好， 他们的产品质量更高． 丙公司的平均数和中位数都比甲公司高；以从产品寿命的最高年限考虑购买丙公司的产品的使用寿命比较高的机会比乙公司产品大一些．  【解析】分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数； 从平均数、众数和中位数三项指标上分析， 可从丙公司的平均数和中位数都比甲公司高；从产品寿命的最高年限考虑购买丙公司的产品的使用寿命比较高的机会比乙公司产品大一些． 本题主要考查了中位数，加权平均数及众数，选取以哪个数据为主要结合它们的定义来考虑是解题的关键． 21.本小题分 截止年月日，动画电影哪吒以全球票房亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征现有张分别印有版图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁现将这张卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在不透明的盒子中． 若搅匀后从中任意取出张卡片，“摸到哪吒”是______事件填“随机”、“不可能”或“必然”； 若搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率． 【答案】随机．  ．  【解析】由题意得，“摸到哪吒”是随机事件． 故答案为：随机． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果有：，，共种， 两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为． 根据随机事件的定义可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、随机事件，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义是解答本题的关键． 22.本小题分 如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 【答案】证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ，，， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ．  【解析】先证，得出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； 由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再在中，由锐角三角函数定义求出即可． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 23.本小题分 综合与实践． 【问题背景】如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．如图，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀控制水的流速的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 水面高度 【建立模型】小组讨论发现“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】  利用，和，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 利用中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时，为          ； 经检验，发现表中有两组观察值不满足中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小．请根据表中数据计算出中得到的函数解析式的的值． 【答案】(1)解：设h与t的函数解析式是h＝kt+b（k，b为常数，且k≠0）．  将t＝0，h＝30和t＝10，h＝29分别代入h＝kt+b，  得， 解得， ​​​​​​​∴h与t的函数解析式是h＝-0.1t+30．  (2)200  (3)由（1）可知，t＝0，h＝30和t＝10，h＝29满足h与t的函数解析式， ∴(30-30)2＝0，(29-29)2＝0；  当t＝20时，h＝-0.1×20+30＝28，(28-28.1)2＝0.01；  当t＝30时，h＝-0.1×30+30＝27，(27-27)2＝0；  当t＝40时，h＝-0.1×40+30＝26，(26-25.8)2＝0.04． ∴w＝0+0+0.01+0+0.04＝0.05， ​​​​​​​∴w的值为0.05．  【解析】 略  略  略 24.本小题分 二次函数的图象与轴交于点． 求证：抛物线与轴总有两个不同交点； 若抛物线过点，求函数解析式及顶点坐标； 当时，函数最小值为，求的值． 【答案】(1)证明：二次函数， ， 抛物线与轴总有两个不同交点；   (2)解：抛物线过点， ， 解得或， 函数解析式为，顶点坐标为或函数解析式为，顶点坐标为；   (3)解：，， 抛物线开口向上，顶点为， 函数最小值为， 当时，不存在满足条件的实数使得函数最小值为．   【解析】  由判别式，即可得证；   将点代入抛物线解析式求出，即可求解；   根据得到抛物线开口向上，顶点为，函数最小值为，即可求解． 25.本小题分 为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上参考数据：，， 求点到点的距离结果保留小数点后一位； 小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常求此时机器狗“成真”与点的距离结果保留小数点后一位． 【答案】米  米  【解析】解：如答图： 过作于，过作于， ，则， ，， 由题意，得，， 在中，，米， 米， 米， 在中，，， 米． 米， 米， 米， 答：点到点的距离为米． 设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，故， 设米． ，米， 米， ，米， 米， ， ， ， 米 米，米， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， 米，米， ，得米， ，得米， 米， 解得， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 过作于，过作于，在，中，分别求得，，，进而根据，即可求解； 设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点，设，，在中，根据得出在，在，中，分别表示出，进而求得的值，即可求解． 本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 26.本小题分 如图，为的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接． 求证：； 当时，求；若平分，交于点，，求半径． 【答案】(1)连接， ∵是切线， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴；   (2)∵， ∴设， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 在中，． ②过点C作交的延长线于点M， ∴． ∵平分 ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵，． ∴ ∴半径为．   【解析】  根据切线和直角三角形两锐角互余的性质，得；根据圆周角的性质，得，根据圆的对称性和等腰三角形的性质分析，即可得到答案；   设，，根据勾股定理和相似三角形的性质，得，结合三角函数的性质分析，即可得到答案； 根据平行线、角平分线的性质，通过证明，得，结合勾股定理的性质计算，即可完成求解． 27.本小题分 综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、中，小明的身高，他在两根灯杆之间走动在灯、灯的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、之间的距离，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点、、在同一条直线上在灯、灯的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、之间的距离，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动小明在小亮的左侧，且点、、、在同一条直线上在灯、灯的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是、和、． 若点、重合，请求出他们之间的距离； 若点、不重合，、是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出、满足的等量关系：若不存在，请说明理由． 【答案】    【解析】探究  能；  理由：由题意可知，，，    ，  ∽，    ，  ∽，      将，代入上式得：，  ，  解得   探究  存在，、满足的等量关系为  理由：由题意可知，，，，    ，  ，    ，  ∽，    ，，    ，    ，  ，  ，  ，    ，且，  ，    探究  解：，  则，即，  化简得，    小亮：，  则，即，  化简得，    设 ，则 ，  ；  设，则，，  因、重合，；  又，  化简得；  故FH；  点、不重合时，  由相似三角形得：，；  设 ，，则 ，，，；  因；  因；  化简得：，  ，  故． 探究：根据题意，灯杆、和小明都垂直于地面根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，即可得出：，所以灯杆的高度为；  探究：分析几何关系同理，灯杆、和小亮都垂直于地面所以  利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导与的关系；  探究：利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未探知数建立方程，最终求出；  通过分析影子与灯杆的相似关系，推导出和均与相关，进而得出． 解析本题考查相似三角形的判定与性质在实际生活中的应用．重难点在于将实际问题转化为数学模型，利用“垂直于地面的物体互相平行”这一条件，构造出相似三角形，进而利用对应边成比例建立方程求解．解题的关键是识别出哪两个三角形相似，并正确列出比例式． 第11页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.深圳铁路部门预计年春运发送旅客万人次，日均万人次，同比增长，客流再创新高万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.下列运算一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是(    ) A. B. C. D. 4.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以类比这种方法，计算的值为(    ) A. B.                   C. D. 5.如图，，是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论中，正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若分式的值为，则的值为          ． 8.计算：      ． 9.方程的解是          ． 10.若，，则的值为        ． 11.已知方程的两根为，求的值为          ． 12.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为______． 13.如图，的顶点在正六边形的边上，，则           14.如图，在中，，，的面积为以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的面积为        ． 15.在平面直角坐标系中，有反比例函数与的图象和正方形，原点与对角线，的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为，则          ． 16.如图，已知中，，，斜边，点是三角形内的一动点，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算与化简  ；  ． 18.本小题分 解不等式组并写出它的所有正整数解． 19.本小题分 已知：如图，，、、在同一条直线上，试说明：≌． 20.本小题分 质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下单位：年： 甲公司：，，，，，，，，，； 乙公司：，，，，，，，，，； 丙公司：，，，，，，，，，． 请回答下列问题： 甲、乙、丙三家公司在该产品的销售中都声称，其销售的该产品的使用寿命是年，你如何理解他们的宣传．请用已学的统计量中加以说明 如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？ 如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据，对本公司的产品进行推销？ 21.本小题分 截止年月日，动画电影哪吒以全球票房亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化自信与技术实力的重要象征现有张分别印有版图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁现将这张卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在不透明的盒子中． 若搅匀后从中任意取出张卡片，“摸到哪吒”是______事件填“随机”、“不可能”或“必然”； 若搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，用画树状图或列表的方法求出两次取出的张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率． 22.本小题分如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 23.本小题分 【问题背景】如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．如图，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀控制水的流速的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 水面高度 【建立模型】小组讨论发现“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】  利用，和，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 利用中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时，为          ； 经检验，发现表中有两组观察值不满足中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小．请根据表中数据计算出中得到的函数解析式的的值． 24.本小题分 二次函数的图象与轴交于点． 求证：抛物线与轴总有两个不同交点； 若抛物线过点，求函数解析式及顶点坐标； 当时，函数最小值为，求的值． 25.本小题分 为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上参考数据：，， 求点到点的距离结果保留小数点后一位； 小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常求此时机器狗“成真”与点的距离结果保留小数点后一位． 26.本小题分 如图，为的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，连接． 求证：； 当时，求；若平分，交于点，，求半径． 27.本小题分 综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、中，小明的身高，他在两根灯杆之间走动在灯、灯的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、之间的距离，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点、、在同一条直线上在灯、灯的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【探究】 如图，竖立的两根灯杆、之间的距离，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动小明在小亮的左侧，且点、、、在同一条直线上在灯、灯的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是、和、． 若点、重合，请求出他们之间的距离； 若点、不重合，、是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出、满足的等量关系：若不存在，请说明理由． 第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.深圳铁路部门预计2026年春运发送旅客1213.5万人次，日均30.34万人次，同比增长7.5%，客流再创新高 .30.34万用科学记数法表示为() A.3.034×103 B.3.034×104 C.3.034×105 D.3.034×106 2.下列运算一定正确的是() A.a2.a3=a6 B.(a34=a7 C.(-3a2)3=-9a5D.a8÷a6=a2 3.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是() 2810式 A A.ab<0 B.(a-1)(b+1)>0 C.a+b<0 D.lal-b>0 4.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C=90 2-3 BC=30,延长CB使BD=AB,连接AD,得LD=159,所以tan15°=0=2+5=2+ -√3.类比这种方法，计算tan22.5的值为() 30°7 15°D 第1页，共9页 A.V2+1 B.V2-1 C.2 D.2 5.如图，AB=AC,∠A=42。,O是△ABC的外接圆圆心，连接BO并延长，交AC于点D,则∠BDC的度数为 () O A.69° B.96 C.63 D.48° 6.如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边CD上，且CE=2DE:将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边 BC于点G,连接AG、CF,下列结论中，正确的个数为() 9 ①BG=GC;②∠GAE=45°；③AG/CF;④SAFGC=10 D E B G C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7若分式2的值为0，则x的值为一· &计算：亚-月- 9.方程，=的解足 10.若a+b=5,ab=6,则a3b+2a2b2+ab3的值为 1.已知方程x2-2025x+1=0的两根为x1,x2,求x好-的 空的值为一· 第2页，共9页 12.如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△A0B材料上裁出一块以直角顶点0为圆心的 面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为 cm. B 13.如图，-CDGH的顶点G在正六边形ABCDEF的边EF上，∠H=105°，则LEDG=° 14.如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,△ABC的面积为2.5①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB 于点G,交AC于点H,再分别以点G,H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点 E,作射线AE交BC边于点D:②分别以点A,D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M,N, 作直线MN交AD于点F,则△BDF的面积为· E 15.在平面直角坐标系中，有反比例函数y=与y=-的图象和正方形ABCD,原点0与对角线AC,BD的 交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为9，则AB=一· 第3页，共9页 16.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，斜边AC=4,点P是三角形内的一动点，则PA+PB+ PC的最小值是 P B C 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.计算与化简 1四-122+62+0°-周2： (21+。)÷46右 a2+4a+4 18.(本小题8分) 5x-17<8(x-1) 解不等式组 x一6≤“。0并写出它的所有正整数解， 19.(本小题8分) 已知：如图，AC=EC,E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3.试说明：△ABC≌△EDC. D 3》 第4页，共9页 20.(本小题8分) 质量检测部门对甲、乙、丙三家公司销售产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下（单位：年）： 甲公司：4,5,5,5,5,7,9,12,13,15： 乙公司：6,6,8,8,8,9,10,12,14,15： 丙公司：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16 请回答下列问题： (1)甲、乙、丙三家公司在该产品的销售中都声称，其销售的该产品的使用寿命是8年，你如何理解他们的 宣传.（请用已学的统计量中加以说明） (2)如果你是顾客，你将选购哪家公司销售的产品，为什么？ (3)如果你是丙公司的推销员，你将如何结合上述数据，对本公司的产品进行推销？ 21.(本小题8分) 截止2025年4月21日，动画电影《哪吒2》以全球票房156亿元的佳绩跻身全球票房第五名，成为中国文化 自信与技术实力的重要象征现有4张分别印有Q版图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C太乙真人、D无量仙翁现 将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中. (1)若搅匀后从中任意取出1张卡片，“摸到A哪吒”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）： (2)若搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，用画树状图或列表的方法求 出两次取出的2张卡片中图案为“A哪吒”、“B敖丙”的概率. A哪吒 B敖丙 C太乙真人 D无量仙翁 第5页，共9页 22.(本小题8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别在DA,BC的延长线上，且BE⊥ ED,CF=AE. (1)求证：四边形EBFD是矩形： 4 (2)若AB=5,cosL0BC=5,求BF的长. E B 23.(本小题8分) 【问题背景】如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具.如图2，综合实践小组用甲、乙两个 透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置· 节流阀 图1 图2 【实验操作】上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后，每隔10min 记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 9:009:109:209:309:40 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm30 2928.12725.8 【建立模型】小组讨论发现“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，每隔10mn水面高度值的变化不 均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系. 【问题解决】 (1)利用t=0,h=30和t=10,h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式： (2)利用(1)中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为10cm时，t为min: (3)经检验，发现表中有两组观察值不满足(1)中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式， 减少偏差.通过查阅资料后知道t为表中数据时，根据(1)中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值 与对应h的观察值之差的平方和，记为w:w越小，偏差越小.请根据表中数据计算出(1)中得到的函数解析 式的w的值. 第6页，共9页 24.(本小题8分) 二次函数y=x2-2tx+t2-1的图象与y轴交于点A. (1)求证：抛物线与x轴总有两个不同交点： (2)若抛物线过点(2,3)，求函数解析式及顶点坐标： (3)当-1≤x≤3时，函数最小值为-2，求t的值. 25.(本小题8分) 为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛如图，每个得分点A,B,C,D,E都在同一平面内， 点B位于点A的南偏东60°方向及点C的正西方向上，点D位于点C的东北方向30V2米及点A正东方向100米处， 点E位于点D的北偏西30°方向及点A的东北方向上.（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，√6≈2.45） (1)求点B到点C的距离（结果保留小数点后一位）： (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点B出发，沿B→A→E路线到达补给点E.同时， 小华的机器狗“成真”从点C出发，沿C→D→E路线到达点E为“梦想”补给机器狗“梦想”到达A点的同时， 机器狗“成真”也到达D点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗 “成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西75°方向时， 机器狗“成真”恢复正常求此时机器狗“成真”与点D的距离（结果保留小数点后一位）. 北 E 西个东 南 145 30 D 60 5 B C 26.(本小题8分) 第7页，共9页 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,连接AC,BC. 0 B (1)求证：∠DCA=∠ABC; (2当8S=时，①求n∠ABC:②若DF平分∠BDC,交BC于点P,CP=2,求⊙0半径. 4年 27.(本小题10分) 综合与实践：如影随形. 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动. 【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆AB、CD中，CD=2.4m.小明的身高EF=1.6m,他在两根灯杆之间走动.在灯A、 灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为DF、BF的情况，此时能否求出灯杆AB的高度？若能，请求出灯杆 AB的高度；若不能，请说明理由： 【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆AB、CD之间的距离BD=18m,AB=CD=4.8m.小亮的身高GH=1.6m,他在两 根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上.在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时， 他的影长PH、QH是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出PH、QH满足的等量关系；若不存在，请说明 理由： 【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆AB、CD之间的距离BD=24m,AB=CD=6.4m.小明和小亮的身高EF=GH=1.6 第8页，共9页 m,他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上.在灯A、灯C的照射下， 当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是MF、NF和PH、QH. (1)若点M、Q重合，请求出他们之间的距离FH; (2)若点M、Q不重合，MQ、NP是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出MQ、NP满足的等量关系： 若不存在，请说明理由. A A C B F H (图①) (第27题)》 (图②) A B (图③) D 第9页，共9页