数学真题重组（江苏南京卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学重组卷整合多地区真题，以天问二号探测、传统建筑窗格等真实情境为载体，覆盖数与式、图形与几何、统计与概率等核心知识，梯度设计适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|倒数、对称图形、科学记数法|结合科技前沿（天问二号距离计算）| |填空题|10题20分|新运算、概率、统计估计|定义新运算（3n⊗2n）考察代数变形| |解答题|11题88分|函数综合、几何证明、数据应用|抛物线与几何综合题（第26题）融合推理能力，工厂培训数据分析（第27题）体现数学建模|

11 2026年中考真题重组卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题2分，共12分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题2分，共20分） 7．_________________ 12．___________________ 8．__________________ 13．__________________ 9．__________________ 14．__________________ 10．__________________ 15．__________________ 11．__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：|﹣3|2sin30° （2）化简：． 18. （5分）解方程：． 19．（5分）解不等式组：． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （6分） 21. （8分） 22．（8分）（1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）； 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（8分） 25.（10分） （1）①　 　，　 　； ②　 　 ； （2） （备用图） （备用图） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考真题重组卷 数学·答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ---------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【√1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共12分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 6.IA]IBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 12 13. 9 14 10. 11. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分)(1)计算：1-3+V27+(2)1-2sin30° (2)化简：22 2-4 2+2+1+2 -2 -1 18.(5分)解方程：2-6 1 -3 =1. (2(+1)>-1 19.(5分)解不等式组： 1+5>3 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) C 21.(8分) 22.(8分)(1)表格中的Q=一，b=，子 泾（填“>”“<”或“=”）： 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) D M A3--一-” 25.(10分) (1)① ② (2) (备用图) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) y 45 35 3 25 0 11-1- - 5 012345678910x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025•哈尔滨）的倒数是（　　） A． B．﹣2 C． D．2 2．（2025•哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 4．（2025•山东）已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 5．（2025•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b| 6．（2025•黑龙江）如图，在▱ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 7．（2025•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 ． 8．（2025•北京）方程0的解为 　 ． 9．（2025•黑龙江）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是　 ． 10．（2025•山东）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 　 　 ． 11．（2025•陕西）一个反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点，若m＜﹣3，则n的取值范围是 　 ． 12．（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　 　 ． 13．（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　 ． 14．（2025•黑龙江）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm，则此扇形的圆心角是　 　度． 第12题图 第15题图 第16题图 15．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　 　 ． 16．（2025•四川）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（8分）（1）（2025•北京）计算：|﹣3|2sin30°． （2）（2025•山东）化简：． 18．（5分）（2025•陕西）解方程：． 19．（5分）（2025•北京）解不等式组：． 20．（6分）（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠A＝90°．请利用尺规作图法求作一点P，使得PA＝PB且PC∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（8分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 22．（8分）（2025•陕西）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 a 95 八年级 92.5 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 23．（8分）（2025•江苏）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 24．（8分）（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 25．（10分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 26．（12分）（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 27．（10分）（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　 　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　 　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　 　 日的模拟练习． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025•哈尔滨）的倒数是（　　） A． B．﹣2 C． D．2 2．（2025•哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 4．（2025•山东）已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 5．（2025•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b| 6．（2025•黑龙江）如图，在▱ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 7．（2025•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 ． 8．（2025•北京）方程0的解为 　 ． 9．（2025•黑龙江）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是　 ． 10．（2025•山东）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 　 　 ． 11．（2025•陕西）一个反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点，若m＜﹣3，则n的取值范围是 　 ． 12．（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　 　 ． 13．（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　 ． 14．（2025•黑龙江）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm，则此扇形的圆心角是　 　度． 第12题图 第15题图 第16题图 15．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　 　 ． 16．（2025•四川）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（8分）（1）（2025•北京）计算：|﹣3|2sin30°． （2）（2025•山东）化简：． 18．（5分）（2025•陕西）解方程：． 19．（5分）（2025•北京）解不等式组：． 20．（6分）（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠A＝90°．请利用尺规作图法求作一点P，使得PA＝PB且PC∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（8分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 22．（8分）（2025•陕西）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 a 95 八年级 92.5 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 23．（8分）（2025•江苏）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 24．（8分）（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 25．（10分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 26．（12分）（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 27．（10分）（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　 　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　 　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　 　 日的模拟练习． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考真题重组卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2025•哈尔滨）的倒数是（　　） A． B．﹣2 C． D．2 1．【答案】D 【解析】解：的倒数是2， 故选D． 2．（2025•哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， 故选B． 3．（2025•北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　） A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km 3．【答案】C 【解答】解：45×4×105km＝18000000km＝1.8×107km， 故选C． 4．（2025•山东）已知m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　） A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n 4．【答案】A 【解答】解：∵m，n是正整数，且满足3m•3m•3m＝3n， ∴33m＝3n， ∴3m＝n， 故选A． 5．（2025•北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b| 5．【答案】D 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴A、B、C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选D． 6．（2025•黑龙江）如图，在▱ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝3．点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线AD→DC运动，同时点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设△BPQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象中大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 6．【答案】A 【解答】解：由题意，∵AB＝6，AD＝3， ∴Q从A到B需要3秒，P从A到D需要1秒，从D到C需要2秒． ①当0＜x＜≤1时，如图，过P作PH⊥AB于H， ∴AP＝3x，AQ＝2x． ∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2x． 又∵∠A＝30°， ∴PHAPx． ∴S△BPQBQ•PHx（6﹣2x）x2x，即yx2x． ②当1＜x＜3时，如图，如图，过P作PG⊥AB于G，DH⊥AB， ∵AB∥CD， ∴DH＝PG． ∵∠A＝30°，AD＝3， ∴PG＝DH． ∴S△BPQBQ•PG（6﹣2x）x，即yx． 故选A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 7．（2025•北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 ． 7．【答案】x≥1 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则3x﹣3≥0， 解得：x≥1， 故答案为x≥1． 8．（2025•北京）方程0的解为 　 ． 8．【答案】x＝2 【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得， 2x+x﹣6＝0， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 故答案为x＝2． 9．（2025•黑龙江）定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是　 ． 9．【答案】8n2 【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2， ∴（3n）⊗（2n）＝2×（3n）×（2n）﹣（2n）2＝2×3n×2n﹣4n2＝12n2﹣4n2＝8n2； 故答案为8n2． 10．（2025•山东）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率是 　 　 ． 10．【答案】 【解答】解：由题意，画出树状图如下： ∴从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， ∴从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为． 11．（2025•陕西）一个反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点，若m＜﹣3，则n的取值范围是 　 ． 11．【答案】n＞4 【解答】解：设反比例函数解析式为y（k≠0）， ∵反比例函数的图象经过A（m，﹣4），B（3，n）两点， ∴k＝﹣4m，k＝3n， ∴﹣4m＝3n， ∴m ∵m＜﹣3 ∴3， ∴n＞4． 故答案为n＞4． 12．（2025•陕西）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若∠1+∠2＝100°，则∠B的度数为　 　 ． 12．【答案】80° 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， 由圆周角定理得：∠B∠AOC， ∵∠1+∠2＝100°， ∴∠AOC+∠D＝360°﹣100°＝260°， ∴2∠B+180°﹣∠B＝260°， ∴∠B＝80°， 故答案为80°． 13．（2025•北京）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI ≤15.4 15.5～22.1 22.2～24.9 ≥25.0 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是　 　 ． 13．【答案】1500 【解答】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是， 故答案为1500． 14．（2025•黑龙江）一个扇形的弧长是πcm，半径是3cm，则此扇形的圆心角是　 　度． 14．【答案】70 【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则， 解得：n＝70， 故答案为70． 15．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE＝2CF，FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF＝2，∠ABD＝30°，则HG的长为 　 　 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q， ∵BE＝2CF，CF＝2， ∴BE＝4， ∵矩形ABCD， ∴AN＝CN＝BN＝DN，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BAC＝30°，∠BAC＝∠NCF＝30°， ∵H是DE的中点， ∴HN是△BDE的中位线， ∴HN∥BE，， ∴∠ABD＝∠HNQ＝30°， ∴， ∵HN∥AB，AB∥CD， ∴HN∥CF， ∵HN＝CF＝2， ∴四边形HFCN是平行四边形， ∴∠NCF＝∠NHG＝30°，而HQ⊥BD，∠HNQ＝30°， ∴∠HGQ＝60°， ∴∠GHQ＝30°， ∴， ∴， 故答案为． 16．（2025•四川）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 【答案】①③④ 【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示： ∵AE：DF＝1：， ∴设AE＝a，DF， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴AH＝AE＝a， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴∠AEH＝∠AHE＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°， 由勾股定理得：HE， ∴HE＝DF， ∵∠CDP＝45°， ∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°， ∴∠BHE＝∠EDF＝135°， ∵AB＝AD，AH＝AE， ∴AB﹣AH＝AD﹣AE， 即BH＝ED， 在△BHE和△EDF中， ， △BHE≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED， ∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°， ∴∠FED+∠BEH＝45°， ∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°， 即∠FED+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠FBE＝45°， ∴sin∠BFE＝sin45°， 故结论①正确； ②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示： ∴∠MBF＝∠ABC＝90°， ∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC， ∴∠MBA＝∠GBC， ∵∠BAD＝∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠C＝90°， 在△BAM和△BCG中， ， ∴△BAM≌△BCG（SAS）， ∴AM＝CG，BM＝BG， ∴AE+CG＝AE+AM＝ME， ∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠ABE+∠GBC＝45°， ∴∠ABE+∠MBA＝45°， 即∠MBE＝45°， ∴∠MBE＝FBE＝45°， 在△MBE和△GBE中， ， ∴△MBE≌△GBE（SAS）， ∴ME＝EG， ∴AE+CG＝EG， 故结论②不正确； ③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示： 由（1）可知：设AE＝a，DF， ∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a， ∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°， ∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°， ∴△NDF是等腰直角三角形， ∴DN＝FN， 由勾股定理得：DF√2DN， ∴DN＝FNDFa， ∴△DEF的面积SDE•FN， 整理得：， ∴当a＝2时，S为最大，最大值为2， 故结论③正确； ④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x， ∵AEAD， ∴DE＝AD﹣AE， 由②可知：AE+CG＝EG， ∴EG， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2， ∴， 解得：x＝2， ∴CG＝2， ∴DG＝4﹣x＝2， ∴CG＝DG＝2， ∴点G是线段CD的中点， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①③④． 故答案为①③④． 三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（8分）（1）（2025•北京）计算：|﹣3|2sin30°． 【解答】解：原式＝3+32﹣2 ＝3+32﹣1 ＝4+3． （2）（2025•山东）化简：． 【解答】原式 ． 18．（5分）（2025•陕西）解方程：． 【解答】解：， 方程两边同时乘2（x﹣3），得x﹣2＝2x﹣6， 解得：x＝4， 检验，把x＝4代入2（x﹣3）≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 19．（5分）（2025•北京）解不等式组：． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞﹣3， 解不等式②，得：x＜1， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1． 20．（6分）（2025•陕西）如图，在△ABC中，∠A＝90°．请利用尺规作图法求作一点P，使得PA＝PB且PC∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，先作线段AB的垂直平分线l，再在BC的上方作∠DCB＝∠B，交直线l于点P， 则点P即为所求． 21．（8分）（2025•河南）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱， 根据题意得：12﹣x≤x， 解得：x≥6， 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080， 答：该公司最少需花费1080元． 22．（8分）（2025•陕西）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 a 95 八年级 92.5 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【解答】解：（1）a93.2， b96.5， 由统计图可发现八年级学生成绩波动性大， 所以S21＜S22； 故答案为：93.2；96.5；＜； （2）我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）； （3）， ∴估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 23．（8分）（2025•江苏）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 【解答】解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为； （2）列表如下： 小丽 小华 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种， 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为． 24．（8分）（2025•陕西）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 【解答】解：延长DC交AN于点H，则DH⊥AN． 在Rt△BCH中，∠BCH＝∠β＝78.5°， ∵cos∠BCH，sin∠BCH， ∴CH＝CB•cos78.5° ≈10×0.20 ＝2（m）， BH＝CB•sin78.5° ≈10×0.98 ＝9.8（m）． ∴DH＝CD+CH＝3.6（m）． ∵DE∥AN， ∴∠DAN＝∠EDA＝α＝8.5°． 在Rt△DAH中， ∵tan∠DAN， ∴（m）． ∴AB＝AH﹣BH＝24﹣9.8＝14.2（m）， 答：河宽AB约为14.2m． 25．（10分）（2025•北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP＝AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，⊙O的半径为1． ①在点A1（，0），A2（，0），A3（2，0）中，点 是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为　 　 °； ②点B（1，m）在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为　 　 ； （2）已知点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直线MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙O的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60； ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OGB＝90°， ∴， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形， ∵TM＝TA， ∴四边形TMAN是正方形， ∴， 当∠MAN≥90°时，， ∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：； ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值）， ∴； ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32， 解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°； ④当E在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r， ∴， 解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°； 综上所述，或t＞5或． 26．（12分）（2025•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0，b＞0）． （Ⅰ）当a＝﹣1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标； （Ⅱ）点A（﹣1，0）和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点． ①当a＝﹣2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标； ②若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上，当CE+CF取得最小值为时，求顶点E的坐标． 【解答】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）； （II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a， 又∵a＝﹣2，点C（0，c）， ∴OC＝c＝b+2，AO＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2， 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）， ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2， ∵OH＝AH﹣AO， ∴OH＝b+2﹣1＝b+1， ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）， ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2， 整理得，b2+2b﹣1＝0， 解得， ∵b＞0， ∴，不合题意，舍去， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0， ∴c＞0，m＞1， 在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC． ∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA． ∵∠CAB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠CGA． ∴CG＝CB，则GO＝OB． 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2， ∴， ∴， ∴． 又∵点B（m，0），得OB＝m． ∴，即c2＝m2﹣2m， 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF． 又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF． ∴CE+CF＝BF+CF≥BC． ∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值，即， 在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2， ∴m2+c2＝24． 将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24． 解得m1＝4，m2＝﹣3（舍）， ∴， ∴点B（4，0），， ∴直线BC的解析式为． 设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1）， 得， ∴点F的坐标为． ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， ∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移个单位得到的， ∴点E的坐标为． 27．（10分）（2025•北京）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T＝0时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T＝3时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 T＝3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线∁T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示． （1）观察曲线C1，当整数x的值为　 　 时，y的值首次超过35； （2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第　 　 日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行　 　 日的模拟练习． 【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35， 故答案为：6； （2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， ∴相差48﹣43＝5（个）， 把5分成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝43+3＝46， 画出T＝3时的曲线C3： （3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3， C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个， ∴T+x＝7； C2：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个， ∴T+x＝8， ∵7＜8， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②如图， 当模拟练习T＝0日时， 4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有7+8+10+12＝37； 当模拟练习T＝1日时， 4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有12+19+26＝57； 当模拟练习T＝2日时， 4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有20+30＝50； 当模拟练习T＝3日时， 4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日， 1日的合格产品是26； ∵26＜37＜50＜57， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考真题重组卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 D B C A D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．x≥1 8．x＝2 9．8n2 10． 11．n＞4 12．80° 13．1500 14．70 15． 16．①③④ 三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【解答】（1）解：原式＝3+32﹣2 ………………2分 ＝3+32﹣1………………3分 ＝4+3．………………4分 （2）原式 ………………2分 ………………3分 ．………………4分 18．（5分） 【解答】解：， 方程两边同时乘2（x﹣3），得x﹣2＝2x﹣6，………………2分 解得：x＝4，………………3分 检验，把x＝4代入2（x﹣3）≠0，………………4分 ∴分式方程的解为x＝4．………………5分 19．（5分） 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞﹣3，………………2分 解不等式②，得：x＜1，………………4分 ∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1．………………5分 20．（6分） 【解答】解：如图，先作线段AB的垂直平分线l，………………3分 再在BC的上方作∠DCB＝∠B，交直线l于点P，………………6分 则点P即为所求． 21．（8分） 【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：，………………3分 解得：，………………4分 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱， 根据题意得：12﹣x≤x，………………5分 解得：x≥6，………………6分 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960，………………7分 ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080，………………8分 答：该公司最少需花费1080元． 22．（8分） 【解答】解：（1）a93.2，………………1分 b96.5，………………2分 由统计图可发现八年级学生成绩波动性大， 所以S21＜S22；………………3分 故答案为：93.2；96.5；＜； （2）我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）；………………5分 （3），………………7分 ∴估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人．………………8分 23．（8分） 【解答】解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；………………2分 （2）列表如下： ………………6分 小丽 小华 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，………………7分 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．………………8分 24．（8分） 【解答】解：延长DC交AN于点H，则DH⊥AN． 在Rt△BCH中，∠BCH＝∠β＝78.5°， ∵cos∠BCH，sin∠BCH， ∴CH＝CB•cos78.5° ≈10×0.20 ＝2（m），………………3分 BH＝CB•sin78.5° ≈10×0.98 ＝9.8（m）．………………4分 ∴DH＝CD+CH＝3.6（m）．………………5分 ∵DE∥AN， ∴∠DAN＝∠EDA＝α＝8.5°．………………6分 在Rt△DAH中， ∵tan∠DAN， ∴（m）．………………7分 ∴AB＝AH﹣BH＝24﹣9.8＝14.2（m），………………8分 答：河宽AB约为14.2m． 25．（10分） 【解答】解：（1）①根据定义可得：当A在⊙O上时，不存在都有∠PAQ≤∠MAN； 当A在⊙O内部时，过A的直线MN使得⊙O的关联角度为180°； 当A在⊙O的外部时，且AM，AN为⊙O的切线时，∠MAN最大； 如图，A3是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，A1与⊙O的关联角度为180°，A2与⊙O的关联角度大于90°， ∵A3（2，0），⊙O的半径为1， ∴OM＝1，OA3＝2，且MA3是⊙O的切线， ∴， ∴∠MA3O＝30°， ∴∠MA3N＝60°，即与⊙O的关联角度为60°， 故答案为：A3，60；………………2分 ②根据定义可得B为⊙O外一点， ∵BD＜1，⊙O的半径为1， ∴BO≥2， 当OB＝2时，如图，取点G（1，0），则∠OGB＝90°， ∴， ∴m的最小值为， 故答案为：；………………4分 （2）由（1）可得，当A在圆的外部时，且AM，AN为圆的切线时，∠MAN最大，且A距离圆心越近， ∵90°≤α≤180°， ∴当∠MAN＝90°时，由∠TMA＝∠TNA＝90°，如图， ∴四边形TMAN是矩形， ∵TM＝TA， ∴四边形TMAN是正方形， ∴， 当∠MAN≥90°时，， ∵点E（1，3），F（4，3），T（t，0），⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，则r＝|t|， ∴EF上距离T最近的点在的圆环内， ①EF和的圆相切，如图， ∴， 解得：；………………5分 ②EF和半径为t的圆相切时，如图， ∴t＝3 （不包含临界值）， ∴；………………6分 ③当E在半径为t的圆，如图， ∴t2＝（t﹣1）2+32， 解得：t＝5 （不包含临界值）， ∴t＞5时，E，F都在⊙T内部，此时α＝180°；………………7分 ④当E在半径为的圆，如图， 设⊙T的半径为r，则t＝﹣r， ∴， 解得：， ∴时，此时90°≤α≤180°；………………9分 综上所述，或t＞5或．………………10分 26． （12分） 【解答】解：（I）∵a＝﹣1，b＝2，c＝3， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，4）；………………2分 （II）①∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c上， ∴0＝a﹣b+c，即c＝b﹣a， 又∵a＝﹣2，点C（0，c）， ∴OC＝c＝b+2，AO＝1， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2+bx+b+2，………………4分 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠AHD＝90°， ∴∠HAD+∠ADH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠HAD＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， 又∵AD＝AC，∠AHD＝∠AOC＝90°， ∴△ADH≌△CAO（AAS）， ∴DH＝AO＝1，AH＝OC＝b+2， ∵OH＝AH﹣AO， ∴OH＝b+2﹣1＝b+1， ∴点D的坐标为（b+1，﹣1）， ∵点D在抛物线y＝﹣2x2+bx+b+2上， ∴﹣1＝﹣2（b+1）2+b（b+1）+b+2， 整理得，b2+2b﹣1＝0， 解得，………………6分 ∵b＞0， ∴，不合题意，舍去， ∴， ∴点D的坐标为；………………7分 ②∵c＝b﹣a，a＜0，b＞0， ∴c＞0，m＞1， 在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC． ∴∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA． ∵∠CAB＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠CGA． ∴CG＝CB，则GO＝OB． 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2＝AO2+OC2， ∴， ∴， ∴．………………8分 又∵点B（m，0），得OB＝m． ∴，即c2＝m2﹣2m， 根据题意，点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，得AF＝BF． 又∵▱ACEF中，AF＝CE．得CE＝BF． ∴CE+CF＝BF+CF≥BC． ∴当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值，即， 在Rt△OBC中，OB2+OC2＝BC2， ∴m2+c2＝24． 将c2＝m2﹣2m代入，得m2+（m2﹣2m）＝24． 解得m1＝4，m2＝﹣3（舍），………………9分 ∴， ∴点B（4，0），， ∴直线BC的解析式为．………………10分 设点F的横坐标为x0，则4﹣x0＝x0﹣（﹣1）， 得， ∴点F的坐标为．………………11分 ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， ∴点E可以看作是点F向右平移一个单位，向上平移个单位得到的， ∴点E的坐标为．………………12分 27． （10分） 【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35， 故答案为：6；………………1分 （2）∵T＝3日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个， ∴相差48﹣43＝5（个）， 把5分成两个接近的数，5＝3+2， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴m＝43+3＝46，………………3分 画出T＝3时的曲线C3： ………………5分 （3）①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3， C3：T＝3日的模拟练习，然后试制阶段第x＝4日制成的合格品达到y＝46个， ∴T+x＝7； C2：T＝2日的模拟练习，然后试制阶段第x＝6日制成的合格品达到y＝45个， ∴T+x＝8， ∵7＜8， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7；………………8分 ②如图， 当模拟练习T＝0日时， 4日内的试制时间x＝4﹣0＝4日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有7+8+10+12＝37； 当模拟练习T＝1日时， 4日内的试制时间x＝4﹣1＝3日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有12+19+26＝57； 当模拟练习T＝2日时， 4日内的试制时间x＝4﹣2＝2日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有20+30＝50； 当模拟练习T＝3日时， 4日内的试制时间x＝4﹣3＝1日， 1日的合格产品是26； ∵26＜37＜50＜57， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．………………10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $