数学真题重组（广东省卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 精选2025-2024年多省市中考真题重组，覆盖代数运算、几何推理、统计分析等核心知识，融入国家智慧教育平台、《九章算术》等真实情境与文化素材，梯度设计适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、三视图、统计量|结合2025年广东等多省真题，基础考点全面| |填空题|5/15|因式分解、相似三角形、反比例函数|第12题测量大树高度，体现数学眼光的几何直观| |解答题|8/75|方程应用、圆的切线、函数建模|第21题羽毛球运动轨迹建模，发展模型意识；第22题综合实践，强化推理能力与创新意识|

2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 8．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 第Ⅱ卷 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 13．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 15．（2025·四川雅安·中考真题）如图，E，F分别是正方形边上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点交于点N，若，，则______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分， 18小题9分，共24分） 16．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 17．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 18．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 20．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 21．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 23．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、 解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分，18小题9分，共24分） 16.(8分) 17.(7分) A E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(9分) A O B M C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) A a B B B E CD 16m 图(4) 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) 扣杀球近似路线 网前吊球近似路线 图(1) 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分) 22.(12分) B D >C 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23.(12分) A (E) 0 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考真题重组卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 8 10 B C C B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2y(x-y月 12.1013.214.-12 15.√7 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分，18小题9分，共24分） 16.(8分) 【答案】(1)√2；(2)1<x≤4 【详解】解1)-阿-2m0=1+5-2×对=1+5-1=万：4分) (2) x+1>1⊙ 2 解不等式①得x>1,解不等式②得x≤4， 9x≤7x+8② :.原不等式组的解集为1<x≤4.(8分) 17.(7分) 【答案】（①）见解析 (2)2+2√5 【详解】(I)证明：由作图可知，∠DAC=∠B.又：∠C=LC,△ACD∽△BCA.(3分) (2)解：：∠BAC=108°，AB=AC, .∠B=∠C=36° 由(1)得LDAC=LB=36°. ∠BAD=∠BAC-∠DAC=72°. .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°， ∠ADB=∠BAD,(5分) .BD=AB=AC. 1/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由(I)知ACDBCA,·ACBC CD AC :BD=AC且CD=BC-BD, BC-BD BD BD BC· .BCBC-BD=BD2.(6分) :BD=AB=4,设BC=x,则x(x-4)=42,即x2-4x-16=0. 解得x=2+25或x=2-2V5(舍去). .BC的长为2+2√5.(7分) 18.(8分) 【答案】(1)85,87,952：(2)：(3)建议见解析 6 【详解】解：(1)a=84+86=85,城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，故6=87，(2 2 分) e=0[64-84+4-s4+78-4+2-4+14-84+26-4+192-84+96-84+18-84] ×952=95.2(4分) 10 (2)农村学校95分以上学生有2人，分别记为A,4,城区学校95分以上学生有2人，分别记为B, B,画树状图如下： 开始 A2 B B2 A B B2 A A2 B2 A A2 B 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， :P（所选两名学生恰好都是城区学生)=2=.(6分 126 (3)例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减 小两极分化.(8分) 2/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(9分) 【答案】0湘。见解新②见解新⊙ 【详解】(1)解：BC与O0的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, :AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, 0A=OM, .∠OMA=∠OAM, .∠OMA=∠BAM, OM∥AB, :∠B=90°， .∠0MC=∠B=90°， 即OM⊥BC, :OM为圆的半径， :.BC与⊙O的位置关系是相切.(3分) B M (2)证明：如图，连接FM, :AF是圆的直径， ∠AMF=90°=∠B, :AM是∠BAC的平分线， ∴.∠BAM=∠OAM, ∴.∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠OAM=∠AFM, ∴.∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, 3/12 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .aCFM∽aCMA, CF CM CM CA' 即CM2=CF.CA;(6分) 0 E B M (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 在RtOMC中，sinC=OM_3 0C5’ 设0M=0F=3a,则0C=5a, .CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1,(7分) .0F=3,AF=20F=6, :AF为圆的直径， .LAEF=90°， .∠B=∠AEF=90°， .EF∥BC, .∠AFE=∠C, sin∠AFE=AE_3 AF 5 .9分) 4/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(9分) 【答案】(1)45°(2)2.7m(3)4m 【详解】(1)解：根据题意，得AF=AC-CF=3-22=0.8m, :AB的宽度为0.8m, tan∠ABF=AF =1, AB .∠ABF=45°.(3分) (2)解：过点B作B'M⊥CE于点M, 则四边形ACMB'是矩形， .AB'=CM,AC MB'=3m, :AB'=CM =CD+DM :∠a=68°， 人 B'M ∴.tan∠a DM .DM= an68o*25-1.2m), B'M 3 :CD=1.5m, :AB'=CM=CD+DM=1.5+1.2=2.7(m.(7分) (3)解：设小路的宽为，根据厦意，得16-12-=×16x12,(8分> 整理，得x2-28x+96=0,x-4x-24)=0,解得x=4,x2=24(大于16，舍去)， 答：小路的宽为4m.(9分) 21.(9分) 【答案】1)扣杀球击球路线的函数表达式为)=宁+号：网前吊球击球路线的函数表达式为 y=高+号，2)88,3》乙能接到网前吊球的击球 5 【详解】解：(1)以0为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标 系， 5/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C E F 则A(0,2.4),D1.6,1.6), 1 n=2.4 k= 设直线AD的解析式为y=kx+n,: (2分) 1.6k+n=1.6 n=2.4 ·扣杀球击球路线的函数表达式为y= +号：设网前吊球击球路线的函数表达式为=㎡+24， 1,12 2 5 1.6=ax1.62+2.4,.a=- 16’ :网前吊球击球路线的函数表达式为y=-5x+ 16 +5:(3分 5 0E=8 m,:CE=0E-0C=85-8m.故答案为：85-8，(6分) 5 5 5 112 (3)对于y=2x+ 5 ∴.0F=4.8, AF=VOF2+0A2 12V5 5m,(8分) :扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s, 125 ·55(秒) 3615 <0.5, 15 ·乙不能接到扣杀球的击球。 :从A点击球，击球点是抛物线的最高点， 2-5, 5 :1>0,1=25,25、 >0.5,乙能接到网前吊球的击球.(9分) 5 6/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.(12分) 【答案】少补全过程见详解.役，2》D:)见解析：④3a CD 3 sin B 【详解】解：(1)小智的思路补全：如图1，作DM⊥AB,DN⊥AC，,垂足分别为M,N. :AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,DM=DN, ,S△4B2= 1AB·DM AB S-DM:S.-A4C-DN S C.DN 1 AC D·AP 过点A作AP1BC,垂足为P.:@=2 BD ABBD 2CD.APCD .(2分) SAADC 1 AC CD M DP 图1 小勇的思路补全：如图2，作CE∥AB,交AD的延长线于点E. D C (3分) 图2 :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, .CE∥AB, ∴.∠BAD=∠E, ∴.∠CAD=∠E. .CA=CE. ∠ADB=∠CDE,∠BAD=∠E, 7/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴△BDA∽△CDE, AB BD CE CD' :CE=AC, :AB、BD AC CD .(4分) (2)如图2，过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M,N. :∠BAD=45,∠CAD=60°， DM= AD.DN=AD. 2 2 AB=AC, 1 AB.DM 反AD 2AC·DN DM= DN3 .5分) SAADC 3 AD 2 又SB皿=BD BD6 S.ADC CD· .(7分) CD 3 A M D 图2 (3)如图3，作EF的垂直平分线交EF于点O,以点O为圆心，OF为半径作弧，连接FB,再以点O和 点F为圆心，OF为半径作弧交于点H,连接EH与FB交于点K,过点K作EF的垂线交EF于点P.点P 即为所求.(8分) 理由：根据作图可知OF=OH=FH,KP⊥EF,BO⊥EF,BO=FO, .△OFH是等边三角形，∠PFK=∠PKF=45°， FoI=60°，LFEH=7∠F0H=30 在RteKEP中，∠KEP=30°，则EP=V3KP; 在RtAKPF中，∠KFP=45°，则PF=KP, 所以EP-EP-BKP-5. FP KP KP 所以EP=√3FP.(9分) 8/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B H 图3 (4)如图4，过E作EG交AC的延长线于G,使LDEG=∠DAB=a, 所以∠CEG=a-B,△ADB∽△EDG, 所以BDDG 即BD·DE=AD·DG, AD DE 因为AC=4,CD=1,AB=5, 所以AD=3, 所以BD·DE=3DG. 所以BD·DE=3(CD+CG)=31+CG). 因为1D=DE3 AB EG5' 所以caE-CD 1DE.CE·sinB DE·sinp3sinp SACGE CG 1 ,(10分) EG.CE.sin(a-B) EG.sin(a-β)5sin(a-β) 2 所以BD·DE=31+ 5sin(a-B) 3+ 5sin(a-B) 3sinβ .(12分) sin B D 图4 23.(12分) 【答案】1)证阴见解析：(2)k=9；(3)6≤≤8 9/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)设B(m,ma),则4m, m :ADx轴，D点的纵坐标为人，将y=人代入y=r中得：上=r得， m m m ，D,:Cm,将=代入y=中得出y=m, .x=k am （am'm·C am am :函数y=二的图象必经过点C;(4分) (2):点B(1,2)在直线y=ar上， .a=2, y=2x, A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， :函数y=的图象经过点A,C, c2, (2 A1,k), k :D2k5分) .DC=k-2, :把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, :BE=BC=K-1,∠BED=∠BCD=90°， 2 DC_k-2=2-DE ·BCK-1 BE, 2 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， 大 :AD川x轴， H,A,D三点共线， 10/12 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠HED+LBEF=90°，LBEF+∠EBF=90°，.∠HED=∠EBF, :LDHE=LEFB=90°，DHEAEFR,:DH-E-DE=2. EF BF BE BF=1,DH=K 2 ·HE=2,EF= 4 ǎp=2+ 由图知，HF=DC, ：2+冬=k-2, 4 16 3:(7分) .. (3):把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,当点E,A重合， AC⊥BD, :四边形ABCD为矩形， :.四边形ABCD为正方形，∠ABP=∠DBC=45°， 4B-BC-CD-DA-4PAP AP-PC-BP-4C.BPL AC sin45° 2 BC∥x轴， .直线y=ax为一，三象限的夹角平分线， .y=x, 当OO过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H, AD∥x轴， H,A,D三点共线， :以点O为圆心，AC长为半径作00,0P=3√2， :OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=32, :AP=√2， 11/12 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB=AD=2AP=2,BD=2AP=22,BO=AC=2AP=22,(8) :AB∥y轴， .△DHOADAB, HO DH DO AB AD BD :10_DH-22+2 2=2 2,(9分) 22 .H0=HD=4, HA=HD-DA=4-2=2, .A2,4, .k=2×4=8, 当O0过点A时，根据A,C关于直线0D对轴知，O0必过点C,如图所示，连A0,CO,过点D作 DH∥x轴交y轴于点H, :A0=0C=AC, .△A0C为等边三角形，：0P⊥AC,∠A0P=二×60°=30°， 4P=30xOP-x36=PD.4C=BD=24P-25 3 :AB=AD=2AP=23,OD=OP+PD=32+6, :AB∥y轴，.△DH0n△DAB, HO DH DO AB AD BD HO DH 32+6 ”2W323 2√6 ,(10分) .H0=HD=3+V5, .HA=HD-DA=3+V3-2V3=3-V3, A3-5,3+5),k=3-5)×3+5=6, :.当⊙0与ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8.(12分) 12/122026年中考真题重组卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分，18小题9分，共24分） 16.(8分) 17.(7分) H G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.(9分) A E B M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) B A B AA B EC D E 16m 图(4) 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) D B C E 扣杀球近似路线 网前吊球近似路线 图(1) 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.(12分) B D 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23.(12分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考真题重组卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 8．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 第Ⅱ卷 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 13．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 15．（2025·四川雅安·中考真题）如图，E，F分别是正方形边上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点交于点N，若，，则______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分， 18小题9分，共24分） 16．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 17．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 18．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 20．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 21．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 23．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考真题重组卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B． 2．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿， 故选：C 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形， 其中C选项符合该特征， 故选：C． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 5．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 7．（2025·广东·中考真题）某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（   ） A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96 【答案】B 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 8．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 9．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以，则，即， 解得，，又，所以． 故选：B． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 第Ⅱ卷 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即，∴， ∴， 故答案为：10． 13．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 14．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：一次函数中，令，得，令，则，解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 15．（2025·四川雅安·中考真题）如图，E，F分别是正方形边上的点，且的周长是正方形边长的2倍，交于点交于点N，若，，则______． 【答案】 【详解】如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，在和中，， ∴， ∴， 在中，， 即， 又，， ；． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题8分，第17题7分， 18小题9分，共24分） 16．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）；（4分） （2）解不等式①得，解不等式②得， ∴原不等式组的解集为．（8分） 17．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作图可知，．又∵，∴．（3分） （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴，（5分） ∴． 由（1）知，∴． ∵且， ∴． ∴．（6分） ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为．（7分） 18．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【详解】解：（1），城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，故，（2分） （4分） （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）．（6分） （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化．（8分） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切．（3分） （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即；（6分） （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得，（7分） ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．（9分） 20．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ．（3分） （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ．（7分） （3）解：设小路的宽为，根据题意，得，（8分） 整理，得，，解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为．（9分） 21．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为，，，（2分） 扣杀球击球路线的函数表达式为；设网前吊球击球路线的函数表达式为， ，， 网前吊球击球路线的函数表达式为；（3分） （2）令，则，，，，（4分） ，．故答案为：；（6分） （3）对于，令，则，，，（7分） ， ，（8分） 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点，， ，，，乙能接到网前吊球的击球．（9分） 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）补全过程见详解，；（2）；（3）见解析；（4）． 【详解】解：（1）小智的思路补全：如图1，作，垂足分别为M，N． ∵平分，∴， ∵，，∴． 过点A作，垂足为P．∴，∴．（2分） ； 小勇的思路补全：如图2，作，交的延长线于点E． （3分） ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ， ， ， ， ．（4分） （2）如图2，过点D作，垂足分别为M，N． ∵， ∴． ∵， ∴．（5分） 又，∴．（7分） ； （3）如图3，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求．（8分） 理由：根据作图可知，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中，，则； 在中，，则， 所以． 所以．（9分） ； （4）如图4，过E作交的延长线于G，使， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以，（10分） 所以．（12分） 23．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）设，则， ∵轴，∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴，∴，∴，∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C；（4分） （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴，（5分） ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴；（7分） （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，，（8分） ∵轴， ∴， ∴， ∴，（9分） ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴,（10分） ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $