高一下学期期末实战模拟卷一-【创新教程】2025-2026学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷一 命题范围：平面向量及其应用 测试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.下列说法正确的是 A.若a=b,则a与b共线 B.若a与b是平行向量，则a=b C.若a=b,则a=b D.共线向量方向必相同 在 2.如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底， 圜 若a=√2,0=45°，则向量a的坐标为 A.（1,1) B.(-1,-1) C.(√2,2) D.(-√2，-2) 3.在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，则sinA= 3√/21 i| A名 牙 c D, 14 4.已知m=(3,6),n=(一3，λ)，若(m十n,n>=120°，则入= h1 A.-3 B.-2√3 C.-3 D. 2 5.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法. 假设二维空间中有两个点A(x,y1),B(x2,y2),O为坐标原点，定义余弦相似度为 cos(A,B)=cos(OA,OB〉，余弦距离为1-cos(A,B).已知点P(sina,cosa),Q(1,0),若 P,Q的余弦距离为5二 ,则cos2a= ( A- C. 19 9 25 D.2 毁 6.在△ABC中，已知a=2,A-了则下列说法正确的是 A.当b=1时，△ABC是锐角三角形 B当b=43时，△ABC是直角三角形 曾 C.当6=总时，△ABC是钝角三角形 D.当b=号时，△ABC是等腰三角形 7.已知A,B,C是平面上不共线的三点，0为坐标原点，动点P满足0P=}[1-)0A+(1 凶 一λ)OB+(1+2λ)OC],A∈R,则点P的轨迹一定经过 ( A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 8.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,点M,N分别为边AB,AC上的动点，且MN=2, 点D为斜边BC的中点，则MD·ND的最小值为 () A.0 B.4 C.4-2√2 D.8-4√2 1-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知平面直角坐标系中三个点A(一1,1)，B(1,1),C(0,1一3)，点D为线段AB的中 点，则下列结论正确的是 () A.△ABC是锐角三角形 B.CA在CB上的投影向量为 13 2’2 C.CD·BC=3 D.若四边形ABCE为平行四边形，则点E的坐标为（一2,1一√3） 10.若e1,e2是平面a内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是 () A.e1十ue2(入，∈R)可以表示平面a内的所有向量 B.对于平面a中的任一向量a,使a=e1十2的实数入，有无数多对 C.入1山1，入2h2均为实数，且向量入1e1十412与入2e十2e2共线，则有且只有一个实数入， 使入1e1十1e2=入（入2e1十2e2） D.若存在实数入，，使e1十e2=0,则入=μ=0 11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccos B+bcos C=a,则下列说法正 确的是 () A.若A=吾，则△ABC面积的最大值为号 B.若A=不，且△ABC只有一解，则b的取值范围为(0,1] C.若A=罗，且△ABC为锐角三角形，则△ABC周长的取值范围为1十5,3] D.若△ABC为锐角三角形，AC=2,则AC边上的高的取值范围为 2g 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a,b满足a=3,b=2,a与b的夹角为60°，则a·b= ,若(a-mb)⊥a, 则实数n= 13.如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN.为 此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B,测得A,B两点之间的距离为33米，然 后在观测点A处测得仰角∠MAN=30°，进而测得∠MAB=105°，∠MBA=45°.根据李 明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 米」 14.如图，△ABC是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点.则PA·(PB+PC)的最小 值为 1-2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知向量a=(一3,2)，b=(1,2),c=a十b(k∈R). (1)若向量c与2a一b垂直，求实数k的值； (2)若c与a的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 16.（本小题满分15分)已知a、b不共线. (1)若AB=2a+b,BC-a-3b,CD-a+号b,求证：A,C,D三点共线： (2)若向量b-知与2a-b共线，求实数：的值. 17.(本小题满分15分)△ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA-sinB sin C =9-c a+b (1)求角B的值； (2)若a:b=tanA：tanB,判断△ABC的形状； (3)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC的面积S的取值范围. 1-3 18.(本小题满分17分) 如图所示，在△OAB中，OC-OA,OD-2OB,AD与BC交于点M.过 M点的直线l与OA、OB分别交于点E,F. (1)试用OA,OB表示向量OM; (2)设OE-X0A,0F=0B,求证：+3是定值。 19.(本小题满分17分)为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将B、 自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BVC区域为 荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐 饮，△MVC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在 鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知AC=40m,BC=40√3m,AC⊥BC,∠MCN=30°. (1)若AM=20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)若鱼塘△MNC的面积是民宿”△CMA的面积的5倍，求∠ACM; (3)当∠ACM为何值时，鱼塘△MVC的面积最小，最小面积是多少？ 1-4 高一下学期期末实战模拟卷一 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑XO 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 【)历三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共58分） 1 ABCD 4 A BCD 7A⑧CD 10 A BC D 2 ABCD 5 ABCD 8 ABCD 11ABg回 请在各题 3ABCD 6ABg回 9ABCD 目的 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 题 填空题（共15分） 12 13 答 14 出 解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（一）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（一）第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为02 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（一）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（一）第4页（共4页）数学·参考答案 高一下学期期末实战模拟卷一 选择题答案速查 题号 1 2 心 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B A D B C D ABD BC AC 1.A[对于A,相等向量必是共线向量，A正确； 43 对于B,a与b是平行向量，如a为非零向量，而 3,由2 4 3 b=0,显然a≠b,B错误；对于C,模相等的两个 3 sin B'sin B-1,B= 2,所以 向量，它们的方向不一定相同，即1=b不一定 成立，C错误；对于D,共线向量的方向可以相 反，D错误.门 △ABC是直角三角形，B选项正确；对于C:因 2.A[由题意得，a=(W2cos45)i+(W2sin45)j =i+j=(1,1).] 为6=是，尚名 2 3 sin B'sin B=33、1 82 3.B[,AB=√7，AC=2,C=120°， .∴.由余弦定理AB2=BC十AC-2BC·ACcos C 2 可得：BC2+2BC-3=0, 所以若<B<受，所以C=x一A-B<受， 解得：BC=1,或-3（舍去）， △ABC是锐角三角形，C选项错误；对于D:因 .由正孩定理可得：sinA=BC sin C=V21] 5 AB 4.A[因为m=(3,6),n=(-3,入)，所以m十n= 为=号由号 6nB-<96 3 3 12 (0,6+入)， 2 则(m+n)·n=(6+),m+n|=/(6+), |n=w√9+2， ,B<A<号osB=个mB=得 所以cos(m+n,n)= λ(6+λ) √(6+)2·√9+λ 2 =√69 12 化简得2=3→λ=士√3， sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A= 又1(6十λ)<0→-6<入<0，所以A=一√3.] 5.D[因为P(sina,cosa),Q(1,0), 50×}+僧×9-5区，周为B≠ 12 12 2 24 C,A≠C所以△ABC不是等腰三角形，D选项 所以OP=(sina,cosa),OQ=(1,0), 错误.门 所以OP|=√sina+cosa=1,lOQ|=1,OP· 7.C[取AB的中点D,则2OD=OA+OB, OQ=sin a, 0P-号[1-x00A+1-a0B+(1+2以0， 所以cos(P,Q)=cos(OP,OQ〉= OP·OQ 1OP|·IOQ :0p=21,)0D+1+20元.而210+ 3 3 3 =sin a, 则P,Q的余弦距离为1-sina= 5一3，所以 1+2入=1，P,C,D三点共线， 3 5 .点P的轨迹一定经过△ABC的重心.] 8.D[以AB,AC所在直线分别为x,y轴，建立 sin a= 5 平面直角坐标系， 则D(2,2),设M(m,0), 所以cos2a=1-2sina=1-2 19 因为MN=2,则0≤m≤2， 5 2 且AN=√/4-m2,故N(0, 6.B[对于A:因为b=1由正弦定理 √3 √4-m2), 2 所以MD·ND=(2-m,2) mB=百<由e且如B-停< 1 ·(2,2-√4-m2)=4-2m 4 +4-2√4-m2=8-2m- 专可知B<否，C=-若-B>受，因此△ABC 2/4-m, 是钝角三角形，A选项错误；对于B:因为b= 令m=2cos0,则0e[0,]: 1 则MD·ND=8-4cos0-4sin0=8-4√2 当SimB=1时，即号b=1,b=2时有-解， sin() B错误； 周为0[，]所以0叶∈[置]， 对于C芳A-吾由正袋定理符入 2,所 以a+b+c=1+ 2(sin B+sin C)1+ √3 故MD.ND-8-42sim0+至)∈[8-4E,4, 2(imB+sin(-B】 所以MD·ND的最小值为8一4√2，当且仅当0 =平时取得.] 1+ =1十 9.ABD[由题意，CA=(-1,3),CB=(1W3), 2sinB+看}： AB=(2,0),则|AB|=|CA|=|CB|=2,即 △ABC为等边三角形，则△ABC是锐角三角 由于△ABC为锐角三角形，故0<B<且0 形，故A正确：因为CA在CB上的投影向量为 <-B<故晋<B<受 i西.=1x0-（g}B CBCBI 2 国此B+晋∈（昏）故a+6十= 正确；对于C选项：因为点D为线段AB中点， 所以D(0,1),所以CD=(0,√3)，又BC=(-1, 1+2sinB+否)e(1+5.a],故C正确： 对于D,由于△ABC为锐角三角形，AC=b= 一3)，所以CD·BC三-3，故C错误；对于D 2,a=1, 选项：设E(x,y),则EA=（-1二x,1一y),若四 a2+b2>c25>c2 边形ABCE为平行四边形，则EA=CB,即（一1 所a2+c2>b→c2>3→3<c2<5, -,1-y》=1,3.即已16，解得 c2+b2>a2c2+4>1 11-y=√3 故AC边上的高为asin C=a√/1-cos2C=a y三1，所以E(一2,1一3)，故D正确.] 16 10.BC[由题意可知：e1,e2,可以看成一组基底 故D错误. 向量， 12.解析：因为|a=3,|b=2,a与b的夹角 根据平面向量基本定理可知：A,D正确，B不 为60°， 正确； 对于C,当入1=入2=4=42=0时，则入1e1十 所以a·h=ab1cos60=3X2X2-3: 41e2=入2e1十2e2=0, 此时任意实数入均有入1e1十山e2=入（入2C1十 因为(a-mb)⊥a,所以(a-mb)·a=0,即a 42e2),故C不正确.] -ma·b=0,故9-3m=0,得m=3. 1l.AC[由正弦定理可得sin Ccos B十sin Bcos C= 答案：33 asin A,E sin(B+C)=sin A=asin A, 13.解析：在△ABM中，因为∠MAB=105°， 因为0<A<π，所以sinA≠0，所以a=1, ∠MBA=45°， 对于A,若A=登 所以∠AMB=30°，又因为AB=33,所以 AB AM 由余孩定理得cosA=cos誓=+c-a sin∠AMB sin∠MBA' 2bc =6+c2-1 即33 sin30sin4,解得AM=33W2: AM 2bc 在Rt△AMN中，因为∠MAN=30°，AM= 由b>0,c>0,可得b+c2=bc+1≥2bc, 33√2， 即bc≤1，当且仅当b=c时等号成立， 所以MN=AM·tan30°=11√6， 到△ABC西象名cinA长号×号-只，所以 即该宿舍楼的高度为11√6米. 2 14.解析：在边长为2的△ABC △ABC西积的最大值为放A正确： 中，取BC的中点D,连接AD 并取其中，点O,连接PO,则 对于B,若A=牙且a=1,由正孩定理得 sin B 1 00-4D=9 2 sin 于是PA·(PB+PC)=2PAB ·PD=2(PO+OA)·(PO+OD) 所以sinB=bsin入=2b, =2(PO-OD).(PO+OD)=2 PO-2 OD 2 2 所以s-am-气小 当且仅当点P与点O重合时取等号， 因为△ABC为锐角三角形，则30°<C<90°， 所以Pi·(P店+P心)的最小位为-多。 从而tanC∈ ,所以S∈ 3 2 答案：- 18.解：(1)由A,M,D三点共线可得存在实数m 15.解：(1)因为a=(-3,2),b=(1,2), (m∈R)使得：OM=mOA+(1-m)OD, 所以c=a+kb=(-3+k,2+2k),2a-b 又0D=20B,故0M=m0+1,m0B. =(-7,2) 2 因为向量c与2a-b垂直，所以c·(2a-b) 由C,M,B三点共线可得存在实数n(n∈R)使 =0, 得：OM=nOC+(1-n)OB, 即（一3十k)×(一7）+(2十2k)×2=0,解得 又0C- 1OA,故OM=”OA+(1-n)OB, 4 由题意，OA,OB不共线，则 (2)因为c与a的夹角是锐角，则a·c>0且a 与c不共线同向， 由a·c>0,得-3(-3+k)+2(2+2k)>0,解 m7 ,解得{ 4 得k>-13, 1一m=1一n 由a与：共线得3-2告2，解得质=0， 2 n7 2 故0M=OA+0i: 此时a与c共线同向，故k≠0， 所以k>一13且k≠0. (2)由E,M,F三，点共线，可设OM=kOE十(1 16.解：1证明C元-a+号，-店+C- -k)OF(k∈R), 由OE=入OA,OF=uOB,则OM=k入OA+(1 -k)μOB, 则有AC=-3CD,可得AC∥CD且C为公 由(1)知，0M=0A+号0B,则 共点， 所以A,C,D三点共线。 (2)向爱6-a与2a-号b共线，则存在电 1 (a-t 实，使得6a=A(2a-多 (1 所以}+3=7k+7-7k=7, 可得 = 0. 十t=0 所以十美定位 即 2 19.解：(1).'AC=40m,BC=40√3m,AC⊥BC, +1=0 amB瓷-9B-30A=0. 解得t=1 .AB=2AC=80, 3 在△ACM中， 7.解：(1)sinA一sinB=由正弦定理 由余弦定理可得CP=AC2+AMP-2AC· sin C 得a-ba-c AM·c0sA=1600+40-2X40×20×号 c a+b' =1200, 即(a-b)(a+b)=c(a-c),即a2-b2=ac 则CM=203,∴.AC2=AM+CM,.CM c2,即a2+c2-b2=ac, ⊥AB, 由余弦定理得cosB=Q+2-B ,∠MCN=30°，.∴MN=CM tan30°=20， 2ac 2 .'.CN=2MN=40, .0°<B<180°，∴.B=60°； ∴.护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+ (2)'.'a:b=tan A:tan B, 20√3=(60+20√3)m; .sin A=sin A,cos B (2)设∠ACM=0(0°<0<60°)， 'sin B cos A'sin B..cos A=cos B,..A 因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的 =B, .△ABC为等边三角形 西积的倍， (3)因为A+C=120°，c=2, 由正弦定理，得a=csinA- 2sin(120°-C) 所以CN.aMsm30-号·c1a1血0， sin C sin C 即CN=40√6sin0, scos C+sin C=3+1, CA 40 sin C 在△CAN中，由d60sn90ca经 ·3 得CN=203 cos 0' 所以Saw=号CM·CN·sin30 从而40√6sin0= os9,即sin20=2 20W3 300 300 21 sin(0+60)cos 0 由0°<20<120°， 2 sin Ocos3 2cos20 得20=45°，所以0=22.5°，即∠ACM=22.5° 600 (3)设∠ACM=0(0°<0<60°)，由(2)知CN =203 sin 203cos 203 2 2 2 cos 0' 1200 叉在△ACM中，由CM CA sin 60 sin(60+),得 2sin(20+60°)+√3 所以当且仅当20+60°=90°， 20√3 即0=15°时，△CMN的面积取最小值为 CM= sin(0+60)' 1200(2-3)m2. 高一下学期期末实战模拟卷二 选择题答案速查 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B C B D A B A D BC ACD BD 1.B[由x=a2+i(a-1+i)=a2-1+(a-1)i, 根据题意可知a二10a=一1] 所以：-e到的最大值为2x2+-] {a-1≠0 9.BC[因为方程x2十x十1=0的两根记为 2.C[因为之=2-i,所以x=2+i, x1,x2, 所以：2本2+2 2025 i i(2-iD=2i-- 1 5 部2+十1=0得西=+受6=号 所以x1十x2=一1，x1x2=1,因此A错误，B正 确；x1-x2=W3i=3,C正确；x1-x2=√3i 3.B[因为x=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i, 或x2一x1=一√3i,故D错误.] 若其实部小于0，则a十1<0，即a<一1， 显然a<0是a十1<0的必要不充分条件.] 10.ACD[.1=i-i=1-i,.|≈1|= 4.D[因为(2+3i)z=i024+8i2025, √/1十(-1)2=√2，故A正确；：(1-2i)2= 所以之=2+8 _1+8i_(1+8i)(2-3i) -3+i-(-3+i0(1+21)=-1- 5 2+3i2+3i(2+3i)(2-3i) i-3,.2=1-2i 2+i, i,虚部为一1，故B错误；，1十a=1十a一i为 所以之=2一i,所以复数之在复平面内对应的点 纯虚数，.1十a=0,即a=-1,故C正确；，之2 为(2，一1)，位于第四象限.] -bi=-1-(b+1)i为实数，∴.b+1=0,解得b 5.A[依题意，在复平面内，复数1，心2对应的点 =一1，故D正确.门 分别为Z1,Z2, 11.BD[设1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则，=1十2i,22=-2+i, 对A,x号=a2+2abi-b,2=(a-bi)2=a2 所以至-1名号=-门 2abi-b2, 当a,b至少一个为0时，= 6.B[由x=5+i可得x2-5x=x(x-5)=(5+i) 当a,b均不等于0时，z≠，故A错误； (5+i-5)=5i+i2=-1+5i, 对B,之1十之2=(a十c)十(b十d)i,则x1十2=(a 则|z2-5x=|-1+5i=√(-1)2+5=√26.] +c)-(b+d)i, 7.A[因为(1+i)b=a(i-1)+2i,所以b+bi= 而1+z2=a-bi+c-di=(a+c)-(b十d)i, -a+(a+2)i, 故之1十心2=之1十2，故B正确； 所以么a2所以8， 对C,若|x2+1|=1,即(c+1)+di=1,即 √/(c+1)2+d=1, 因此所选方程的两根为士1，仅有x2一1=0符 即(c十1)2+d2=1,则(c,d)在复平面上表示的 合要求.] 是以（一1,0）为圆心，半径r=1的圆， 8D[设=x十i,yER),则+y2=} |2一1的几何意义表示为点(c,d)到点(1,0) 的距离，显然(1+1)2+0=4>1， 之-e=x+yi-cosπ-isinπ=x+l+yi, 则，点(1,0)在圆外，则圆心到定点(1,0)的距离 所以|之-e"|=|x+1+yi=√(x十1)+y= d=2, ++-2+ 则点(1,0)与圆上点距离的最小值为d一r=2 -1=1,故C错误； 因为+所以-长 1 对D,4=a十b1 (a+bi)(c-di) c+di c2+d2