期末真题专项训练03 平面向量10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期末真题专项训练03 平面向量 【考点一】平面向量的基本概念 【考点六】向量基本定理 【考点二】平面向量的线性运算 【考点七】向量线性运算的坐标表示 【考点三】用定义求向量的运算律 【考点八】数量积的坐标表示 【考点四】数量积的运算律 【考点九】由向量共线（平行）求参数 【考点五】已知数量积求模 【考点十】向量的应用 【考点一】平面向量的基本概念 1.长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】A 【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度． 【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个． 故选：A． 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 3.命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题） 【答案】假命题 【分析】根据向量和，两种情况进行判定，即可求解. 【详解】当向量时，若，可得； 当向量时，若，则与不一定共线， 所以命题为假命题. 故答案为：假命题 4.与反向的单位向量为__________． 【答案】 【分析】反向单位向量即为，代入即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：. 5.已知点满足，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解. 【详解】解：由可得，所以为、的中点， 又，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 6.下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 【考点二】平面向量的线性运算 7.（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 【答案】16 【分析】由已知条件结合平面向量共线的推论可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 故答案为：16. 8.已知向量，不共线，实数，满足，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意，列出方程组，求得x，y，即可得答案. 【详解】因为，且向量，不共线， 所以，解得， 所以. 故答案为：1 9.已知四边形是边长为1的正方形，则________ 【答案】 【分析】根据平面向量的加法运算求得，进而根据模长的定义即可求出结果. 【详解】, 故答案为：. 10.已知，则______． 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：由，所以，所以，即， ，所以，． 故答案为：． 11．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为______. 【答案】6 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 12.如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量和（结果用向量、表示）. 【答案】，. 【分析】在梯形ABCD中，由E、F分别是腰AD、BC的中点，即有、△与△相似，结合已知条件及向量的加法的几何应用，即可求和 【详解】∵在梯形ABCD中，E、F分别是腰AD、BC的中点且即， ∴，△与△相似且相似比为1:2 ∴，而 故，有 【点睛】本题考查了向量的几何应用，由几何图形中代表各线段的已知向量，结合相似三角形的线段比例关系、向量的加法三角形法则求目标向量 【考点三】用定义求向量的运算律 13.已知､为非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】解：依题意，若，，可得，不一定是锐角， 若为锐角，即，可得， 所以､为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件， 故选：B. 14已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，都不为零向量， 对于①，因，所以，即，消去，得，故①正确； 对于②，由，得， 即， 因，的夹角与模长都未知，所以不一定成立，故②错. 故选：C. 15.（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则_______. 【答案】 【分析】依题意可得为的中点，从而得到是以为斜边的直角三角形，再由求出，最后根据数量积的定义计算可得. 【详解】如图所示： 因为，所以为的中点，又为的外接圆的圆心， 所以是以为斜边的直角三角形， 又因为，所以，， 又外接圆的半径为， 所以，则， 所以. 故答案为： 16.已知菱形ABCD的边长为1，且，则___________. 【答案】/1.5 【分析】由菱形的性质求得，，再由向量数量积的定义求. 【详解】由菱形的性质知：，， 所以. 故答案为： 17.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图①）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是______．    【答案】/ 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】, 几何意义表示向量在方向上的投影乘以， 由图可知：当点在点处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. 故答案为： 18．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 【考点四】数量积的运算律 19.（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【详解】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 21.（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出，再利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由AB上一点M满足：，得，而， 则，当且仅当，即时取等号， 因此当取得最小值时，，，而， 由等边的边长为3，得， 所以 . 故答案为： 22．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得， 同理因为三点共线，且是上的三等分点， 可得， 所以 . 故答案为：. 23．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】由题可得，化简得，利用不等式求出取最大值，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 要使取最大值，则取最大值，由于，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 故答案为： 24.如图，直角三角形中，，，，D是AB的中点，M是CD上的动点. (1)计算的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加法运算以及数量积的运算即可求解. （2）根据向量加法，将，然后根据向量共线，转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）由直角三角形中，，，,可知, 则 ； （2）D是AB的中点,所以,故,且 由于三点共线,设,则 故, 当时,取最小值. 【考点五】已知数量积求模 25.（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则______． 【答案】 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 26．若向量，的夹角为，，，则_______． 【答案】 【分析】，利用向量数量积计算结果. 【详解】向量，的夹角为，，，有， 则. 故答案为：. 27．（24-25高一下·上海·期末）设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由条件确定三个向量的夹角的关系，再结合模长，代入向量模的计算公式，结合夹角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，不管是还是的范围都是， 因为，说明一个加数是0，一个加数是1， 不妨设，，则，， 所以， 因为，所以. 故答案为： 28．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 29．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 30（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 【考点六】向量基本定理 31.若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据向量共线定理逐一判断. 【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选； 对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选； 对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C； 对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选； 故选：C 32.（23-24高一下·上海黄浦·期末）在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________． 【答案】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案. 【详解】， 则， 则， 故答案为：. 33.已知是的边上的中线，若，则_______.（用表示） 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义，结合向量对应线段的位置关系用表示出. 【详解】由题意知：.    故答案为： 34.若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为______. 【答案】 【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合三角形的重心定理即可得到结果. 【详解】如图所示，分别为的中点，则，且为的重心， 所以. 故答案为：.    35．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则______． 【答案】 【分析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 【详解】因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 36. （23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案； （2）根据（1）中结论结合向量数量积的运算律和定义即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 则. （2）由（1）知 . 【考点七】向量线性运算的坐标表示 37.已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求得的坐标. 【详解】设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 38.（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【分析】设点，利用题设等式进行坐标运算，列出方程组，求解即得. 【详解】设点，则由可得， 故有，解得， 即点的坐标为. 故答案为：. 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 40．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 41.已知坐标平面上三个点、、，则的重心坐标是__________. 【答案】 【分析】根据三角形重心坐标公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 42．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，写出相关向量得到方程组，解出，则得到的表达式，求出其最值即可. 【详解】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，不失一般性可假设正六边形边长为2， 则，，设， 则， 因为，即， 即， 则，解得， 则，因为，则 故答案为：. 【考点八】数量积的坐标表示 43.（23-24高一下·上海·期末）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 【答案】 【分析】利用投影向量定义即可求得向量在向量方向上的投影向量 【详解】，， 则向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 44．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________. 【答案】9 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 45．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 46．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则______． 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 故答案为：. 47. （24-25高一下·上海杨浦·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，由可得，再结合齐次式求解即可； （2）根据平面向量的坐标表示，由三角恒等变换化简可得，进而结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，则，即， 所以. （2）由， 则， 所以， 当时，，则， 则， 要使关于的不等式有解， 则，则，解得. 48．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 【考点九】由向量共线（平行）求参数 49.（24-25高一下·上海普陀·期末）已知a为实数，设，，若，则______． 【答案】 【分析】根据向量平行坐标公式计算求解. 【详解】因为，， 又因为，则， 则． 故答案为：. 50．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数______． 【答案】2 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则___________． 【答案】1 【分析】利用向量平行的坐标表示列方程即可求得. 【详解】由，且可得， 解得. 故答案为：1 52.设，，且，则__________. 【答案】/ 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 53.若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为__________ 【答案】 【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围 【详解】因为向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 由，得，解得， 若与共线，则，得，所以当时，与不共线， 综上，且， 即的取值范围为， 故答案为： 54. （24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； （2）因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 【考点十】向量的应用 55.（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 56.在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是___________. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系后，用向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】 连接，，，交于点，则正六边形被分为个全等的等边三角形，如图所示，以为原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵正六边形的边长为，∴，， ，， ∵是线段上的动点（包括端点）， ∴设，（） ∴， ∴，， ∴， ∵，∴当且仅当时，的最小值为. 故答案为：. 57．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 【答案】/0.25 【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值. 【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离， 故内切圆半径， 由对称性可知，关于轴对称，设，， 则，， 其中，故 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 58．如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】由题可得，将化为，利用的范围可求解. 【详解】等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点， ，则 ， ，所以 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系将化为，则容易求出. 59. 已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点． (1)若，求△PAB的面积； (2)若，求的最大值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)－. 【分析】（1）由重心的性质有，结合三角形面积公式求△PAB的面积； （2）由题设，可得，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件. （3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向量数量积的坐标运算求，即可得结果，注意最值对应x、y. 【详解】（1）由题设知：P为△ABC的重心，故； （2）由于，即，则， ，当且仅当时取到等号， 故的最大值为； （3）以BC的中点O为原点，，分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系， 设P（x，y），易知A（0，），B（－1，0），C（1，0）， 则 化简得， 故的最小值为－，当且仅当时取到等号. 60．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元 【详解】试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果. 试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得， 即，                              = 当且仅当，即时等号成立， 所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为． 由                           得           ，                      元 所以，建水上通道还需要万元．   解法二：在中，     在中，      在中， =   元 所以，建水上通道还需要万元．      解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则， ,即，设 由，求得， 所以   所以， 元 所以，建水上通道还需要万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练03 平面向量 【考点一】平面向量的基本概念 【考点六】向量基本定理 【考点二】平面向量的线性运算 【考点七】向量线性运算的坐标表示 【考点三】用定义求向量的运算律 【考点八】数量积的坐标表示 【考点四】数量积的运算律 【考点九】由向量共线（平行）求参数 【考点五】已知数量积求模 【考点十】向量的应用 【考点一】平面向量的基本概念 1.长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 3.命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题） 4.与反向的单位向量为__________． 5.已知点满足，若，，则点的坐标为______． 6.下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【考点二】平面向量的线性运算 7.（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 8.已知向量，不共线，实数，满足，则的值为__________． 9.已知四边形是边长为1的正方形，则________ 10.已知，则______． 11．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为______. 12.如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC、BD的交点，E、F分别是腰AD、BC的中点，求向量和（结果用向量、表示）. 【考点三】用定义求向量的运算律 13.已知､为非零向量，则“”是“为锐角”的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 14已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 15.（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则_______. 16.已知菱形ABCD的边长为1，且，则___________. 17.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图①）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是______．    18．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______． 【考点四】数量积的运算律 19.（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 20．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为______． 21.（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时，______． 22．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 23．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为______． 24.如图，直角三角形中，，，，D是AB的中点，M是CD上的动点. (1)计算的值； (2)求的最小值. 【考点五】已知数量积求模 25.（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则______． 26．若向量，的夹角为，，，则_______． 27．（24-25高一下·上海·期末）设表示不超过的最大整数，例如，.、、是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是_____. 28．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是__________. 29．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为______. 30（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【考点六】向量基本定理 31.若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 32.（23-24高一下·上海黄浦·期末）在梯形中，，设，若用的线性组合表示，则___________． 33.已知是的边上的中线，若，则_______.（用表示） 34.若点是的重心（中线的交点），则用向量表示为______. 35．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，的平分线交于点．若，则______． 36. （23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 【考点七】向量线性运算的坐标表示 37.已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 38.（24-25高一下·上海·期末）若，且，则点的坐标为__________. 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是______． 40．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______． 41.已知坐标平面上三个点、、，则的重心坐标是__________. 42．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是______． 【考点八】数量积的坐标表示 43.（23-24高一下·上海·期末）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为___(用坐标表示) 44．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是__________. 45．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为_________． 46．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则______． 47. （24-25高一下·上海杨浦·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 48．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【考点九】由向量共线（平行）求参数 49.（24-25高一下·上海普陀·期末）已知a为实数，设，，若，则______． 50．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数______． 51．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知向量，设，向量，若，则___________． 52.设，，且，则__________. 53.若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为__________ 54. （24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【考点十】向量的应用 55.（24-25高一下·上海松江·期末）已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 56.在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是___________. 57．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是_____________． 58．如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 59. 已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点． (1)若，求△PAB的面积； (2)若，求的最大值； (3)求的最小值． 60．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $