期末复习讲义04 复数6大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义04 复数 【考点一】复数的概念 【考点四】共轭复数 【考点二】复数的加减 【考点五】复数的几何意义 【考点三】复数的乘除和乘方 【考点六】复数的三角形式 一、复数的概念（基础必考，选填为主） 1. 虚数单位i 定义：i为虚数单位，规定 i的周期性（高频）： 2. 复数的定义与分类 代数形式：形如 的数叫复数，a为实部，b为虚部。 分类：实数： 虚数：为虚数 纯虚数：为纯虚数 易错：，是实数，不是纯虚数。 3. 复数相等 条件： 用途：复数问题实数化（化虚为实）核心依据。 二、复数的几何意义（高频中档，选填+大题） 1. 复平面 对应关系： （实轴x轴，虚轴y轴，原点对应0） 象限：按点Z(a,b)所在象限判断（虚轴正半轴为纯虚数）。 2. 复数的模 定义： 几何意义：复平面内点Z到原点的距离； 表示两点间距离。 性质： 三、复数的四则运算（核心必考，大题+选填） 1. 加减法 法则： 几何意义：对应向量的加减（平行四边形/三角形法则）。 2. 乘法 法则： 运算律：交换律、结合律、分配律均成立。 常用： 3. 除法（高频易错） 法则（分母实数化）： 易错：分母乘共轭，分子也要同乘，避免漏乘。 四、共轭复数（高频辅助，选填+运算） 定义： （实部同、虚部反） 性质： ；为纯虚数或0。 五、复数范围内解方程（中档大题，必考） 1. 一元二次方程 求根公式： 判别式：：两不等实根；：两相等实根；：一对共轭虚根 韦达定理：实系数方程，虚根成对（共轭），根与系数关系不变。 2. 简单复数方程（化虚为实） 设，代入方程，利用复数相等列实部、虚部方程组求解。 【考点一】复数的概念 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）若复数，则的虚部是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 6．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝___________. 7．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，则______． 8．（23-24高一下·四川成都·期末）若复数是纯虚数，则_______． 9.实数取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 10．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【考点二】复数的加减 11.（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 13．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 14.已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 15.已知复数，，则______． 16.已知复数，，则___________. 17.设是虚数单位，若复数满足，则___________． 18.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 19.已知复数，，且为纯虚数． (1)求a； (2)若，且为实数，求z． 20.已知，.设，且，求、. 【考点三】复数的乘除和乘方 21.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·辽宁·期末）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24.已知，则（    ） A． B． C． D． 25.（多选）（24-25高一下·广东汕尾·期末）设复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若为虚数，则 26．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知为虚数单位，下列选项中正确的是（   ） A．若复数是纯虚数，则 B．已知复数，，若，则 C． D．若是关于的方程的一个根，则 27.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知i是虚数单位，若复数满足，则_______. 28．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为纯虚数，则实数__________. 29．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是关于x的方程的根，则______． 30.（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【考点四】共轭复数 31.（24-25高一下·四川成都·期末）已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知，则的虚部为（    ）． A． B．0 C．1 D．2 33．（24-25高一下·四川成都·期末）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 35.（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）已知都是复数，则以下命题是真命题的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 36．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知复数，则下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．若，则 D． 37.（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知复数，为z的共轭复数，则__________. 38．（24-25高一下·四川成都·期末）若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 39.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 40．（24-25高一下·安徽亳州·期末）设a是实数，复数（i是虚数单位）的模是2. (1)求a的值； (2)若，且复数满足，求. 【考点五】复数的几何意义 41.（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 42．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 43．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（23-24高一下·四川成都·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45.（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）若复数，则下列说法正确的是（    ） A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 46．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 47.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 48．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第_______象限． 49.（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数. (1)若复数对应的点在直线上，求实数的值； (2)是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 50．（24-25高一下·山西·期末）设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【考点六】复数的三角形式 51.（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 52．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 54.已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 55．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 56.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 57．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 58．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 59.高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 60．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义04 复数 【考点一】复数的概念 【考点四】共轭复数 【考点二】复数的加减 【考点五】复数的几何意义 【考点三】复数的乘除和乘方 【考点六】复数的三角形式 一、复数的概念（基础必考，选填为主） 1. 虚数单位i 定义：i为虚数单位，规定 i的周期性（高频）： 2. 复数的定义与分类 代数形式：形如 的数叫复数，a为实部，b为虚部。 分类：实数： 虚数：为虚数 纯虚数：为纯虚数 易错：，是实数，不是纯虚数。 3. 复数相等 条件： 用途：复数问题实数化（化虚为实）核心依据。 二、复数的几何意义（高频中档，选填+大题） 1. 复平面 对应关系： （实轴x轴，虚轴y轴，原点对应0） 象限：按点Z(a,b)所在象限判断（虚轴正半轴为纯虚数）。 2. 复数的模 定义： 几何意义：复平面内点Z到原点的距离； 表示两点间距离。 性质： 三、复数的四则运算（核心必考，大题+选填） 1. 加减法 法则： 几何意义：对应向量的加减（平行四边形/三角形法则）。 2. 乘法 法则： 运算律：交换律、结合律、分配律均成立。 常用： 3. 除法（高频易错） 法则（分母实数化）： 易错：分母乘共轭，分子也要同乘，避免漏乘。 四、共轭复数（高频辅助，选填+运算） 定义： （实部同、虚部反） 性质： ；为纯虚数或0。 五、复数范围内解方程（中档大题，必考） 1. 一元二次方程 求根公式： 判别式：：两不等实根；：两相等实根；：一对共轭虚根 韦达定理：实系数方程，虚根成对（共轭），根与系数关系不变。 2. 简单复数方程（化虚为实） 设，代入方程，利用复数相等列实部、虚部方程组求解。 【考点一】复数的概念 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）复数，则复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据复数的概念即得． 【详解】复数的虚部即． 故选：A． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 故选：B 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）若复数，则的虚部是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的虚部概念即可求得结果. 【详解】因为复数，则的虚部是， 故选：B 4．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5.（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数z满足，请写出一个满足条件的复数______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据模长公式找出关系，然后写出一组解即可. 【详解】设，，即， 于是，取显然符合题意，即符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 6．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝___________. 【答案】 【分析】由得，然后按复数模计算即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】先化简复数，再根据模长公式计算即可. 【详解】, 可得. 故答案为：. 8．（23-24高一下·四川成都·期末）若复数是纯虚数，则_______． 【答案】6 【分析】根据复数的类型求得值，再由复数模的定义计算． 【详解】由题意，解得，即，所以， 故答案为：6. 9.实数取什么数值时，复数分别是： (1)实数？ (2)纯虚数？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）令虚部等于，即可求出值； （2）令实部为，虚部不为，即可求出值. 【详解】（1）由已知得, 其中复数的实部为，虚部为， 当时，即或时复数为实数. （2）当，即， 即时，复数为纯虚数. 10．（24-25高一下·四川自贡·期末）复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； (3)设复数，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【详解】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. （3）， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 【考点二】复数的加减 11.（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）若，则（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意求得，进而求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 13．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设复数,再计算即可求出复数. 【详解】设，则, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 14.已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 【答案】D 【分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可. 【详解】因为,即， 所以，解得，所以； 故选：D 15.已知复数，，则______． 【答案】 【分析】利用复数的减法可求得复数. 【详解】因为复数，，则. 故答案为：. 16.已知复数，，则___________. 【答案】 【分析】由题知，进而计算复数的模即可. 【详解】解：因为复数， 所以，. 故答案为： 17.设是虚数单位，若复数满足，则___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，进而结合模长公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 18.（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数运算的几何意义可得点的坐标，即可求出，即可求得其模长； （2）由平行四边形性质可得，结合向量坐标运算即可求得D点坐标；利用向量夹角的坐标形式，即可求得的值. 【详解】（1）由题意知， 故， 则，故； （2）因为四点A、B、C、D组成平行四边形，故， 设，则，即， 解得，即； 又，则， 即. 19.已知复数，，且为纯虚数． (1)求a； (2)若，且为实数，求z． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数的减法运算求出，再根据纯虚数的知识求出即可； （2）设出复数的代数形式，根据已知条件写出方程组求解即可. 【详解】（1）复数，， 又为纯虚数 解得： （2）由（1）知 ， 设 即： 为实数 解得： 或. 20.已知，.设，且，求、. 【答案】， 【分析】根据复数的减法运算可求，根据复数相等的条件可求的值，从而可求、. 【详解】由题设可得，而，， 故，解得， 故，. 【考点三】复数的乘除和乘方 21.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算化简等式可得，结合可得结果. 【详解】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 22．（24-25高一下·辽宁·期末）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】计算得到，在复平面内对应的点为，得到所在象限. 【详解】，故z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 23．（24-25高一下·河南安阳·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得复数，再由复数即几何意义可得在复平面对应的点即可求解. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C 24.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将整理得，根据复数的除法运算，可求出z，即得答案. 【详解】根据， 可得， 故选：D. 25.（多选）（24-25高一下·广东汕尾·期末）设复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若为虚数，则 【答案】BC 【分析】利用复数的除法法则求得，再逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 若为虚数，则的虚部不等于，故D错误. 故选：BC. 26．（多选）（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知为虚数单位，下列选项中正确的是（   ） A．若复数是纯虚数，则 B．已知复数，，若，则 C． D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】AD 【分析】根据复数的定义及运算分别判断. 【详解】A选项：若复数是纯虚数，则，解得，A选项正确； B选项：设，，若，则，即， ，，即不一定成立，B选项错误； C选项：由，则，C选项错误； D选项：设方程的两根为，，且， 设， 则，则， 解得，D选项正确； 故选：AD. 27.（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知i是虚数单位，若复数满足，则_______. 【答案】 【分析】先根据复数代数形式的运算求复数，再根据模的概念求. 【详解】∵，∴. 所以. 故答案为： 28．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解. 【详解】， 由为纯虚数，得，所以. 故答案为： 29．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知复数是关于x的方程的根，则______． 【答案】26 【分析】根据实系数方程复根的性质及韦达定理结合复数乘法计算求解. 【详解】由题意可知关于x的方程的另一个根为， 则． 故答案为：. 30.（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，． （2）因为为纯虚数，所以，所以． （3）， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 【考点四】共轭复数 31.（24-25高一下·四川成都·期末）已知复数z满足，则z的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再由共轭复数的概念以及虚部概念求解. 【详解】由，则， 则，其虚部为. 故选：D. 32．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知，则的虚部为（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由复数除法、共轭复数以及虚部的概念即可求解. 【详解】已知，则的虚部为。 故选：A. 33．（24-25高一下·四川成都·期末）复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数除法结合共轭复数定义可得答案. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 故选：A 34．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知复数与互为共轭复数，则的值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．13 【答案】D 【分析】利用共轭复数的意义可求得，进而计算可求得. 【详解】因为复数与互为共轭复数，所以， 所以，，所以. 故选：D. 35.（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）已知都是复数，则以下命题是真命题的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】AC 【分析】由复数的运算可知A正确；通过举例，可说明BD错误；由复数共轭的概念和加法运算可判断C. 【详解】若，则或，故A项正确； 若，则，所以，故B，D项错误； 若，则是实数，故C项正确， 故选：AC. 36．（多选）（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知复数，则下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据复数虚部定义判断A；根据复数的平方运算和共轭复数概念判断B；根据复数模的计算公式判断C；根据虚数单位的性质判断D. 【详解】对于A，的虚部为，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以， ，，所以，故B正确； 对于C，若，由B知，，所以， ，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确， 故选：BD. 37.（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知复数，为z的共轭复数，则__________. 【答案】4 【分析】借助共轭复数定义与复数乘法公式计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 38．（24-25高一下·四川成都·期末）若复数，的共轭复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先求出共轭复数，然后利用复数在各象限的特征列不等式组即可求解. 【详解】由可知：， 由题意，解得，即实数的取值范围是． 故答案为： 39.（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 40．（24-25高一下·安徽亳州·期末）设a是实数，复数（i是虚数单位）的模是2. (1)求a的值； (2)若，且复数满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算直接化简复数，由模长运算可求得a的值； （2）因，由（1）得到复数，设，将复数代入等式化简，根据复数相等得到方程组求得，求解即得. 【详解】（1）因为，的模是2， 所以，解得. （2）因为， 由（1）得，所以. 设，，则. 代入得，， 即， 因此，解得. 故. 【考点五】复数的几何意义 41.（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D 42．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值. 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D 43．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【详解】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B 44．（23-24高一下·四川成都·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用对数的除法运算，结合复数概念即可得出结果. 【详解】由得，，它对应的点是， 故它对应的点在第一象限， 故选：A. 45.（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）若复数，则下列说法正确的是（    ） A．当或时，z为实数 B．若z为纯虚数，则或 C．若复数z对应的点位于第二象限，则 D．若复数z是方程的解，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的类型、几何意义，复数方程的解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A，当时，；当时，， 故或时，均为实数，A正确； 对于B，若为纯虚数，则，解得，故B错误； 对于C，复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确； 对于D，由，则， 则，即， 因为复数z是方程的解， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 46．（多选）（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 47.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数，满足，（i是虚数单位），则的最小值是_____. 【答案】 【分析】首先求出，可得在复平面上对应的点的轨迹，根据复数的几何意义可得的最小值. 【详解】因为，两边取模得：， 已知，则， 因此，在复平面上对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆， 而表示点到点的距离， 问题转化为：圆心在原点、半径为的圆上的点到点的距离的最小值， 即. 故答案为：. 48．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第_______象限． 【答案】三 【分析】由复数的除法可得，再由复数的几何意义即可求解. 【详解】计算，故其共轭复数为， 对应的点为，显然位于第三象限． 故答案为：三. 49.（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知复数. (1)若复数对应的点在直线上，求实数的值； (2)是的共轭复数，且为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数对应点为，即可求解； （2）根据复数的乘法化简可得，即可根据纯虚数的特征求解. 【详解】（1），对应的点为， 由于在直线上，故，解得； （2），， 故且，解得. 50．（24-25高一下·山西·期末）设，复数. (1)若复数是纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可； （2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解. 【详解】（1）因为， 又复数是纯虚数，所以， 解得. （2）复数z在复平面内对应的点为， 又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，即实数m的取值范围是. 【考点六】复数的三角形式 51.（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 52．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 53．（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 54.已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及复数的乘法运算即可化简求值. 【详解】 故选：D 55．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（    ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【详解】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A 56.（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 57．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 58．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 59.高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)， (2)506个 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【详解】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506个． 60．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，为实数，可求出； （2）由先求出，再根据，得到，，进而可得. 【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为， 所以 解得 （2）当时，，． 所以， 所以， 所以，， 因为，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $