期末复习讲义02 三角恒等变换8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末复习讲义02 三角恒等变换 【考点一】两角和与差的余弦 【考点五】二倍角的余弦公式 【考点二】两角和与差的正弦 【考点六】二倍角的正切公式 【考点三】两角和与差的正切 【考点七】辅助角公式 【考点四】二倍角的正弦公式 【考点八】三角恒等变换的化简问题 一、两角和与差的三角函数 核心：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，明确公式适用条件，灵活正用、逆用及变形使用，这是三角恒等变换的基础。 1. 核心公式（微软公式规范呈现） 正弦公式： 余弦公式： （和为减，差为加，重点区分符号） 正切公式： 适用条件：（避免正切无意义） 2. 公式变形（期末常考，简化运算） 正切变形：（用于求值、化简） 余弦公式逆用：（积化和差雏形，期末高频） 正弦公式逆用：（积化和差雏形） 3. 常见题型与技巧 给角求值：将非特殊角转化为特殊角的和或差（如，），代入公式计算。 给值求值：已知一个角的三角函数值，求另一个相关角（和/差）的值，注意角的范围对三角函数符号的影响。 角的拆变技巧：核心是找到角与角之间的联系，如，，。 4. 易错点警示 混淆余弦和差公式的符号：记准“ 减， 加”，避免符号错误导致全题失分。 忽略正切公式的适用条件：若中有一个角的正切无意义，需改用正弦、余弦公式计算。 角的范围考虑不全面：给值求值时，需结合已知条件确定角的范围，进而判断三角函数的符号（易错点，期末常考）。 二、二倍角的三角函数 核心：由两角和公式推导二倍角公式，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式，重点掌握余弦二倍角的三种形式及降幂、升幂变形，这是化简、求值、证明的核心工具。 1. 二倍角公式 正弦二倍角：（可逆用，用于降幂、化简） 余弦二倍角（三种形式，灵活选用）： （基础形式） （升幂形式，用于凑配完全平方） （升幂形式，用于凑配完全平方） 正切二倍角： 适用条件： 且 2. 核心变形（期末高频，重中之重） 降幂公式（高频必考）：将二次三角函数化为一次，简化运算，适用于化简、求值、求最值： 升幂公式（二倍角公式逆变形，用于凑配）： 半角公式（二倍角公式衍生，期末选考，灵活运用）： 符号判断：由所在象限确定（易错点）。 3. 常见题型 降幂化简：利用降幂公式将二次三角函数化为一次，结合诱导公式、两角和差公式进一步化简。 给值求值：已知的值，求的值，注意符号判断。 求最值：通过降幂、凑配，将三角函数式化为的形式，结合三角函数的有界性求最值（期末解答题高频）。 证明三角恒等式：利用二倍角公式、降幂公式，结合两角和差公式，从一边推导至另一边，注意化简技巧。 4. 易错点警示 余弦二倍角公式的三种形式混淆：根据题目条件灵活选用，如需要降幂用或，需要凑配用基础形式。 半角公式的符号判断错误：忘记由的象限确定根号前的符号，导致结果错误。 忽略二倍角的角范围：由的范围推导的范围，进而判断的符号（高频易错）。 降幂公式使用不熟练：忘记降幂公式的推导的由来，导致无法快速化简二次三角函数式。 三、三角恒等变换的应用 核心：综合运用两角和差、二倍角公式，解决三角函数的化简、求值、证明，以及与三角函数图像、性质的综合问题，掌握常见的变换技巧。 1. 核心变换技巧（期末解题关键） 角的变换（核心技巧）：将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，如，，等，这是三角恒等变换的核心思想。 函数名变换：“切割化弦”（将正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦），统一函数名，简化运算，适用于含多种三角函数的式子化简。 常数代换：用特殊三角函数值代替常数，如，，便于凑配公式、化简式子，其中“1”的代换最为灵活常用。 式子变形：凑配完全平方、提取公因式、分子分母同乘（除）一个式子，结合公式逆用，简化运算，如“添补法”（加一项减一项、乘一项除一项）可用于复杂式子的化简。 和积互化：利用两角和差公式推导的积化和差、和差化积公式，解决含正弦、余弦乘积或和差的式子，升幂和降次是和积互化的特殊情形。 积化和差（选考，灵活运用）： 和差化积（选考，灵活运用）： 2. 综合题型分类 三角函数式的化简：遵循“先角后名，先降幂后化简，先整体后局部”的原则，结合变换技巧，将式子化为最简形式（选填题高频）。 三角恒等式的证明：分为“左边推右边”“右边推左边”“两边同时推至同一式子”三种方法，重点运用二倍角、降幂、两角和差公式，注意逻辑严谨。 给值求值/给值求角： 给值求值：已知一个或多个角的三角函数值，求另一个相关角的值，步骤：①角的变换；②确定角的范围；③代入公式计算；④判断符号。 给值求角：在给值求值的基础上，结合三角函数的单调性，确定角的具体值（注意角的范围限定，避免多解）。 与三角函数性质的综合：将三角函数式化简为或的形式，求其定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性（期末解答题压轴高频）。 实际应用：结合三角函数的定义，解决与角度、距离、高度相关的实际问题，核心是将实际问题转化为三角恒等变换问题，运用公式求解。 3. 易错点警示 角的变换不灵活：无法将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，导致解题思路受阻，需熟练掌握常见的角变换形式。 给值求角时，忽略角的范围限定：只计算三角函数值，不结合角的范围确定具体角，导致多解或错解。 化简时过度繁琐：不会灵活运用变换技巧，盲目代入公式，导致式子越化越复杂，需牢记“化简目标”，针对性选用公式。 忽略三角函数的有界性：求最值时，忘记，，导致最值计算错误，尤其在三角形中，需注意角度的限定（如三角形中不可能同时出现两个角的正切值为负）。 【考点一】两角和与差的余弦 1．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】直接运用两角差的余弦公式 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 3.（多选）（25-26高一上·吉林长春·期末）已知分别为第一、第三象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先由，结合同角三角函数关系可得，，，，进而可判断AB，根据两角和与差的余弦公式可判断CD. 【详解】因，得， 又，得，即， 因为第一象限角，故，， 同理可得，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：AD 4．（多选）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式，即可判断选项. 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 5.（25-26高一上·山西忻州·期末）若点在角的终边上，则______. 【答案】 【分析】利用三角函数定义及和角的余弦公式计算即得. 【详解】由点在角的终边上，得， 所以. 故答案为： 6．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知平面直角坐标系中的两点，则__________. 【答案】/0.5 【分析】由平面上的两点距离公式和三角函数公式求解即可. 【详解】由两点间距离公式可得：， 又因为，则， 两边平方可得：， 解得：. 故答案为：. 7.（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)在第（1）问的前提下，若，且，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据函数的最小正周期求出的值，再结合正弦型函数的性质求单调增区间； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）若的最小正周期为，则，解得， 所以． 由题意，令， 解得， 即的单调递增区间为． （2），， 又，， ， 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义先求出角的值，然后利用诱导公式化简求解； （2）先利用诱导公式，两角和的余弦公式，以及同角三角函数关系式商数关系化简，将弦化成切，代值计算即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以， ， 所以. （2） ． 【考点二】两角和与差的正弦 9.（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】. 故选：A 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域. 【详解】函数在上单调递增，而， ，即 函数，当时，， 当时，， 所以在的值域为. 故选：A 11.（25-26高一上·安徽·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 12．（25-26高一上·云南文山·期末）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，结合两角差的正弦和余弦公式进行求解即可. 【详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如下图所示：点的纵坐标为， 设轴，垂足为，单位圆交横轴正半轴于点， 设在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为， 则， 在直角三角形中，， 因为，所以， 又因为， 所以点在第一象限内，设，则点坐标为， 设点， 由，或舍去， 设，则，所以 所以时针针尖所在点的坐标为. 故选：C 13.（25-26高一上·山西太原·期末）求值：______． 【答案】/0.5 【分析】逆用两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】． 故答案为： 14．（25-26高一上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的最小值为____________，此时____________. 【答案】 / 【分析】将切化弦，结合可得，结合正弦函数的有界性求出的最小值以及此时的值. 【详解】因为，则， 所以 ， 因为，所以，则， 所以当，即时取得最小值，即的最小值为， 此时，则. 故答案为：； 15.（25-26高一上·安徽合肥·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)已知．求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可. （2）利用两角差的正弦公式以及同角三角函数基本关系计算即可. 【详解】（1）原式     （2）因为，所以，又因为， 所以. ．    16．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，且． (1)求的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数平方关系，和诱导公式即可求解； （2）由同角三角函数平方关系，结合即可求解. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以 ； （2）因为，，所以， 又，所以， 所以， 由（1）知，， 所以 【考点三】两角和与差的正切 17.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 可得 ． 18．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cm A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作图，根据对称以及矩形的性质，结合正弦函数的和差公式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由矩形的周长为，且，则，， 设，则，易知，， 则， 在中，， 所以面积， 当且仅当，等号成立， 故的面积最大值为，此时. 故选：C. 19.（多选）（25-26高一上·广东湛江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】 ，A正确； ， 所以，B正确： ，C错误； ，D错误． 故选：AB． 20．（多选）（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 21.（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，， 所以. 22．（25-26高一上·山东枣庄·期末）在中，若，是的方程的两个实根，则______． 【答案】 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，可得的值，即可求得角的值. 【详解】若，是的方程的两个实根， 则，解得或， 且，， 可得， 因为，所以. 故答案为：. 23.（25-26高一上·河北·期末）已知角终边上一点P的坐标为． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可； （2）根据正切函数的定义及两角和的正切公式求解. 【详解】（1）根据题意，, 所以. （2）由三角函数定义，， 所以. 24．（25-26高一上·山东青岛·期末）（1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式结合商数关系推导即可； （2）先根据两角和的正切公式得到，再代入求解即可. 【详解】（1）已知， ， 所以， 分子分母同时除以得： ． （2）因为， 所以， 则． 【考点四】二倍角的正弦公式 25.（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 26．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义与二倍角公式求解即可. 【详解】角的终边经过点,, 所以，， 所以. 故选：C 27.（多选）（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．是其图象的对称中心 D．是其图象的对称轴 【答案】ABC 【分析】由二倍角的正弦公式化简，计算可判断A，D；由函数的奇偶性可判断B；求可判断C. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，，所以是其图象的对称中心，故C正确； 对于D，，所以不是图象的对称轴，故D错误. 故选：ABC. 28．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正切的和角公式逆用即可判断A；由余弦差角公式可判断B；利用正弦二倍角公式可判断C；利用正弦和角公式，展开求值即可． 【详解】A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C正确； D． ，故D错误． 故选：AC． 29.（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，则______________. 【答案】 【分析】先由角的范围判断所求值的正负，再对所求式子平方，从而可得所求值. 【详解】因为，所以，所以 ． 故答案为：. 30．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】对原等式两边同平方并结合二倍角的正弦公式得，再缩小的范围，最后利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】，两边同平方得， 即，即，因为， 则，又因为，则， 则，则， 则. 故答案为：. 31.（25-26高一上·安徽淮北·期末）计算： (1). (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用诱导公式可得答案； （2）利用倍角公式以及同角的三角函数关系把弦转化成切可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得， ， ，， ， ，，， 代入得， ； （2） 分子分母同除以，再把代入得 . 32．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两边同时平方，结合同角关系即可解得的值； （2）联立，结合，可解得，使用和差公式可得，使用二倍角公式分别求即可求解； （3）原式化简变形得，由（2）可得的值，进而可求得的值. 【详解】（1），两边同时平方得， 解得. （2）, 则有， 联立，且，解得， 所以， 则. （3）由题意，， 分式上下同时除以得， 由（2）得， 将，代入得， 即, 【考点五】二倍角的余弦公式 33.（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义得出的值，再利用二倍角的余弦公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故. 故选：B. 34．（25-26高一上·安徽六安·期末）下列各式中结果为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C，由差角正切公式化简求值判断B，由切化弦及和差角、二倍角公式化简求值判断D. 【详解】A：，不符， B：，不符合， C：，不符， ，符合. 故选：D 35.（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 36．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A：运用正弦诱导公式进行运算判断即可；B：逆用二倍角余弦公式进行运算判断即可；C：逆用两角差的余弦公式进行运算判断即可；D：逆用两角差的正切公式进行运算判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项计算正确； B：，所以本选项计算不正确； C：，所以本选项计算不正确； D：，所以本选项计算正确. 故选：AD 37.（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，且，则_______． 【答案】 【分析】先应用二倍角余弦公式化简，再因式分解结合余弦函数值域得出，再应用同角三角函数关系计算求解. 【详解】由， 得，即， 得，解得或（舍去）， 因为，所以. 38．（25-26高一上·山西吕梁·期末）函数的最小正周期为________. 【答案】 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的周期公式求解. 【详解】依题意，， 所以函数的最小正周期为. 故答案为： 39.（25-26高一上·安徽淮北·期末）（1）已知，求的值. （2）若在时取得最大值，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由，结合诱导公式，即可求解； （2）化简函数，根据题意，求得，利用诱导公式，求得的值，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由三角函数的诱导公式，可得. （2）由函数 ，其中， 当取最大值时，可得，所以， 因为函数在处取得最大值，所以， 则， ， 所以. 40．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知. (1)分别求和的值； (2)分别求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系和角的范围可求解； （2）根据和角公式和倍角公式可求解. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以： 所以， （2） ； 由可得或（舍），故. 【考点六】二倍角的正切公式 41.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 42．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的商关系和二倍角公式进行化简可求得，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】由题意得，，化简得， 整理得，,， 因为为第二象限角，所以. 故选：A 43.（多选）（25-26高一上·河南洛阳·期末）下列各式中值为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式，二倍角公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 44．（多选）（25-26高一上·陕西榆林·期末）下列选项中与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式化简可判断A；利用诱导公式以及倍角公式可判断B；通分，再利用正切的倍角公式可判断C；利用正切的和角公式可判断D. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：BC． 45.（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角的终边过点，则___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正切函数定义及二倍角的正切求解. 【详解】由角的终边过点，得，所以. 故答案为： 46．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知是第二象限角，，则______． 【答案】/ 【分析】利用同角基本关系式，及正切二倍角公式求得结果. 【详解】由，是第二象限角，可知， 所以， 所以. 故答案为：. 47.（25-26高一上·河北邢台·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得结果. （2）易知，再根据两角差的正切公式计算即可； （3）利用诱导公式将表达式化简，再由同角关系利用齐次式计算得出结果. 【详解】（1）由可得 （2）由可得； （3）易知 48．（25-26高一上·广东·期末）计算： (1)； (2)若，，求，． 【答案】(1)0 (2)， 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为，且， 所以， 所以， 则． 【考点七】辅助角公式 49.（25-26高一上·广东河源·期末）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变形，再由最小正周期公式求解即可. 【详解】由， 所以函数的最小正周期是， 故选：A． 50．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，辅助角公式和正弦二倍角公式进行化简. 【详解】 ． 故选：B 51.（25-26高一上·湖南常德·期末）设当时，函数取得最大值，则_____. 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式，结合辅助角的函数值即求解. 【详解】由， 其中， 当时，函数取得最大值， 则，即， 则， 故答案为： 52．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则=______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式可得，进一步判断得到，最后计算即可. 【详解】由题可知：， 又，，所以为函数的最大值， 所以，则，所以 故答案为： 53.（24-25高一上·河北沧州·期末）已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 【答案】或 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 54.（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)化简函数的解析式并求的值； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵ ∴， . （2）由，得， 即在上单调递增， 所以函数单调递增区间是； 55.（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，且． (1)当时，求的最小正周期； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用二倍角正弦余弦公式及辅助角公式化简，再应用周期公式计算； （2）根据正弦函数的单调增区间计算得，再应用集合间关系列式计算求参数. 【详解】（1）由题可得：． 所以当时，，故其最小正周期为． （2）由题可得，其单调递增区间需满足． 解得， 取得到一个包含端点0的单调递增区间． 根据题意，区间需包含于某个单调递增区间内，即需要满足， 于是可得，解得，即的范围为． 【考点八】三角恒等变换的化简问题 56.（24-25高一下·湖南·期末）若A是的内角，且，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值. 【详解】由可得， 即， 即,, ①，所以； 所以， 所以. ②，所以； 所以， 所以. 故选：A 57．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 58.（25-26高一上·河南郑州·期末）若，，，那么、、的大小关系为______（按从小到大排序） 【答案】 【分析】利用两角差的正弦求得，利用同角三角函数关系式和二倍角公式化简，利用两角差的正切化简，比较大小得到结果； 【详解】因为， ， ， 因为时，，所以，所以，故 故答案为：. 59．（25-26高一上·吉林长春·期末）若， 为第三象限角，则______ 【答案】 【分析】首先将正切变为正弦和余弦，再结合二倍角公式，化简求值. 【详解】因为，且为第三象限角，所以， . 故答案为： 60．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性求解. （2）（i）分析函数在上的性质，结合函数图象与直线交点个数求出范围；（ii）求出的值及的范围即可. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递减区间为. （2）（i）由，得，则当时，函数单调递增， 函数值从增大到，当时，函数单调递减，函数值从减小到， 方程在上有两个不同的实根， 即直线与函数在上的图象有两个交点，则， 所以的取值范围是. （ii）由（i）知，，因此， 所以的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义02 三角恒等变换 【考点一】两角和与差的余弦 【考点五】二倍角的余弦公式 【考点二】两角和与差的正弦 【考点六】二倍角的正切公式 【考点三】两角和与差的正切 【考点七】辅助角公式 【考点四】二倍角的正弦公式 【考点八】三角恒等变换的化简问题 一、两角和与差的三角函数 核心：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，明确公式适用条件，灵活正用、逆用及变形使用，这是三角恒等变换的基础。 1. 核心公式（微软公式规范呈现） 正弦公式： 余弦公式： （和为减，差为加，重点区分符号） 正切公式： 适用条件：（避免正切无意义） 2. 公式变形（期末常考，简化运算） 正切变形：（用于求值、化简） 余弦公式逆用：（积化和差雏形，期末高频） 正弦公式逆用：（积化和差雏形） 3. 常见题型与技巧 给角求值：将非特殊角转化为特殊角的和或差（如，），代入公式计算。 给值求值：已知一个角的三角函数值，求另一个相关角（和/差）的值，注意角的范围对三角函数符号的影响。 角的拆变技巧：核心是找到角与角之间的联系，如，，。 4. 易错点警示 混淆余弦和差公式的符号：记准“ 减， 加”，避免符号错误导致全题失分。 忽略正切公式的适用条件：若中有一个角的正切无意义，需改用正弦、余弦公式计算。 角的范围考虑不全面：给值求值时，需结合已知条件确定角的范围，进而判断三角函数的符号（易错点，期末常考）。 二、二倍角的三角函数 核心：由两角和公式推导二倍角公式，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式，重点掌握余弦二倍角的三种形式及降幂、升幂变形，这是化简、求值、证明的核心工具。 1. 二倍角公式 正弦二倍角：（可逆用，用于降幂、化简） 余弦二倍角（三种形式，灵活选用）： （基础形式） （升幂形式，用于凑配完全平方） （升幂形式，用于凑配完全平方） 正切二倍角： 适用条件： 且 2. 核心变形（期末高频，重中之重） 降幂公式（高频必考）：将二次三角函数化为一次，简化运算，适用于化简、求值、求最值： 升幂公式（二倍角公式逆变形，用于凑配）： 半角公式（二倍角公式衍生，期末选考，灵活运用）： 符号判断：由所在象限确定（易错点）。 3. 常见题型 降幂化简：利用降幂公式将二次三角函数化为一次，结合诱导公式、两角和差公式进一步化简。 给值求值：已知的值，求的值，注意符号判断。 求最值：通过降幂、凑配，将三角函数式化为的形式，结合三角函数的有界性求最值（期末解答题高频）。 证明三角恒等式：利用二倍角公式、降幂公式，结合两角和差公式，从一边推导至另一边，注意化简技巧。 4. 易错点警示 余弦二倍角公式的三种形式混淆：根据题目条件灵活选用，如需要降幂用或，需要凑配用基础形式。 半角公式的符号判断错误：忘记由的象限确定根号前的符号，导致结果错误。 忽略二倍角的角范围：由的范围推导的范围，进而判断的符号（高频易错）。 降幂公式使用不熟练：忘记降幂公式的推导的由来，导致无法快速化简二次三角函数式。 三、三角恒等变换的应用 核心：综合运用两角和差、二倍角公式，解决三角函数的化简、求值、证明，以及与三角函数图像、性质的综合问题，掌握常见的变换技巧。 1. 核心变换技巧（期末解题关键） 角的变换（核心技巧）：将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，如，，等，这是三角恒等变换的核心思想。 函数名变换：“切割化弦”（将正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦），统一函数名，简化运算，适用于含多种三角函数的式子化简。 常数代换：用特殊三角函数值代替常数，如，，便于凑配公式、化简式子，其中“1”的代换最为灵活常用。 式子变形：凑配完全平方、提取公因式、分子分母同乘（除）一个式子，结合公式逆用，简化运算，如“添补法”（加一项减一项、乘一项除一项）可用于复杂式子的化简。 和积互化：利用两角和差公式推导的积化和差、和差化积公式，解决含正弦、余弦乘积或和差的式子，升幂和降次是和积互化的特殊情形。 积化和差（选考，灵活运用）： 和差化积（选考，灵活运用）： 2. 综合题型分类 三角函数式的化简：遵循“先角后名，先降幂后化简，先整体后局部”的原则，结合变换技巧，将式子化为最简形式（选填题高频）。 三角恒等式的证明：分为“左边推右边”“右边推左边”“两边同时推至同一式子”三种方法，重点运用二倍角、降幂、两角和差公式，注意逻辑严谨。 给值求值/给值求角： 给值求值：已知一个或多个角的三角函数值，求另一个相关角的值，步骤：①角的变换；②确定角的范围；③代入公式计算；④判断符号。 给值求角：在给值求值的基础上，结合三角函数的单调性，确定角的具体值（注意角的范围限定，避免多解）。 与三角函数性质的综合：将三角函数式化简为或的形式，求其定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性（期末解答题压轴高频）。 实际应用：结合三角函数的定义，解决与角度、距离、高度相关的实际问题，核心是将实际问题转化为三角恒等变换问题，运用公式求解。 3. 易错点警示 角的变换不灵活：无法将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，导致解题思路受阻，需熟练掌握常见的角变换形式。 给值求角时，忽略角的范围限定：只计算三角函数值，不结合角的范围确定具体角，导致多解或错解。 化简时过度繁琐：不会灵活运用变换技巧，盲目代入公式，导致式子越化越复杂，需牢记“化简目标”，针对性选用公式。 忽略三角函数的有界性：求最值时，忘记，，导致最值计算错误，尤其在三角形中，需注意角度的限定（如三角形中不可能同时出现两个角的正切值为负）。 【考点一】两角和与差的余弦 1．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D．1 3.（多选）（25-26高一上·吉林长春·期末）已知分别为第一、第三象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·山西忻州·期末）若点在角的终边上，则______. 6．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知平面直角坐标系中的两点，则__________. 7.（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若的最小正周期为，求的单调递增区间； (2)在第（1）问的前提下，若，且，求的值； 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． (1)求的值； (2)求的值． 【考点二】两角和与差的正弦 9.（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 10．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·安徽·期末）（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·云南文山·期末）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·山西太原·期末）求值：______． 14．（25-26高一上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的最小值为____________，此时____________. 15.（25-26高一上·安徽合肥·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)已知．求的值． 16．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知，且． (1)求的值； (2)已知，且，求的值． 【考点三】两角和与差的正切 17.（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当的面积最大时，的长度为（   ）cm A． B． C． D． 19.（多选）（25-26高一上·广东湛江·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（多选）（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 21.（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，则______. 22．（25-26高一上·山东枣庄·期末）在中，若，是的方程的两个实根，则______． 23.（25-26高一上·河北·期末）已知角终边上一点P的坐标为． (1)求； (2)求． 24．（25-26高一上·山东青岛·期末）（1）在, 与均有意义时，利用两角和的正弦、余弦公式，推导出用角的正切表示的公式； （2）求的值． 【考点四】二倍角的正弦公式 25.（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 26．（25-26高一上·江苏南通·期末）设角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 27.（多选）（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．是其图象的对称中心 D．是其图象的对称轴 28．（多选）（25-26高一上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 29.（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，则______________. 30．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知，，则的值为______． 31.（25-26高一上·安徽淮北·期末）计算： (1). (2)已知，求的值. 32．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【考点五】二倍角的余弦公式 33.（25-26高一上·福建福州·期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·安徽六安·期末）下列各式中结果为1的是（   ） A． B． C． D． 35.（多选）（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 36．（多选）（25-26高一上·福建厦门·期末）下列等式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 37.（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，且，则_______． 38．（25-26高一上·山西吕梁·期末）函数的最小正周期为________. 39.（25-26高一上·安徽淮北·期末）（1）已知，求的值. （2）若在时取得最大值，求的值. 40．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知. (1)分别求和的值； (2)分别求和的值. 【考点六】二倍角的正切公式 41.（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 43.（多选）（25-26高一上·河南洛阳·期末）下列各式中值为1的有（   ） A． B． C． D． 44．（多选）（25-26高一上·陕西榆林·期末）下列选项中与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 45.（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角的终边过点，则___________． 46．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知是第二象限角，，则______．【答案】/ 47.（25-26高一上·河北邢台·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 48．（25-26高一上·广东·期末）计算： (1)； (2)若，，求，． 【考点七】辅助角公式 49.（25-26高一上·广东河源·期末）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（   ） A． B．1 C． D． 51.（25-26高一上·湖南常德·期末）设当时，函数取得最大值，则_____. 52．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，，，则=______． 53.（24-25高一上·河北沧州·期末）已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则_______． 54.（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)化简函数的解析式并求的值； (2)求函数的单调递增区间； 55.（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，且． (1)当时，求的最小正周期； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围． 【考点八】三角恒等变换的化简问题 56.（24-25高一下·湖南·期末）若A是的内角，且，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 58.（25-26高一上·河南郑州·期末）若，，，那么、、的大小关系为______（按从小到大排序） 59．（25-26高一上·吉林长春·期末）若， 为第三象限角，则______ 60．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，且， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $