2026年中考数学考前20天冲刺讲义（四）

该初中数学中考复习讲义聚焦图形投影与视图、锐角三角函数、阅读与证明、图形相似等核心考点，按考情透视、考点抢分、真题精研、终极预测分层设计，通过梳理高频考点、提炼解题方法、精研中考真题帮助学生系统突破难点，体现复习教学的针对性。 亮点在于“考点-方法-真题”一体化策略，如图形相似中归纳A字型、8字型等模型培养几何直观，锐角三角函数结合仰角俯角实际应用发展数学思维。押题模拟卷贴合中考题型，配合解题妙法指导，助力学生高效提升应试能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现短时间内复习效果最大化。

目 录 倒计时5天 ➤图形投影与视图……………………………………………………………………………3 核心涵盖三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影应用、视图求表面积体积五大高频考点，分值稳定占3—6分，多以选择填空形式命题，是考查空间想象能力、必须稳拿分的基础重点内容。 倒计时4天 ➤锐角三角函数………………………………………………………………………………15 涵盖锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形、仰角俯角坡度坡角实际应用等核心考点，分值占8–12分，选择填空与解答大题均有考查，是几何计算和实际应用题的必考主干内容。 倒计时3天 ➤阅读与证明…………………………………………………………………………………47 阅读与证明以新定义理解、几何逻辑推理、类比探究、迁移拓展证明为核心考点，分值约10–14分，常作为中考压轴类解答题出现，是区分数学思维层次、拉开中考分数差距的关键拔高题型。 倒计时2天 ➤图形相似……………………………………………………………………………………94 涵盖相似三角形判定与性质、相似多边形性质、位似图形、相似综合计算与几何压轴探究，分值约8–15分，贯穿选择填空、解答证明与压轴大题，是几何计算、线段求值及综合压轴解题的重要工具与拉分重点。 倒计时1天 ➤押题模拟卷…………………………………………………………………………………70 倒计时5天 吃透图形投影与视图的核心考点，掌握三视图与投影的解题规律，放平心态细心观察、冷静辨析，这类基础题型定能轻松稳拿满分、稳稳守住中考基础分值。 图形投影与视图 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形投影与视图属中考数学基础必考题，分值稳定在3-6分，占比3%-5%，以选择题、填空题为主，偶尔涉及简单解答题。核心考查三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影区分、展开图及表面积/体积计算。命题注重空间想象与几何直观，难度偏低，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，多结合生活实物或简单组合体命题，是必须稳拿分的基础模块。 ►中考前沿： 2026年仍以基础稳分为主，大概率考1道选择或填空（3-5分）。重点聚焦：组合体三视图判断、小正方体个数最值、简单几何体表面积/体积计算、平行投影实际应用。可能融入生活场景（如建筑、包装），或与展开图、相似知识简单综合，但整体难度不变，核心是考查空间观念与规范识图能力，细心审题即可稳拿满分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   平行投影、中心投影、正投影（简单） 平行投影 中心投影 正投影 光源类型 平行光线（太阳光） 点光源（路灯、台灯、手电筒） 平行光线 光线特点 互相平行 交于同一点 平行且垂直于投影面 影子方向 同一时刻影子方向一致 影子方向杂乱，不一定相同 投影方向固定垂直投影面 物高与影长 同一时刻，物高和影长成正比例 无固定比例，近大远小 平面图形投影形状大小不变 典型实例 阳光下树影、旗杆影 路灯下人影、灯光下影子 物体竖直投影、三视图 相同点 都是光线照射物体在平面上形成影子；都可利用影子进行长度、高度相关计算。 终极考点2   简单几何体的三视图（简单） 1、 画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 2、常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 终极考点3   简单组合体的三视图（重点） 1、观察角度判定 从正面、左面、上面三个方向观察简单正方体堆叠组合体，准确辨别主视图、左视图、俯视图。 2、三视图绘制规则 严格遵循长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，被遮挡看不见的棱画虚线。 3、常考题型 （1）给出立体图形，判断三视图；（2）给出三视图，还原立体图形 （3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数；（4）判断几何体某视图的形状 终极考点4   由三视图判断几何体（重点） 第一步：看俯视图，定底面布局 俯视图决定底层小正方体的位置和行列分布，先画好地面格子框架。 第二步：看主视图，定每列最大层数 主视图从左到右有几列，对应俯视图每一列最高能堆几层。 第三步：看左视图，定每行最大层数 左视图从左到右代表前后行，限定俯视图每一行最高层数。 第四步：行列结合，逐格定层数 把主视图、左视图的层高限制叠加，每个格子确定准确层数，就能完整还原几何体。 二、快速秒杀判断技巧 1、三视图全是正方形→ 正方体； 2、三视图全是圆形→ 球； 3、两长一圆 → 竖放圆柱； 4、两三角一圆（带圆心）→ 圆锥； 5、两长一三角 → 直三棱柱； 6、两三角一方框 → 正四棱锥。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 平行投影 （2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一颗古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例，∴，∴，∴， 又， ∵，∴，∴，∴，∴，解得（米）． 题型二 中心投影 （2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】解：由题意得，，∴，∴，∴． 题型三 投影的有关计算 （2026·安徽合肥·一模）九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 【答案】 【详解】解：延长，过点G作交延长线于点M． ∵，，，∴是等腰直角三角形，∴． 根据太阳光线是平行的，∴，∴， ，∴，∴， 设，，∴， 根据题意，得四边形是矩形，∴，， ∴， 在中，，，∴，解得， 答：松树的高度约为． 题型四 简单几何体的三视图 （2026·安徽芜湖·二模）将如图所示的几何体水平放置，则该几何体的三视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得，主视图为梯形，左视图为矩形，俯视图为矩形，且被两条实线分割为三个小矩形， 观察选项，只有A选项符合． 题型五 简单组合体的三视图 （2026·浙江衢州·一模）如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的主视图为：． 解题妙法 1、定观察方向 主视图：从正面正对着看；左视图：从左面正对着看；俯视图：从正上方往下看。 2、分层分列数方块 横着分层、竖着分列，只看每一列最高有几层，只画轮廓不画内部多余线条。 3、遮挡原则 能看到的棱画实线，被挡住看不到的棱不画或画虚线。 4、排除法秒杀 先看列数，再看每列层数，直接排除行列、层数不对的选项。 题型六 由三视图还原几何体 （2026·浙江衢州·一模）如图是一个长方体的立体图和左视图，则左视图中的a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由立体图可知，该长方体的长为5，宽为4，高为6， ∵左视图反映物体的宽和高，∴左视图矩形的宽等于长方体的宽，∴． 解题妙法 1、看俯视图定地基 俯视图画出底面所有小正方体的排布位置，先把底层框架定好。 2、看主视图定列高 主视图每一列的层数，对应俯视图每一列的最大高度。 3、看左视图定行高 左视图每一行的层数，对应俯视图每一行的最大高度；三者互相约束，逐格确定每个位置有几层方块。 题型七 由三视图判断几何体的个数 （2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 解题妙法 求实际总个数解法 1、先用俯视图标出每个位置格子； 2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数； 3、把所有格子层数相加，就是总个数。 题型八 由三视图求侧面积或表面积 （2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 【答案】C 【详解】解：过点作于点， 由题意得，， ∴，，∴， ∴， ∴买油毡纸要花费的费用（元）． 题型九 已知三视图求体积 （2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得，，∴，∴， ∴这个几何体的体积为． 题型十 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 （2026·黑龙江·一模）如图①是用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，在此基础上，再搭上若干个小正方体，使其主视图、左视图如图②所示，则至少再放小正方体的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图为： 则至少再放小正方体的个数为2个． 解题妙法 求实际总个数解法 1、先用俯视图标出每个位置格子； 2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数； 3、把所有格子层数相加，就是总个数。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】A 【详解】解：由主视图可知，几何体共2层，左右分3列，左列、右列最大高度为1，仅中间列可存在第二层； 由左视图可知，几何体共分3行（前后方向），前行、后行最大高度为1，仅中间行可存在第二层， 要使小正方体的个数最多，第一层每个位置都可以放置小正方体，则3行、3列共有个；第二层仅能放在中间列+中间行这1个位置，最多放1个， 因此，小正方体总个数最多为 个． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该几何体主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，故该几何体是三棱柱． 3．（2026·安徽六安·二模）如图，是一个长方体沿部分棱的中点切去两个三棱锥后得到的新几何体，其主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：其主视图是． 4．（2026·湖南长沙·二模）如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； B、球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意； C、圆柱的主视图和左视图均是长方形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； D、四棱锥的主视图和左视图均是三角形，俯视图是长方形，故此选项不符合题意； 综上，故选B． 5．（2026·山西·三模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其示意图如图所示，则它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：它的俯视图为： 6．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：它的俯视图是． 7．（2026·云南临沧·二模）下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、长方体的正视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形，但三个矩形的形状不一样，故本选项不符合题意； B、球体的主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图均为圆，故本选项符合题意； C、圆柱的正视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故本选项不符合题意； D、圆锥的正视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为含圆心的圆，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（2026·山东临沂·二模）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的左视图为． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意其俯视图为： 10．（2026·河南·二模）如图，斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快，鲜花怒放，枝繁叶茂，展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致，胎体厚重但器型端庄规整，是清康熙时期的罕见之作．以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是（ ） A．俯视图是一个正方形 B．主视图和左视图相同 C．截面可以是三角形 D．侧面展开图是矩形 【答案】B 【详解】解：A、俯视图是两个同心圆，故A错误； B、主视图和左视图都是等腰梯形，故B正确； C、圆台的截面不能是三角形，故C错误； D、侧面展开图是扇环，故D错误． 倒计时4天 吃透锐角三角函数定义、特殊角值与解直角三角形及实际应用核心考点，稳住心态、理清边角关系、规范步骤演算，放平节奏认真审题，就能攻克三角函数重难点，稳稳拿下中考高分。 锐角三角函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 锐角三角函数为中考几何核心必考模块，分值8-10分，选择、填空、解答题均有涉及。过往命题基础与应用并重：选填题聚焦定义辨析、特殊角（30°/45°/60°）函数值计算、网格/坐标系中求三角函数值；解答题以解直角三角形实际应用为主，高频考查仰角、俯角、坡度、方位角，常考“双直角三角形”“母子三角形”模型。命题侧重建模能力、构造直角三角形转化思想，常与勾股定理、相似、圆综合，弱化繁杂计算，强调边角关系灵活运用。 ►中考前沿： 2026年中考锐角三角函数命题将延续“基础稳固、应用主导、综合适度”趋势。选填题仍考查特殊角计算、定义应用、网格求值，注重基础熟练度。解答题以真实情境应用题为核心，结合本土文化、工程测量等背景，强化数学建模与识图能力。综合题将深化与圆、相似、四边形融合，出现“一题多测”探究题型，考查创新思维。命题更重素养，弱化套路，强调辅助线构造直角三角形、方程思想，难度梯度合理，中档题为主，压轴侧重综合应用 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   锐角三角函数（重点） 在Rt△ABC中，∠C=90°． 1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边= 2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． 3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． 4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 终极考点2   特殊角的三角函数值（重点） 30°、45°、60°角的各种三角函数值 终极考点3   解直角三角形（重点） 一、基础概念考点 1、理解解直角三角形定义：已知直角三角形中除直角外两个元素（至少一条边），求出其余所有未知边和未知角。 2、掌握Rt△五大元素关系：两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数边角关系。 锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； 三边之间的关系： 边、角之间的关系：sinA= =，cosA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． 三、四大基本类型考点 （在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a、b、c，∠A、∠B为锐角） 1、已知两条直角边a、b 解题方法：①利用勾股定理c=求斜边c；②通过tanA=a/b求锐角∠A；③利用∠B=90°-∠A求出∠B。 2、已知斜边c和一条直角边a 解题方法：①由勾股定理b=求另一直角边b；②通过sinA=a/c求出锐角∠A；③根据∠B=90°-∠A算出∠B。 3、已知斜边c和一个锐角∠A 解题方法：①利用∠B=90°-∠A求另一个锐角；②通过a=c·sinA求∠A的对边a；③通过b=c·cosA求∠A的邻边b。 4、已知一条直角边a和一个锐角∠A 解题方法：①由∠B=90°-∠A求出另一个锐角；②通过c=a/sinA求斜边c；③通过b=a/tanA求另一条直角边b。 四、构造直角三角形考点（重中之重） 1、非直角三角形，通过作高、作垂线构造Rt△。 2、等腰三角形、四边形、梯形、不规则图形，作高分割成直角三角形求解。 3、网格图形中，利用格点边长直接构造直角三角形求三角函数值。 终极考点4   解直角三角形实际应用题（重点） 一、核心考查本质 把生活测量、工程建筑、航海爬坡等实际问题，抽象转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数、勾股定理、方程思想求解边长、高度、距离、角度，是中考解答题高频必考题型。 二、四大必考专业概念 1、仰角：视线在水平线上方，向上看形成的夹角。 2、俯角：视线在水平线下方，向下看形成的夹角。 3、坡度与坡角 坡度（坡比）i=铅直高度:水平宽度 =tan坡角； 坡角：坡面与水平面的夹角。 坡度只算比值，不是角度。 4、方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体偏转的角度，如北偏东、南偏西。 三、三大经典几何模型（中考必考） 1、单直角三角形模型 直接一个直角三角形，已知边角，求高度、距离，题型最简单。 2、双直角三角形共高模型 两个直角三角形共用一条高，左右并排，常见测塔高、楼高、山高，设高为未知数，列方程求解。 3、母子直角三角形模型 大直角三角形内含小直角三角形，共公共直角边，多用于山坡、堤坝、跨河测量。 四、通用标准解题步骤 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标出已知角度、已知边长。 2、构造直角三角形：无直角就作垂线、作高，分割成直角三角形或双直角三角形。 3、设未知数：把要求的高、距离设为 x。 4、列关系式：用正弦、余弦、正切或坡度定义列出方程。 5、计算求解：代入特殊角三角函数值，规范计算。 6、作答还原：回归实际问题，写出完整答语，注意单位。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 锐角三角函数的定义 （2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， 由翻折变换的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 特殊角的三角函数值 （2026·广东中山·二模）计算： 【答案】 【详解】． 题型三 求角的三角函数值 （2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴， ∵线段绕点旋转得到，∴，∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，，∴，∴ ， 在和中： ，∴， ∴， 设， ∵，∴， ∵，∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，，∴． 题型四 利用三角函数求边长 （2026·海南海口·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 【答案】 5 / 【详解】解：过点E作于点H，如图， 则， ∵，，∴， 由折叠的性质可得，，， ∵四边形为菱形，∴，，， ∵，即，∴， ∴，， ∴， ∴，∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型五 锐角三角函数与网格问题 （2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 题型六 锐角三角函数与最值问题 （2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】D 【详解】解：在中，∵，，， ，，， 为中点， ， ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则， ，故正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点， ∴ ， ∴， ，故正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值， ∴面积最大值为，故正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作 的延长线于点， 由可得，，∴， ∵，∴，故错误． 题型七 锐角三角函数与翻折问题 （2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 【答案】或 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵为的中点，∴ 由翻折性质得： 分两种情况讨论： 当时 ∵，内错角相等得， 结合翻折性质，∴，由等腰三角形等角对等边得， 当时，延长交于点， ∵，∴， 由翻折得，∴在中，， ∵，∴， 在中，，∴， 综上，的长为或． 题型八 解直角三角形的相关计算 （2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 【答案】 【详解】解：由折叠得，，，，， 点是边的中点，， ，，即是等边三角形， ，， ，，， 在中，，， 则，； ，，，，即， ，，则， ，，的面积为：． 解题妙法 1、已知两直角边：先用勾股定理求斜边，再用正切求锐角，互余求另一角。 2、已知斜边+一直角边：勾股定理求第三边，用正弦或余弦求锐角。 3、已知斜边+一锐角：先用互余求另一角，再用sin、cos分别求两条直角边。 4、已知一直角边+一锐角：互余求另一角，再用三角函数求斜边和另一直角边。 题型九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 （2026·宁夏银川·一模）综合与实践 发现新知：小李同学发现这样一个命题：已知和都是锐角，若，则．他想：这个命题是真命题还是假命题呢？请同学们跟随小李同学一起探究一下吧． (1)初步探究：小李在如图①所示的正方形网格中，取格点A，B，C（网格线的交点），经过测量发现______； (2)尝试探究：如图②，在中，，求证：； (3)拓展应用：如图③，在正方形中，是的中点，点在上，且，求的长； (4)如图④，在矩形中，，点在矩形内，且，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：用量角器测量发现； （2）解：作，，过作于，过作于，交直线于， ∴四边形是平行四边形，，，四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，， 设， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：延长至，使，连接，， ∵在正方形中，是的中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵中，， ∴， 解得， ∴ （4）解：延长交于，过作于，过作交直线于， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴四边形的面积 ． 解题妙法 构造直角三角形解题方法 1、斜三角形：过顶点作底边高，分成两个直角三角形。 2、梯形、四边形：作高分割为直角三角形和矩形。 3、网格图形：利用格点横向纵向边长，直接构直角三角形求三角函数值。 4、圆中题型：连直径、作切线，构造直角三角形。 题型十 解直角三角形的应用：俯角仰角问题 （2026·广东梅州·二模）综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 (1)求支撑杆上的长度． (2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：在中，，米， 米； （2）， ， ，米， 米， 米，米， 米， 米． 解题妙法 1、口诀：水平线做基准，上仰下俯看视线。 2、先画水平平行线，把观测点水平线画出。 3、仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角。 4、必有双直角三角形共水平距，常设高度为x。 5、同一水平线、同一竖直高，利用两个直角三角形正切列方程联立求解。 6、技巧：只多用tan，少用正余弦，计算最简。 题型十一 解直角三角形的应用：方向角问题 （2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 解题妙法 1、口诀：先定南北线，再偏东或西。 2、方位角永远以正北、正南为起始基准，不以东、西为基准。 3、先画十字坐标：上北、下南、左西、右东。 4、把所有方向角标在坐标里，利用平行线内错角相等转化角度。 5、最终一定凑出直角或特殊角三角形（30°、45°、60°）。 6、方法：标角→转化→构Rt△→用三角函数或勾股定理求解。 题型十二 解直角三角形的应用：坡度坡角问题 （2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵，∴∴， 设，则， 在中，，，∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵,∴，∴， ∴； 又，∴， ∵，即，且，∴，∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 解题妙法 1、口诀：坡度是比值，坡角才是角；竖直比水平，就是正切值。 2、分清概念： 坡度 i= 竖直高度 h: 水平宽度 l 坡角α：坡面与水平面夹角，i=tanα 3、见到坡度，立刻拆成竖直边、水平边、坡面斜边。 4、已知坡度，直接设份数：如坡度1:，设高为x，水平宽为x。 5、用勾股定理求坡面长，再配合三角函数求边长、高度。 6、易错妙法：坡度永远不是角度，不能直接当角代入计算。 题型十三 三角函数综合 （2026·内蒙古通辽·二模）如图－1，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，E，F分别为的中点，， ， 由折叠而来， ，     在中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）可得， ， ， ， ，即 为的中点，， 是等边三角形， ， ， ， ， 如解图①，连接， 在和中， ， ；     （3）解：由（1）可得， ， ， 由折叠的性质可得， ， ， ，     ∴在中，，    即， 解得. 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解：． 2．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 【答案】a或 【详解】解：如图， ∵等边的边长为， ∴， ∴， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 当点落在点上时，， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴， 连接与交于， ∵，，∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，∴， 综上可知，或． 3．（2026·河南周口·模拟预测）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】600 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形，∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形，米，， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知，， ∵点为曲线的最低点， ∴此时点运动到点H，且，，如图，连接，∴，∴， ∴， 由图象可知，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴该图形的面积为． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． (1)求的长； (2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 【答案】(1)的长约为5.4分米 (2)点上升的高度为4.5分米 【详解】（1）解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米； （2）解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米． 6．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 【答案】 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 的半径为． 7．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数） 【答案】古树的高度为米 【详解】解：由题意可知，米，，，， 则是等腰直角三角形，因此， 设米，则米，米， 在中：，即， 则，解得， 答：古树的高度约为米． 8．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 9．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴，， 点，是，的中点， ， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ， ， ， 由得，， 又，， ，， ， ，； （3）解：如图，延长交的延长线于点． ∵， ∴， ∴， 即，∴ ，，，，， ， ，，， 即，，， ，， ． 10．（2026·安徽六安·二模）2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下： 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于） 参考数据 ，， 请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）． 【答案】主桥塔顶到江面的距离为 【详解】解：如图，作于点， ∵，，，， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，得， 解得． ∴主桥塔顶到江面的距离为． 倒计时3天 潜心读懂题意、稳抓几何考点，放平心态步步严谨，中考阅读证明题定能稳稳拿满分。 阅读与证明 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考数学阅读与证明题，主要考查几何全等、相似、勾股定理、特殊四边形、圆相关性质与定理应用。阅读类侧重新定义理解、规律归纳、公式类比迁移，提炼题干信息转化为数学模型。证明题聚焦逻辑推理、严谨书写、辅助线构造，考查线段、角度、位置关系论证。同时兼顾代数几何综合运算，检验审题归纳、数形结合、举一反三能力，注重步骤完整性与因果逻辑性，贴合核心素养，区分学生自主学习与逻辑推理综合水平。 ►中考前沿： 阅读与几何证明是中考数学核心重难点题型，贯穿全卷中档与压轴板块，充分体现数学逻辑素养与综合应用能力。此类题目以新定义、几何模型、规律探究为载体，结合图形性质、定理推理、数形结合思想，既考查全等、相似、圆、特殊四边形等基础知识，又考验学生阅读理解、信息提炼、类比迁移与严谨推理能力。试题层次分明，由基础理解逐步延伸拓展，注重逻辑闭环与规范书写，紧扣中考命题导向，助力夯实几何思维，提升审题分析、推理论证能力，是拉开分数差距、衡量数学综合素养的关键题型。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   新定义数与运算（简单） 1. 新特殊数 和谐数、友好数、伴随数、对称数、完美数、勾股数、神秘数等 判断一个数是否符合定义、列举符合条件的数、证明这类数具备某种规律、整除特征。 2. 自定义四则运算 规定新符号※、☆、⊕，全新运算顺序与法则 按照题干公式代入计算、整式化简、解方程、比较大小，注意不混用小学初中旧运算律。 3. 数位新定义 两位数、三位数个位十位百位变换，轮换数、颠倒数 结合整式表示：两位数10a+b，三位数100a+10b+c，做加减、整除、倍数证明。 解题核心步骤 1. 读懂定义：圈关键词，抄准运算公式 2. 模仿举例：用简单数字代入验证规则 3. 代数一般化：用字母表示数，整式变形推导 4. 严谨证明：因式分解、配方，证明整除、定值、倍数关系 终极考点2   等式规律探究（简单） 题目给出一组连续特殊等式，先找数字变化规律，写出第n个通用式子，再用整式运算、乘法公式严格证明等式成立。 中考必考阅读大题，侧重观察→猜想→归纳→严谨代数证明，满分易丢步骤分。 高频等式类型 1. 平方差规律：相邻数、连续奇数、连续偶数平方关系2. 完全平方规律：几个数运算后凑完全平方式 3. 裂项求和规律：分数拆分、相邻分式相消4. 自然数倍数规律：连续整数乘积、定值、整除规律 解题三步走 1. 找规律：对比等式左右两边，看序号n与数字关系，用字母写出第n个一般等式。两位数、多位数统一用 10a+b、100a+10b+c 表示。 2. 代数化简：左边展开：平方差、完全平方公式、整式乘除合并同类项 3. 严谨证明：左边化简变形 = 右边，等式恒成立，完成证明。 核心考点公式 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b2 终极考点3   因式分解与恒等变形（重点） 中考高频代数阅读压轴题，题干给材料方法、数字特例，让你用因式分解、整式恒等变形，证明整除、定值、大小关系、平方规律，重逻辑、重步骤，不考难题怪题，全考公式熟练运用。 核心考查知识点 1. 乘法公式 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b22. 提公因式法、十字相乘分组分解 3. 配方变形、非负数性质4. 整式左右恒等化简、左右互推 常考三大命题类型 1. 整除性证明 把多项式因式分解，写成几个整式乘积形式，直接证明能被某数整除。 例：证明连续四个整数乘积+1一定是完全平方数。 2. 等式规律证明 左边复杂式子，通过展开、合并、因式分解、配方，化简后等于右边，完成严谨论证。 3. 大小比较与定值问题 作差法：A-B因式分解+判断正负，得出A>B或A<B； 变形后不含字母，结果固定，即为定值。 标准解题步骤 1. 抄写原式左边代数式2. 展开、去括号、合并同类项3. 配方 / 因式分解变形4. 化简整理，证出=右边 或 判断正负、倍数关系5. 下结论 终极考点4    方程新解法（重点） 题目先阅读材料讲解换元、整体思想，再模仿方法解分式方程、二元方程组、高次方程。不考硬算，全考理解迁移，是中考代数阅读高频必考题型。 换元法（分式方程必考） 1. 适用：重复出现相同复杂代数式、分式结构一致 2. 方法：把重复整体设为y，复杂方程变简单一元一次/二次方程 3. 步骤①观察找重复式子 → ②设元换元 → ③解新方程 → ④回代求原未知数 → ⑤分式必须检验 例：x/x-1+2(x-1)/x=3，设x/x-1=y 整体代换法（二元一次方程组必考） 不单独解出x、y，把ax+by看成一个整体 1. 加减整体消元，不用分别求未知数2. 直接求x+y、x-y、2x+3y这类代数式的值，大幅简化计算，避免繁琐运算出错 两类方程结合考法 1. 二元方程组整体代换：两式相加、相减，整体求倍数关系，再求值 2. 分式方程换元，中考必考点：换元后简化，严禁直接去分母硬算，容易增根、漏解 终极考点5   函数性质推理（简单） 题目阅读陌生函数新定义、新规律、新图像特征，不考课本死记性质，现场理解、代数推导、数形结合证明，是中考代数压轴高频阅读题。 主要考查函数类型 1. 一次函数：对称性、增减性、定点不变、线段关系、面积定值证明 2. 反比例函数：k的几何意义、矩形面积不变、两点对称、比例关系推理 3. 二次函数：对称轴、顶点最值、增减区间、与坐标轴交点、恒成立问题 4. 自定义新函数：分段函数、绝对值函数、衍生函数，类比已有函数推理 核心解题方法 1. 代数推理法：代入坐标、解析式变形、配方、联立方程，计算证明大小关系、最值、定点、对称。 2. 数形结合法：看图判断增减、交点、范围，用坐标计算严谨证明，不凭图像直观下结论。 3. 特殊到一般：先代简单数字找规律，再用字母参数严格证明普遍性。 常考结论证明 函数图像过定点：参数无论取何值，式子恒成立 增减性：比较两点函数值大小，作差判断正负 对称性：横坐标、纵坐标互为相反数/倍数关系 面积定值、线段比值不变、交点规律 终极考点6   三角形：全等证明、等腰直角三角形、勾股定理、角度线段推理（重点） 1. 三角形内角、外角性质 内角和180°，外角等于不相邻两内角和，外角大于任意一个不相邻内角，角度等量代换、倒角证明。 2. 全等三角形判定与证明 SSS、SAS、ASA、AAS、HL直角专用；证边相等、角相等、线段和差、位置垂直平行。 3. 特殊三角形 等腰三角形：等边对等角、三线合一、等角对等边 直角三角形：勾股定理、斜边中线等于斜边一半、30°角对直角边是斜边一半 4. 相似三角形 平行得相似、两角对应相等、两边成比例夹角相等；求线段比例、长度、周长面积关系。 5. 折叠、旋转、动点模型 阅读材料给变换规律，类比倒角、证全等相似、求边长角度。 解题思路 1. 先找公共角、对顶角、公共边，进行角度转化2. 优先证全等，线段无法直接求再用相似3. 辅助线：倍长中线、作高、连接线段、构造等腰直角三角形4. 严格写因果步骤：∵∴格式，定理依据不能省略 高频易错 1.SAS必须夹角，不是任意两边2.忽略三角形三边关系3.直角三角形HL只能直角三角形用4.只看图猜角度，不用定理严谨证明 终极考点7   特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定与性质证明（重点） 1. 平行四边形 性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 判定：两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分 常考：线段相等、平行关系、周长面积、中点推理 2. 矩形 平行四边形+一个直角 / 对角线相等 性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分、直角三角形斜边中线模型 3. 菱形 平行四边形+一组邻边相等 / 对角线互相垂直 性质：四边相等、对角线垂直平分且平分内角、面积=对角线乘积÷2 4. 正方形 兼具矩形+菱形所有性质：四边相等、四角直角、对角线相等垂直平分 判定：矩形+邻边相等 / 菱形+一个直角 阅读题型考法 1. 材料给折叠、旋转、平移变换，类比推理四边形形状2. 证明线段垂直、相等、平分，角度倍数关系3. 结合三角形全等、相似，求边长、最值、面积定值4. 新定义四边形，套用性质判定逻辑证明 解题套路 1. 先证平行四边形，再叠加条件证矩形/菱形/正方形2. 对角线是突破口：相等→矩形，垂直→菱形3. 连接对角线，把四边形转化三角形全等、勾股定理解题4. 规范书写∵∴步骤，每一步写清判定定理 终极考点8   相似三角形（重点） 核心性质 1. 对应角相等，对应边成比例2. 周长比 = 相似比3. 面积比 = 相似比的平方4. 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 三大判定定理 1. AA两角对应相等（中考90%题都用这个）：平行截线、公共角、同角余角相等，快速证相似 2. SAS两边成比例且夹角相等：注意必须是夹角，不是任意两边 3. SSS三边对应成比例，很少单独考 必考经典模型（阅读题高频） 1. A字型平行相似：平行线截三角形，上下三角形相似2. 8字型（X型）对顶相似：交叉相交，对顶角+等角→相似3. 一线三等角模型：同一直线上三个相等角，必出相似，压轴必考4. 母子直角三角形（射影定理）：直角三角形作斜边上高，三个三角形两两相似 阅读题解题思路 1. 先倒角找相等角，优先证AA相似2. 写出比例式，转化线段乘积式3. 结合勾股、方程求边长4. 折叠、旋转、新定义图形，全部转化相似模型解题 终极考点9   圆综合（重点） 核心必背考点 1. 弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，等弧↔等弦↔等圆心角，互相转化倒角。 2. 圆周角定理：同弧所对圆周角=圆心角一半；同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角=90°。 3. 圆内接四边形：对角互补，外角=内对角，高频倒角神器。 4. 垂径定理：垂直弦的直径平分弦、平分弦所对两条弧；知二推三，计算弦长、半径。 5. 切线必考1.性质：切线⊥过切点半径2.判定：连半径，证垂直；作垂直，证半径 阅读压轴常考模型 1. 切线证明+线段求值2. 弦切角倒角，证三角形相似3. 双切线模型：切线长相等，垂直平分连心线 4. 直径直角模型：构造直角三角形+勾股定理5. 圆与相似结合：母子相似、射影定理求边长 标准解题步骤 1. 遇直径→找直角三角形2. 遇切线→先连半径，证垂直3. 角度不够→用圆周角、圆内接四边形转换 4. 边长计算→勾股定理、相似比例、方程求解 终极考点10   几何新定义（重点） 题目现场自定义一种新距离、新图形、新变换、新角度，课本没有原型，完全考读懂规则→模仿应用→类比推理→严谨证明，中考几何压轴必考。 高频四大类型 1. 新距离定义：点到线段距离、折线距离、直角距离、最短路径新定义，转化：垂线段最短、勾股、轴对称、三角形三边关系 2. 新图形定义：友好三角形、黄金四边形、等腰倍角三角形、完美四边形，套用全等、相似、特殊四边形性质判断形状、证明边长角度关系 3. 新几何变换：新旋转、新折叠、对称拓展变换，抓住变换前后边长不变、角度不变，构造全等、相似解题 4. 新角度关系 倍角、半角、互补、互余、外角拓展定义，核心就是倒角转化，利用三角形内角和、外角、平行线倒角 万能解题三步法 1. 精读定义，抠关键词：圈出新规则：什么算符合、什么不符合，用简单特殊图形验证理解 2. 特殊→一般，先代直角、等腰、中点等特殊情况找规律 3. 字母严谨证明转化成熟悉模型：全等、相似、勾股、四边形性质，规范写∵∴逻辑 必考几何模型关联 A字相似、8字相似、一线三等角、折叠全等、旋转全等、直径直角三角形 所有新定义，最后全都变回课本常规模型 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 新定义数与运算 （2026·山西临汾·一模）计算及问题解答 (1)计算：． (2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． 任务二：请直接写出该分式方程的解． 【答案】(1)4(2)任务一：一，去分母时方程右边的1没有乘最简公分母；任务二：该分式方程的解为 【详解】（1）解： （2）任务一：小明的解法从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时方程右边的1没有乘最简公分母． 任务二：． 解：方程两边同乘，得 , , 检验：当时，． 所以是分式方程的解 题型二 等式规律探究 （2026·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： (1)请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． (2)直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； (3)完成“算法推理”中的证明过程． 【答案】(1) (2)十位数字加1的数； (3)见解析 【详解】（1）解：；其中“前积”为30；“后积”为24； （2）解：十位数字加1的数（或比它大1的数）；（语言表达合理即可） ； （3）解：因为，所以 题型三 因式分解与恒等变形 （2026·广东珠海·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题． 指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______ 按上表规律，完成下列问题： (1)（ⅰ）（________）（________）； （ⅱ）________； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明． 【答案】(1)（ⅰ）7，5；（ⅱ）． (2)见解析 【详解】（1）解：（ⅰ）由规律可得，； （ⅱ）由规律可得，． （2）解：②若x，y均为奇数， 设，，其中k，m均为自然数． 所以． ∵为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为奇数； ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则和均为奇数． 所以为奇数，而是偶数，矛盾， 故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 题型四 方程新解法 （2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 【答案】①；②；③；④⑤当时，；⑥当时， 【详解】解：问题一： 设n为有理数，已知方程有一个整数根， 令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：， ， ， 由m为整数知：是整数， 一定是整数， 是有理数， ， ． 故答案为：①；②． 问题二： 解法一：由得． 具有任意性，多项式的一次项系数和常数项均为0， ， 即， 或或， 或或． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 故答案为：③；④⑤当时，；⑥当时，． 题型五 函数性质推理 （2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 【答案】(1) (2)函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 (3)的最小值为1，的值为2 【详解】（1）解：； （2）解：函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到； （3）解：， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0， ∴当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近2， ∴根据题意可得的最小值为1，的值为2． 题型六 三角形：全等证明、等腰直角三角形、勾股定理、角度线段推理 （2026·江苏盐城·一模）阅读材料，解决问题． 课题 图形翻折变换中圆的有关问题探究 素材 如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作． 变换1 如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接． 变换2 如图3，平分，且． (1)问题1：根据素材和变换1： ①请说明； ②与相切吗？请说明理由． (2)问题2：根据素材和变换2： ①直接写出的半径的长为______． ②取图3中的四边形，请用无刻度的直尺与圆规在四边形中作出一个最大的半圆．（保留作图痕迹，不写作图过程，不需证明） 【答案】(1)①见解析；②与相切，理由见解析 (2)①；②图见解析 【详解】（1）①证明： ∵在 中，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵沿着翻折得， ∴， ∴， ∴在 中，， ∴； ②解：与相切，理由如下： ∵在 中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵在 中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，． ∴， 在和中，，，即， 又∵， ∴， ∴，即 ， 又为的半径， ∴与相切； （2）①解：∵沿着翻折得， ∴， ∴，， ∵平分，， ∴，点落在线段上， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵M为的中点，过点M作的垂线交于点O， ∴是的切线，， ∴是正方形的内切圆． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即，解得， ∴； ②解：如图，连接，以P为圆心，长为半径作弧与交于一点，与交于点Q，再以F点为圆心，F到对角线与弧线的交点的长为半径作弧与交于一点，过此点作的垂线与对角线交于点，最后，以为圆心，长为半径的半圆就是所求作的图形． 解题妙法 阅读理解题专属做题步骤 1、慢读一遍：圈新定义、新规则、给的模型结论。 2、对照旧知识：往全等、等腰直角、勾股、三线上面靠。 3、模仿例题：题中给的推导方法，直接照搬套用到第二问第三问。 4、先证角再证边，先全等再推长度角度，逻辑不跳步，阅卷不扣分。 题型七 特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定与性质证明 （2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 关于“射影定理”的研究报告如图①，被平行于CD的光线照射，，于点D，AB在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：   证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，则，∴． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．   作法： （1）在的延长线上截取； （2）作线段的垂直平分线l，交于点O； （3）以点O为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H； （4）以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点G，连接，即为所求等腰直角三角形．    (1)根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； (2)请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； (3)结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点E（不与B，C重合），以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，作，交的延长线于点G，以为邻边作矩形，则矩形即为所求．若E是边的三等分点，请直接写出矩形的长和宽的比值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)或9 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：如图②，以点O为圆心，以的长为半径作半圆O，由作图知点H在半圆O上，连接， 由作图可知，直线l垂直平分， 是半圆O的直径， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 在正方形和矩形中，， ， ， ， ， ， ， ； 设正方形边长为， ∵E是边的三等分点， 分两种情况：当点E为靠近点B的边的三等分点时， 则， ，，，； 当点E为靠近点C的边的三等分点时，则， ，，，； 综上，矩形的长和宽的比值为或9． 解题妙法 阅读与证明通用解题步骤 1. 圈条件：平行、垂直、平分、相等、中点、角平分线、折叠。 2. 先打底：一律先证平行四边形，再升级成矩形/菱形/正方形，不跳步。 3. 抓两大突破口 看角：有90°往矩形、正方形靠；有角平分找等腰、找边相等。 看对角线：平分→平行四边形；相等→矩形；垂直→菱形；又等又垂→正方形。 题型八 相似三角形 （2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3)20 【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下： 如图2，连接， ，分别为，的中点， ，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）， 同理可得，， ，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 同时可得，连接，同理可得， ． 故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 同理可证，， ． （3）解：连接，，如图， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和， ； ， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长为20；故答案为：20． 题型九 圆综合 （2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)证明见解析， (4)点的运动路径是直线；运动路径的长度为10 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，点D即为所求： （3）证明：∵，，， ∴， 由（2）作图可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴，； （4）解：连接、、， ∵为的直径， ∴， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴，点在射线上， ∴，点的轨迹为过且垂直于的直线， ∴点的运动路径是直线； 当点与点重合时，点恰好与点重合， 当点运动到弧中点时， 如图3，连接， ∵点运动到弧中点，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径的长度为10． 题型十 几何新定义 （2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3)， 【详解】（1）解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． （2）解：∵与互为“镜移三角形”，∴， ∵，∴， ∵点D，E分别是的中点，∴是的中位线，， ∴，∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：连接， 六边形是平行六边形， ， ， ， 依据1是两直线平行，内错角相等， 故答案为：；两直线平行，内错角相等； （2）证明：分别连接， 六边形是平行六边形， ，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3） 解： 2．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：∵四边形为“等垂四边形”， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：四边形为“等垂四边形”， ，且， ∴． 在中，， ∴． （3）如图，“等垂四边形”即所求． 3．（2026·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： (1)补全笔记中的证明过程． (2)拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①画图见解析；② 【详解】（1）证明：过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， 由勾股定理得，即； （2）解：①如答图，即为所求线段； ②如图，记的延长线与的延长线的交点为P， ∵四边形是底角互余梯形，∴，∴， ∵M，N分别是，的中点，∴，，∴． 4．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 互补三角形 【概念理解】 如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补． 例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形．   【问题解决】 问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）．     【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等． 已知：如图③，已知与是互补三角形，，． 求证：与的面积相等． 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， …    任务： (1)问题中的与是不是互补三角形 （填“是”或“否”）； (2)请将【性质探索】中的证明过程补充完整； (3)如图④，已知线段，交于点B，请在图④中作与，使得与是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】(1)是 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：与是互补三角形： ∵四边形是矩形，∴，且, ∴与是互补三角形;; （2）解：证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，，， ，，                     在与中，， ，                     ，即， 与的面积相等； （3）如图，与即为所求．                     5．（2026·山西长治·一模）阅读与思考 下面是小顾同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的旁心 【概念理解】 与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心．如图1，平分，平分，平分，分别与，，相切，所以点O是的旁心，是的旁切圆． 【性质探索】 1．每个三角形都有_______个旁心，且所有旁心均位于三角形_______（填“内部”“边上”或“外部”）． 2．三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系． 如图2，点O是的旁心，设，，所对的边长分别为a，b，c，过点O分别向，，作垂线，与边及，的延长线分别交于点E，D，F． ①求证：． ②若，求证：． 证明：①∵平分，，， （依据）． 同理，，． ． ②∵…… 任务： (1)填空：材料中【性质探索】的两个横线处分别填_______和_______，证明过程中的“依据”是指_______． (2)请补全材料中②的证明过程． (3)如图3，在等边三角形中，，是的旁切圆，与，的延长线分别相切于点D，E．请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)三，外部，角平分线的性质定理 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意可得，每个三角形都有三个旁心，且所有旁心均位于三角形外部，证明过程中的“依据”是指角平分线的性质定理（角平分线上的点到角的两边距离相等）． （2）证明：∵，， ，， ． （3）解：∵在等边三角形中，，是的旁切圆， ∴，， ∴，，， 根据（2）可知∴， 即， 连接， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴． 6．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．   例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： (1)请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． (2)请补全问题的证明过程． (3)智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】(1)10 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：在垂等四边形中．对角线与交于点，，且， ，，，， 解得 故对角线的长为10． （2）证明：如图，过点作的垂线，交的延长线于点． ，，． 又，四边形是平行四边形，． ，，，， ， 故四边形是垂等四边形． （3）解：作的垂直平分线，交于点G，并在此垂直平分线上，截取， 则，根据，得到，， 延长分别交圆于点C，D，连接，则， 故，故， 故四边形是垂等四边形．则四边形即为所求． 7．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①见解析；②见解析 (3)正确，证明见解析 【详解】（1）解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， ∴小明的猜想不正确； （2）解：①， 由是整数知，或， 所以或， 故为或； ②， 由是整数知，，，，， 因为，， 所以或， 所以或， 故为或； （3）解：正确，证明如下： ， 而按“非法约分”规则，， 故的“非法约分”正确． 8．（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知：（依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)平行线分线段成比例的基本事实 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：画法一中的依据是平行线分线段成比例的基本事实； （2）证明：由作法可知： 四边形是菱形 ，， ， 由作法可知：， 点是线段的一个三等分点． （3）解：如图所示，点即为所作．（画出一个即可） 倒计时2天 看透图形相似比例关系，稳住心态步步推导，找准对应边角，难题自会迎刃而解。 图形相似 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形相似是中考数学几何核心与重难点，属高频必考模块，分值约3-19分，占比15%-20%，每年考查1-3道题，涵盖选择、填空、解答题，压轴题必考。核心考查相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（对应边成比例、面积比为相似比平方），常结合A字、8字、一线三等角等模型。命题侧重跨板块综合，多与三角形、四边形、圆、二次函数融合，聚焦逻辑推理、比例计算与辅助线构造能力，是拉开分数的关键，直接决定几何综合题的得分层次。 ►中考前沿： 2026年中考图形相似命题将延续“基础+综合+创新”趋势，核心考点不变，更重模型识别与知识迁移。基础题聚焦相似判定、性质及比例线段计算，难度低，确保得分；中档题强化A字、8字、一线三等角等经典模型的变式应用，结合动点、折叠考查转化思想；压轴题以“圆为背景、相似为骨架”，融合二次函数、最值问题，突出动态几何与多模型叠加，强调复杂图形拆解与逻辑推导。整体难度稳中有升，注重思维严谨性与解题规范性，减少机械计算，强化核心素养考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   比例的性质（简单） 1、基本性质： 2、变形： 核心内容： 3、合、分比性质： 4、等比性质：如果， 那么. 5、黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 6、平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. （1）已知l3∥l4∥l5, 可得等 （2）把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 终极考点2   相似三角形（重点） 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，且截得的三角形与原三角形相似。 2、相似三角形判定定理 两角分别相等（AA，中考最常用） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 三边对应成比例（SSS） 直角三角形：一组锐角相等、斜边直角边对应成比例 3、相似三角形性质 对应角相等，对应边成比例 对应高、对应中线、对应角平分线、周长比=相似比 面积比=相似比² 终极考点3   中考高频相似模型（简单） 一、A字型相似（最基础、考得最多） 1、图形特征：三角形内部有一条平行于底边的线段，像大写字母A。 2、核心原理：DE//BC⟹ △ADE ~△ABC 3、性质口诀：平行出相似，两角对应等； 4、对应边成比例： 5、变形：倒A字型：线段在三角形下方延长线上，原理完全一样，依然用平行线证相似。 二、8字型相似（蝴蝶型） 1、图形特征：两个三角形上下对顶，交点在中间，整体像数字8，也叫蝴蝶模型。 2、核心条件：对顶角相等，再加一组内错角相等（平行线），直接证相似。 3、判定：∠AOB=∠DOC（对顶角），∠A=∠D⟹ △AOB~△DOC 4、解题关键：认准对顶角+一组等角，立马列比例式求边长。 三、一线三等角相似（中考压轴常客） 1、图形特征：同一条直线上，有三个相等的角，故称一线三等角。 2、常见：直角在一条直线上、等腰三角形底角在同一直线。 3、核心原理：利用平角180°，通过角的互余/互补，推导出两组角分别相等，用AA证相似。 4、经典场景：直角坐标系、矩形折叠、动点几何、压轴大题最爱考。 5、解题套路：见直线上三个等角，直接判定相似，不用再一步步推角，直接列比例计算。 四、母子相似（射影定理模型） 1、图形特征：直角三角形，过直角顶点作斜边的高，把原大直角三角形分成两个小直角三角形。 大三角形像“母”，两个小三角形像“子”，统称母子相似。 2、三大相似关系 Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⟂BC △ABD~△CBA △ACD~△BCA △ABD ~△CAD 3、必考三级比例（射影定理） 直角边² = 斜边×邻段 高² = 斜边两段之积 终极考点4   位似（重点） 一、位似定义 如果两个图形相似，且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。这个公共交点叫做位似中心。 二、位似三大关键特征 1. 位似图形一定相似，相似图形不一定位似； 2. 对应点连线交于位似中心； 3. 对应边平行或共线。 三、位似的性质 1. 位似图形对应角相等，对应边成比例； 2. 位似比 = 相似比； 3. 周长比 = 位似比； 4. 面积比 = 位似比的平方； 5. 对应点到位似中心的距离之比 = 位似比。 四、平面直角坐标系中的位似（中考必考） 以原点为位似中心，位似比为 k： 原坐标 (x,y)，位似后坐标为：(kx,ky) k>0：同向位似，图形在原点同侧 k<0：反向位似，图形关于原点中心对称缩放 考点套路：给一个多边形坐标，求放大/缩小后的顶点坐标，直接套公式。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 比例的性质及比例线段 1．（2026·江苏扬州·一模）如果，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，∴. 2．（2026·山西晋中·二模）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 【答案】(1)纪念碑的高度约为40米 (2)10 【详解】（1）解：如解图，延长交于点M，易得四边形和四边形均为矩形， ，，                 设，则，，                     在中，，，解得，                 ．                     答：纪念碑的高度约为40米； （2）解：由（1）得纪念碑的高度约为40米， ∵纪念碑按等比例缩小，∴他打印出的模型高度为． 题型二 黄金分割 （2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 题型三 相似多边形的性质 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴缩小后的宽是， 缩小后的矩形的面积． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，∴，∴． 题型四 由平行判断成比例的线段 （2026·吉林长春·一模）如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． (1)当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； (2)当点P在边上运动时，若，则的值为 ； (3)当点P在边上运动时，连接．求证：； (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)，或 【详解】（1）解：∵，∴， ∴当点在边上运动，且时，；故答案为：． （2）由（1）可知：， 当点在边上运动时，且时，则：，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）∵，∴，， ∵以为边作等腰直角三角形，， ∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （4） ①当点在上时，此时点在线段上， ∵，，∴， ∵为等腰直角三角形，∴； ②当点在上时，由（3）可知：，∴，∴，∴， 设，则：，作于点， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵，∴，∴，∴． 综上：或． 解题妙法 解题三步妙法（考场通用流程） 1、先找平行线：一眼扫图，找出哪两条线平行，这是突破口。 2、定对应线段：遵循平行夹线段，上下对应、左右对应，只看被平行线截断的线段，不乱拉无关边。 3、列比例式、交叉相乘求解 比例式：段1/段2=段3/段4 直接内项积=外项积，秒解方程求边长。 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 （2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． (1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． (2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． (3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 【答案】(1)，，，； (2)点是边的“三等分点”，证明见解析； (3)或 【详解】（1）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，， ，，，即． （2）解：点是边的“三等分点”． 理由：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即点是边的“三等分点”； （3）解：如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，，∴， 在和中，，∴， 由①②联立得，，解得， ∴，∴（不符合题意的根舍去）； 如图，当时， 同理可得，，解得， ∴，∴（不符合题意的根舍去）；综上，的长为或． 题型六 相似三角形的判定 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，内接于，，点在上，点在边上，连接，，，，．    (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即． ∵，∴． （2）解：∵​，，∴， 由（1）得，∴，∴， ∵，∴， 又∵∴，∴， ∴， ∴，∴． 3．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【答案】B 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即，，，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B． 4．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． (1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：∵四边形为矩形．∴，∴， ∵，，∴∴． 5．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点，是的中位线，， ，, ，，四边形为菱形； （2）①当时，，同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，，， 又，则，即，，， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形，延长交于， 由①知时，，， ，，，则， 又，， 又，与重合， 由折叠可知， 又，，又， 则四边形是矩形． 解题妙法 第一步：先看有没有平行线 有平行→直接出等角→用AA判定 平行得同位角、内错角相等，不用算边长，最快最简单。 第二步：找隐藏等角 优先找这三类角：公共角；对顶角；同角的余角、补角；只要凑两组等角，立刻AA相似。 第三步：无角就算边：找不到两组角，就算边长比值：两边比例相等 + 夹角同 → SAS 三边比例全相等 → SSS 第四步：锁定模型直接秒 看到图形先套模型，不用慢慢推： A字型、8字型：平行直接AA 一线三等角：天然两组等角，直接相似 母子相似（直角斜高）：自带三对相似，直接用 题型七 相似三角形的性质 1．（2026·广东梅州·二模）如图，已知，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，∴． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，已知，，是边的中点，以为角的顶点作．如图-1，射线经过点，射线交边于点． (1)在图-1中，下列三角形与相似的有（    ）（多选） A．    B ．        C． (2)判断图-1中与的位置关系，说明理由，并求的长；（结果用含的三角函数表示） (3)如图-2，若，将从图-1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，旋转角为．射线，分别交，于点，． ①连接．求证：； ②小明认为：随着的运动，点到直线的距离不变． 小亮认为：随着的运动，点到直线的距离随的变化而变化． 请你判断他俩的说法哪个正确；若小明的正确，请直接写出这个距离；若小亮的正确，请简单描述变化趋势． 【答案】(1)AB (2)， (3)①见解析；②小明的说法正确，点到直线的距离为4 【详解】（1）解：∵，．∴， 又∵，是边的中点，∴， ∵，∴， ∴．即与相似的有A．，B．． （2）解：，理由如下： ∵，点D是的中点，∴，即， 由（1）有，∴，∴． ∵，是边的中点，∴， ∵，∴，∴． （3）①证明：∵，， 又， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴． ②小明的说法正确，点到直线的距离为4．理由如下： 过点D作于点G，作于点H， 则的长是点D到的距离． ∵，是边的中点，∴， ∵，，∴． ∵，∴， ∵，，∴， ∴点到直线的距离不变，即小明的说法正确，该距离为4． 3．（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵，∴，∴，即，∴； 同理可得，则，得，∴， ∴，∴．故答案为：． 解题妙法 万能解题三步妙法 第一步：先定相似、找准对应 先证出两个三角形相似，按角对应排好顶点顺序， 顺序不乱，比例就不会列错，这是最关键一步。 第二步：分清求什么，对口用性质 求边长、高、中线、角平分线、周长 → 直接用相似比 求面积、面积比值 → 一定用相似比的平方 第三步：比例式交叉相乘秒算 列出对应比例a/b=c/d 直接内项积=外项积，不用复杂步骤，快速求线段长。 分类秒杀技巧 1. 求线段长度：认准对应边，按相似比直接缩放，大变小、小变大。 2. 求周长：周长之比等于相似比，不用一条条边再加。 3. 求面积：先求相似比，再平方就是面积比；已知面积比，开方就是相似比。 4. 有平行线：平行→相似→直接套用所有性质，一步到位。 题型八 相似三角形动点问题 1．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【详解】（1）证明：，， ，，，即． （2）解：如图为． 作的垂直平分线，交于点，以长为半径作； 过点作的垂线，交于点； 以点为圆心，长为半径作弧，在外部的弧上取一点为，连接，，即为所求． （3）解：如图，作的外接圆，以点为圆心，长为半径作圆，两圆交点为，连接，， ，， ，，， ，为定值，则也为定值，点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆， ，且点在上，点的运动轨迹为， 当点与点重合时，取得最小值，此时， ， 设，，则， ，，，在中，， ，，故的取值范围为． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上，， ∵，为中点，∴，则， ∵，，∴，∴， ，即， ，． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵，∴， ，， ∴四边形是矩形，∴， 在中，， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴，即， ，， ∴． （3）解：存在．由题意，得，解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角，∴， ∵是的中点，， ∵，，，， ∴，∴，，， 在中，，，解得． 解题妙法 一、核心解题总思路 动点相似 = 设时间→表线段→找等角→列相似比例→解方程→验取值范围 二、标准四步解题法（所有动点题通用） 第一步：设动点运动时间：设运动时间为 t，用含 t 的代数式，表示出动点所在所有线段长度。 第二步：锁定不变角、找相等角：动点在动，但固定角、公共角、直角、对顶角永远不变； 优先用 AA两角相等 证相似，动点相似90%都用AA。 第三步：分类讨论（重中之重） 动点相似大多不止一种情况，必须分类： 1. 固定一个角为公共等角 2. 分两种对应相似情况： 情况一：△甲∽△乙 情况二：△甲∽△丙 对应顶点不同，比例式就不同，必须分开列 第四步：列比例式、解方程、验根 按相似对应边列比例边1/边2=边3/边4 交叉相乘解出 t，一定要检验： t>0、动点不能超出线段端点范围，舍去不合理解。 三、三大秒杀技巧 1. 遇直角动点：优先找直角相等，再找一个锐角相等，直接AA相似，不用算边长。 2. 遇平行线动点：动点产生平行→直接A字型、8字型相似，直接套比例。 3. 遇一线三等角动点：直线上有固定直角/等角，动点落上去，天然满足一线三等角，直接相似不用推角。 题型九 相似三角形实际应用 1．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】(1)右眼度数为度，左眼度数为度； (2) (3)这副眼镜与验光单匹配，理由见解析 【详解】（1）解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； （2）解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：； （3）解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． 2．（2026·江苏泰州·一模）与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是4，则的周长是_____． 【答案】2 【详解】解：∵与的相似比是， ∴与的周长比是， ∵的周长是4， ∴的周长为． 题型十 位似图形 （2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，∴， ∵， ∴， 在中，， ∵和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与相切，∴，∴， 即：，解得：． 故答案为：． 题型十一 坐标系与位似图形 （2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点是对应点， ， 相似比， ， 的面积是2， 的面积． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东梅州·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵ 四边形是矩形，点的坐标为， ∴ ，． ∵ 矩形与矩形的位似比为，以为位似中心， ∴ 点的坐标为，即 ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ，即反比例函数解析式为． ∵ 点在边上，轴， ∴ 点的纵坐标为． 把代入，得， 解得． ∴ 点的坐标为． 故答案为：． 2．（2026·广东珠海·二模）根据素材，解决问题． 阅读素材 素材一：如图1，羽毛球双打场地为长米、宽米的矩形，球网高度米，点在上，米，点在球场内，点到距离为米，到距离为米，点到距离为米，到距离为米，为球网线（即球场的中线）． 素材二：如图2，在某次比赛中，球员甲在点的上方1米的处击球，若球的运行路线呈抛物线，在球网线正上方距地面4米处达到最高，预设球的落地点在射线上． 素材三：如图1，若球员乙在上的点上方处迎球回击，，预设球沿直线运行指向点处（如图3所示）． 解决问题： (1)如图1，求的长； (2)如图2，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，若表示球运行的水平距离，表示球的运行高度，求与之间的函数关系式； (3)通过计算，判断球员乙的预设是否能够实现？ 【答案】(1)米 (2)抛物线为． (3)球员乙的预设不能够实现 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵羽毛球双打场地为长米、宽米的矩形， ∴，， ∵点在上，米，点在球场内，点到距离为米，到距离为米， ∴，， ∴（米）． （2）解：由题意可得：，顶点坐标为， ∴设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （3）解：如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点到距离为米，到距离为米，点到距离为米，到距离为米， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 记的交点为，如图，过作交于， 同理可得：， ∴， ∵点到距离为米，点到距离为米， ∴，， ∴， 解得：， ∴球员乙的预设不能够实现． 3．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）． 4．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 在中，，， ， ∴， 方法一：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， ， ， ，， ， 在中，； 方法二，如图，过点D作，交于点F， ， ， ，，， ， ， ， 在中，． 5．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 6．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】根据中点的定义及勾股定理得，，继而得到，证明得，求得，，可得答案． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为的中点， ∴， 由旋转的性质可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 【答案】/ 【详解】解：过点B作于点H，则， ∵， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 连接，并延长至点G，使得，连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 连接，过点G作，交的延长线于点K， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，， ∵点M是的中点，， ∴． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ； （2） ，， ． ， ． 10．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点， ∴； ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 倒计时1天 认真对待每一套押题模拟，放平心态查漏补缺，稳扎稳打奔赴中考，自信落笔定能超常发挥！ 押题模拟卷 一、单选题 1．实数的倒数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为1的两个数互为倒数， ∴ 的倒数是. 2．春节是我国传统节日，每年春节晚会的主题都不同，不仅有艺术价值，还承载着丰富的传统文化．下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 3．“月明松影路，春满杏花山”表达了人们对自然美景的喜爱，杏花花粉的直径为0.000032米，用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：∵原数为，左起第一个非零数字为，其前共有个，且， ∴． 4．为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，，为， ∴. 5．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟， 由题意可得：． 6．若反比例函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵反比例函数中． ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且每个象限内，随的增大而减小． ∵点的横坐标． ∴点在第三象限，得． ∵点，的横坐标都大于． ∴，都在第一象限，得，． 又∵． ∴． 综上可得． 7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图 ∵是的切线，切点为B， ∴， ∴， ∴ ． 8．某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下： 试验种子粒数 100 400 600 1000 2000 3000 发芽种子粒数 96 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在某个常数附近，由此数据可估计绿豆发芽的概率为（   ） A．0.960 B．0.948 C．0.950 D．0.955 【答案】C 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近， ∴由表格可知，随着试验种子粒数增加，绿豆发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴可估计绿豆发芽的概率为． 9．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意， ∴ ∵ ∴ ∴ 10．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 ． 二、填空题 11．计算：=______． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为：． 12．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 【答案】4 【详解】解：设可买盒爆米花， 由题意得，， 解得：， ∴x最大为4． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴点落入黑色部分的概率为， ∴黑色部分的总面积． 15．如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 【答案】 【详解】∵，是中线， ∴，平分， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 三、解答题 16．计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵在中，点、分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点到，的距离相等， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知：，四边形是菱形， ∵菱形的周长为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 19．为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 【答案】(1)，136，20，见解析(2)128(3)女生组更优秀，理由见解析 【详解】（1）解：由男同学跳绳个数在C组的数据可知，C组人数为6人，则被抽取的男同学A组的人数为（人），被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为130、133，则中位数； 被抽取的女同学跳绳个数在C组人数所占百分比为，B组人数所占百分比，即； 被抽取的A组女同学人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为：（人），D组人数为：（人），E组人数为：（人）， 因为C组中136的个数为5，在C组中的个数最多且大于其它组总人数，所以被抽取的女同学跳绳个数的众数． 补全频数分布直方图如下： （2）解：（人）， 答：估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数为128． （3）解：我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． 20．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：连接， 六边形是平行六边形， ， ， ， 依据1是两直线平行，内错角相等， 故答案为：；两直线平行，内错角相等； （2）证明：分别连接， 六边形是平行六边形， ，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解： 21．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 22．综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到． (1)猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图②，连接交于点G． ①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值． 【答案】(1)，见解析(2)①四边形是菱形，见解析；②或 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ，，， ， ， 由折叠的性质得，，， ，，， ，E，三点共线， ， ， ， ∵在和中， ， ； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： ， ， 由折叠可得， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由折叠得， ∴四边形是菱形； ②∵四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． 分以下两种情况：（i）当时，如图， 设与交于点H，由折叠的性质得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 与等高， ； （ii）当时，如图， ， ∴此时与部分重合， 过点作于点M， ，， ， ，， ，， 设，则，， ∵在中，， 即，解得， ， 同理可得， ． 综上所述，的值为或． 23．如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线BC的解析式为 (2)；或；m，n的数量关系为：，定点坐标为 【详解】（1）解：，，， 把，代入得： ，解得：，抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ，解得：，直线的解析式为； （2）解：①根据题意，设，则， ； ②、， ， 轴，，， ， 若为直角三角形，则分情况讨论： 当时，则， 即， 解得：或（舍去）， 当时，则，， 如图，过C作， 则， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； ③m，n的数量关系为：，定点坐标为， 设，， 令得：，解得：或， ，， 设直线的解析式为， 将点、代入得： 则：，解得：，直线的解析式为， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得：，直线的解析式为， 当时，， ， ，，， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得：， 直线的解析式为 当时，， 定点坐标为， 综上所述，m，n的数量关系为：，定点坐标为． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 倒计时5天 ➤图形投影与视图……………………………………………………………………………3 核心涵盖三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影应用、视图求表面积体积五大高频考点，分值稳定占3—6分，多以选择填空形式命题，是考查空间想象能力、必须稳拿分的基础重点内容。 倒计时4天 ➤锐角三角函数………………………………………………………………………………15 涵盖锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、解直角三角形、仰角俯角坡度坡角实际应用等核心考点，分值占8–12分，选择填空与解答大题均有考查，是几何计算和实际应用题的必考主干内容。 倒计时3天 ➤阅读与证明…………………………………………………………………………………47 阅读与证明以新定义理解、几何逻辑推理、类比探究、迁移拓展证明为核心考点，分值约10–14分，常作为中考压轴类解答题出现，是区分数学思维层次、拉开中考分数差距的关键拔高题型。 倒计时2天 ➤图形相似……………………………………………………………………………………94 涵盖相似三角形判定与性质、相似多边形性质、位似图形、相似综合计算与几何压轴探究，分值约8–15分，贯穿选择填空、解答证明与压轴大题，是几何计算、线段求值及综合压轴解题的重要工具与拉分重点。 倒计时1天 ➤押题模拟卷…………………………………………………………………………………70 倒计时5天 吃透图形投影与视图的核心考点，掌握三视图与投影的解题规律，放平心态细心观察、冷静辨析，这类基础题型定能轻松稳拿满分、稳稳守住中考基础分值。 图形投影与视图 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形投影与视图属中考数学基础必考题，分值稳定在3-6分，占比3%-5%，以选择题、填空题为主，偶尔涉及简单解答题。核心考查三视图识别与绘制、由视图还原几何体、小正方体组合体计数、平行与中心投影区分、展开图及表面积/体积计算。命题注重空间想象与几何直观，难度偏低，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，多结合生活实物或简单组合体命题，是必须稳拿分的基础模块。 ►中考前沿： 2026年仍以基础稳分为主，大概率考1道选择或填空（3-5分）。重点聚焦：组合体三视图判断、小正方体个数最值、简单几何体表面积/体积计算、平行投影实际应用。可能融入生活场景（如建筑、包装），或与展开图、相似知识简单综合，但整体难度不变，核心是考查空间观念与规范识图能力，细心审题即可稳拿满分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   平行投影、中心投影、正投影（简单） 平行投影 中心投影 正投影 光源类型 平行光线（太阳光） 点光源（路灯、台灯、手电筒） 平行光线 光线特点 互相平行 交于同一点 平行且垂直于投影面 影子方向 同一时刻影子方向一致 影子方向杂乱，不一定相同 投影方向固定垂直投影面 物高与影长 同一时刻，物高和影长成正比例 无固定比例，近大远小 平面图形投影形状大小不变 典型实例 阳光下树影、旗杆影 路灯下人影、灯光下影子 物体竖直投影、三视图 相同点 都是光线照射物体在平面上形成影子；都可利用影子进行长度、高度相关计算。 终极考点2   简单几何体的三视图（简单） 1、 画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 2、常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 终极考点3   简单组合体的三视图（重点） 1、观察角度判定 从正面、左面、上面三个方向观察简单正方体堆叠组合体，准确辨别主视图、左视图、俯视图。 2、三视图绘制规则 严格遵循长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，被遮挡看不见的棱画虚线。 3、常考题型 （1）给出立体图形，判断三视图；（2）给出三视图，还原立体图形 （3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数；（4）判断几何体某视图的形状 终极考点4   由三视图判断几何体（重点） 第一步：看俯视图，定底面布局 俯视图决定底层小正方体的位置和行列分布，先画好地面格子框架。 第二步：看主视图，定每列最大层数 主视图从左到右有几列，对应俯视图每一列最高能堆几层。 第三步：看左视图，定每行最大层数 左视图从左到右代表前后行，限定俯视图每一行最高层数。 第四步：行列结合，逐格定层数 把主视图、左视图的层高限制叠加，每个格子确定准确层数，就能完整还原几何体。 二、快速秒杀判断技巧 1、三视图全是正方形→ 正方体； 2、三视图全是圆形→ 球； 3、两长一圆 → 竖放圆柱； 4、两三角一圆（带圆心）→ 圆锥； 5、两长一三角 → 直三棱柱； 6、两三角一方框 → 正四棱锥。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 平行投影 （2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一颗古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 题型二 中心投影 （2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 题型三 投影的有关计算 （2026·安徽合肥·一模）九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告． 调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度． 调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为． 建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，， ，，． 测量工具 卷尺、测角仪器、无人机 参考数据 ，， 问题解决 求松树的高度．（结果精确到） 题型四 简单几何体的三视图 （2026·安徽芜湖·二模）将如图所示的几何体水平放置，则该几何体的三视图是（   ） A． B． C． D． 题型五 简单组合体的三视图 （2026·浙江衢州·一模）如图，是由五个相同的正方体搭成的几何体，其主视图为（   ） A． B． C． D． 解题妙法 1、定观察方向 主视图：从正面正对着看；左视图：从左面正对着看；俯视图：从正上方往下看。 2、分层分列数方块 横着分层、竖着分列，只看每一列最高有几层，只画轮廓不画内部多余线条。 3、遮挡原则 能看到的棱画实线，被挡住看不到的棱不画或画虚线。 4、排除法秒杀 先看列数，再看每列层数，直接排除行列、层数不对的选项。 题型六 由三视图还原几何体 （2026·浙江衢州·一模）如图是一个长方体的立体图和左视图，则左视图中的a的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 解题妙法 1、看俯视图定地基 俯视图画出底面所有小正方体的排布位置，先把底层框架定好。 2、看主视图定列高 主视图每一列的层数，对应俯视图每一列的最大高度。 3、看左视图定行高 左视图每一行的层数，对应俯视图每一行的最大高度；三者互相约束，逐格确定每个位置有几层方块。 题型七 由三视图判断几何体的个数 （2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 解题妙法 求实际总个数解法 1、先用俯视图标出每个位置格子； 2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数； 3、把所有格子层数相加，就是总个数。 题型八 由三视图求侧面积或表面积 （2026·江苏徐州·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 题型九 已知三视图求体积 （2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型十 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 （2026·黑龙江·一模）如图①是用3个大小相同的小正方体搭成的几何体，在此基础上，再搭上若干个小正方体，使其主视图、左视图如图②所示，则至少再放小正方体的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题妙法 求实际总个数解法 1、先用俯视图标出每个位置格子； 2、结合主视图、左视图，逐个格子确定准确层数； 3、把所有格子层数相加，就是总个数。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 2．（2026·安徽马鞍山·二模）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽六安·二模）如图，是一个长方体沿部分棱的中点切去两个三棱锥后得到的新几何体，其主视图是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南长沙·二模）如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西·三模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其示意图如图所示，则它的俯视图为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图所示的几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·云南临沧·二模）下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南·二模）如图，斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快，鲜花怒放，枝繁叶茂，展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致，胎体厚重但器型端庄规整，是清康熙时期的罕见之作．以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是（ ） A．俯视图是一个正方形 B．主视图和左视图相同 C．截面可以是三角形 D．侧面展开图是矩形 倒计时4天 吃透锐角三角函数定义、特殊角值与解直角三角形及实际应用核心考点，稳住心态、理清边角关系、规范步骤演算，放平节奏认真审题，就能攻克三角函数重难点，稳稳拿下中考高分。 锐角三角函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 锐角三角函数为中考几何核心必考模块，分值8-10分，选择、填空、解答题均有涉及。过往命题基础与应用并重：选填题聚焦定义辨析、特殊角（30°/45°/60°）函数值计算、网格/坐标系中求三角函数值；解答题以解直角三角形实际应用为主，高频考查仰角、俯角、坡度、方位角，常考“双直角三角形”“母子三角形”模型。命题侧重建模能力、构造直角三角形转化思想，常与勾股定理、相似、圆综合，弱化繁杂计算，强调边角关系灵活运用。 ►中考前沿： 2026年中考锐角三角函数命题将延续“基础稳固、应用主导、综合适度”趋势。选填题仍考查特殊角计算、定义应用、网格求值，注重基础熟练度。解答题以真实情境应用题为核心，结合本土文化、工程测量等背景，强化数学建模与识图能力。综合题将深化与圆、相似、四边形融合，出现“一题多测”探究题型，考查创新思维。命题更重素养，弱化套路，强调辅助线构造直角三角形、方程思想，难度梯度合理，中档题为主，压轴侧重综合应用 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   锐角三角函数（重点） 在Rt△ABC中，∠C=90°． 1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边= 2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． 3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． 4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 终极考点2   特殊角的三角函数值（重点） 30°、45°、60°角的各种三角函数值 终极考点3   解直角三角形（重点） 一、基础概念考点 1、理解解直角三角形定义：已知直角三角形中除直角外两个元素（至少一条边），求出其余所有未知边和未知角。 2、掌握Rt△五大元素关系：两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数边角关系。 锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； 三边之间的关系： 边、角之间的关系：sinA= =，cosA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． 三、四大基本类型考点 （在Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a、b、c，∠A、∠B为锐角） 1、已知两条直角边a、b 解题方法：①利用勾股定理c=求斜边c；②通过tanA=a/b求锐角∠A；③利用∠B=90°-∠A求出∠B。 2、已知斜边c和一条直角边a 解题方法：①由勾股定理b=求另一直角边b；②通过sinA=a/c求出锐角∠A；③根据∠B=90°-∠A算出∠B。 3、已知斜边c和一个锐角∠A 解题方法：①利用∠B=90°-∠A求另一个锐角；②通过a=c·sinA求∠A的对边a；③通过b=c·cosA求∠A的邻边b。 4、已知一条直角边a和一个锐角∠A 解题方法：①由∠B=90°-∠A求出另一个锐角；②通过c=a/sinA求斜边c；③通过b=a/tanA求另一条直角边b。 四、构造直角三角形考点（重中之重） 1、非直角三角形，通过作高、作垂线构造Rt△。 2、等腰三角形、四边形、梯形、不规则图形，作高分割成直角三角形求解。 3、网格图形中，利用格点边长直接构造直角三角形求三角函数值。 终极考点4   解直角三角形实际应用题（重点） 一、核心考查本质 把生活测量、工程建筑、航海爬坡等实际问题，抽象转化为直角三角形模型，利用锐角三角函数、勾股定理、方程思想求解边长、高度、距离、角度，是中考解答题高频必考题型。 二、四大必考专业概念 1、仰角：视线在水平线上方，向上看形成的夹角。 2、俯角：视线在水平线下方，向下看形成的夹角。 3、坡度与坡角 坡度（坡比）i=铅直高度:水平宽度 =tan坡角； 坡角：坡面与水平面的夹角。 坡度只算比值，不是角度。 4、方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体偏转的角度，如北偏东、南偏西。 三、三大经典几何模型（中考必考） 1、单直角三角形模型 直接一个直角三角形，已知边角，求高度、距离，题型最简单。 2、双直角三角形共高模型 两个直角三角形共用一条高，左右并排，常见测塔高、楼高、山高，设高为未知数，列方程求解。 3、母子直角三角形模型 大直角三角形内含小直角三角形，共公共直角边，多用于山坡、堤坝、跨河测量。 四、通用标准解题步骤 1、审题画图：根据题意画出平面几何示意图，标出已知角度、已知边长。 2、构造直角三角形：无直角就作垂线、作高，分割成直角三角形或双直角三角形。 3、设未知数：把要求的高、距离设为 x。 4、列关系式：用正弦、余弦、正切或坡度定义列出方程。 5、计算求解：代入特殊角三角函数值，规范计算。 6、作答还原：回归实际问题，写出完整答语，注意单位。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 锐角三角函数的定义 （2026·海南海口·一模）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二 特殊角的三角函数值 （2026·广东中山·二模）计算： 题型三 求角的三角函数值 （2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 题型四 利用三角函数求边长 （2026·海南海口·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则______，_______． 题型五 锐角三角函数与网格问题 （2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 题型六 锐角三角函数与最值问题 （2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 题型七 锐角三角函数与翻折问题 （2026·黑龙江·一模）如图，中，，，，为的中点，为的边上一动点，把翻折得到，若与的直角边平行，则的长为______． 题型八 解直角三角形的相关计算 （2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，点是边的中点，连接，将沿翻折至，交于点，连接．若，则（1）的长为____；（2）的面积为___． 解题妙法 1、已知两直角边：先用勾股定理求斜边，再用正切求锐角，互余求另一角。 2、已知斜边+一直角边：勾股定理求第三边，用正弦或余弦求锐角。 3、已知斜边+一锐角：先用互余求另一角，再用sin、cos分别求两条直角边。 4、已知一直角边+一锐角：互余求另一角，再用三角函数求斜边和另一直角边。 题型九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 （2026·宁夏银川·一模）综合与实践 发现新知：小李同学发现这样一个命题：已知和都是锐角，若，则．他想：这个命题是真命题还是假命题呢？请同学们跟随小李同学一起探究一下吧． (1)初步探究：小李在如图①所示的正方形网格中，取格点A，B，C（网格线的交点），经过测量发现______； (2)尝试探究：如图②，在中，，求证：； (3)拓展应用：如图③，在正方形中，是的中点，点在上，且，求的长； (4)如图④，在矩形中，，点在矩形内，且，求四边形的面积． 解题妙法 构造直角三角形解题方法 1、斜三角形：过顶点作底边高，分成两个直角三角形。 2、梯形、四边形：作高分割为直角三角形和矩形。 3、网格图形：利用格点横向纵向边长，直接构直角三角形求三角函数值。 4、圆中题型：连直径、作切线，构造直角三角形。 题型十 解直角三角形的应用：俯角仰角问题 （2026·广东梅州·二模）综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 (1)求支撑杆上的长度． (2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 解题妙法 1、口诀：水平线做基准，上仰下俯看视线。 2、先画水平平行线，把观测点水平线画出。 3、仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角。 4、必有双直角三角形共水平距，常设高度为x。 5、同一水平线、同一竖直高，利用两个直角三角形正切列方程联立求解。 6、技巧：只多用tan，少用正余弦，计算最简。 题型十一 解直角三角形的应用：方向角问题 （2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 解题妙法 1、口诀：先定南北线，再偏东或西。 2、方位角永远以正北、正南为起始基准，不以东、西为基准。 3、先画十字坐标：上北、下南、左西、右东。 4、把所有方向角标在坐标里，利用平行线内错角相等转化角度。 5、最终一定凑出直角或特殊角三角形（30°、45°、60°）。 6、方法：标角→转化→构Rt△→用三角函数或勾股定理求解。 题型十二 解直角三角形的应用：坡度坡角问题 （2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 解题妙法 1、口诀：坡度是比值，坡角才是角；竖直比水平，就是正切值。 2、分清概念： 坡度 i= 竖直高度 h: 水平宽度 l 坡角α：坡面与水平面夹角，i=tanα 3、见到坡度，立刻拆成竖直边、水平边、坡面斜边。 4、已知坡度，直接设份数：如坡度1:，设高为x，水平宽为x。 5、用勾股定理求坡面长，再配合三角函数求边长、高度。 6、易错妙法：坡度永远不是角度，不能直接当角代入计算。 题型十三 三角函数综合 （2026·内蒙古通辽·二模）如图－1，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：． 2．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 3．（2026·河南周口·模拟预测）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． (1)求的长； (2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 6．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 7．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数） 8．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 9．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的值． 10．（2026·安徽六安·二模）2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下： 实物图 测量工具 卷尺、测角仪…… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于） 参考数据 ，， 请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）． 倒计时3天 潜心读懂题意、稳抓几何考点，放平心态步步严谨，中考阅读证明题定能稳稳拿满分。 阅读与证明 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考数学阅读与证明题，主要考查几何全等、相似、勾股定理、特殊四边形、圆相关性质与定理应用。阅读类侧重新定义理解、规律归纳、公式类比迁移，提炼题干信息转化为数学模型。证明题聚焦逻辑推理、严谨书写、辅助线构造，考查线段、角度、位置关系论证。同时兼顾代数几何综合运算，检验审题归纳、数形结合、举一反三能力，注重步骤完整性与因果逻辑性，贴合核心素养，区分学生自主学习与逻辑推理综合水平。 ►中考前沿： 阅读与几何证明是中考数学核心重难点题型，贯穿全卷中档与压轴板块，充分体现数学逻辑素养与综合应用能力。此类题目以新定义、几何模型、规律探究为载体，结合图形性质、定理推理、数形结合思想，既考查全等、相似、圆、特殊四边形等基础知识，又考验学生阅读理解、信息提炼、类比迁移与严谨推理能力。试题层次分明，由基础理解逐步延伸拓展，注重逻辑闭环与规范书写，紧扣中考命题导向，助力夯实几何思维，提升审题分析、推理论证能力，是拉开分数差距、衡量数学综合素养的关键题型。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   新定义数与运算（简单） 1. 新特殊数 和谐数、友好数、伴随数、对称数、完美数、勾股数、神秘数等 判断一个数是否符合定义、列举符合条件的数、证明这类数具备某种规律、整除特征。 2. 自定义四则运算 规定新符号※、☆、⊕，全新运算顺序与法则 按照题干公式代入计算、整式化简、解方程、比较大小，注意不混用小学初中旧运算律。 3. 数位新定义 两位数、三位数个位十位百位变换，轮换数、颠倒数 结合整式表示：两位数10a+b，三位数100a+10b+c，做加减、整除、倍数证明。 解题核心步骤 1. 读懂定义：圈关键词，抄准运算公式 2. 模仿举例：用简单数字代入验证规则 3. 代数一般化：用字母表示数，整式变形推导 4. 严谨证明：因式分解、配方，证明整除、定值、倍数关系 终极考点2   等式规律探究（简单） 题目给出一组连续特殊等式，先找数字变化规律，写出第n个通用式子，再用整式运算、乘法公式严格证明等式成立。 中考必考阅读大题，侧重观察→猜想→归纳→严谨代数证明，满分易丢步骤分。 高频等式类型 1. 平方差规律：相邻数、连续奇数、连续偶数平方关系2. 完全平方规律：几个数运算后凑完全平方式 3. 裂项求和规律：分数拆分、相邻分式相消4. 自然数倍数规律：连续整数乘积、定值、整除规律 解题三步走 1. 找规律：对比等式左右两边，看序号n与数字关系，用字母写出第n个一般等式。两位数、多位数统一用 10a+b、100a+10b+c 表示。 2. 代数化简：左边展开：平方差、完全平方公式、整式乘除合并同类项 3. 严谨证明：左边化简变形 = 右边，等式恒成立，完成证明。 核心考点公式 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b2 终极考点3   因式分解与恒等变形（重点） 中考高频代数阅读压轴题，题干给材料方法、数字特例，让你用因式分解、整式恒等变形，证明整除、定值、大小关系、平方规律，重逻辑、重步骤，不考难题怪题，全考公式熟练运用。 核心考查知识点 1. 乘法公式 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b22. 提公因式法、十字相乘分组分解 3. 配方变形、非负数性质4. 整式左右恒等化简、左右互推 常考三大命题类型 1. 整除性证明 把多项式因式分解，写成几个整式乘积形式，直接证明能被某数整除。 例：证明连续四个整数乘积+1一定是完全平方数。 2. 等式规律证明 左边复杂式子，通过展开、合并、因式分解、配方，化简后等于右边，完成严谨论证。 3. 大小比较与定值问题 作差法：A-B因式分解+判断正负，得出A>B或A<B； 变形后不含字母，结果固定，即为定值。 标准解题步骤 1. 抄写原式左边代数式2. 展开、去括号、合并同类项3. 配方 / 因式分解变形4. 化简整理，证出=右边 或 判断正负、倍数关系5. 下结论 终极考点4    方程新解法（重点） 题目先阅读材料讲解换元、整体思想，再模仿方法解分式方程、二元方程组、高次方程。不考硬算，全考理解迁移，是中考代数阅读高频必考题型。 换元法（分式方程必考） 1. 适用：重复出现相同复杂代数式、分式结构一致 2. 方法：把重复整体设为y，复杂方程变简单一元一次/二次方程 3. 步骤①观察找重复式子 → ②设元换元 → ③解新方程 → ④回代求原未知数 → ⑤分式必须检验 例：x/x-1+2(x-1)/x=3，设x/x-1=y 整体代换法（二元一次方程组必考） 不单独解出x、y，把ax+by看成一个整体 1. 加减整体消元，不用分别求未知数2. 直接求x+y、x-y、2x+3y这类代数式的值，大幅简化计算，避免繁琐运算出错 两类方程结合考法 1. 二元方程组整体代换：两式相加、相减，整体求倍数关系，再求值 2. 分式方程换元，中考必考点：换元后简化，严禁直接去分母硬算，容易增根、漏解 终极考点5   函数性质推理（简单） 题目阅读陌生函数新定义、新规律、新图像特征，不考课本死记性质，现场理解、代数推导、数形结合证明，是中考代数压轴高频阅读题。 主要考查函数类型 1. 一次函数：对称性、增减性、定点不变、线段关系、面积定值证明 2. 反比例函数：k的几何意义、矩形面积不变、两点对称、比例关系推理 3. 二次函数：对称轴、顶点最值、增减区间、与坐标轴交点、恒成立问题 4. 自定义新函数：分段函数、绝对值函数、衍生函数，类比已有函数推理 核心解题方法 1. 代数推理法：代入坐标、解析式变形、配方、联立方程，计算证明大小关系、最值、定点、对称。 2. 数形结合法：看图判断增减、交点、范围，用坐标计算严谨证明，不凭图像直观下结论。 3. 特殊到一般：先代简单数字找规律，再用字母参数严格证明普遍性。 常考结论证明 函数图像过定点：参数无论取何值，式子恒成立 增减性：比较两点函数值大小，作差判断正负 对称性：横坐标、纵坐标互为相反数/倍数关系 面积定值、线段比值不变、交点规律 终极考点6   三角形：全等证明、等腰直角三角形、勾股定理、角度线段推理（重点） 1. 三角形内角、外角性质 内角和180°，外角等于不相邻两内角和，外角大于任意一个不相邻内角，角度等量代换、倒角证明。 2. 全等三角形判定与证明 SSS、SAS、ASA、AAS、HL直角专用；证边相等、角相等、线段和差、位置垂直平行。 3. 特殊三角形 等腰三角形：等边对等角、三线合一、等角对等边 直角三角形：勾股定理、斜边中线等于斜边一半、30°角对直角边是斜边一半 4. 相似三角形 平行得相似、两角对应相等、两边成比例夹角相等；求线段比例、长度、周长面积关系。 5. 折叠、旋转、动点模型 阅读材料给变换规律，类比倒角、证全等相似、求边长角度。 解题思路 1. 先找公共角、对顶角、公共边，进行角度转化2. 优先证全等，线段无法直接求再用相似3. 辅助线：倍长中线、作高、连接线段、构造等腰直角三角形4. 严格写因果步骤：∵∴格式，定理依据不能省略 高频易错 1.SAS必须夹角，不是任意两边2.忽略三角形三边关系3.直角三角形HL只能直角三角形用4.只看图猜角度，不用定理严谨证明 终极考点7   特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定与性质证明（重点） 1. 平行四边形 性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 判定：两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分 常考：线段相等、平行关系、周长面积、中点推理 2. 矩形 平行四边形+一个直角 / 对角线相等 性质：四个角都是直角、对角线相等且互相平分、直角三角形斜边中线模型 3. 菱形 平行四边形+一组邻边相等 / 对角线互相垂直 性质：四边相等、对角线垂直平分且平分内角、面积=对角线乘积÷2 4. 正方形 兼具矩形+菱形所有性质：四边相等、四角直角、对角线相等垂直平分 判定：矩形+邻边相等 / 菱形+一个直角 阅读题型考法 1. 材料给折叠、旋转、平移变换，类比推理四边形形状2. 证明线段垂直、相等、平分，角度倍数关系3. 结合三角形全等、相似，求边长、最值、面积定值4. 新定义四边形，套用性质判定逻辑证明 解题套路 1. 先证平行四边形，再叠加条件证矩形/菱形/正方形2. 对角线是突破口：相等→矩形，垂直→菱形3. 连接对角线，把四边形转化三角形全等、勾股定理解题4. 规范书写∵∴步骤，每一步写清判定定理 终极考点8   相似三角形（重点） 核心性质 1. 对应角相等，对应边成比例2. 周长比 = 相似比3. 面积比 = 相似比的平方4. 对应高、中线、角平分线比 = 相似比 三大判定定理 1. AA两角对应相等（中考90%题都用这个）：平行截线、公共角、同角余角相等，快速证相似 2. SAS两边成比例且夹角相等：注意必须是夹角，不是任意两边 3. SSS三边对应成比例，很少单独考 必考经典模型（阅读题高频） 1. A字型平行相似：平行线截三角形，上下三角形相似2. 8字型（X型）对顶相似：交叉相交，对顶角+等角→相似3. 一线三等角模型：同一直线上三个相等角，必出相似，压轴必考4. 母子直角三角形（射影定理）：直角三角形作斜边上高，三个三角形两两相似 阅读题解题思路 1. 先倒角找相等角，优先证AA相似2. 写出比例式，转化线段乘积式3. 结合勾股、方程求边长4. 折叠、旋转、新定义图形，全部转化相似模型解题 终极考点9   圆综合（重点） 核心必背考点 1. 弧、弦、圆心角关系：同圆或等圆中，等弧↔等弦↔等圆心角，互相转化倒角。 2. 圆周角定理：同弧所对圆周角=圆心角一半；同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角=90°。 3. 圆内接四边形：对角互补，外角=内对角，高频倒角神器。 4. 垂径定理：垂直弦的直径平分弦、平分弦所对两条弧；知二推三，计算弦长、半径。 5. 切线必考1.性质：切线⊥过切点半径2.判定：连半径，证垂直；作垂直，证半径 阅读压轴常考模型 1. 切线证明+线段求值2. 弦切角倒角，证三角形相似3. 双切线模型：切线长相等，垂直平分连心线 4. 直径直角模型：构造直角三角形+勾股定理5. 圆与相似结合：母子相似、射影定理求边长 标准解题步骤 1. 遇直径→找直角三角形2. 遇切线→先连半径，证垂直3. 角度不够→用圆周角、圆内接四边形转换 4. 边长计算→勾股定理、相似比例、方程求解 终极考点10   几何新定义（重点） 题目现场自定义一种新距离、新图形、新变换、新角度，课本没有原型，完全考读懂规则→模仿应用→类比推理→严谨证明，中考几何压轴必考。 高频四大类型 1. 新距离定义：点到线段距离、折线距离、直角距离、最短路径新定义，转化：垂线段最短、勾股、轴对称、三角形三边关系 2. 新图形定义：友好三角形、黄金四边形、等腰倍角三角形、完美四边形，套用全等、相似、特殊四边形性质判断形状、证明边长角度关系 3. 新几何变换：新旋转、新折叠、对称拓展变换，抓住变换前后边长不变、角度不变，构造全等、相似解题 4. 新角度关系 倍角、半角、互补、互余、外角拓展定义，核心就是倒角转化，利用三角形内角和、外角、平行线倒角 万能解题三步法 1. 精读定义，抠关键词：圈出新规则：什么算符合、什么不符合，用简单特殊图形验证理解 2. 特殊→一般，先代直角、等腰、中点等特殊情况找规律 3. 字母严谨证明转化成熟悉模型：全等、相似、勾股、四边形性质，规范写∵∴逻辑 必考几何模型关联 A字相似、8字相似、一线三等角、折叠全等、旋转全等、直径直角三角形 所有新定义，最后全都变回课本常规模型 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 新定义数与运算 （2026·山西临汾·一模）计算及问题解答 (1)计算：． (2)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：方程两边同乘，得，……第一步 ，……第二步 ．……第三步 检验：当时，． 所以是分式方程的解……第四步 任务一：小明的解法从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． 任务二：请直接写出该分式方程的解． 题型二 等式规律探究 （2026·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： (1)请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． (2)直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； (3)完成“算法推理”中的证明过程． 题型三 因式分解与恒等变形 （2026·广东珠海·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（，均为自然数）”的问题． 指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _______ 按上表规律，完成下列问题： (1)（ⅰ）（________）（________）； （ⅱ）________； (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数． 而不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，…… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，…… 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②，情形③的证明． 题型四 方程新解法 （2026·安徽六安·一模）阅读材料，回答问题： 主题 一元二次方程整数根的探究 提出问题 小漳是一位爱思考的学生，一次，在完成作业时，他猜想：设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，那么必有． 分析探究 问题一：小漳的猜想是正确的，并给予以下证明： 设n为有理数，已知方程有一个整数根，令方程中一个整数根为m，将m代入一元二次方程得：，整理得： _______①，由m为整数知： ②是整数，一定是整数，是有理数，，． 推广延伸 小漳的猜想激发了小余的探究热情，为使问题的研究推广到数的奇偶，进而迁移到对“可能值”的研究，借此，小余提出了问题并回答了问题． 问题二：设a为整数，已知存在整数b和c，对于任意实数x，都有，求a的可能值． 解法一：由得． 具有任意性，所以多项式的一次项系数和常数项均为0，得 ，即， 从而有或③ 或④ 即或或． 当时，，同理⑤ 或⑥ 综上，a的可能值即可得出． 解法二：在上面，我们已经求得…… 请将①②③④⑤⑥补充完整． 题型五 函数性质推理 （2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的新函数．那么当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近．例如，已知部分分式，我们令，当时，随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． …… 任务： (1)将分式化为部分分式． (2)函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ (3)拓展：当时，分式的值随着的增大而减小，且随着的无限增大，的值无限接近，请你直接写出的最小值以及的值． 题型六 三角形：全等证明、等腰直角三角形、勾股定理、角度线段推理 （2026·江苏盐城·一模）阅读材料，解决问题． 课题 图形翻折变换中圆的有关问题探究 素材 如图1，在中，，，，点E、F分别是边、上的动点，连接，，在同一平面内，将沿着翻折得，M为的中点，过点M作的垂线交于点O，以长为半径作． 变换1 如图2，点E为的中点，且点P恰好落在边上，与交于点H，连接． 变换2 如图3，平分，且． (1)问题1：根据素材和变换1： ①请说明； ②与相切吗？请说明理由． (2)问题2：根据素材和变换2： ①直接写出的半径的长为______． ②取图3中的四边形，请用无刻度的直尺与圆规在四边形中作出一个最大的半圆．（保留作图痕迹，不写作图过程，不需证明） 解题妙法 阅读理解题专属做题步骤 1、慢读一遍：圈新定义、新规则、给的模型结论。 2、对照旧知识：往全等、等腰直角、勾股、三线上面靠。 3、模仿例题：题中给的推导方法，直接照搬套用到第二问第三问。 4、先证角再证边，先全等再推长度角度，逻辑不跳步，阅卷不扣分。 题型七 特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形判定与性质证明 （2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务： 关于“射影定理”的研究报告如图①，被平行于CD的光线照射，，于点D，AB在投影面上．那么线段的投影是，线段的投影是．我们可以利用三角形相似证明，这个结论我们称为射影定理．下面为某同学的证明过程：   证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，则，∴． 某数学兴趣小组利用上述结论进行了如下的探究： 已知：如图②，在矩形中，． 求作：等腰直角三角形，使等腰直角三角形的面积等于矩形面积的一半．   作法： （1）在的延长线上截取； （2）作线段的垂直平分线l，交于点O； （3）以点O为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H； （4）以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点G，连接，即为所求等腰直角三角形．    (1)根据上述作法，请在图②中使用尺规完成作图，并标注对应字母； (2)请结合作图过程，证明该小组作法的正确性； (3)结合（1）（2）问的思路，已知正方形，也可以作出与其面积相等的矩形（长宽不等）．如图③，在正方形的边上取一点E（不与B，C重合），以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，作，交的延长线于点G，以为邻边作矩形，则矩形即为所求．若E是边的三等分点，请直接写出矩形的长和宽的比值． 解题妙法 阅读与证明通用解题步骤 1. 圈条件：平行、垂直、平分、相等、中点、角平分线、折叠。 2. 先打底：一律先证平行四边形，再升级成矩形/菱形/正方形，不跳步。 3. 抓两大突破口 看角：有90°往矩形、正方形靠；有角平分找等腰、找边相等。 看对角线：平分→平行四边形；相等→矩形；垂直→菱形；又等又垂→正方形。 题型八 相似三角形 （2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， …… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：_____． 依据2是指：_____． (2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程． (3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____． 题型九 圆综合 （2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 题型十 几何新定义 （2026·山东青岛·一模）【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 2．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小敏同学在日常学习过程中，通过翻阅资料了解到的一个新内容，请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 等垂四边形 【概念理解】 定义：如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作“等垂四边形”．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为“等垂四边形”． 【性质探索】 如图1，根据定义，探索“等垂四边形”的性质可得结论：． 证明：四边形是“等垂四边形”， …… 任务： (1)在图1中，若，，则的度数为___________． (2)完成【性质探索】中的证明过程． (3)如图2，已知锐角，请你在图中作出“等垂四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： (1)补全笔记中的证明过程． (2)拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 4．（2026·山西晋中·二模）阅读与思考 下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 互补三角形 【概念理解】 如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补． 例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形．   【问题解决】 问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）．     【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等． 已知：如图③，已知与是互补三角形，，． 求证：与的面积相等． 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， …    任务： (1)问题中的与是不是互补三角形 （填“是”或“否”）； (2)请将【性质探索】中的证明过程补充完整； (3)如图④，已知线段，交于点B，请在图④中作与，使得与是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．    5．（2026·山西长治·一模）阅读与思考 下面是小顾同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的旁心 【概念理解】 与三角形两条边的延长线、第三条边都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心是三角形第三条边所对内角的平分线与另外两个外角的平分线的交点，叫做三角形的旁心．如图1，平分，平分，平分，分别与，，相切，所以点O是的旁心，是的旁切圆． 【性质探索】 1．每个三角形都有_______个旁心，且所有旁心均位于三角形_______（填“内部”“边上”或“外部”）． 2．三角形的旁心到三角形三边的距离相等，且到三边的距离与三角形的边长和面积存在数量关系． 如图2，点O是的旁心，设，，所对的边长分别为a，b，c，过点O分别向，，作垂线，与边及，的延长线分别交于点E，D，F． ①求证：． ②若，求证：． 证明：①∵平分，，， （依据）． 同理，，． ． ②∵…… 任务： (1)填空：材料中【性质探索】的两个横线处分别填_______和_______，证明过程中的“依据”是指_______． (2)请补全材料中②的证明过程． (3)如图3，在等边三角形中，，是的旁切圆，与，的延长线分别相切于点D，E．请直接写出图中阴影部分的面积． 6．（2026·山西·一模）阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．   例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： (1)请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． (2)请补全问题的证明过程． (3)智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    7．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 8．（2026·山西大同·一模）阅读与思考 下面是小帅同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 画法一： 1．以为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段，连接； 3．过点分别画的平行线，交线段于点，则就是线段的三等分点． 证明： 由作法可知：（依据） 由作图得： 是线段的三等分点． 画法二： 1．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，四段弧分别交于点； 2．连接，作射线 3．以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； 4．连接，交于点，则点为的一个三等分点． 证明：由作法可知： 四边形是菱形 ， ．．．．．． 画法三： 1．过点任意作一条直线 2．以点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交直线于点3．．．．．．． 知识链接： 已知三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心有一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．如图④，在中，分别是边的中点，相交于点，则是的三等分点，也是的三等分点． (1)画法一中的依据是___________． (2)请补全画法二的证明过程． (3)请根据重心的性质，在备用图中作出线段的一个三等分点，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 倒计时2天 看透图形相似比例关系，稳住心态步步推导，找准对应边角，难题自会迎刃而解。 图形相似 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形相似是中考数学几何核心与重难点，属高频必考模块，分值约3-19分，占比15%-20%，每年考查1-3道题，涵盖选择、填空、解答题，压轴题必考。核心考查相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（对应边成比例、面积比为相似比平方），常结合A字、8字、一线三等角等模型。命题侧重跨板块综合，多与三角形、四边形、圆、二次函数融合，聚焦逻辑推理、比例计算与辅助线构造能力，是拉开分数的关键，直接决定几何综合题的得分层次。 ►中考前沿： 2026年中考图形相似命题将延续“基础+综合+创新”趋势，核心考点不变，更重模型识别与知识迁移。基础题聚焦相似判定、性质及比例线段计算，难度低，确保得分；中档题强化A字、8字、一线三等角等经典模型的变式应用，结合动点、折叠考查转化思想；压轴题以“圆为背景、相似为骨架”，融合二次函数、最值问题，突出动态几何与多模型叠加，强调复杂图形拆解与逻辑推导。整体难度稳中有升，注重思维严谨性与解题规范性，减少机械计算，强化核心素养考查。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   比例的性质（简单） 1、基本性质： 2、变形： 核心内容： 3、合、分比性质： 4、等比性质：如果， 那么. 5、黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 6、平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. （1）已知l3∥l4∥l5, 可得等 （2）把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 终极考点2   相似三角形（重点） 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，且截得的三角形与原三角形相似。 2、相似三角形判定定理 两角分别相等（AA，中考最常用） 两边对应成比例且夹角相等（SAS） 三边对应成比例（SSS） 直角三角形：一组锐角相等、斜边直角边对应成比例 3、相似三角形性质 对应角相等，对应边成比例 对应高、对应中线、对应角平分线、周长比=相似比 面积比=相似比² 终极考点3   中考高频相似模型（简单） 一、A字型相似（最基础、考得最多） 1、图形特征：三角形内部有一条平行于底边的线段，像大写字母A。 2、核心原理：DE//BC⟹ △ADE ~△ABC 3、性质口诀：平行出相似，两角对应等； 4、对应边成比例： 5、变形：倒A字型：线段在三角形下方延长线上，原理完全一样，依然用平行线证相似。 二、8字型相似（蝴蝶型） 1、图形特征：两个三角形上下对顶，交点在中间，整体像数字8，也叫蝴蝶模型。 2、核心条件：对顶角相等，再加一组内错角相等（平行线），直接证相似。 3、判定：∠AOB=∠DOC（对顶角），∠A=∠D⟹ △AOB~△DOC 4、解题关键：认准对顶角+一组等角，立马列比例式求边长。 三、一线三等角相似（中考压轴常客） 1、图形特征：同一条直线上，有三个相等的角，故称一线三等角。 2、常见：直角在一条直线上、等腰三角形底角在同一直线。 3、核心原理：利用平角180°，通过角的互余/互补，推导出两组角分别相等，用AA证相似。 4、经典场景：直角坐标系、矩形折叠、动点几何、压轴大题最爱考。 5、解题套路：见直线上三个等角，直接判定相似，不用再一步步推角，直接列比例计算。 四、母子相似（射影定理模型） 1、图形特征：直角三角形，过直角顶点作斜边的高，把原大直角三角形分成两个小直角三角形。 大三角形像“母”，两个小三角形像“子”，统称母子相似。 2、三大相似关系 Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⟂BC，△ABD~△CBA；△ACD~△BCA；△ABD ~△CAD 3、必考三级比例（射影定理）：直角边² = 斜边×邻段；高² = 斜边两段之积 终极考点4   位似（重点） 一、位似定义 如果两个图形相似，且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），这样的两个图形叫做位似图形。这个公共交点叫做位似中心。 二、位似三大关键特征 1. 位似图形一定相似，相似图形不一定位似； 2. 对应点连线交于位似中心； 3. 对应边平行或共线。 三、位似的性质 1. 位似图形对应角相等，对应边成比例； 2. 位似比 = 相似比； 3. 周长比 = 位似比； 4. 面积比 = 位似比的平方； 5. 对应点到位似中心的距离之比 = 位似比。 四、平面直角坐标系中的位似（中考必考） 以原点为位似中心，位似比为 k： 原坐标 (x,y)，位似后坐标为：(kx,ky) k>0：同向位似，图形在原点同侧；k<0：反向位似，图形关于原点中心对称缩放 考点套路：给一个多边形坐标，求放大/缩小后的顶点坐标，直接套公式。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 比例的性质及比例线段 1．（2026·江苏扬州·一模）如果，则___________． 2．（2026·山西晋中·二模）百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： (1)已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； (2)宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 题型二 黄金分割 （2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 题型三 相似多边形的性质 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 题型四 由平行判断成比例的线段 （2026·吉林长春·一模）如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． (1)当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； (2)当点P在边上运动时，若，则的值为 ； (3)当点P在边上运动时，连接．求证：； (4)当时，直接写出的长． 解题妙法 解题三步妙法（考场通用流程） 1、先找平行线：一眼扫图，找出哪两条线平行，这是突破口。 2、定对应线段：遵循平行夹线段，上下对应、左右对应，只看被平行线截断的线段，不乱拉无关边。 3、列比例式、交叉相乘求解 比例式：段1/段2=段3/段4；直接内项积=外项积，秒解方程求边长。 题型五 由平行截线求相关线段的长或比值 （2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分． (1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图2，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，________ ，_________， ，即． (2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． (3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长． 题型六 相似三角形的判定 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，内接于，，点在上，点在边上，连接，，，，．    (1)求证：； (2)若，求的值． 3．（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 4．（2026·广东广州·一模）如图，已知四边形为矩形． (1)尺规作图：在线段上作点，使得，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求证：． 5．（2026·河南·二模）有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ (1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； (2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 解题妙法 第一步：先看有没有平行线 有平行→直接出等角→用AA判定；平行得同位角、内错角相等，不用算边长，最快最简单。 第二步：找隐藏等角 优先找这三类角：公共角；对顶角；同角的余角、补角；只要凑两组等角，立刻AA相似。 第三步：无角就算边：找不到两组角，就算边长比值：两边比例相等 + 夹角同 → SAS 三边比例全相等 → SSS 第四步：锁定模型直接秒 看到图形先套模型，不用慢慢推： A字型、8字型：平行直接AA；一线三等角：天然两组等角，直接相似 母子相似（直角斜高）：自带三对相似，直接用 题型七 相似三角形的性质 1．（2026·广东梅州·二模）如图，已知，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，已知，，是边的中点，以为角的顶点作．如图-1，射线经过点，射线交边于点． (1)在图-1中，下列三角形与相似的有（    ）（多选） A．    B ．        C． (2)判断图-1中与的位置关系，说明理由，并求的长；（结果用含的三角函数表示） (3)如图-2，若，将从图-1中的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，旋转角为．射线，分别交，于点，． ①连接．求证：； ②小明认为：随着的运动，点到直线的距离不变． 小亮认为：随着的运动，点到直线的距离随的变化而变化． 请你判断他俩的说法哪个正确；若小明的正确，请直接写出这个距离；若小亮的正确，请简单描述变化趋势． 3．（2026·上海长宁·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 解题妙法 万能解题三步妙法 第一步：先定相似、找准对应 先证出两个三角形相似，按角对应排好顶点顺序， 顺序不乱，比例就不会列错，这是最关键一步。 第二步：分清求什么，对口用性质 求边长、高、中线、角平分线、周长 → 直接用相似比 求面积、面积比值 → 一定用相似比的平方 第三步：比例式交叉相乘秒算 列出对应比例a/b=c/d 直接内项积=外项积，不用复杂步骤，快速求线段长。 分类秒杀技巧 1. 求线段长度：认准对应边，按相似比直接缩放，大变小、小变大。 2. 求周长：周长之比等于相似比，不用一条条边再加。 3. 求面积：先求相似比，再平方就是面积比；已知面积比，开方就是相似比。 4. 有平行线：平行→相似→直接套用所有性质，一步到位。 题型八 相似三角形动点问题 1．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 解题妙法 一、核心解题总思路 动点相似 = 设时间→表线段→找等角→列相似比例→解方程→验取值范围 二、标准四步解题法（所有动点题通用） 第一步：设动点运动时间：设运动时间为 t，用含 t 的代数式，表示出动点所在所有线段长度。 第二步：锁定不变角、找相等角：动点在动，但固定角、公共角、直角、对顶角永远不变； 优先用 AA两角相等 证相似，动点相似90%都用AA。 第三步：分类讨论（重中之重） 动点相似大多不止一种情况，必须分类： 1. 固定一个角为公共等角 2. 分两种对应相似情况： 情况一：△甲∽△乙 情况二：△甲∽△丙 对应顶点不同，比例式就不同，必须分开列 第四步：列比例式、解方程、验根 按相似对应边列比例边1/边2=边3/边4 交叉相乘解出 t，一定要检验： t>0、动点不能超出线段端点范围，舍去不合理解。 三、三大秒杀技巧 1. 遇直角动点：优先找直角相等，再找一个锐角相等，直接AA相似，不用算边长。 2. 遇平行线动点：动点产生平行→直接A字型、8字型相似，直接套比例。 3. 遇一线三等角动点：直线上有固定直角/等角，动点落上去，天然满足一线三等角，直接相似不用推角。 题型九 相似三角形实际应用 1．（2026·上海普陀·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 2．（2026·江苏泰州·一模）与是位似图形，且与的相似比是，若的周长是4，则的周长是_____． 题型十 位似图形 （2026·江苏无锡·一模）如图，是上的点，和是位似图形，位似中心为点，点对应点是点，与相切，若的半径为，，则的长为______． 题型十一 坐标系与位似图形 （2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东梅州·一模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______． 2．（2026·广东珠海·二模）根据素材，解决问题． 阅读素材 素材一：如图1，羽毛球双打场地为长米、宽米的矩形，球网高度米，点在上，米，点在球场内，点到距离为米，到距离为米，点到距离为米，到距离为米，为球网线（即球场的中线）． 素材二：如图2，在某次比赛中，球员甲在点的上方1米的处击球，若球的运行路线呈抛物线，在球网线正上方距地面4米处达到最高，预设球的落地点在射线上． 素材三：如图1，若球员乙在上的点上方处迎球回击，，预设球沿直线运行指向点处（如图3所示）． 解决问题： (1)如图1，求的长； (2)如图2，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，若表示球运行的水平距离，表示球的运行高度，求与之间的函数关系式； (3)通过计算，判断球员乙的预设是否能够实现？ 3．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 4．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 6．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 7．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，，点为的中点，在射线上有点，连接，且，点，分别是，的中点，连接，则的长为_________． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 10．（2026·浙江湖州·一模）如图，矩形中，对角线，交于点，点是点关于直线的对称点．连接交，于点，连接．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 倒计时1天 认真对待每一套押题模拟，放平心态查漏补缺，稳扎稳打奔赴中考，自信落笔定能超常发挥！ 押题模拟卷 一、单选题 1．实数的倒数是（    ） A． B． C． D．3 2．春节是我国传统节日，每年春节晚会的主题都不同，不仅有艺术价值，还承载着丰富的传统文化．下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．“月明松影路，春满杏花山”表达了人们对自然美景的喜爱，杏花花粉的直径为0.000032米，用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．为使太阳能热水器的光能利用率最高，要求集热板始终与太阳光线保持垂直．某日正午，户外的太阳光线与水平面的夹角为，则此时集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 6．若反比例函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．某生物学习小组进行了绿豆发芽试验，在同等实验条件下，统计结果如下： 试验种子粒数 100 400 600 1000 2000 3000 发芽种子粒数 96 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 随着绿豆的增多，发芽的频率将会稳定在某个常数附近，由此数据可估计绿豆发芽的概率为（   ） A．0.960 B．0.948 C．0.950 D．0.955 9．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上的点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：=______． 12．如图为万达影城的价目表，某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买______盒爆米花． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 15．如图是生活中常见的遮阳棚，结构稳固，常用于小区、公园等场所．如图，在中，，，是中线，平分，交延长线于点，则的长为________． 三、解答题 16．计算和化简 (1)计算：． (2)化简：． 17．如图，在中，，分别是，的中点，连接，是上一点，且点到，的距离相等，连接，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形B的周长为，，求的长． 18．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 19．为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为，共分为五组： A：，B：；C：，D：，E：，整理成如下频数直方图与扇形统计图（不完整）． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：130，135，133，135，135，134； 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析：该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 135 女同学 134 136 认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________；并补全频数直方图． (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数． (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个更优秀？说明理由． 20．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“平行六边形”的研究报告 研究对象：平行六边形 研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明 研究内容： 【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形．如图1，在六边形中，，，，六边形就是平行六边形．其中与，与，与是三组对边，与，与，与是三组对角． 【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行．除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们提出如下猜想： 猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______，三组对角分别相等． 下面我们结合图1所示平行六边形，证明，，． 证明：如图2，连接． 六边形是平行六边形，，． ，．（依据1） ，即． 同理，，． 猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等． 如图3，若六边形是平行六边形，且，则，． 证明：分别连接． 六边形是平行六边形， ，，． 又，四边形是平行四边形． … 学习任务： (1)材料中空缺的内容是______，依据1是______． (2)补全猜想2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形．在平行四边形外求作两点，使得六边形是平行六边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 21．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 22．综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到． (1)猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图②，连接交于点G． ①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值． 23．如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $