6.3.1二项式定理 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.3.1　二项式定理 目 标 素 养 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. 3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 4.通过学习,提升数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.二项式定理 注:①通项为展开式的第k+1项不要误认为是第k项;②公式对∀a,b∈R都成立. (2)在二项式定理中,若设a=1,b=x,则得到公式: 微思考 二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别? 提示:二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念.二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 微训练1 以下判断正确的是(　　) A.(a+b)n展开式中共有n项 B.在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响 D.(a-b)n与(a+b)n的展开式的二项式系数相同 答案:D 微训练2 求(1+2x)n展开式项的系数和二项式系数. 课堂·重难突破 一 二项式定理的正用和逆用 典例剖析 (2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 规律总结 二项式定理的双向功能 (1)正用:将二项式(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开. (2)逆用:将展开式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 学以致用 1.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　) A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x4-1 答案:A 答案:1 二 二项式系数与项的系数问题 典例剖析 (1)求展开式第4项的二项式系数; (2)求展开式第4项的系数; (3)求展开式的第4项. 规律总结 1.二项式系数都是组合数 (k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念. 学以致用 3.已知在(2x+ )n的展开式中,第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. (1)求n的值; (2)求展开式中含x2的项的系数. 三 与展开式中的特定项有关的问题 典例剖析 (1)求n的值; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中的常数项. 互动探究 (变问法)本例条件不变,问题改为“求展开式中所有的有理项”. ∵k∈Z,∴r应为偶数,r=2,0,-2,即k=2,5,8, 故第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为45x2,-252, 45x-2. 规律总结 求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (2)求常数项.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的字母的指数恰好是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,先令其属于整数,再根据数的整除性来求解. (4)求整式项.求二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致. 学以致用 4.(1)在(1-2x)5(2+x)展开式中,x4的系数为　　　　　　.  答案:(1)80　(2)4 随堂训练 1.在(x-)10的展开式中,x6项的二项式系数为(　　) A.- B. C.-4 D.4 答案:B 解析:因为含x6项为展开式中第5项,所以二项式系数为. 2.在(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(　　) A.80 B.40 C.20 D.10 答案:B A.2 B.4 C.8 D.28 答案:C 5.在的展开式中,整式项共有　　　　　项.  答案:7 依题意需使18-3k为非负整数. 故18-3k≥0,解得k≤6, 又k∈N,即k=0,1,2,3,4,5,6,共7项. (1)求展开式中的第4项; (2)求展开式中的有理项的系数和. $