精品解析：2026年河南信阳市淮滨县王店乡第二初级中学等校初中学业水平考试考前预测数学试题

2026年河南省初中学业水平考试 第三次适应性测试 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 6. 龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（ ） A. π B. π C. π D. π 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点．设点的运动路径总长为，．图2是点运动时随变化的关系图象，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 5 D. 20 10. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在弧AB上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义的x的值_______． 12. 小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值为_____． 13. 在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________． 14. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____． 15. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组： 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 18. 如图，内接于，为的直径，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 19. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）依据图象直接写出当时不等式的解集___________； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 20. 我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． （1）如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． （2）如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省初中学业水平考试 第三次适应性测试 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，求一个数的相反数；由数轴知点A表示数3，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为； 故选：A． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，掌握定义是解题的关键； 根据主视图是从物体正面看，所得到的图图形，即可解答． 【详解】解：从正面观察该几何体，能看到一个长方形，上方有一个半圆与长方形相连，且中间是圆孔，选项B符合． 故选：B． 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意得，利用平行线的性质得到，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ， ， ． 故选：C． 5. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：A、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意； B、方程整理得，，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意； D、整理整理为，，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6. 龙门石窟位于河南省洛阳市，是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”，位居中国各大石窟之首．某单位举办以“龙门石窟”为主题的摄影大赛，并准备了如图所示的四枚特种邮票《龙门石窟》作为奖品之一，获得第一名的参赛者可从中任选两枚．已知四枚邮票的面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．小李获得了第一名，他从这些邮票中随机抽取了两枚，则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率．先设面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元的四枚邮票分别为A、B、C、D，根据列表法把所有情况列举出来，结合符合条件的有2种，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设面值分别为0.2元，0.3元，0.5元和1元的四枚邮票分别为A、B、C、D，小李抽到的邮票的面值所有情况见下表： A B C D A B C D ∴总共有12种等可能的情况，符合条件的有2种， 则他抽到的邮票的面值正好是0.5元和1元的概率， 故选：C． 7. 如图，在由边长为1的菱形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点），已知每个菱形中较小的内角为60°，则的长为（ ） A. π B. π C. π D. π 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理以及弧长公式（为弧长，为圆心角度数，为半径）的应用，解题的关键是求出圆心角的度数和半径的长度． 先通过菱形的性质求出圆心角的度数，再利用勾股定理求出半径，最后代入弧长公式计算的长． 【详解】如图，标记格点M，F，易知格点为所在圆的圆心， 补全，连接， ，易知点在上， ∴． 过点作于点， 则 的长为． 故选：A 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平行四边形的性质、旋转的性质，延长交轴于点，过点作轴于点，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， 由题意可得，轴，，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：A． 9. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点．设点的运动路径总长为，．图2是点运动时随变化的关系图象，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段的长度． 设菱形中心为，依据图象与菱形对角线垂直平分性质，得出、，再由勾股定理算得边长为，最后根据菱形周长公式求出周长即可． 【详解】解：设菱形的中心为． 当点从运动到中心时，， 所以， 所以在上（是的垂直平分线）． 由图2知，当时，点在的垂直平分线上运动． 所以，到的距离， 当时，逐渐为0，且点运动的两段路径均为直线， 经到的总路径长为，则到的距离． 因为菱形对角线互相垂直平分， 所以， 又，且， 根据勾股定理，菱形边长． 所以菱形周长为边长，即． 故选D． 10. 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在弧AB上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以得到△OBD是等边三角形，从而可以得到∠AOD的度数，然后即可得到OD的长，根据折叠的性质，得出∠OBC＝30°，然后即可得到阴影部分的面积就是扇形OAD的面积减去△OCD的面积． 【详解】解：连接OD，作DE⊥OA于E， ∵OB＝BD＝DO， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠OBD＝∠BOD＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠AOD＝30°， ∵OB＝OA＝OD＝2， ∴OC＝OB•tan30°＝2， ∴DE OD＝1， ∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△COD＝． 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、折叠的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使代数式有意义的x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：代数式有意义，则， ∴， 则的值可以是（答案不唯一） 12. 小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 成绩 97 98 100 98 99 99 98 第8次测试成绩为分，若这8次成绩的众数不止一个，则的值为_____． 【答案】99 【解析】 【分析】根据众数的定义作答即可． 【详解】解：∵前7次数学模拟测试成绩97和100各出现了1次，98出现了3次，99出现了2次， 又∵这8次成绩的众数不止一个， ∴第8次测试的成绩为99分， ∴． 故答案为：99． 【点睛】本题考查众数的定义．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．一组数据的众数可以不止一个．理解众数的定义是解题的关键． 13. 在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据n倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可． 【详解】设最小的内角为．分类讨论： ①当2倍角为，3倍角为时，可得：， 解得． ②当2倍角为，3倍角为时，可得：， 解得． ③当3倍角为，2倍角为时，可得：， 解得． ④当即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为，可得：， 解得． 综上可知，最小的内角为或或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理．理解题干中n倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 14. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类思想，当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N，结合三角形相似，三角函数解答即可． 【详解】解：①如图1所示， 当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N． ∴． ∵， ∴． 设， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴； ②如图2所示， ，由邻补角定义可得． 在中，． 综上所述，BE的长度是或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余弦函数的应用，熟练掌握性质，函数的应用是解题的关键． 15. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）解不等式组： 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值、二次根式的加减等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值等，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解，再求得它们的公共部分即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 由 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解为． 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 【答案】（1）C （2）4； 27 建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯．理由如下： ， 则学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比为：， 这次调查中，的学生平均每天参加劳动的时间少于，故建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，以及抽样调查等知识． （1）根据抽样调查的广泛性选择即可． （2）根据第一组数据和第三组数据以及各组频数可得出总共频数为60，进而可得出第4组所占的百分比有误，进一步求出第4组所占百分比即可． 用计算即可． 求出，再根据学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比提出建议即可． 【小问1详解】 解：从全校各个班级中各随机抽取若干名学生比较合理， 故选：C； 【小问2详解】 解：由第一组数据可得：，由第三组数据可得：， 由各组频数可得， 而由第4组对应的数据可得， 故第4组所占的百分比有误，所占百分比应改为； ， 则样本中意向项目选择B项的人数为27． 略 18. 如图，内接于，为的直径，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） 解：（1）如解图①，即为所求作； （2） 证明：如上解图①，连接， 为的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作即可； （2）先由圆周角定理以及圆内接四边形对角互补求得，，再由平行线的性质以及三角形内角和定理求得，即可证明等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形求角度，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 19. 如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）依据图象直接写出当时不等式的解集___________； （3）若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 【答案】（1） （2） （3） 画出两个以为顶点的矩形，如图所示： 【解析】 【分析】（1）用待定系数法直接求出函数表达式即可； （2）观察函数图象解不等式即可求解； （3）分以为边构造矩形、以为对角线构造矩形两种情况，分别画出图形即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： 观察函数图象可知，，， 不等式的解集指直线在曲线上方部分图象对应的的范围，由图可得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象可知点，， 依据两点之间距离公式可得， 已知矩形面积为10的情况下，分类讨论： 若以为边构造矩形，则矩形的另一边为； 若以为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数与一次函数的交点、待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式、两点之间距离公式、矩形性质、正方形性质等知识，熟练掌握函数及相关几何性质是解决问题的关键，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 20. 我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． （1）如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． （2）如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】（1） （2）该混凝土管片的外圆弧半径为 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； 【小问2详解】 解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， ∵点L为的中点，为半径， ∴， 由题意得，与相切于点，则， 而 ∴四边形为矩形， ∴， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 21. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】（1）选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； 【小问2详解】 解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 综合与实践 （1）【提出问题】如图1，在菱形中，，P是对角线上一动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，则的度数为 ； （2）【类比探究】如图2，在正方形中，P是对角线上一动点，且，，将绕点P顺时针旋转得到，连接， ①求的度数； ②当时，求的长； （3）【迁移运用】如图3，在矩形中，，P是对角线上一动点，连接，以为边在右边作，且，当点Q到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；② （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转的性质，证明是等边三角形，再证明，得到； （2）①过点A作于点E，由正方形的性质证明，从而求得结果； ②通过解求得的长，继而得到，由①的可求得结果； （3）先求得的度数，过点A作于点L，过Q作于点K，利用三角形相似的判定与性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：在菱形中，， ，，， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点A作于点E， 四边形是正方形，是对角线， ，即为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 由①知，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在中，， ∴， ， ， 如图，过点A作于点L，过Q作于点K， ∴， 在中，， 当点Q在上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在下方时， 同理可得， ∴， 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $