精品解析：2026年河南省信阳市淮滨县王店初级中学九年级数学4月份学情调研测试

2026年河南省初中学业水平考试第二次适应性测试 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个气体中，液化温度最高的是（ ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度/ A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氦气 2. 如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 2025年4月24日，长征二号F火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有5.2亿年进化史的再生生物．将数据5.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线m经凹透镜折射后与经过光心O的光线n平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 8. 如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 12. 某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为______． 13. 如图，C，D是以为直径的圆O上的两个动点（点C，D不与A，B重合），在运动过程中弦的长度始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，，则的最大值是__． 14. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，若，则的长 _______． 15. 过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内? （2）该校八年级共有500名学生． ①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 18. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标． 20. 某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； （2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 21. 小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 6 m ﹣2 ﹣1 ﹣2 n 6 … （1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象， ①列表，其中m＝　 　，n＝　 　． ②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点： ③连线：画出该函数的图象． （2）写出该函数的两条性质：　 　． （3）进一步探究函数图象，解决下列问题： ①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 　 　； ②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 　 　． 22. 【项目式学习】投石器是中国古代的攻城利器，某学校科学创新小组同学想研究投石器的投石原理与投石性能．开展了以下项目化学习研究：制作了一个简易投石器，如图1，然后进行如下操作：科学创新小组精心画出了投石器的示意图，如图2，并将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分；以水平地面为轴，以到竖直方向的为轴建立平面直角坐标系，如图3． （1）如图2，若，，，求的高度；(其中：) （2）在实验过程中，创新小组测得抛物线顶点的坐标为．请根据数据，求出石头的运动轨迹抛物线的解析式； （3）创新小组在点的正前方设置了一个长为，前档板高为，后档板高为的目标箱(其中、均垂直轴)．若要使投出的石头一定能投入该目标箱，请求出目标箱放置时的范围．(假定当石头碰到在点与点处时石头一定能投入该目标箱) 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省初中学业水平考试第二次适应性测试 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列四个气体中，液化温度最高的是（ ） 气体 氧气 氢气 氮气 氦气 液化温度/ A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氦气 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数比较大小的规则，比较四个液化温度，得到高温度对应的气体即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ， 即最高的液化温度是，对应气体为氧气． 2. 如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【详解】解：剪去乙或丙时，可构成“一四一”型的正方体展开图； 剪去甲时，可构成“一三二”型正方体展开图； 剪去丁时，围不成正方体． 故选D． 3. 2025年4月24日，长征二号F火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有5.2亿年进化史的再生生物．将数据5.2亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5.2亿 故选：B． 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则，先通分再化简即可． 【详解】解： ． 故选：B． 5. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 6. 如图，平行于主光轴的光线m经凹透镜折射后与经过光心O的光线n平行．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，对顶角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得，，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵折射后与经过光心的光线n平行， ∴， ∴． 故选：C． 7. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 8. 如图，的顶点，点B在第二象限，将绕点O顺时针旋转得到，当点A的对应点落在x轴正半轴上时，点B的对应点恰好落在的延长线上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得，由平行四边形的性质得，，可证，过点作于点E，由三线合一的性质求出，由勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形和四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用. 如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，根据叶片每秒绕原点顺时针转动，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵， ∴A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点顺时针转动， ∴点A的坐标以每6秒为一个周期依次循环， ∵， ∴第时，点A的对应点的坐标与相同，且与点关于原点对称， 为． 故选：C． 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及动点问题，勾股定理解三角形等，理解题意，根据函数图象得出相应的信息是解题关键过点作于点，在上截取，连接，则，结合函数图象得出，，，，再由勾股定理建立方程求解即可得出结果 【详解】解：如图，过点C作于点D，在上截取，连接，则， 由图②得，当时，，即点与点重合时，， 当点运动到点时，， ， 当时，，即点与点重合时，， ∴， ， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴最低点的纵坐标为， 故选： 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 12. 某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，运用加权平均数的计算公式求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：他的总分为：， 故答案为：． 13. 如图，C，D是以为直径的圆O上的两个动点（点C，D不与A，B重合），在运动过程中弦的长度始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，，则的最大值是__． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点N，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：延长交于点N，连接，如图 ∵， ∴． ∵点M是弦的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大，最大值为． 14. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，若，则的长 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由旋转的性质可得，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，可证，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点B作于H，连接， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么_______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，作于， 求解，，，，，作的中线，为的重心，线段是的“重似线段”，分两种情况：当时，当时，过作交于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作于，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 作的中线，为的重心， ∴， ∵线段是的“重似线段”， ∴当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，过作交于， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，，在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 综上：或； 故答案为：或； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式、计算零次幂与负指数幂，再按运算顺序计算； （2）先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式展开，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： （1）这40名学生视力的中位数落在哪个组内? （2）该校八年级共有500名学生． ①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 【答案】（1）组 （2）①200人；②合理即可 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）由中位数的意义即可求解； （2）①用样本估计总体的方法即可求解；②比较数据发现今年学生视力在范围内的人数相比去年减少，然后提出合理性的建议即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取了40名学生， ∴中位数为第名学生的视力的平均数， 由频数分布表可得第名学生在组， ∴这40名学生视力的中位数落在组； 【小问2详解】 解：①由题意得，（人） 答：500名八年级学生的视力在范围内有200人； ②因为， 所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少， 建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用（合理即可）． 18. 如图，在中，，点O在边上，以为半径作，交于点D，连接． （1）尺规作图：在边上作一点E，使，再作直线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）是的切线吗？请说明理由． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）是的切线， 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】对于（1），作线段的垂直平分线，交于点E，作直线； 对于（2），根据“等边对等角”得，，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，则答案可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图像问题及线段和最值问题． （1）联立两函数解析式求出交点坐标； （2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集； （3）作A关于x轴对称点即可找出点 P 的位置． 【小问1详解】 点在一次函数上， ， 点的坐标为， 点在反比例函数（为常数，且）上， ， 反比例函数表达式为． 联立一次函数表达式与反比例函数表达式，的： ， 解得：， 点B的坐标为． 【小问2详解】 当时， 一次函数的图像在反比例函数图像上方， 自变量的取值范围为或． 【小问3详解】 作A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小． 点，A关于y轴对称点， ， 设直线的表达式为， 则有， 解得：， 直线的表达式为， 令中，则， 点P的坐标为． 20. 某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； （2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 （2）安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 【小问2详解】 解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 21. 小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 6 m ﹣2 ﹣1 ﹣2 n 6 … （1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象， ①列表，其中m＝　 　，n＝　 　． ②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点： ③连线：画出该函数的图象． （2）写出该函数的两条性质：　 　． （3）进一步探究函数图象，解决下列问题： ①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是 　 　； ②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为 　 　． 【答案】（1）①1,1； ②描点如图1， ③图象如图2， （2）图象关于直线对称；函数的最小值为-2 （3）①或；②或或 【解析】 【分析】（1）①将，代入解析式求解即可得的值；②如图1，将表格中的点坐标在平面直角坐标系中表示出来即可；③如图2，将各点用平滑的曲线依次连接即可； （2）观察函数图象写性质即可； （3）①观察图象即可求解；②如图3，观察图象可求解． 【小问1详解】 解：①将代入解析式得 ∴ 将代入解析式得 ∴ 故答案为：1,1． ②略．③略． 【小问2详解】 解：①函数图象关于直线对称； ②函数的最小值为-2； 【小问3详解】 解：①由图象可知：当或时，直线与函数图象有两个交点； ②如图3， 由题意知|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解即为y＝|x2﹣2x|﹣2与y＝x﹣2图象交点的横坐标 ∴由图象可知|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、性质，图象交点的含义，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于正确的画函数图象． 22. 【项目式学习】投石器是中国古代的攻城利器，某学校科学创新小组同学想研究投石器的投石原理与投石性能．开展了以下项目化学习研究：制作了一个简易投石器，如图1，然后进行如下操作：科学创新小组精心画出了投石器的示意图，如图2，并将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分；以水平地面为轴，以到竖直方向的为轴建立平面直角坐标系，如图3． （1）如图2，若，，，求的高度；(其中：) （2）在实验过程中，创新小组测得抛物线顶点的坐标为．请根据数据，求出石头的运动轨迹抛物线的解析式； （3）创新小组在点的正前方设置了一个长为，前档板高为，后档板高为的目标箱(其中、均垂直轴)．若要使投出的石头一定能投入该目标箱，请求出目标箱放置时的范围．(假定当石头碰到在点与点处时石头一定能投入该目标箱) 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，二次函数的应用． （1）利用含和角的直角三角形的边角关系，通过相关线段相加求出的高度； （2）根据抛物线顶点坐标设出顶点式，代入已知点坐标求出系数，确定解析式； （3）将挡板高度代入抛物线解析式求出对应横坐标，结合箱长确定的范围． 【小问1详解】 解：依题意， ∴ ∴ 【小问2详解】 依题意，设抛物线的解析式为， 由（1）可得，则抛物线过点， ∴， 解得：， ∴石头的运动轨迹抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 当时，代入解析式可得， 解得：或 当时，代入解析式可得， 解得：或 ∴ 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①为的中点，当点在线段上时，线段的延长线交线段于点，记与交于点，有如下两种情况，两种情况解法相同． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ②为的中点，当点在线段上时，线段交线段于点，延长交于，有如下两种情况，两种情况解法相同． 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或． 【点睛】本题是一道以菱形与等边三角形为载体的几何综合题，解决这道题的第二小问核心在于通过旋转构造全等三角形，第三小问中，要区分射线带来的多解情况，需对点的不同位置分类讨论，不能遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $