贵州省安顺市第二高级中学2026届高三下学期数学模拟预测试题

绝密★启用前 A卷 2026年普通高等学校招生全国统一考试预测卷 数学 齧 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答题卡上、写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 你 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={xx2-2x-3<0},B={xx≥-1}，则AUB= A.（-1,3) B.[-1,3) C.[-1,+∞)D.(-,3) 1 2.已知复数z=1十2则x·这= A号 B c D.21 中 3.等差数列{an}中，a3=23,a=11,则数列{an}中正数项共有 A.7项 B.8项 C.9项 D.10项 4.如图，有两个正六边形，G为BC的中点.若市=xA+yBC,则x+y= 戟 A.-2 B.2 C. D￥ 5.已知函数f(x)=1log3(x-1)1+Ilog3(x+1)1,则函数f(x)的最小值为 A.-1 B.1 C.log32 D.log;4 6,已双面线号-卡=1(a>0,b>0),过左微点(-6,0)作斜率为的直线， r 因 过右焦点F2(c,0)作斜率为-3的直线2，直线l1和l2的交点在双曲线的一条渐近 色 线上，则双曲线的离心率为 呐 A.3 B.√2 c D. 数学A卷试题第1页（共4页) 7.已知正四楼台的侧棱长为52，上、下底面边长分别为32和4√2，且所有顶点在 同一球面上，则此正四棱台外接球的表面积是 A.25π B.100m C.500m D.500m 3 8。已知△MBC的内角4，B,C的对边分别为a,么，c,2=之0+，则a(A-B)的 最大值为 A.√5 B.23 C.33 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正方体ABCD-A1B,C1D1,则 A.BC1⊥平面ABD B.BD1⊥平面A1B,D C.BC1∥平面ABD1 D.AC∥平面A,B,D 10.已知函数x)=cosx,e[a-石，a+引，其中a是常数，则 A.对任意a∈[0，m],f(x)的最大值是1 B.存在a∈[0，π]，使得f(x)的最小值是-1 C,对任意ae[0,],存在，使得)≤ D.对任意a∈[0，m],存在，使得f)≥-5 11.已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线11，L2,L1与C相交 于P,Q两点，2与C相交于M,N两点，PQ的中点为G,MW的中点为H,则 A*片 11 B.1PQI·IMNI=64 C.IGH1的最小值为8 D.△OGH面积的最小值为24(0为坐标原点) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2(- 的展开式的第四项为 13.写出一个同时满足下列条件①②③的函数f(x)的解析式：f(x)= （答案 不唯一) ①f'(x)=2x-4;②f(x)恰有两个不同的零点；③f1)≤0. 14.将6枚硬币正面朝上排成一行，按照下列规则操作每一次的动作：抛掷一枚质地均 匀的骰子，若抛出的点数为k,则将排成一行的这6枚硬币最左边的k枚硬币都翻 转一次.进行三次操作后，6枚硬币中恰有2枚硬币正面朝上的概率为 数学A卷试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，△ABC是斜边AB=2√2的等腰直角三角形，正三角形PAC所在平面与三角 形ABC所在平面垂直，梯形BCMN中，MN∥BC,BN⊥BC,BN=√3，MN=1,且梯形 BCMN所在平面与三角形ABC所在平面垂直， (1)求证：平面PMN∥平面ABC; (2)求平面PMC与平面PAN夹角的余弦值 16.(15分) 某高校人工智能实验室组织“A虹编程挑战赛”，参赛者每答对一道题目可获得一次 抽奖机会，从三个智能抽奖系统中选择一个进行抽奖，系统甲：每次抽奖中奖概率为 子；系统乙：每次抽奖中奖概率为7；系统丙：每次抽奖中奖概率为分 三个系统相互 独立，且每次抽奖结果互不影响。 (1)若一位同学答对了一道题目，他随机选择一个系统抽奖一次，求他中奖的 概率. (2)若某同学答对三道题目，可选择以下两种抽奖方案之一进行抽奖， 方案一：从系统甲、乙、丙中各抽奖一次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次， 则奖励价值60元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值35元的AI学习包；其他情况 无奖励. 方案二：在系统甲中抽奖3次，中奖次数决定奖励价值，若中奖3次，则奖励价值 80元的AI学习包；若中奖2次，则奖励价值50元的AI学习包；其他情况无奖励. 通过计算获得A虹学习包价值的期望，判断该同学应选择哪种方案 数学A卷试题第3页（共4页） 17.(15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且3(Sn+n)与2的等差中项是2(an+1). (1)求证：数列{an+1}是等此数列； ②)记=含女试判断导瓷0号约大小关系，并给出证现 台ak 18.（17分) 已知椭圆+=1(Q>b>0的离心率为号，左焦点为F(-1,0),直线E:L 0)交椭圆于P,Q两点 (1)求IFP1+1.FQI的值. (2)若点M在椭圆上（与点P,Q不重合），直线MP的斜率与直线MQ的斜率分别 为k和k2 (i)求证：“k,=-1”的充要条件是“k=2k2”; (i)若k=2k2,求△MPQ面积的最大值 19.(17分) 已知函数f(x)=x21nx+a,记f'(x)为f(x)的导数. (1)若x)的最小值为2。 (i)求实数a的值； (i)若x1<%2,f'(x1)=f'(x2),证明：x1x2<e5 (2)是否存在a>0,使得g(x)=f(x)-alnx的最小值为e2?若存在，求出a的值， 若不存在，请说明理由， 数学A卷试题第4页（共4页) 凹%0公开 阅卷评分标准 选择题（请用2B铅笔填涂）】 评分标准 把握采分要，点 第1一8题，凡与答案不符的均不给分。 1[A][B]题[D]5[A][C][D]9[B][D] 第9一11题，全部选对的得6分，部分选对 2[B][C][D]6[A][B][D]10[A]国 的得部分分，有选错的得0分 3[A]画[C]ID]7[A]画[C][D]11[B] 4■[B][C][D]8[A][B][C] 答案速查 1-5 CABAB 6-8 CBD 9.AC 10.BCD 11.ACD 注：具体解析见第10页【名师详解详新】 非选择题（请用05毫米黑色签字笔作答）】 评分标准 把握采分要，点 12. -402 13.x2-4x+3(答案不唯一) 第12一14题，凡与答案不符的均不给分. 14. 1 54 注：具体解析见第15页【名师详解详析】 15.(13分) 解：(1)第1步：根据线面平行的判定定理证明MN∥平面ABC 因为MN∥BC,BCC平面ABC,MN4平面ABC,所以MN∥平面ABC. (1分) 十→正确证明出线面平行给1分. 第2步：根据三角形的性质及面面垂直的性质判断PE⊥平面ABC 因为△ABC是斜边AB=2√2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2. 如图1，取AC的中点E,连接PE. 图1 因为△PAC是正三角形，且AC=2, 所以PE⊥AC,且PE=√5， 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, 所以PE⊥平面ABC. (3分) 证出PELAC给1分，证出PE⊥平面ABC 方法一第3步：构造平行四边形PEBN得到PN∥BE 再给1分. 因为BN⊥BC,平面ABC⊥平面BCMN,平面ABCn平面BCMN=BC, BNC平面BCMN, 所以BNL平面ABC, 所以BN∥PE. (4分) 没有说明两平面的交线为BC不给分， 如图2，连接BE,因为BW=PE=√5， 所以四边形PEBN为平行四边形， 所以PN∥BE. (5分) 第4步：根据面面平行的判定定理证明平面PMN∥平面ABC 因为BEC平面ABC,PNd平面ABC, 所以PN∥平面ABC, (6分) 又MN∥平面ABC,PNOMN=N,PN,MWC平面PMN, 所以平面PMN∥平面ABC. (7分) →证明两平面平行时，没有说明两直线相交 不给分. 图2 方法二第3步：构造平行四边形MPEF得到PM∥EF 如图3，取BC的中点F,连接MF. 因为BC=2,所以BF=1,又MN=1,所以MW=BF, 又MN∥BC,所以四边形BFMN是平行四边形， 所以BN∥MF,BN=MF, 因为BN⊥BC,BN=√3，所以MF=√5，MF⊥BC, (4分) 图3 连接EF,因为平面BCMN⊥平面ABC,平面BCMN∩平面ABC=BC, MFC平面BCMN, 所以MF⊥平面ABC, (5分) 证明线面垂直时，没有说明两平面的交线 又PE⊥平面ABC,PE=√3，所以PE∥MF,PE=MF, 为BC不给分 因此四边形MPEF是平行四边形，PM∥EF. (6分) 第4步：根据面面平行的判定定理证明平面PMN∥平面ABC 因为PM4平面ABC,EFC平面ABC,所以PM∥平面ABC, 又MW∥平面ABC,PMC平面PMN,MWC平面PMN,MNOPM=M, 所以平面PMN∥平面ABC. (7分) 用其他方法证明面面平行，同样给分。 (2)第1步：建立空间直角坐标系，并求出相关点和相关向量的坐标 如图4，取AB的中点D,连接ED,因为E是AC的中点，所以ED∥BC, 又△ABC是斜边AB=2V2的等腰直角三角形， 所以AC⊥BC,所以DE⊥AC. 又PE⊥平面ABC,AC,DEC平面ABC,所以PE⊥AC,PE⊥DE,所以 EP,EA,ED两两垂直， 分别以EA,ED,EP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，(8分) 图4 则A(1,0,0),P(0,0,5),C(-1,0,0),N(-1,2,5),M(-1,1,N5), 所以4证=(-1,0,5)，P=(-1,2,0),C2=(1,0,5),CM=(0,1, 5) (9分) 子→正确建立空间直角坐标系给1分，正确求 第2步：分别求出平面PMC与平面PAW的法向量 出相关点和相关向量的坐标给分 设平面PMC的法向量为m=(a,b,c), 则m:-0即a+c=0取-，得a=, m.CM=0,b+/3c=0, 则m=(5,W5,-1)是平面PMC的一个法向量， (10分) →求出平面PMC的法向量给1分. 设平面PAN的法向量为n=(x,y,z), m=0,即-x+3x=0取=25，得y=5,=2, 即 n·Pi=0,1-x+2y=0, 则n=(2√5，w5,2)是平面PAW的-一个法向量. (11分)>正确求出平面PMC和平面PAN的其他法 第3步：利用向量的夹角公式求解 向量同样给分. 设平面PMC与平面PAW的夹角为0， 则c0s6=1cos(m,n)1=|m·m=16+3-21 =V133 =1m1m-万x12+3+49， 因此平面PMC与平面PAW夹角的余弦值为Y 19 (13分) 十写贵目=惯给1分，正确求出结果 山必会方法 给1分. 解决立体几何问题的关键：(1)围绕线线、线面、面面位置关系的证 明，要注意书写规范和证明过程中逻辑的完整性；(2)围绕空间角的 三角函数值的计算，注意结合图形，寻找垂直关系，通过建系写出点 及向量的坐标，利用直线的方向向量或平面的法向量来求相关角的 三角函数值. 16.(15分) 解：(1)第1步：定义事件并写出概率 设“该同学中奖”为事件A,“选择甲、乙、丙智能抽奖系统”分别为事件 B1,B2,B3, 则P(B,)=P(B,)=P(B,)=号，P(AIB,)=,P(A1B,)=P(AIB,)= 2 (1分) -正确定义事件并写出概率给1分： 第2步：用全概率公式计算P(A) 所以P(A)=P(B,)P(A1B,）+P(B2)P(AIB2)+P(B3)P(AIB3)= 11,11,115 3×4+3×2+3×2=立 (3分) 正确写出全概率公式给1分，计算结果正 确给1分 第3步：写出结论 所以该同学中奖的概率为号 (4分) →写出结论给1分 (2)选择方案一 第1步：定义随机变量X并确定其可能取值 设该同学获得AI学习包的价值为X元，则xX的所有可能取值为60， 35,0, (5分) 十-正确写出所有可能取值给1分 第2步：计算X取各值的概率 则P(黑=60)=子×分×分=6，P(x=35)=×分×1-分》+子× 1-2)*3+1-引×分×含毫x=0)=1-6嘉-是 (8分)→正确求出一个概率给1分，正确计算所有 第3步：计算X的期望E(X) 概率给3分. 所以8()=60×名+35×名+0×g-铝 (9分) 正确计算期望给1分 选择方案二 第1步：定义随机变量Y并确定其可能取值 设该同学获得AI学习包的价值为Y元，则Y的所有可能取值为80， 50,0, (10分) →正确写出所有可能取值给1分 第2步：计算Y取各值的概率 则P(y=80)=C(=4,P(Y=50)=(×1-)-a, PY=0=1-a-a-易。 (13分) 十正确求出一个概率给1分，正确计算所有 概率给3分. 第3步：计算Y的期望E(Y) 所以B(D=80×7+50× 64+0 27265 ×32=321 (14分) 正确计算期望给1分 第4步：比较期望并选择方案 因为E(X)>E(Y),故该同学应选择方案一， (15分) 一·正确比较并得出结论给1分 山抢分必知]求离散型随机变量X的期望的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)求E(X). 17.(15分) 解：(1)第1步：根据等差中项列关系式，求首项a1 由3(Sn+n)与2的等差中项是2(an+1),得3(Sn+n)+2=4(an+1), 所以3S.+3n=4an+2, 当n=1时，3a1+3=4a1+2,解得a1=1. (2分) →根据等差中项正确列出式子给1分，正确 第2步：根据an与Sn的关系求递推关系式 计算出a,给1分. 当n≥2时，根据3Sn+3n=4an+2,得3Sn-1+3(n-1)=4aa-1+2, 两式相减，得3S。-3Sn-1+3n-3(n-1)=4an-4a-1, 即3(Sn-Sn-1）+3=4an-4an-1, 又an=Sn-Sm-1,所以3an+3=4aa-4a-1,所以an=4an-1+3,（4分) →写出a.=S。-S-1给1分，正确得到递推关 第3步：构造等比数列求解 系式给1分 所以+1=4(a+1),所以。品=4，又4+1=2，于是数别 {a.+1}是以2为首项，4为公比的等比数列. (6分) 之求出+1 “0,-1+=4给1分，判断数列16，+1日 (2)第1步：求数列{an}的通项公式 为等比数列给1分. 由(1)知数列{a.+1}是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以an+1=2×4-,故a。=220-1-1. (7分) 一未化简到此种形式也给1分. 2(3an+2） 第2步：化简5(an+1) 所以 2(3an+2) =2[3×(2-=1)+21= 2(3×22-1-1 5(an+1) 5×22m-1 5×22m-I 6x21-2--L 6164 5×22-1 5-5x2m-7=55x4-=5-5×4m (9分) 十化简得到号与文之给1分，化简到袋 第3步：分植没诗论五与号品的大小关系 结果再给1分. 当=1时91西号 2(3a1+2) a 当n≥2时，4->3，放号×4>1， 所以2*1-1>221-号×41=221-号 ×2-2=2-2x2 3 22=号×24=号×4， 即a>号×4，断u吐<号× (12分) *没有讨论n=1的情况扣1分. 3 台aa1a2'a3' 1号号- 1+引1-(1-号-号× 号品 (14分)→正确放缩给1分，利用等比数列求和，正确 化简给1分 第4步：总结 2(3a1+2) 2(3a,+2) 因此，当1时，5式a+的当n≥2时，7<+(15分) →分情况总结给1分. 山必会方法 对于既含有an又含有Sn(S.为{an}的前n项和)的式子，往往通过 作差，利用Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,将已知关系转化为关于a。 的递推关系，注意分n=1和n≥2两种情况讨论. 18.(17分) 解：(1)第1步：求椭圆方程中的a 设椭圆的半焦距为c,由离心率为受，可得e=日-要。 a2 由左焦点为F(-1,0),可得c=1,所以a=√2. (2分)>写出离心率公式给1分，正确求解a给1分. 第2步：利用椭圆对称性与定义转化求解 设椭圆的右焦点为F',坐标原点为O,则IOF=1OF1,连接F'Q,FP, 根据椭圆的对称性，可知1OP1=1OQ1, 所以四边形FPF'Q是平行四边形，所以IFQ|=IFPI, FPI+IFO1=IFPI +IF'PI. 由椭圆的定义，可知|FP1+1FP1=2a=2√2， 因此1FPI+|FQ1=2√2. (4分)→根据椭圆对称性正确转化给1分，结合椭 (2)()第1步：求椭圆方程 圆定义正确求解给1分 由（1)如，4=2，c=1,心=心-6=1，所以辆圆的方程为号+=1 (5分) 第2步：设点并利用椭圆方程转化 设P(x1y1),M(xo,ya),其中x0≠±x1,则Q(-x1,-y): 因为点P,M在椭圆上，所以受+疗=1，芝+行=1，两式相减得 金三8-i限呢好兰跨-分 2 第3步：利用斜率公式表示直线斜率 因为名=k柳=0二，店=k0=t的， 0-x1 x0+x1 6设等黄子 (8分)十正确代人点的坐标作差给1分，正确表示 直线斜率给1分，正确推导k,k2给1分. 第4步：证明充分性与必要性 若=2，则=，所以6=6×之=2，所以陆=-1，即 k=-1成立 若威。-1，测密-分所以产-分所以k=2%,即&=2%成立 1 因此，“k1=-1”的充要条件是“飞=2k2”. (10分)→证明充分性给1分，证明必要性给1分. (i)第1步：求1PQ1的长度 由(i)知，当k=2k2时，k1=-1. 由k=2%,得直线Q的斜率名=受；由=-1，得MP1PO, ry=hx, 由 2 x2 +y=1 得(2+1)2=2，于是好=2+ IPQ1=1+E12xl=2V1+R2-22V1+E √2k2+122+1 （12分)>联立方程并化简给1分，正确求解1PQ1给1分 第2步：求IMPI的长度 点Q(-4,-),于是直线M0的方程为y+=宁(x+),即y= 多+受-，根据八=k,得直线0的方程为了=宁-空， 与号+-1联立并化简，得（化+2）2-2+号-4=0， 2k2x1 所以0+(-%）=2+2' 所%会受-登器路 12k2x1 所以1MP1=√(x-x)2+(o-y)2= 2+2 21x,1√+122Ikl√+1 2+2 (14分) →联立方程并化简给1分，正确求解IMP1给 (2+2)√2k2+1 1分 第3步：计算△MPQ的面积并求最大值 所以△MPQ的面积S=子MP1·IPO1=分，251+ 2'(k+2)V2+1 2E+K=4创(2+1- 41+.4+) W2k2+1 24+5k2+2 2业+5+号 2+1 4+面) (16分) 十严写出三角形面积公式给1分，正确化简给 1) 21+ 41 1分 1 令t=1l+,则≥2，当且仅当1k1=1,即k=±1时等号成立， 又§=2E2+121+ 4三4在[2，+∞)上单调递减 t 8 所以当t=2,即k=±1时，S取到最大值，为×2子= 因此△MPQ的面积的最大值为号 (17分) 19.(17分) 解：(1)(i)第1步：求函数f(x)的定义域及导数 由题意得函数f代x)的定义域为(0，+∞)， fr(x)=2xnx+2.1=x(2nx+1), (1分)→求导正确，无论是否化简均给1分. 第2步：分析函数f(x)的单调性 令f”(x)=0,得x=e立， 当x∈(0，e)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(e立，+0)时，f'(x)>0,fx)单调递增 (2分)→正确分析函数f(x)的单调性给1分，没有 第3步：求函数f(x)的最小值并求解a 求f'(x)>0与f'(x)<0的解集，直接得到 所以到n水e)=a-品品 单调性不扣分. 所以a= e (3分)→正确求出a的值给1分 ()第1步：构造变量t并转化条件 设t=丝，则t>1,名2=1 由f'(%)=f'(2),得x(2lnx1+1)=x2(2血2+1)， 即x,(2nx1+1)=x,(2nx1+2lnt+1), tlnt 1 所以1n%=-1-12 (4分)→正确构造变量t并完成条件转化给1分 第2步：等价转化待证不等式 要证xx爱<e5,只要证ln名1+3n2<-5,即证4ln名1+3nt+5<0, 只要证+3。 nt-3>0. t-1 因为t>1,所以t-1>0, 所以只要证山+，品-3>0， (6分) →完成不等式等价转化给2分. 第3步：构造函数证明不等式 令w=h号-31，则0品320， 所以F(t)在(1，+∞)上单调递增，所以F(t)>0, 故原不等式得证. (9分) ·正确构造函数给1分，求导正确给1分，判 (2)第1步：将问题转化为恒成立问题 断单调性并得出结论给1分 由题可知，g(x)=(x2-a)lnx+a,注意到g(e)=e2, (10分) 判断出g(e)=62给1分. 所以若存在a>0,使得g(x)的最小值为e2,等价于g(x)≥g(e)恒成 立 (11分) 第2步：求g(x)的最小值 g(x)=2x血x+x-g x 令g'(e)=0得a=3e2. (13分) 正确求导给1分，求出a=3e2给1分. 当a=32时，g'()=2n+1-3) 设c(x)=2hx+1-3g 2, 因为G(x)在(0，+∞)上单调递增，且G(e)=0, 所以G(x)有唯一零点e, (15分) →正确判断G()的单调性给1分，正确求出 所以当x∈(0，e)时，G(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减； C(x)的零点给1分 当xe（e,+∞)时，G(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)n=g(e)=e2. 故存在a=3e2,使得g(x)的最小值为e2. (17分) →正确判断g(x)的单调性给1分，正确求出 最值给1分.