2026届高三数学适应性训练模拟卷(5)（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026届高三数学模拟卷以文化传承（如阿基米德三角形）、实践情境（如模拟联合国抽签）为载体，覆盖集合、概率、导数等高频考点，梯度设计适配高三模拟预测，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合（题1）、复数（题2）、概率（题5）|单选基础巩固，多选结合独立性检验（题10）考数据意识| |填空题|3题/15分|数列求和（题12）、解三角形（题14）|题12需构造数对避免和为49/50，考数学思维| |解答题|5题/77分|导数应用（题17）、统计概率（题18）、圆锥曲线（题19）|题18分层抽样与分布列结合实践，题19切线证明体现逻辑推理|

2026届高三数学适应性训练模拟卷(6) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·辽宁锦州·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式可得集合B，再由交集的定义可得结果. 【详解】因为或，且，如图： 所以. 2．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 3．（25-26高三下·海南·月考）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值. 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 4．（2026·海南海口·一模）海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件列算式计算数据即可. 【详解】依题意可得，这个排球第5次着地时，它经过的总路程为： ， 故选：A. 5．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 6．（2026·广西崇左·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边角互化，结合余弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，则. 因为，所以， 由余弦定理得，则. 7．（2026·河南焦作·模拟预测）已知点，点是圆：（为实数）上一动点，其中点为此圆的圆心，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当直线与圆相切时，最大，从而有，进而将问题转化成求的最小值，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，易知圆心在直线上， 当直线与圆相切时，最大，此时也最大， 所以，要使最大，则最小， 又最小值为点到直线的距离，因为点到直线的距离为， 所以的最大值为. 8．（2026·山西朔州·一模）若关于的方程有2个不同实根，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过去绝对值号，将原方程转化为两个方程，再结合函数的单调性、零点存在定理分析根的个数，最终得出的范围. 【详解】由原方程，可得，并将方程转化成或，即或. 设，， 因为，因为，所以在单调递增. 当，，当，， 又因为在上是连续的函数， 所以根据零点存在定理，有唯一根，即， 两边取对数得，化简得，整理得， 因为在严格递增，故.所以在单调递增， 在单调递减，故函数在取得最小值， 同理函数在取得最小值， 因为. 因为当和时与均趋近于正无穷，从而当两个函数的最小值一正一负时，方程有且仅有2个实根，即且，即整理得即所以，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 10．（2026·海南海口·一模）在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（   ） A． B． C．三棱锥的外接球表面积为 D．异面直线AN，CM所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】将三棱锥补形为长方体并求出棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；求出三棱锥的外接球的半径，进而求出表面积判断C；利用线线角的向量法求解判断D． 【详解】在三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示：    则有，解得， 以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则有，， 对于A，，则，A正确； 对于B，，向量不共线，不平行，B错误； 对于C，三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 其半径为，则三棱锥的外接球表面积为，C正确； 对于D，，， 因此异面直线，所成的角的余弦值是，D错误. 故选：AC 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；当为时，时取最小值，即可判断B；由抛物线的性质化简结合基本不等式求得结果判断C；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断D； 【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图： 对于A，则， ∴，即，∴，A选项正确； 对于B，， ， ∴当点为时，的最小值为1，B选项不正确； 对于C，， 当且仅当时，的最小值是，C选项正确； 对于D，由对称性可假设点P在一象限，则， ∵，当且仅当，即时取等号， 所以∴，∴最大值为， 当AQ与圆F相切时，，∴的最大值， ∴，D选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·广西北海·一模）在的展开式中，x的系数是______． 【答案】7 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意知的通项为， 令，则，即x的系数是. 13．（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 【答案】 【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【详解】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. 14．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】设出向量的坐标，并由已知判断出分别与的夹角范围，从而求解. 【详解】因为，所以，故. 由，得， 所以有，即，. 由题不妨可设，，， 由，知, 由可得， 同理可得，可得，所以， 所以， 而，所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【详解】（1）由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； （2）由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立， 易知在上单调递增， ，，所以. 16．（2026·贵州安顺·一模）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）首先利用线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行得到性质定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）因为F，G分别是棱，的中点，故． 又平面，平面，所以平面． 而平面，平面平面，所以． （2）过D作平面，垂足为O．建立如图所示空间直角坐标系． 则，， ，，  ，， 设为平面的法向量，则 ，取 平面的一个法向量为，所以， 设为平面与平面所成角，则， 因此，平面与平面所成角的正弦值为． 17．（25-26高三上·新疆·月考）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 18．（2026·广西崇左·一模）已知双曲线（，）的左顶点为，离心率为. (1)求C的方程； (2)过点A作直线l（斜率不为0）与C交于另一点B，过点B作l的垂线与x轴交于点D，若，求l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立求出点的坐标，进而求出点的横坐标即可列式求解. 【详解】（1）依题意，，由，得，则， 所以C的方程为. （2）由直线l的斜率不为0，设l的方程为， 由消去得，解得或， 则点的纵坐标，横坐标， 过点B且与l垂直的直线方程为， 令，得点的横坐标，由，得，即， 当时，，该方程无解；当时，解得， 所以直线l的方程为或. 19．（2026·广西崇左·一模）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； (3)当时，有三个不同零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，得到，得到方程，求得的值，再将代入切线方程，求得，得出，求得的值； （2）当时，，利用二次函数的性质，求得，求得，得出函数的单调性，求得，得出不等式，即可求解； （3）转化为有三个不相等实根，设，利用导数求得的单调区间和极值，结合与有三个交点，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， 则，所以， 因为在处的切线方程为， 可得，解得， 将代入切线方程，可得， 即，解得，所以. （2）当时，， 因为函数的图像象开口向上，对称轴为， 所以， 又因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，可得， 所以，则，解得， 所以的取值范围为. （3）当时，可得， 因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根， 即与的图象有三个交点， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，且时，；时，， 因为与的图象有三个交点，所以， 所以实数的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(5) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 2．（2026·贵州贵阳·一模）复数的虚部是（   ） A． B．i C． D．1 【答案】C 【分析】将给出的复数化为标准形式，根据虚部的定义可求解. 【详解】，根据虚部的定义可知复数的虚部为， 3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 4．（2026·高三上·广西·期末）若等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 5．（2026·甘肃兰州·一模）为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有种， 设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为， 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到； 当甲抽到时，乙只能抽到，丙只能抽到，共2种情况， 仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有种. 6．（2026·新疆·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得出，再应用同角三角函数关系得出，最后应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为，则，整理得， 则，因为，所以， 则. 故选：A. 7．（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立方程利用，得到，以及直线的方程，对两边求导得到，求得方程为，方程为，联立方程得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，，再利用面积公式求解即可. 【详解】设过的直线的方程为， 联立方程，得到， 不妨设， 由韦达定理得到， 因为，所以， 又因为，即 ， 所以，即， 所以，得到 即，解得，所以 即，解得，所以， 所以,得到， 所以直线的方程为，即. 对两边求导得到， 所以点的切线斜率， 所以方程为即， 同理可得方程为， 联立方程得到，解得， 所以点到直线的距离为， ， 所以 . 8．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 【答案】A 【分析】通过变量替换将第二个方程变形为与第一个方程相同的形式，利用函数单调性得到，从而求解出的值. 【详解】由题意可得，满足方程， 满足方程， 令，则， 将代入可得： ，进一步化简可得：， 观察与，发现两个方程形式相同， 设，对函数求导可得：， 在时，，所以在时单调递增，即方程有唯一解， 所以，，即，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数的图象关于点中心对称．则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的对称轴 C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D．在区间上单调递增 【答案】AC 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以，，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足，，解得，. 故不存在，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 10．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 【答案】ABD 【分析】先由题设求出表格中各行各列总数，再由古典概型即可计算求解判断AB；再由独立性检验思想即可分析判断CD. 【详解】由题设求出表格 疗法 疗效 总数 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 总数 21 115 136 以频率估计概率，有，故A正确； 以频率估计概率，有，故B正确； 零假设：认为疗效与疗法独立，由题且， 所以若取小概率值，则零假设不成立，即不可以认为疗效与疗法独立； 若取小概率值，则没有充分的证据推翻零假设，故可以认为疗效与疗法独立，故C错误，D正确. 故选：ABD 11．（2026·河南焦作·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（   ） A．的方程为 B． C．的最大值为9 D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 【答案】BCD 【分析】先求出轨迹方程，结合椭圆定义和性质可判断A,B,C，求出椭圆的切线，结合切线和直线间的距离可判断D. 【详解】设，由可得， 因为， ，所以， 解得，所以，整理得，A不正确； ，因为，所以，，B正确； 因为的方程为，所以，为其焦点， 由可得，，当且仅当时，取到最大值，C正确； 设直线与相切，联立，， 由可得，即. 当时，与的距离为； 当时，与的距离为； 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆九龙坡·一模）从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 【答案】925 【分析】将个数按和为分成组后再根据题设条件可确定这个数字，再结合等差数列的前项和公式可求它们的和. 【详解】将分成如下25组：， 因为所选取的个数，任意两数之和不为，也不为， 故只能从每一组中选择一个数，故必须选取，故不能选取， 考虑，所以只能选取，再考虑。该组只能选择， 故只能依次选取， 故这个数的和为. 13．（2026·新疆·一模）已知函数，则___________． 【答案】3 【分析】先计算内层函数值，再将结果作为自变量代入函数计算外层函数值. 【详解】， ，. 故答案为：3 14．（2026·广西南宁·一模）在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为______． 【答案】16 【分析】由两角差的正弦公式以及同角关系可得，再利用换元法令可求出的正、余弦值表示，根据三角形面积公式并利用基本不等式可得当时，面积的最大值为16. 【详解】依题意由可得， 即，因此； 令，易知，则； 因此可得，； 又因为， 所以，， 由正弦定理可得，又, 所以的面积为； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此可知面积的最大值为16. 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前项和即可证明. 【详解】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2），， ， 因为，所以，从而. 16．（2026·广西河池·二模）如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求. （2）在和中，分别利用余弦定理，即可求，进而可得. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． （2）不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 17．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，结合导数的正负分、两种情况讨论求解即可； （3）设在上的零点为，由题意可得，则点为直线上一点，表示点到原点的距离，进而得到，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）由，得， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，则， 即对于恒成立， 设，，则， 设，， 则，函数在上单调递增，且， 当，即时，，则函数在上单调递增， 所以，则函数在上单调递增， 则，即对于恒成立； 当，即时，令，得， 令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，， 此时函数在上单调递减，则，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）由，， 令，即， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离， 则，即， 设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又， 则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 18．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 期望为 (2) (3)6人 【分析】（1）根据分层抽样先确定每个省的抽取人数，然后确定的可能取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望. （2）根据全概率公式求解即可. （3）根据二项分布计算概率，然后作差求得最值即可. 【详解】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人， 丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为， 丙省人数为，，可取，可取，且. 时，； 时，； 时，； 时，； 所以分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏； 事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客； 事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客； 所以. . （3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是， 则， 当，即时，， 当，即时，， 所以 所以当时，最大. 故丙省游客最有可能被抽取到6人. 19．（2026·山西临汾·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点； (3)设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率计算即可得； （2）分与进行讨论，当时，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，利用对称性可得直线恒过的定点在x轴上，则可设该点为，则有，解出即可得，最后验证时，该点也在直线上即可得； （3）设出点及其切线方程，联立椭圆方程，可得与有关一元二次方程，利用切线性质可得，则可得两切线方程斜率有关一元二次方程，即可表示出斜率之积，再利用点Q在椭圆E上，代入计算即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，又，故 解得：，故椭圆C的方程为：； （2）当时，设直线AB的方程为：， 且交椭圆C分别为点、，则， 联立，有， ， 故，，故， 由图形的对称性知，直线恒过的定点在x轴上， 设定点为， 则有，即， 故， 即直线BP恒过定点； 当时，直线BP方程为：，此时直线BP亦过定点； 综上，直线BP恒过定点； （3）设，设切线为：， 联立，有， 由， 得， 即，即， 故，又Q在椭圆E上，即①， 将①代入得， 故为定值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(6) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·辽宁锦州·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广西崇左·一模）若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 3．（25-26高三下·海南·月考）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南海口·一模）海南有着深厚的排球运动传统，民间普及度高，被誉为“排球之乡”．已知一个排球从4m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，当这个排球第5次着地时，它经过的总路程是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 6．（2026·广西崇左·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南焦作·模拟预测）已知点，点是圆：（为实数）上一动点，其中点为此圆的圆心，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西朔州·一模）若关于的方程有2个不同实根，设，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 10．（2026·海南海口·一模）在三棱锥中，，，M，N分别是AD，BC的中点，则（   ） A． B． C．三棱锥的外接球表面积为 D．异面直线AN，CM所成角的余弦值为 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知点在圆：上，，为坐标原点，动点满足：在中，.则（    ） A．的轨迹方程为： B．的最小值为2 C．的最小值是 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·广西北海·一模）在的展开式中，x的系数是______． 13．（2026·云南曲靖·一模）数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 14．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，其中向量相互垂直，且满足，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·甘肃兰州·一模）已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：. 16．（2026·贵州安顺·一模）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱，，的中点．平面平面． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 17．（25-26高三上·新疆·月考）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（2026·广西崇左·一模）已知双曲线（，）的左顶点为，离心率为. (1)求C的方程； (2)过点A作直线l（斜率不为0）与C交于另一点B，过点B作l的垂线与x轴交于点D，若，求l的方程. 19．（2026·广西崇左·一模）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围； (3)当时，有三个不同零点，求的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(5) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州贵阳·一模）复数的虚部是（   ） A． B．i C． D．1 3．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高三上·广西·期末）若等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 5．（2026·甘肃兰州·一模）为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．24 6．（2026·新疆·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·海南海口·一模）已知，设满足方程，满足方程，则（   ） A．a B．2a C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数的图象关于点中心对称．则（   ） A．的最小正周期为 B．直线是曲线的对称轴 C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D．在区间上单调递增 10．（2026·重庆·一模）（多选）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据： 疗法 疗效 未治愈 治愈 甲 15 52 乙 6 63 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 计算得．则下列说法正确的是：（    ） A．以频率估计概率，有 B．以频率估计概率，有 C．若取，可以认为疗效与疗法独立 D．若取，可以认为疗效与疗法独立 11．（2026·河南焦作·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（   ） A．的方程为 B． C．的最大值为9 D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·重庆九龙坡·一模）从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 13．（2026·新疆·一模）已知函数，则___________． 14．（2026·广西南宁·一模）在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 16．（2026·广西河池·二模）如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 17．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数为的导数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)对，都有，求的取值范围； (3)设，若在上有零点，求证：. 18．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 19．（2026·山西临汾·一模）已知椭圆的右焦点为F，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点； (3)设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $