2026届高三数学适应性训练模拟卷(2)（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026届高三数学适应性模拟卷，覆盖11省，以集合、复数、概率等知识为载体，结合辽宁红色游学等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、概率（红色游学情境）、立体几何（棱切球）|多省份真题改编，基础与能力题梯度分布| |填空题|3题/15分|向量投影、不等式恒成立、数列递推|注重数学运算与抽象思维| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何（面面角）、函数导数（切线与单调性）、概率统计（独立事件）、圆锥曲线（轨迹与定点）|综合考查逻辑推理与数学建模，如函数题含参数讨论，圆锥曲线证外接圆定点|

2026届高三数学适应性训练模拟卷(2) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 2．（2026·辽宁鞍山·二模）若，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数运算法则可得答案. 【详解】.故选：B 3．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可． 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则， 故选：A． 4．（2026·重庆·二模）已知向量与满足，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，且， 所以. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心， 圆心代入直线得，解得. 6．（2026·辽宁沈阳·三模）某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地”的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆.已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记沈阳九一八历史博物馆为,丹东抗美援朝纪念馆为,鞍山鞍钢博物馆为,其余3个地点为普通元素. 6个元素全排列且不相邻： 总排列,相邻排列数(捆绑法)：, 故条件总数. 最后一位固定为,前5位排列剩余5个元素且不相邻： 前5位全排列, 相邻排列数, 故符合要求数. 所以在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为. 7．（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知，可知等比数列为单调递减数列， 由，要使取得最大值，需满足， 则，即且，即且， 因为，所以当时满足要求. 8．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ）    A．最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ACD 【分析】先根据函数的部分图象，求得函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质，逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期，故A正确； 所以，所以， 又根据图象，可知函数过点，所以， 即，所以，所以， 又，所以，所以， 当时，可得， 根据正弦函数的图象性质，可知当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，故B错误； 令，解得， 所以函数的对称中心为， 当时，对称中心为，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确. 故选：ACD 10．（2026·辽宁沈阳·三模）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】选项A：通过向量共线判断,与坐标不成比例,故与不平行,A错误.选项B：计算与的数量积为0,可判断两直线垂直,B正确.选项C：利用面面平行确定点轨迹为线段,计算得,C正确.选项D：由线面垂直求出点坐标,再计算四面体外接球表面积为,D错误. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 正方体棱长为，各点坐标为，，，，， ，，，，. 选项A：，.两向量坐标不成比例，故与不平行，A错误. 选项B：，. ， 故，B正确. 选项C：取中点，中点，连接.， ，，，，. 可得与共面，与共面，. 因为平面，平面，且， 所以平面平面.点在正方形内且平面， 故点轨迹为线段，则，C正确. 选项D：，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得，即. 设，. 由平面得，即，解得，即. 四面体的顶点为，，，， 该四面体的外接球等价于以为邻边的长方体的外接球， 长方体的长宽高分别为，外接球直径， 外接球半径，表面积，D正确. 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 ，其中 ，则（    ） A．函数 在 上不单调 B．不等式 对 恒成立 C．若函数 与直线 的图象有且仅有两个公共点，则 的取值范围是 D．若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解，则 的取值范围为 【答案】ABD 【分析】通过研究函数的导函数得到函数的单调性，并分析趋于无穷时函数的函数值，画出函数的大致图象，利用数形结合的方法解决问题 【详解】对于选项A ， 当时，，当时，， 因此，的单调增区间为，单调减区间为和， 因此，在上不单调，选项A正确； 对于选项B 方程的两个根为，，， 所以当时，，当时，， 易得，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以有， 当时，所以， 综上，对，恒成立，选项B正确； 对于选项C 当趋于负无穷时，趋于正无穷，趋于零，因此趋于正无穷； 当趋于正无穷时，且在上单调递减，因此趋于零， 根据上述结论可大致画出函数的图象 要使函数的图象与直线有两个交点， 根据图象可得的取值范围，所以选项C错误； 对于选项D 当直线恰好经过时，不等式没有负整数解， 此时， 随着直线的斜率减小，直至恰好经过时， 此过程中不等式只有一个负整数解， 此时，斜率小于此值，不等式会有多于一个负整数解， 故的取值范围为，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·重庆北碚·月考）若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案. 【详解】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【详解】由. 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 14．（2026·辽宁沈阳·三模）已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得数列是首项为，公差的等差数列，得到，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足，当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 因为，可得，解得， 又由，当时，可得， 两式相减，可得， 整理得，即， 即，所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以， 则， 所以数列的前n项和为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·重庆·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. (1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； (2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）由给定条件证得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在三棱柱 中，取的中点，连接，由为的中点， 得，而，则，又为的中点，则， 而平面，平面，于是平面，平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）由，得，而，则， 由，得，即， 故可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 则， 设平面的一个法向量，则，令，得， 而平面的一个法向量，因此， 所以平面与平面的夹角为. 17．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为1 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定单调性后可得最小值； （3），.注意，令，求出，分类讨论：时，由的单调性得出（）不可能恒成立，时，证明（）恒成立，从而可得参数范围． 【详解】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 18．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. (1)求，； (2)当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii），证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用乘法公式计算概率即可； （2）（i）易知，再根据公式计算； （ii）设随机变量是比少的个数,可取，结合范德蒙恒等式得到，进而得到，设，再计算即可． 【详解】（1）时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯， ， 时，，则第1个路口遇到绿灯，第2个路口遇到红灯，第3个路口遇到绿灯， ； （2）（i）根据题意，， ； （ii），理由如下： 设随机变量是比少的个数,可取， ， 而， 所以， 所以， 所以， 设，则， 所以， 即． 19．（2026·重庆·二模）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的离心率； (2)已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知可求得，进而可求离心率； （2）（i）设，且，代入计算可得，进而得点的轨迹方程； （ii）设的左焦点为，计算可求得，计算可得四点始终在同一个圆上，进而可得结论. 【详解】（1）由条件知，且，所以， 所以的离心率； （2）（i）以为直径的圆：，设， 由题意设①， 且有②，③， 将①代入②有，即④， ①代入③有，即⑤， 联立④⑤有，即点的轨迹方程为； （ii）由题意，椭圆方程为， 设的左焦点为， 直线的方程为，所以， 线段的垂直平分线方程为，此直线与轴相交于点， 的外接圆方程为⑥， 将代入方程⑥，得⑦，因为点在椭圆上，所以⑦恒成立， 即四点始终在同一个圆上，故的外接圆过点． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(2) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）若，则复数（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（2026·重庆·二模）已知向量与满足，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁沈阳·三模）某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地”的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆.已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ）    A．最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 10．（2026·辽宁沈阳·三模）在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A． B． C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为 D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 ，其中 ，则（    ） A．函数 在 上不单调 B．不等式 对 恒成立 C．若函数 与直线 的图象有且仅有两个公共点，则 的取值范围是 D．若关于 的不等式 恰有 1 个负整数解，则 的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·重庆北碚·月考）若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13．（2026·广西南宁·二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 14．（2026·辽宁沈阳·三模）已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·重庆·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 16．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点. (1)若点 在线段 上，且 ，求证：平面 ； (2)若 ，，，求平面 与平面 的夹角. 17．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 18．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）某人开车从地到地，依次路过编号为，，，的个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为，偶数号路口遇到红灯的次数为，记事件“”为，的概率为. (1)求，； (2)当. （i）设，求； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 19．（2026·重庆·二模）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的离心率； (2)已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $