专题05 实数重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题05 实数重难点题型汇编 (十大题型） 【题型1 无理数】...................................................................................................................1 【题型2 无理数的大小估算】..................................................................................................2 【题型3 无理数整数部分的有关计算】.................................................................................2 【题型4 实数的性质】............................................................................................................2 【题型5 实数与数轴】...........................................................................................................3 【题型6 实数的大小比较】...................................................................................................4 【题型7 实数的混合运算】...................................................................................................4 【题型8 程序设计与实数运算】...........................................................................................5 【题型9 新定义下的实数运算】............................................................................................6 【题型10 实数运算的实际应用】...........................................................................................7 【题型11 与实数运算相关的规律题】..................................................................................8 【题型1 无理数】 1．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在下列实数中，无理数是（　　） A．2 B． C． D． 3．下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2 无理数的大小估算】 1．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．估算的值（   ） A．在3到4之间 B．在5到6之间 C．在4到5之间 D．在2到3之间 3．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 4．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 1．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 2．若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 3．估计的整数部分是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 实数的性质】 1．是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 2．实数的相反数是______． 3．实数的绝对值为____________． 4．如表为嘉琪同学答卷的填空题部分，他的填空题得分是______分． 填空（每小题分，共分） ①的相反数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． 【题型5 实数与数轴】 1．如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为_____． 2．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 3．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点A表示的数是______． 4．如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为______． 【题型6 实数的大小比较】 1．比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 2．比较大小：______．（填“”“”或“”） 3．比较：________（填“”“ ”或“”）． 4．比较大小：_______（填“＞”或“＜”）． 【题型7 实数的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) 3．解方程、计算: (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算与解方程∶ (1) (2) (3) (4) 【题型8 程序设计与实数运算】 1．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 3．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是__________． 4．如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为______． 【题型9 新定义下的实数运算】 1．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 2．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： (1)的“坐标区间”为______； (2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 3．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如，的小数部分为． (1) ，的小数部分 ； (2)设的小数部分为a，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 4．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 【题型10 实数运算的实际应用】 1．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【题型11 与实数运算相关的规律题】 1．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 2．观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 3．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 4．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数重难点题型汇编 (十大题型） 【题型1 无理数】...................................................................................................................1 【题型2 无理数的大小估算】..................................................................................................3 【题型3 无理数整数部分的有关计算】.................................................................................4 【题型4 实数的性质】............................................................................................................6 【题型5 实数与数轴】...........................................................................................................8 【题型6 实数的大小比较】...................................................................................................10 【题型7 实数的混合运算】...................................................................................................11 【题型8 程序设计与实数运算】...........................................................................................14 【题型9 新定义下的实数运算】............................................................................................16 【题型10 实数运算的实际应用】...........................................................................................20 【题型11 与实数运算相关的规律题】.................................................................................21 【题型1 无理数】 1．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，需先排除实数范围内无意义的数，再根据无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断即可． 识别无理数时，需先排除非实数，再紧扣“无限不循环小数”的定义判断，注意分数和有限小数都属于有理数． 【详解】解：∵的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不属于实数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数、是有限小数，均为有理数； ∴无理数共有3个， 故选：C． 2．在下列实数中，无理数是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项，2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项，开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数，符合要求； C选项，是分数，属于有理数，不符合要求； D选项，，是整数，属于有理数，不符合要求． 3．下列实数：，，，（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，无理数是无限不循环小数，据此对每个实数逐一判断即可． 【详解】是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， ∵是无理数， ∴是无限不循环小数，属于无理数， ，2是整数，属于有理数 0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有3个． 故选：C． 4．在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴是分数，是整数，是无限循环小数，是整数，以上均为有理数，无理数为，，，（相邻两个之间的个数逐次加），共个． 【题型2 无理数的大小估算】 1．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 2．估算的值（   ） A．在3到4之间 B．在5到6之间 C．在4到5之间 D．在2到3之间 【答案】C 【分析】使用夹逼法估算无理数的大小，只需找到与21相邻的两个完全平方数即可求解． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∴ 的值在4到5之间． 3．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 4．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的两个平方数，确定无理数的范围，再进行简单运算得到最终式子的范围． 【详解】解： 即 即 的值在和之间 故选：B． 【题型3 无理数整数部分的有关计算】 1．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 2．若的整数部分和小数部分分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是估算无理数的大小，解题关键是利用不等式的性质确定出的范围． 先由确定 的整数部分和小数部分，再计算． 【详解】解：， ， ， ， 即， 则整数部分，小数部分， ． 故选：． 3．估计的整数部分是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据无理数的估算方法确定的整数部分即可． 【详解】解：∵， ， 则的整数部分是2， 故选：C． 4．已知实数a，b分别是的整数部分和小数部分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了用有理数估计无理数，先估算无理数的大小，可得，从而表示出的整数部分和和小数部分；再把a、b的值代入代数式中计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：C． 【题型4 实数的性质】 1．是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查了实数概念，相反数定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，由 与 只有符号不同，因此是相反数关系，熟知相反数定义是解题的关键． 【详解】解：∵相反数是指两个数符号不同，但绝对值相等， ∴的相反数是， ∴是的相反数， 故选：． 2．实数的相反数是______． 【答案】/ 【分析】此题考查了实数的性质，相反数，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故答案为：． 3．实数的绝对值为____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 4．如表为嘉琪同学答卷的填空题部分，他的填空题得分是______分． 填空（每小题分，共分） ①的相反数是； ②的绝对值是； ③； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、绝对值、算术平方根、平方根和立方根，根据以上定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的相反数是，该题正确； ②的绝对值是，该题正确； ③，该题正确； ④平方根与立方根相等的数是，该题错误； ⑤，该题正确； 综上，嘉琪答对题， ∴填空题得分是分， 故答案为：． 【题型5 实数与数轴】 1．如图，将面积为6的正方形的顶点放在数轴上，以表示实数2的点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵将面积为6的正方形放在数轴上， ∴正方形的边长为． ∵以表示实数2的点C为圆心，以正方形的边长为半径画弧， ∴ ∴点E表示的数为． 故答案为：． 2．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 3．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个边长为的正方形可拼成一个大正方形，将一个的长方形如图2放置，则点A表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，解决此题的关键是充分理解大正方形的面积等于两个长方形的面积和小正方形面积的和；根据题意大正方形的面积为5，根据正方形面积求出边长即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为， 则大正方形的边长为， 则点A表示的数是， 故答案为：． 4．如图，数轴上点为线段的中点，，两点表示的数分别为和，则点所表示的数为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，正确表示出的长是解题关键． 直接利用已知得出，进而求出的长，进而得出答案． 【详解】解：，两点表示的数分别为和， ． 点为线段的中点， ． ． 点在原点的左边， 点所表示的数为． 故答案为：． 【题型6 实数的大小比较】 1．比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 2．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 3．比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 4．比较大小：_______（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握分母相同的分数，比较分子大小即可，结合无理数的估算判断分子的大小是解题的关键． 因为分母相同，故可通过比较分子的大小来比较两个分数的大小． 【详解】解：∵分母相同， ∴比较分子和． ， ∴， ． 故答案为：＞． 【题型7 实数的混合运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再进行加减运算； （2）先计算立方根、算术平方根、绝对值，再进行加减法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．解方程、计算: (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解利用平方根解方程，实数的混合运算． （1）先将方程转化为，进而开平方求解． （2）先根据算术平方根、立方根、绝对值的性质计算，再根据实数加减法则计算即可． 【详解】（1）解：， 等式两边同时除以，得：， 得：， 解得：，； （2）解：， ， ， ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算立方根和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算与解方程∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2)3 (3) (4)或 【分析】（1）先进行开方和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方和乘方运算，再进行加减运算即可； （3）利用立方根解方程即可； （4）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， 或． 【题型8 程序设计与实数运算】 1．小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是________． （2）分析发现，当非负数取________时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 3．有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 4．如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为______． 【答案】100 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据输出的结果可知第一次取算术平方根后的运算结果，再把这个运算结果平方即可得到答案． 【详解】解：∵经过两次取算术平方根运算，输出的y值为， ∴第一次输入取算术平方根运算的结果为 ∴第一次输入的数为，输入的的值为100， 故答案为：100． 【题型9 新定义下的实数运算】 1．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （）仿照以上方法计算： ； ． （）若，写出满足题意的的一个整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次   ，这时候结果为． （）对连续求根整数， 次之后结果为． （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（）； （）（或，答案不唯一） （） （） 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （）由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：或或， 故答案为：或或； （）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 2．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“坐标区间”为．例如：因为，所以的“坐标区间”为．请回答下列问题： (1)的“坐标区间”为______； (2)若无理数的“坐标区间”为，的“坐标区间”为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为3 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“坐标区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“坐标区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“坐标区间”的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“坐标区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“坐标区间”为， ∴，即， ∵的“坐标区间”为， ∴，即， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴的值为3． 3．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如，的小数部分为． (1) ，的小数部分 ； (2)设的小数部分为a，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)2， (2)1 (3)的相反数为 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得的范围；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得a，遵循同样步骤可求得，将a和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得x和y，于是可求得，并最终求得的相反数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：2，； （2）， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ； （3）， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 4．用“”表示一种新运算，对于任意非负实数和任意实数都有，例如，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，根据新定义运算的法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【题型10 实数运算的实际应用】 1．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 2．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【题型11 与实数运算相关的规律题】 1．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 2．观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 3．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 4．观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $