精品解析：广东梅州市五华县2025-2026学年第二学期期中八年级数学考试卷

2025-2026学年第二学期八年级期中学习能力检测题 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角的和等于 B. 全等三角形的对应角相等 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的两底角相等 6. 如图，是中的平分线，于点，若的面积为28，，，则长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 9. 一次函数与的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且，，等边的顶点分别在线段上，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______． 12. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆部分的长度与支杆的长度相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为______． 13. 关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 14. 如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示． 17. 如图，在中， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则________． 18. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求四边形的面积． 20. 已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 21. 已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． （1）如图1，若是等边三角形，，求的长； （2）如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价； （2）求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中学习能力检测题 数 学 注意事项： 1.本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2.答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.是轴对称图形，不是中心对称图形； 2. 在中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，图形结合分析的方法是解题的关键． 根据可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴是等腰三角形， ∴，   故选：A ． 3. 若，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的三条基本性质：不等式两边同时加(减)同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘(除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号方向改变，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A不成立； B．不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得 ，B不成立； C．由只能推出，不一定大于，例如时，，C不一定成立； D．∵ ，两边同时乘，不等号方向改变，得，再两边同时加1，不等号方向不变，可得，D一定成立． 4. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角的和等于 B. 全等三角形的对应角相等 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 等腰三角形的两底角相等 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了命题与定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的的性质和判定等知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两锐角和等于的逆命题是两锐角和等于的三角形是直角三角形，是真命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上的逆命题是线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题； D、等腰三角形的底角相等的逆命题是两底角相等的三角形是等腰三角形，是真命题． 故选：B． 6. 如图，是中的平分线，于点，若的面积为28，，，则长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先作辅助线，根据角平分线性质得到；计算的面积，用的总面积减去该面积得到的面积；最后根据三角形面积公式列方程求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴． 7. 随着人工智能技术的飞速发展，智能机器人逐渐走进人们的生活．如图，某科技公司设计了一款家用服务机器人，其主体外观呈正八边形，则该正八边形每个内角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和公式，正多边形的内角，掌握知识点是解题的关键． 关键正多边形的内角和公式，正多边形的内角计算，即可解答． 【详解】解：正八边形每个内角为． 故选C． 8. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式还原实际问题描述，解题关键是按照运算顺序理解不等式各部分的实际意义，明确不等号的含义． 【详解】解：∵一件商品定价为元，列出的不等式为 . ∴表示两件等值商品的总价，表示两件商品总价减去100元，即先减100元； 整体乘表示减100元后再打八折； 不等号表示最后总价不到900元； 因此信息为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 9. 一次函数与的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数图象，结合，得出的取值范围． 【详解】解：如图所示：不等式的解集为：． 10. 如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且，，等边的顶点分别在线段上，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质以及勾股定理．根据等边三角形的性质得出，结合已知条件证明是直角三角形，求出的长，再过点作轴的垂线，利用含度角的直角三角形性质和勾股定理即可求出点的坐标． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是等边三角形，点在线段上，  ∴，  ∵， ∴， 在中，，，  ∴，  ∵，，  ∴，  ∴， 在中，  ∴点的坐标为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，进行作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在，已知，求证：．应首先假设：； 故答案为：． 【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键． 12. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆部分的长度与支杆的长度相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，连接，可得为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 13. 关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 14. 如图，将沿BC方向平移一定距离得到．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到，，则，再利用得到，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵沿方向平移一定距离得到， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 15. 如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米，且A，B两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了运用路径最值问题以及运用勾股定理求线段的长度．将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q．即．随后，结合已知条件，在中，运用勾股定理求出的长，最后求得的最小值． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移4米，即平移到，连接，．过点B作交延长线于点Q． ∵将沿着竖直方向平移4米，即平移到， ∴， ∴， 即 ∵河宽4米， ∴（米）， ∴． ∵A，B两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽4米， ∴（米）， ∴（米）， ∵A，B两点之间的水平距离为12米， ∴（米）， ∵交延长线于点Q， ∴． 在中， （米）， ∴（米）， 即的最小值是19米． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示． 【答案】 ；在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 17. 如图，在中， （1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2）4 【解析】 【分析】本题考查了作图-线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及等边三角形的判定与性质． （1）分别以点A，C为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，连接两点，此时与交点E，与交点D，垂直平分线即为所求； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，则，利用三角形外角的性质得到，从而证得是等边三角形，进而得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：4． 18. 如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） 如图所示： ； （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：， ， 四边形的面积为． 20. 已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】（1） （2） 整数的值是 【解析】 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【小问1详解】 解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． 【小问2详解】 解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 21. 已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． （1）如图1，若是等边三角形，，求的长； （2）如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）结合已知条件证，然后证，即可求证． 【小问1详解】 解：是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价； （2）求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元 （2）A种型号的电风扇最多能采购31台 （3）能实现利润超过2080元的目标，采购方案为：方案一：采购A型号29台，B型号31台；方案二：采购A型号30台，B型号30台；方案三：采购A型号31台，B型号29台 【解析】 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题目给出的两组销售收入条件列二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）设采购A种型号电风扇m台，根据总采购金额不超过7830元列一元一次不等式，结合m为非负整数即可求出m的最大值； （3）根据利润超过2080元的要求列不等式，结合第二问得到的m的取值范围，找出所有符合条件的正整数m，即可得到对应的采购方案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元． 根据题意可得 ， 解得 ， 答：A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元； 【小问2详解】 解：设A种型号电风扇采购台，则B种型号电风扇采购台． 根据题意可得 ，   化简得，   解得，   因为为非负整数， 所以的最大值为31． 答：A种型号的电风扇最多能采购31台． 【小问3详解】 解：∵要使利润超过2080元， ∴， 化简得，， 解得， 由（2）可知，且为正整数， 因此可取29，30，31． 当时，， 当时，， 当时，， 因此该电器商城销售完这60台电风扇能实现利润超过2080元的目标， 对应的采购方案为：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇31台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇30台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇29台． 23. 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． （1）初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； （2）类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）2 【解析】 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $