精品解析：广东省梅州市五华县 2024—2025 学年下学期八年级期中考试数学卷

2024-2025学年第二学期八年级期中学习能力检测题数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色宇迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：不等式有，共4个， 故选：C． 3. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是　　 A. 两条中线的交点 B. 两条高的交点 C. 两条角平线的交点 D. 两条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直分线的性质解答即可． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点． 故选：D． 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，根据题意可知不等式两边同时乘以之后不等号没有发生改变，则． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 5. 不等式的正整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的正整数解，先求出不等式的解集，再根据解集确定不等式的正整数解的个数即可，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得 ∴不等式的正整数解为和，共个， 故选：． 6. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了线段的垂直平分线，三角形内角和公式，关键是掌握线段的垂直平分线的性质，以及三角形内角和公式．首先根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，设，则，根据三角形内角和公式可得方程，再解方程即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 7. 如图，已知的周长为， 现将沿方向平移至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段相等，对应线段相等，找出对应线段和对应点所连的线段，结合四边形的周长公式求解即可． 【详解】解：根据题意，得A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为， ∴，， 则四边形的周长 的周长 ， 故选：D． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若于D，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质．将绕点顺时针旋转后得到，可求得的度数，又由，即可求得的度数，继而求得答案．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】A．不等式两边同时减b，可得，选项不成立，不符合题意； B．当时，可得，选项不成立，不符合题意； C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项不成立，不符合题意； D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意； 故选：D． 10. 如图，已知等边的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上，当时，取最小值，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理解得此时的值，即可获得答案． 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为4， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值，如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，准确判断点的运动轨迹是解题关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，将点(﹣2，5)向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为___________． 【答案】(-6，5) 【解析】 【分析】把点（﹣2，5）的横坐标减4，纵坐标不变得到点（﹣6，5）平移后的对应点的坐标． 【详解】解：将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）． 故答案为（﹣6，5）． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移知识点，准确判断是解题的关键． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由旋转性质可知：， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故答案为：． 13. 如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 为的角平分线，，， ， 的面积， 故答案为：15． 14. 若实数x、y满足，则的值是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数的非负性，且，确定，得到，代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 解得：， 所以， 所以， 故答案为：2025． 15. 如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．根据勾股定理先求出边长，再求出长，过点D作，可证，即，在等腰直角中可求，即可直接求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴． 过点D作于点M， 则， 由旋转的性质得，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】此题考查求一元一次不等式组的解集.求出每个不等式的解集，取公共部分即可得到不等式组的解集. 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是. 17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)． （1）请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的 【答案】（1） 如图，即为所作，点的坐标为(2，-4)； （2） 如图，即为所作． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A，B，C关于x轴对称的点，再顺次连接即可．由平面直接坐标系即可直接写出点的坐标； （2）根据旋转的性质找出点A，C绕点B逆时针旋转90°后的点，再将顺次连接即可． 【小问1详解】 点的坐标为(2，-4)； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，作图—旋转变换．掌握轴对称和旋转的性质是解题关键． 18. 如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵于点A，于点B， ∴C在的角平分线上， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，等腰三角形等角对等边．掌握在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键．根据“等角对等边”得出，再结合角平分线的判定定理即可证明． 【详解】略 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元． （1）求两次各摘龙眼多少吨？ （2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 【答案】（1）第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨 （2）至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，根据两次一共卖了9万元列出方程求解即可； （2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，根据销售额不少于36万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨， 由题意得：， 解得：， ∴（吨）， 答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨； 【小问2详解】 解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干， 由题意得： 解得：， 答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉． 20. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE． （1）求证：CE＝CB； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度． 【答案】 （1）证明：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴AC是∠EAB的角平分线， 又∵CE⊥AD，CB⊥AB， ∴CE＝CB． （2）BE＝2． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB； （2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长． 【详解】（1）略 （2）∵AC是∠EAB的角平分线， ∴∠EAB＝2∠CAE＝60°， ∵∠DCA＝∠DAC＝30°， ∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°， ∵CE⊥AD， ∴∠CED＝90°， ∴∠ECD＝30°， ∵CB⊥AB， ∴∠CBA＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠CBA+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝90°， ∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°， ∵CE＝CB＝2， ∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°， ∴∠EBA＝60°， ∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE＝AB； 在Rt△ABC中， ∵BC⊥AB，∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝4， ∴AB＝， ∴BE＝2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； 【小问2详解】 解：在中，令，得， ∴． 在中，令，得， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 关于x，y的方程组． （1）若，求的值； （2）若、均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， 解得， ∵、均为非负数， ∴，， 即， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴的最大值为，最小值为． 23. （1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】 （1）①证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：结论：， 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）①由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； ②在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：结论： 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期中学习能力检测题数学 注意事项： 1．本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案，答案不能写在试卷上． 4．非选择题必须用黑色宇迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是　　 A. 两条中线的交点 B. 两条高的交点 C. 两条角平线的交点 D. 两条边的垂直平分线的交点 4. 若，且，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 5. 不等式的正整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的周长为， 现将沿方向平移至位置，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若于D，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知等边的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 不能确定 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，将点(﹣2，5)向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为___________． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是_____． 13. 如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是_______． 14. 若实数x、y满足，则的值是______． 15. 如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为______． 三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组 17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)． （1）请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的 18. 如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分． 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元． （1）求两次各摘龙眼多少吨？ （2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 20. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE． （1）求证：CE＝CB； （2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度． 21. 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象写出不等式的解集为______． 五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 关于x，y的方程组． （1）若，求的值； （2）若、均为非负数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 23. （1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $