18.2 勾股定理的逆定理 分层练习 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 分层练习 判断三边能否构成直角三角形 1、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ） A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，， 2、以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.，2， D.0.3，0.4，0.5 3、学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ） A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对 4、小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形          是直角三角形． 5、在△ABC中，， ，，则△ABC是         三角形．. 6、如图，以的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则是直角三角形吗？请证明你的判断． 利用勾股定理的逆定理求解 1、已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A.6cm2 B.15cm2 C.24cm2 D.10cm2 2、有下列说法： ①一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是； ②一个直角三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长是； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （    ） A. B. C. D. 3、已知．指出以a，b，c为边长的直角三角形中哪一条边所对的角是直角（    ）． A.a B.b C.c D.无法确定 4、若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为          ． 5、上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 6、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12 （1） 求a的取值范围 （2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类） 勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1、某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A.40800元 B.91600元 C.60800元 D.48000元 2、如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A.南偏东30° B.南偏东40° C.南偏东50° D.南偏东60° 3、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A.90米 B.120米 C.140米 D.150米 4、如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为       ． 5、在喜迎第七届军运会中，东西湖区加大绿化力度，在五环体育中心有一块空地，如图所示的四边形ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，，若每平方米草皮需要100元，求这块地种植草皮需要投入多少元？    6、如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米．    (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由． (2)求小路长为多少千米？ 勾股数 1、若3、4、为勾股数，则a的值为（    ） A.－5 B.5 C.－5或 D.5或 2、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A. B. C. D. 3、下列各组数中，是勾股数的是（    ） A. B.2，3，5 C.9，12，15 D. 4、如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是        ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则=        ． 5、在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 沪科版（2024）八年级下册 18.2 勾股定理的逆定理 分层练习（参考答案） 1判断三边能否构成直角三角形 1、以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ） A.2，，4 B.4，5，6 C.2，3，4 D.1，， 【答案】D 【解析】解：A、∵22+（）2=6≠42，故此选项错误； B、∵42+52=41≠62，故此选项错误； C、∵22+32=13≠42，故此选项错误； D、∵12+（）2=3=（）2，故此选项正确． 故选D． 2、以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.，2， D.0.3，0.4，0.5 【答案】C 【解析】A. ，能构成直角三角形 B.，构成直角三角形 C. ，不构成直角三角形 D. ，构成直角三角形 故答案为C 3、学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ） A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对 【答案】C 【解析】中，不确定谁是直角边和斜边， 所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误； 在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误， ∴两人都错， 故选：C． 4、小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形          是直角三角形． 【答案】① 【解析】∵， ∴图形①是直角三角形； ∵， ∴图形②不是直角三角形； 故答案为：① 5、在△ABC中，， ，，则△ABC是         三角形．. 【答案】直角 【解析】∵32+72=58， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为直角. 6、如图，以的每一条边为边作三个正方形．已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则是直角三角形吗？请证明你的判断． 【答案】设坐标绿色部分的面积和为a，右边绿色部分的面积为b，蓝色部分的面积和为c，坐标空白部分的面积为d，右边空白部分的面积为e，然后根据绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等列式得到，然后由求解即可．． ∵绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形． 2利用勾股定理的逆定理求解 1、已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A.6cm2 B.15cm2 C.24cm2 D.10cm2 【答案】A 【解析】∵△ABC的三边分别是3cm，4cm，5cm， 又∵， ∴△ABC是直角三角形，且边长为3cm和4cm的边为两条直角边， ∴． 故选A． 2、有下列说法： ①一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是； ②一个直角三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长是； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理．其中，正确的个数是 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】①， 一个直角三角形的两条直角边长分别为，，则它的斜边长是，正确； ②一个直角三角形的两边长分别是，， 它的第三条边长为或，错误； ③“一个三角形的三条边长分别是，，．因为，所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理，正确， 正确的个数是2， 故选B． 3、已知．指出以a，b，c为边长的直角三角形中哪一条边所对的角是直角（    ）． A.a B.b C.c D.无法确定 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴△ABC是直角三角形，即∠C=90°， ∴c对应的角是直角， 故选C． 4、若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为          ． 【答案】20：15：12． 【解析】解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x， ∵（3x）2＋（4x）2＝25x2＝（5x）2， ∴这个三角形是直角三角形， 设斜边上的高为h， 则×3x×4x＝×5x×h， 解得，h＝， 则这个三角形的三边上的高之比＝4x：3x：＝20：15：12， 故答案为20：15：12． 5、上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 【答案】解：在中，， 由勾股定理得： ， ， ， ， ∴四边形的面积： ， 答：该庄的面积为234． 6、已知：△ABC中 AB=5，BC=2a+1，AC=12 （1） 求a的取值范围 （2） 如果a=6 那么请判断：△ABC是什么三角形？（友情提示：可以按角分类或按边分类） 【答案】（1）解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a＋1，AC＝12， ∴2a＋1＞12−5，2a＋1＜12＋5， 解得3＜a＜8； （2）解：当a＝6时，△ABC的三边分别是5、12、13， ∵52＋122＝25＋144＝169＝132，即AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形（或不等边三角形）． 3勾股定理与勾股定理逆定理的综合运用 1、某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A.40800元 B.91600元 C.60800元 D.48000元 【答案】A 【解析】连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 2、如图，在港有甲、乙两艘船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船的航行方向是（    ） A.南偏东30° B.南偏东40° C.南偏东50° D.南偏东60° 【答案】A 【解析】如图 由题意可得 是直角三角形，即， 所以乙船的航行方向是南偏东30°. 故选：A. 3、某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A.90米 B.120米 C.140米 D.150米 【答案】C 【解析】如图，在，， ， ，即， 在中，AC=150，， ∴BC=BD+DC=50+90=140 故选：C． 4、如图，学校操场边上有一块四边形空地，该空地的阴影部分需要绿化，经测量发现，，，那么需要绿化部分的面积为       ． 【答案】/96平方米 【解析】连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 中，； ∵， ∴， ∴． 故答案为： 5、在喜迎第七届军运会中，东西湖区加大绿化力度，在五环体育中心有一块空地，如图所示的四边形ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，，若每平方米草皮需要100元，求这块地种植草皮需要投入多少元？    【答案】解：连接AC，    ∵，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积为， ∴学校要投入的资金为（元）． 6、如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米．    (1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由． (2)求小路长为多少千米？ 【答案】（1）解：8km． 理由是： 在中， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴村庄A到公路的最近距离是8km； （2）设千米，由（1） 可得：， 在中， 千米，千米， 由勾股定理得：， ∴， 解这个方程，得， ∴（千米）， 答：的长为千米． 4勾股数 1、若3、4、为勾股数，则a的值为（    ） A.－5 B.5 C.－5或 D.5或 【答案】B 【解析】∵3、4、a为勾股数， 当4为直角边时， ∴a==5， 当4为斜边时， ∴a==，不是整数，舍去， 故选：B． 2、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 3、下列各组数中，是勾股数的是（    ） A. B.2，3，5 C.9，12，15 D. 【答案】C 【解析】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，故该选项不符合题意； B．∵， ∴2，3，5不是勾股数，故该选项不符合题意； C．∵， ∴9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，故该选项不符合题意， 故选C． 4、如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是        ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则=        ． 【答案】 S1+S2=S3 7 【解析】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2， 如图，在等边中，边上的高 同理：S2=BC，S3=AB， ∴S1+S2=S3； （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b； ∵S1+S2=S3， ∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S， ∴S甲+ S乙= S丙+S， ∴S=6+5-4=7． 故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7． 5、在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 【答案】解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1， n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1， n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1， n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1， ∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50； 故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1； 故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1， c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $