18.2 勾股定理的逆定理-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 18.2勾股定 第1课时勾股 白基础进阶 1.(2025·准南期末)下列单位长度相同的各组 线段中，能构成直角三角形的是 ( ) A.1,3,2 B.3,5,7 C.4,6,8 D.√5，√5,2 2.若3,4，a为勾股数，则a的值为 ( A.√7B.5 C.5或7D.5或√7 3.若一个三角形的三边长的比为3：4：5，则这 个三角形的三边上的高之比为 4.已知△ABC的三边a,b,c满足下列条件，试 判断△ABC是否为直角三角形. (1)a=12,b=35,c=37. (2)a=24,b=51,c=45. (3)a=18,b=28,c=24. 5.如图，每个小正方形的边长均为1，A,B,C, D均为格点. (1)直接写出下面线段的长度：AB= ,AD= (2)连接BD,判断△ABD的形状，并说明 理由 (第5题) 48 理的逆定理 定理的逆定理 ●“答案与解析”见P16 幻素能攀升 6.(2025·合肥庐阳期末)已知四个三角形分别 满足下列条件：①三边长的比为5：12：13； ②三个内角度数之比为3：4：5；③三边长 分别为3,4,5；④一个内角等于另两个内角 之和.其中，是直角三角形的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.新考向·数学文化如图所示为用三张正方形 纸片以顶点重合的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1， 2,3,4,5,选取其中三张（可重复选取）拼成上 述图案，使所围成的三角形是面积最大的直 角三角形，则选取的三张纸片的面积分别是 ( A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 C B (第7题) (第8题) 8.(2025·毫州期末)如图，在6×7的网格中， A,B,C都是网格线的交点，则∠CAB的度 数是 ( A.30° B.45° C.50° D.60° 9.如图，在△ABC中，AB=6cm,BC=20cm, BC边上的中线AD=8cm,则△ABC的面 积为 cm2. (第9题) 10.*已知a,b,c满足|a一36|+√b-7+ (c-√5)2=0. (1)a= ,b= (2)判断以a,b,c为三边长能否构成三角 形.若能构成三角形，判断此三角形的形状， 并求出此三角形的面积；若不能，请说明 理由. 11.新情境·现实生活如图，某港口O位于南北 延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、 “长峰”号两艘轮船同时离开港口O,各自沿 固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海 里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开 港口1小时后，分别到达A,B两个位置，且 AB=20海里.已知“远洋”号沿着北偏东 60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向， 并说明理由， 60 ”东 0 (第11题) 第18章勾股定理及其逆定理 思维拓展 12.新考法·新定义题(2025·合肥包河期中)通 过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一 个三角形中，两边的平方和等于第三边的平 方，那么这个三角形是直角三角形.如果我 们新定义一种三角形—两边的平方和等 于第三边平方的2倍的三角形叫作“和谐三 角形”. (1)根据“和谐三角形”的定义，请你判断： 等边三角形 “和谐三角形”.（填 “是”或“不是”) (2)已知某三角形的三边的长分别为√3,3， √15，请你判断该三角形是否为“和谐三角 形”，并说明理由 (3)在Rt△ABC中，三边长分别为a,b,c, 且a2=35,c2=70,请你判断该三角形是否 为“和谐三角形”，并说明理由。 49 拔尖特训·数学（沪科版）入年级下 第2课时 勾股定理的逆定理的综合应用。“答案与解析”见17 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·合肥肥东期末)如图，在正方形网格 4.(2025·芜湖南陵期末)如图，在小 中，△ABC和△CDE的顶，点是网格线的 正方形组成的3×2方格中，每个小 交点，那么∠BCA+∠DCE= 正方形的顶点称为格点.点A,B C,D,M,N均在格点上，其中点A,B,C,D 中，能与点M,N构成直角三角形的是 () D (第1题) 2.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长 都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，A, B,C都是格点，则∠ABC= (第4题) A.点AB.点BC.点CD.点D 5.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB= C 10,AD平分∠CAB,则CD的长为() (第2题) 3.小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示 的四边形材料是飞机垂直尾翼，小明测量发 现AB=13cm,AD=5cm,∠DBC=90°， BC=16cm,CD=20cm.根据设计要求需保 (第5题) 证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设计要 A.2 B.2 C.3 n号 求，并说明理由. 6.(2023·黄山休宁期中)如图，在8×8的正方 形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC的 三个顶点都在格点上.有下列结论： ①△ABC是直角三角形；②△ABC的周长 (第3题) 是35+5；③点B到边AC的距离是2； ④若点D在格点上（不与点A重合），且满 足S△BCD=S△BCA,则这样的点D有3个.其 中，正确的有 (填序号) (第6题) 50 7.新情境·科技民生(2025·阜阳太和期末)产 业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是 滋养农民美好生活的源头活水.如图，某乡村 有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形 空地分割成四边形ABDE和△EDC,分别种 植梨树和桃树两种不同的果树.经测量， ∠EDC=90°，DC=30米，CE=50米，BD= 70米，AB=80米，AE=10米，求四边形 ABDE的面积. B (第7题) 8.新情境·现实生活(2023·合肥庐阳期中)如 图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点A,B,其中AB AC.由于某种原因，从村庄C到取水点A的 路现在已经不通.该村庄为方便村民取水，决 定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在 同一条直线上)，并新修一条路CH,测得 BC=3千米，CH=2.4千米，BH=1.8千米. (1)CH是否为从村庄C到河边的最近的 路？请说明理由 (2)求原来路线AC的长， A H B (第8题) 第18章勾股定理及其逆定理 箭思维拓展 9.新考法·新定义题如图，点M,N把 线段AB分割成AM,MN,NB三 段.若以AM,MN,NB为边的三角 形是直角三角形，则称M,N是线段AB的 “勾股分点”. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM, MN,NB三段.若AM=2,MN=4,NB= 2√3，则M,N是线段AB的“勾股分割点” 吗？请说明理由 (2)已知M,N是线段AB的“勾股分割点”， 且AM为直角边.若AB=12,AM=5,求 NB的长 A M N B (第9题) 5160cm,∠C=30,AD=2AC 30cm.AB=AC,∴.BD=CD= √AC2-AD=√602-30= 30W3(cm).∴.BC=60√3cm. 7.:A,C,E三点在同一条直线上， ∠ABD=120°，∠D=30°， ∴.∠AED=120°-30°=90°. 在Rt△BDE中，BD=520m, ∠D=30°， ·BE=号BD=260m 根据勾股定理，得DE= √BD2-BE=2605≈260X 1.732≈450(m). ∴当另一边开挖，点E与点D的距离 约为450m时，恰好使A,C,E三点 在同一条直线上」 8.(1)根据勾股定理，得这个梯子的 顶端距地面√25一7产=24（米）. (2)由题意，得A'C=AC=25米， A'B=AB-AA'=24-4=20(米). 根据勾股定理，得A'B2十BC2= A'C2,即202+(7+CC')2=252. ∴CC=8米，即梯子的底端在水平 方向滑动了8米 9.(1)在Rt△AOC和Rt△BOD中， AC=6 km,BD=1 km,OC=a km, 则OD=(24一a)km, ∴.根据勾股定理，得OA= √AC2+OC=√36+aZkm,OB= √OD+BD=√(24-a)2+1km ∴.OA+OB=C√36+a+ √(24-a)2+1]km. (2)如图①，作点B关于直线MN的 对称点B',连接AB交MN于点O, 则B'D=BD=1km. 此时，OA+OB=OA十OB'的长最 小，即点O是使两村排污管道最短的 污水处理厂的位置 过点B'作B'E⊥AC,交AC的延长线 于点E,则CE=B'D=1km,AE= AC+CE=7 km,B'E=CD=24 km. 根据勾股定理，得AB′= √AE+BE=√72+24=25(km). ∴.最短的排污管道的长为25km. (3)如图②，AC⊥CD,BD⊥CD,O 是CD上一点，连接OA,OB,BD=2, AC=6,CD=15. 设OC=a,则OD=15-a. 根据勾股定理，得OA十OB= Wa2+36+√(15-a)2+4 作点B关于CD的对称点B',连接 AB'交CD于点O',则当点O在点O 处时，OA十OB的长最小，即 √a2+36+√(15-a)2+4的值 最小 过点B作B'E⊥AC,交AC的延长线 于点E,则B'D=BD=2,CE= B'D=2,AE=AC+CE=8,B'E= CD=15. ∴.√a2+36+√(15-a)+4的最 小值为√/82+152=17. ① 0 ② (第9题) 18.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 1.A2.B 3.20：15：12解析：由题意，设这 个三角形的三边长分别为3x,4x,5a (x>0).又.(3.x)2+(4x)2= 25.x2=(5.x)2,∴.这个三角形是直角 三角形.设其斜边上的高为h,则。× 3xX4t-2 15zXh,解得h三5x 16 '.这个三角形的三边上的高之比为 12 4:3x:5x=20:15:12. 4.(1).a2+b2=122+352=1369, c2=372=1369, ∴.a2+b2=c2. ∴.△ABC是直角三角形 (2).a2+c2=242+452=2601, b2=512=2601, .a2+c2=b2. ∴.△ABC是直角三角形 (3).a2+c2=182+242=900,b2= 282=784, .a2十c2≠b2 '.△ABC不是直角三角形 5.(1)5:5. (2)如图，连接BD. △ABD是直角三角形 理由：根据勾股定理，得BD= √32+4=5. 由(1)知，AB=5√2，AD=5, ∴.AB2=AD2+BD2. ∴.△ABD是直角三角形. D (第5题) 6.C解析：①设较短边长5k,则其 余两边分别长12k,13k.(5k)2+ (12k)2=(13k)2,.该三角形是直角 三角形；②设三角形为△ABC, ∠A=3x,∠B=4x,∠C=5.x. ∠A+∠B+∠C=180°，.3.x+ 4x+5x=180°，解得x=15. '.∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°， 不是直角三角形：③，32+4=52， ∴.该三角形是直角三角形：④设三 角形为△ABC,∠A=∠B+∠C. ·∠A=∠B+∠C,∠A+∠B十 ∠C=180°，.∠A=90°..△ABC 是直角三角形.∴.直角三角形有3个. 7.B解析：由题意，得三角形各边长 的平方对应的是各正方形纸片的面 积.，正方形纸片的面积分别是1,2， 3,4,5,',正方形纸片的边长分别是 1,√2，√5,2,5.通过列举法，可知当 选取的三张纸片的面积分别是①1， 2,3:②1,3,4：③1,4,5：④2,3,5： ⑤2,2,4：⑥1,1,2时围成的三角形 是直角三角形.∴.选项C不符合题 意.，要围成的三角形是面积最大的 直角三角形，且①S=7×1×万- 号@s7x1x月-®s 号×1×2=1：④s=号×E×5 9@s=×E×万=1：05= ×1x1=:>1>9> 2 号了“造取的三张纸片的面积 分别是2,3,5. 8.B解析：连接BC.由勾股定理，得 AC2=32+52=34,BC2=1+42= 17,AB2=1+4=17,17+17=34, .AB BC,AC2 BC2+AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且 ∠ABC=90°..∠ACB= ∠CAB=45. 9.48解析：AD为BC边上的中 线，即D为BC的中点，且BC= 20cm,BD=号BC=10cm 又.'AB=6cm,AD=8cm, ,.AB2+AD2=BD2..△ABD是 直角三角形，且∠BAD=90°. &SaAm=合AB·AD=3X6X 8=24(cm2).又D为BC的中点， '.SA =SAA SAN. ∴.S△A=48cm2. 10.(1)3√6；7；√5.解析：a 3√6|+√b-7+(c-√5)2=0， ∴.la-3√6|=0，√b-7=0,(c W5)2=0,解得a=36,b=7,c=√5」 (2)能 7<3√6<8,2<5<3， ∴.b+c>a. ∴能构成三角形 又a2=54,b2+c2=54, .b2+c2=a2. ∴.此三角形是直角三角形，面积为 1 75 br=2 方法归纳 判断直角三角形的方法 (1)利用定义：若已知条件与 角度有关，则可利用三角形的内角 和定理判断，得出其中的一个角等 于90°即可 (2)若已知条件与边有关，则 一般通过计算得出三边之间的数 量关系，看是否符合较短两边的平 方和等于最长边的平方 11.“长峰”号航行的方向是南偏 东30. 理由：如图，由题意，得OA=12海里， OB=16海里，AB=20海里」 122+162=202,即OA2+ OB2=AB2, .△OAB是直角三角形，且 ∠AOB=90°. ∠C0A=60°， ∴.∠DOB=180°-90°-60°=30°. .“长峰”号航行的方向是南偏 东30°. 0 东 (第11题) 12.(1)是」 (2)该三角形是“和谐三角形”， 理由：（√5）2+(5)2=2X3, 17 '.该三角形是“和谐三角形” (3)当c为斜边长时，该三角形不是 “和谐三角形”；当b为斜边长时，该三 角形是“和谐三角形”， 理由：①当c为斜边长时，b2=c2一 a2=70-35=35,而a2=35,b2=35, c2=70,不满足两边的平方和等于第 三边平方的2倍， ∴.该三角形不是“和谐三角形” ②当b为斜边长时，b2=a2+c2= 35+70=105, .35+105=2×70, '.a2+b2=2c2」 ∴.该三角形是“和谐三角形” 综上所述，当c为斜边长时，该三角形 不是“和谐三角形”；当b为斜边长时， 该三角形是“和谐三角形”」 第2课时勾股定理的 逆定理的综合应用 1.45°解析：如图，分别延长AB, DE至格点F,G,连接FG,F,C,G三 点共线，连接AD.由勾股定理，得 AD2=12+32=10,CD2=12+32= 10,AC2=22+42=20,∴.AD=CD, AD2+CD2=AC2..∠ADC=90°. ∴.∠CAD=∠ACD=45°.观察图形 可知，△BFC和△CGE都是等腰直 角三角形，.∠BCF=45°，∠ECG= 45..∠BCA+∠DCE=180° 45°-45°-45°=45 D E G (第1题) 2.45 3.该尾翼符合设计要求. 理由：.∠DBC=90°，BC=16cm, CD=20 cm, ∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD=/CD2-BCZ=√/202-162= 12(cm). .'在△ABD中，AB=13cm,AD= 5 cm, .AD2+BD2=AB2. ∴.△ABD是直角三角形，且 ∠ADB=90°、 .∠ADB=∠DBC. ∴.AD∥BC. ∴该尾翼符合设计要求。 4.D 5.C解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,则∠AED=∠BED 90°.AC=6,BC=8,AB=10, .AB2=100,AC2+BC2=62+82= 100..AB2=AC2+BC.∴.△ABC 是直角三角形，且∠C=90°.：AD 平分∠CAB,∴.易得CD=ED.在 CD=ED, Rt△ACD和Rt△AED中， AD-AD. ,.Rt△ACD2Rt△AED.'.AE= AC=6.在Rt△BED中，由勾股定 理，得BD2=DE2十BE2,∴.(8 CD)2=CD2+(10-6)2,解得 CD=3. D (第5题) 6.①②③解析：由勾股定理，得 AB=V22+1=√5，AC= √32+4=5，BC=√22+4=25， .AB+BC2=AC2..△ABC是 直角三角形，且∠ABC=90°.故①正 确.△ABC的周长是√5+5+2√5= 35+5,故②正确.设点B到边AC 的距离是h.由三角形的面积公式，得 合4C·A=合AB·C,A AB·BC_5×25=2.故③正确， AC 5 S△n=S△A,.点D到BC的 距离等于点A到BC的距离.如图，过 点A作直线m∥BC,作点A关于BC 的对称点A',过点A'作直线BC ∴.D可以是直线m,n上的任意一 点.又点D在格点上（不与点A重 合)，.这样的点D有3十4=7（个）. 故④错误.综上所述，正确的有① ②③. 名 (第6题) 7.如图，连接BE. 在Rt△DCE中，由勾股定理，得 DE=√CE2-CD=√502-30= 40(米) 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 BE2=BD2+DE2=702+402= 6500(平方米). 在△ABE中，：AB+AE2=802+ 102=6500(平方米)=BE2, ∴.△ABE是直角三角形，且 ∠A=90° ∴.SI边托AE=S△ABR十S△nE=之 1 80×10+2 ×70×40=1800(平方米)： B D (第7题) 8.(1)是. 理由：(2.4)2+(1.8)2=9=32， .CH2+BH2=BC2 '.△CHB是直角三角形，∠CHB= 90°，即CH⊥AB. '.CH是从村庄C到河边的最近 的路 (2)设AC=x千米，则AB=x千米， AH=AB-BH=(x-1.8)千米. 由(1)，知CH⊥AB. .∠AHC=90. .在Rt△ACH中，CH=2.4千米， ∴.由勾股定理，得AC2=AH十 18 CH2,即x2=(x-1.8)2+(2.4)2,解 得x=2.5. .原来路线AC的长为2.5千米 9.(1)是 理由：AM+NB2=22+(2√5)2= 16,MN2=42=16, .AM+NB2=MN2 ∴.以AM,MN,NB为边的三角形是 直角三角形， ∴.M,N是线段AB的“勾股分割点” (2)设NB=x,则MN=12-AM- NB=7-x. ①当MN为最长线段时，根据题意， 得MN2=AM2+NB2,即(7-x)2= 25十，解得1号 NB-号 ②当NB为最长线段时，根据题意， 得NB2=AM+MN2,即x2=25+ (?-xy,解得x号 37 .NB=7 综上所述，NB的长为号安号。 专题特训五巧用勾股定理 解决折叠问题 1.(1)·△ABC沿AM折叠，使点 B落在AC边上点D的位置， '.∠BAM=∠DAM. AM=MC, ∴.∠C=∠DAM. ∴.∠BAM=∠DAM=∠C. ∠B=90°， ∴.∠BAM+∠DAM+∠C=90°. ∴.∠C=30° (2)①，△ABC沿AM折叠，使点 B落在AC边上点D的位置， ∠B=90°， .'AB AD =12,BM=DM, ∠ADM=90° AB=12,BC=16, ∴.AC=√AB2+BC=20.