第17章一元二次方程及其应用 单元测试卷-2025-2026学年沪科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：一元二次方程及其应用） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题思路是先确定每名学生对应的评审次数，再结合总评审次数列出方程． 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需要给其他每一位同学评审 ∴每名学生对应产生次评审 ∵已知总评审次数为 ∴可列方程为 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式为，计算判别式的值，根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程，整理为一般形式得， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 【答案】A 【分析】先利用根的定义得到关于m的关系式，再结合根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】∵ 是方程的根， 代入方程得： ，整理得 ． ∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． ∴． 6．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【分析】根据题意是一元二次方程的一个实数根，可得，再将转化为，整体代入求值即可． 【详解】解： 是一元二次方程的一个实数根， ， 即原式． 7．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 8．方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴方程的负根是． 故选：A． 9．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 10．下列有四个结论，其中正确的是（    ） ①若，则x的值一定是2；②若的运算结果中不含项，则； ③若，则④若，，则可表示为 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】分别根据零指数幂性质、幂的运算，多项式乘法法则，平方差公式，幂的乘方与同底数幂除法法则，对四个结论逐一判断解答即可． 【详解】解：对于①，若 ，分情况讨论， ∵当底数为时，，得，此时，成立， 当指数为且底数不为时，，得，此时 ，成立， 当时，，此时，不成立； ∴的值为或，故①错误， 对于②，展开多项式得， ∵ ， ∵运算结果不含项， ∴项系数为，即， 解得，故②正确， 对于③，设，则， 原等式变形为 ， 由平方差公式得 ，即， ∵，∴，即，故③正确， 对于④， ∵ ， ， ∴，故④正确， 综上，正确的是②③④， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程化成一般形式是__________；一次项系数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式． 先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数． 【详解】解： ． ， ． 可知一次项系数为． 故答案为：，． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 13．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 【答案】125 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据两轮感染的总人数25即可列出方程求解，再计算三轮传染后的总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 三轮传染后总感染人数为， 故答案为：125． 14．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 15．对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 16．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 19．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 20．先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【分析】先分别化简原式中的整式部分和分式部分，再合并得到最简结果，利用方程根的定义得到与的关系，代入最简式计算即可得到最终结果． 【详解】解： ； 是方程的根， ， ， 将代入得，原式． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据两直角边相等列方程求解； （2）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据直角三角形面积公式列方程求解，得到符合条件的时间． 【详解】（1）解：设经过秒后，是等腰三角形， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， ，解得秒． （2）解：设经过秒后，的面积等于， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， 的面积为， ， 解得，， 故经过或秒后，的面积等于． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 23．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 24．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：一元二次方程及其应用） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A．B．C．D． 2．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A．B．C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2024 D．2021 6．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 7．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．方程的负根是（   ） A． B． C． D． 9．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．下列有四个结论，其中正确的是（    ） ①若，则x的值一定是2；②若的运算结果中不含项，则； ③若，则④若，，则可表示为 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程化成一般形式是__________；一次项系数是__________． 12．若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 13．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有25人感染了“甲流病毒”，则第三轮传染后，共有_______人感染了“甲流病毒”． 14．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 15．对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 16．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 19．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 20．先化简，再求值：，其中m是方程的根． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 22．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 23．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 24．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $