第17章 一元二次方程及其应用 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

13.B14.68.58915.C 16.(1234号36号8210(2)28,30,32)(38,40) 质量评估 第16章质量评估 1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.C8.C9.D10.C11.√6（答案不唯一） 12.<13.-2y514.(107(22 2 15.解：1)原式=2×3V厄-5V厄+合×42=6厄-5厄+2厄=3巨.(2)原式=- √⑧+2√2=3-2√2+2√2=3. 16.解：(1)①(2)正确的计算过程如下：原式=8-4√6+3+12-1=22-4√6. 17.解：原式=2(a2-3)-a2+6a+6=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a.a=√2-1，.原 式=(W2-1)2+6(W2-1)=2-2√2+1+6√2-6=4√2-3. 18.解：由数轴可知，-1<a<0<1<b,.a一1<0，a十b>0,1-b<0..原式=|a-1 -|a+b1+11-b1=-(a-1)-(a+b)-(1-b)=-a+1-a-b-1+b=-2a. 19.解：d2-d=7×√30-12-7X√20-12=21√2-14√2=7√2(cm).答：d2与d 的差为7√2cm. 2a解1+-号82V+京+D=1+-《V+ V+对+高-√什+而-1+日0-器 21.解：(1)设长方形场地的长为5xm,则其宽为2xm根据题意，得5x·2x=800.解 得x=45,或x=-4√5（不符合题意，舍去）..5x=5×4√5=20√5,2x=2×4√5= 8√5.答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20W5m,8√5m.(2)设正方形的边长为 ym,则y2=900.解得y=30,或y=一30（不符合题意，舍去）.∴原正方形的周长为30 ×4=120(m).由(1)，得新长方形的周长为(205+8√5)×2=56√5(m).:120= √14400,56√5=√15680，且14400<15680，∴.120<56√5.∴.栅栏围墙不够用. 2.解：1)6(2)由题意，得a5-)=4.a5-后 4后=25+25.(3)由题意，得 (3十√3)(6十√3m)=12,整理，得3√3m十3m=-6√3-6，∴.(3√3+3)m=-2(3√+ 3)..m=-2. 23.解：(1)m2+3n22mm(2)7421(答案不唯一)(3)，a+6√3=(m+n √3)2=m2+3n2十2√3mn,∴a=m2+3m2,2mn=6..mn=3.:a,m,n均为正整数， .m=3,n=1或m=1,n=3.当m=3,n=1时，a=32+3×12=9+3=12.当m=1,n= 3时，a=12+3×32=1+27=28.综上所述，a的值为12或28. 第17章质量评估 1.D2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.C9.C10.D 1.x-2x=0(答案不唯-)12.a>-413.-314.(1)(5-2)(2)5+√④ 15.解：(1)：a=2,b=3,c=-1,∴.b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0.代入求根公式， 得x=一3，，厘=-3±区：原方程的根是西=-3+厘，4=3一应 2X2 4 4 4 (2)把方程左边分解因式，得(x一3)(x一3十2x)=0.因此，有x一3=0或3.x一3=0. 原方程的根是x1=3,x2=1. m一3≠0， 16.解：(1)由题意，得{ 解得m=-3.(2)将m=一3代入原方程，得-6x2+ m2-7=2, -25 12x-3=0,解得-1+号=1- 2 17.解：设这条线路共有x个站点.根据题意，得x(x一1)=56，整理，得x2一x一56=0， 解得=8，x2=一7（不合题意，舍去）.答：这条线路共有8个站点. 18.(1)解：把x=1代入方程x2+(m十3)x十3m=0,得1十m十3+3m=0,解得m= -1.(2)证明：.△=(m+3)2-4×3m=m2+6m+9-12m=m2-6m+9=(m-3)2≥ 0,∴.无论m取何实数，该方程总有实数根. 19.解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x十a2一a一2=0有两个不相等的实 数根，∴.△=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得a<3..a为正整数，∴.a=1或a= 2.(2)x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,·x+x2-x1x2=(x+x2)2-3x1x2 16.∴.[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,解得a=-1,a2=6.由(1)知a<3,.a=-1. 20.解：根据题意，得(100-5x)(40一2x)=640×4,解得x1=4,x2=36(不合题意，舍 去).答：彩色纸带的宽度为4cm. 21.解：134(2)将=6，a=10代入方程，得a6-)-6=66-b), 解得 a(10-b)-10=10(10-b), 6-5.“方程12(x一5)-x=(x一5)符合表中各方程的规律，是第@个方程，(3)第n a=12, 个方程是2(n十2)(xn-1)-x=x(x-n-1),方程的解是x1=n十2，x2=2(n十1). 22.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.根据题意，得150(1十x)2=216.解得 x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%.(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根据题意，得(y一30(60-气0 ×5)=10000.整理，得y2-130y+4000=0,解得=80，y=50.,要让顾客得到实 惠，y=50.答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 23.解：(1)①将x-10x十3=0变形为x3-(9十1)x十3=0，x3-9x-x十3=0. ∴.(x3-9x)-(x-3)=0.∴.x(x十3)(x-3)-(x-3)=0..(x-3)(x2十3x-1)=0. “x-3=0或2+3x-1=0.“原方程有三个根：x1=3,4=3,压，x4 2 -3+√.②设x2=y,则x=y,于是原方程可变形为+3y-4=0,解得y=1,% =一4.，x2≥0，y=一4舍去.当y=1时，x2=1,x=士1.∴原方程有两个根：x1= 1,x2=-1.(2)x2-2x-1=0,.x2-2x=1.x-2x3-3x=x2(x2-2x)-3x=x2 -3x=x2-2x-x=1-x.解方程x2-2x-1=0,得x1=1十√2，x2=1-√2.：x>0, .x=1+√2.∴.x-2x3-3x=1-x=1-(1+√2)=-√2. 第18章质量评估 1.B2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.D9.B10.D11.512.2613.23 14.(1)136(2)6W2 15.证明：AC=12+32=10,AB2=12+32=10,BC=22+42=20,.AC+AB2=20 =BC.∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.∴.AB⊥AC 16.解：由题意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得BC=√AB-AC=l5m,∴.BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户 窗口距离地面18m. 17.(1)证明：，AC+CD2=42+32=25,AD2=52=25,∴.AC十CD2=AD2,.△ACD 是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：在Rt△ACB中，∠C=90°，.BC=√AB2-AC= W(2√13)2-4=6..BD=BC-CD=6-3=3. 18.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,.AC=AC=c,CD'=AB=a,AD'=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.:'∠ACB+∠CAB=90°，.∠CAD'+∠CAB=90°..∠CAC= —26 90∴Sa影cm=2Sca+Saam=2X7ab叶分C=合a+b6叶a,d2+6=. 19.解：设机器人H1跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.,机器人 H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，.DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°， .BD2=BC+CD2.∴x2=(9-x)2十32，解得x=5..机器人H1跑步5m后与乐乐 相遇. 20.解：1w5(2)1+(Vm)n(3):8=,=号，s=是 2 4,…, 8=-9∴++8+…+筑=+是++…+9-明 21.(1)证明：DE垂直平分AB,.AB=2AD=2√5.，在△ABC中，BC=2,AC=4, ∴.BC+AC=22十4=20=AB2..AC⊥BC,即∠BCA=90°.(2)解：DF是线段 AB的垂直平分线，∴.BF=AF.∴，CF=BF-BC=AF-2.在Rt△ACF中，CF2+AC =AF2,∴.(AF-2)2+42=AF2..AF=5. 22.解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，AB=BC=45√2m,∠B=90°，.AC= V√AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：在△ACD中，AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(60√3)2=10800，.AC+AD2=CD.∴.△ACD是直角三 角形，且∠CAD=90°.·∠DAB=∠CAD+∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监 控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB-135°，∴·∠DAM =180°-∠DAB=45°.DM⊥DA,.∠ADM=90°.∴.∠AMD=90°-∠DAM=45°. ∴.DM=DA=30√3m.点A,M为摄像头在道路BE上能监控的最远位置.在 Rt△ADM中，AM=√AD2+D=30√6m.∴.BM=AB+AM=(45√2+30√6)m. 105√2>45√2+30√6，.这辆车不能被摄像头监控到. 23.解：(1)8W2(2)在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=8√5.·△ABP是以AB为 底的等腰三角形，AP=BP=2t.∴.PC=BC-BP=16一2t.在Rt△PAC中，AP2= AC+PC,.(2)2=82+(16-2t)2,解得t=5.(3)AC=8,CD=3,.AD=AC-CD =5,DE=CD=3.:DE⊥AP,∠AED=90°..AE=√AD2-DE=4.分两种情况 讨论：①如答图①，当点P在线段BC上时，连接PD.:DE⊥AP,∴.∠PED=90°= ∠ACB.在R△PDE和RAPDC中，DE=CD, (PD=PD, △PDE≌△PDC(HL).∴.PE= PC=16-2t.∴.AP=AE+PE=20-2t.在Rt△APC中，AP2=AC+PC,即(20- 2t)2=82+(16-2)2,解得t=5.②如答图②，当点P在线段BC的延长线上时，连接 PD.同理可得△PDE≌△PDC(HL),.PE=PC=2t-16.∴.AP=AE+PE=2t-12. 在Rt△APC中，AP2=AC+PC,即(2t-12)2=82+(2t-16)2,解得t=11.综上所 述，在点P运动的过程中，当t的值为5或11时，DE=CD. 答图① 答图② 期中质量评估 1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.53 12.x(x-1)=7213.6-2√514.(1)②(2)2或0 15.解：(1)原式=4√5+3√5-2√2+4√2=7√5+2√2.(2)原式=(2√6+5√2)÷√2- 2√3=2√3+5-23=5. 16.解：(1).a=2,b=-4,c=-5,∴.b2-4ac=(-4)2-4×2×(-5)=56>0.代入求 根公式，得工一生-2生压西-+，，-2二匹（2)移项，得-6z 2×2 2 2 2 —27第17章质量评估 (时间：120分钟满分：150分) 2 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 爵 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是 A.x2-y=2 B.2x2-2=x C.ax2-3x+3=0 D.3x2-2x=2x2 2.将一元二次方程2x2一4x=一5化成一般形式后，若二次项的 系数是2，则一次项系数和常数项分别是 ) A.4,5 B.-4,5 C.-4,-5 D.5,4 3.下列方程中，最适合用因式分解法求解的是 ) A.x2-11x-10=0 B.x2-x-1=0 C.x2-3√2x+2=0 D.x2=x 4.关于x的一元二次方程x2十mx一8=0的根的情况是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.下列用配方法解方程x2一x一2=0的四个步骤中，出现错误 的是 ( ) 2-x-2=0,-=202-x+-9⑧(x-2)2= 44 9④ 4 x=2 A.① B.② C.③ D.④ 6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x十k一7=0的一个实数根 为1，则另一个实数根为 ( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 总7.若a是方程x2十x-1=0的一个根，则代数式226-2a2-2a 的值是 ( 的 A.224 B.223 C.222 D.221 8.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的 数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4.设个位上的 数字为x,则根据题意，可列方程为 A.x2+(x-4)2=10(x-4)十x-4 B.x2+(x+4)2=10x+x-4-4 C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4 D.x2+(x+4)2=10x+(x-4)-4 7 9.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2+x+1=0有两个实 数根x1,x2,且满足(x1十1)(x2十1)=2，则k的值是（) A.-1 B.1 C.-2 D.1或-2 10.定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a一b十 c=0,那么我们称这个方程为“负一方程”.已知ax2十bx十c= 0(a≠0)是“负一方程”，且有两个相等的实数根，则下列结论 错误的是 A.a=c B.b=2c C.b=2a D.a=b=c 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若一元二次方程的一个根为2，则该方程可以为 (写出一个即可) 12.已知关于x的一元二次方程x2一4x一a=0有两个不相等的实数 根，则a的取值范围是 13.若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m十1=0的两个 实数根互为相反数，则m的值是 14.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,CD为 AB边上的高，AB=CD=10cm,点P从点A出 发，以2cm/s的速度向点B运动，与此同时，点 Q从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动. 当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间 为ts. (1)当0≤≤号时，PD的长为 cm;(用含t的式子 表示) (2)当？<≤5时，若△DPQ的面积恰好等于1cm,则：的 值为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解下列方程： (1)2x2+3x-1=0; 一 8 (2)(x-3)2十2x(x-3)=0. 16.若关于x的方程(m一3)xm-1一4mx十m=0为一元二次方程. (1)求m的值； (2)求该一元二次方程的根. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.目前我国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的 国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片.某高铁交 通路线从A站到B站共设计了56种车票，则这条线路（包括 A站和B站)共有多少个站点？ 18.已知关于x的方程x2+(m+3)x+3m=0. (1)若该方程的一个根为x=1,求m的值； (2)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根. 一9 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知关于x的一元二次方程x2-2(a一1)x十a2一a一2=0有 两个不相等的实数根x1,x2 (1)若a为正整数，求a的值； (2)若x1,x2满足x十x-x1x2=16,求a的值， 20.造纸术、指南针、火药和印刷术是我国古代四大发明.这些发 明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中，计 划在如图所示的长100cm、宽40cm的展板上展出介绍四大 发明的海报，每幅海报的面积均为640cm2.若展板外沿与海 报之间、相邻海报之间均贴有宽度为xcm的彩色纸带，求彩 色纸带的宽度， 100cm 纸 40 cm 六、（本题满分12分) 21.下表中各方程是按照一定规律排列的. 序号 方程 方程的解 ① 6(x-2)-x=x(x-2) x1= ,x2= ② 8(x-3)-x=x(x-3) x1=4,x2=6 ③ 10(x-4)-x=x(x-4) x1=5,x2=8 … 八 … (1)解方程①，将它的解填在表中. —10 (2)若关于x的方程a(x一b)-x=x(x-b)(a>6)的解是 x1=6,x2=10,求a,b的值.该方程是否符合表中各方程 的规律？如果是，它是第几个方程？ (3)直接写出第n个方程，并写出方程的解. 七、（本题满分12分） 22.某市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一 盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6 月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216 个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经测算，在市场中，当售价 为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每 上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个.为使月销售利润 达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头 盔的实际售价应定为多少？ 一 11 八、（本题满分14分） 23.阅读理解： 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基 本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照 同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方 程或一次方程进行求解。 ①因式分解法求解特殊的三次方程：x3一5x十2=0. 将x3一5x十2=0变形为x3一(4十1)x十2=0， ∴.x3-4x-x+2=0.∴.(x3-4x)-(x-2)=0. ∴.x(x十2)(x-2)-(x-2)=0..(x-2)(x2+2x-1)=0 .x-2=0或x2+2x-1=0. .原方程有三个根：x1=2,x2=一1十√2，x3=一1一√2 ②换元法求解特殊的四次方程：x4一5x2十4=0. 设x2=y,则x4=y2,于是原方程可变形为y2-5y十4=0， 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,.x=士1；当y=4时，x2=4,x=士2. .原方程有四个根：x1=1,x2=一1，x3=2,x4=一2. 【应用新知】(1)仿照以上方法，按要求解方程： ①x3一10x十3=0；（因式分解法） ②x十3x2一4=0；（换元法） 【拓展延伸】(2)已知x2一2x一1=0，且x>0,请综合运用以上 方法，通过“降次”求x4一2x3一3x的值. 一12