专题24 卫星变轨问题　双星模型 讲义-2027届高考物理一轮复习题型精讲及课时精练

专题24 卫星变轨问题　双星模型 题型一 人造卫星的变轨及对接问题 2 题型二 双星多星模型 6 课时精练 11 【基础回顾】 一、卫星的变轨和对接问题 1.卫星发射模型 人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点），G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 2.变轨过程中几个物理量的大小比较 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因为v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。同理，经过B点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2（半长轴）、r3。由开普勒第三定律＝k，可知有T1<T2<T3。 （4）机械能：卫星在一个确定的圆（椭圆）轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。 （5）引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep＝－（G为引力常量）。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA<EpB。 二、双星或多星模型 1.定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 2.特点 （1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ,。 （2）两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 （3）两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 （4）两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即 （5）双星的运动周期：T＝2π （6）双星的总质量： 题型一 人造卫星的变轨及对接问题 1.卫星的两类变轨问题 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与向心力的大小关系 G<m G>m 变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小 动能减小、势能增大、机械能增大 动能增大，势能减小、机械能减小 2.卫星的对接问题 在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接。 变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA>vⅠ，在B点加速：vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB （向心）加速 度关系 由a＝＝判断加速度 aⅢ＝aⅡB　aⅡA＝aⅠ 周期关系 由开普勒第三定律判断周期关系TⅠ<TⅡ<TⅢ 机械能 由机械能的变化量等于除重力之外的其他力做的功判断机械能的关系为EⅠ<EⅡ<EⅢ 【例题精讲】 1． （2026·浙江宁波·二模）2026年3月，我国‘蓝焱’220吨级液氧甲烷发动机完成长程试车，将助力载人登月等任务。假设搭载‘蓝焱’发动机的火箭将一艘飞船先送入圆轨道Ⅰ运行，飞船经多次变轨进入地月转移轨道，如图所示。已知a是圆轨道Ⅰ上的点，b是椭圆轨道Ⅱ上的远地点，c是转移轨道上的点，且a、b两点到地球球心的距离分别为R和3R。忽略飞行过程中飞船质量的变化，则飞船（　　） A．从轨道Ⅱ进入转移轨道需向前喷出燃气 B．在c点的机械能大于在b点的机械能 C．经过a、b两点的速度之比为 D．在轨道Ⅰ、Ⅱ上的周期之比为 2．（2026·四川广安·模拟预测）神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日15时50分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口。交会对接完成后，神舟二十二号飞船将转入组合体停靠段，后续将作为神舟二十一号航天员乘组的返回飞船。已知空间站距地面高度约为400千米，地球半径约为6400千米，地球第一宇宙速度约为7.9km/s。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的速度小于7.9km/s B．空间站运行的周期可能大于24小时 C．神舟二十二号飞船与空间站运行到同一轨道高度时，只需点火加速便能对接成功 D．神舟二十二号飞船与空间站对接后，加速度变大 3．（2026·北京西城·一模）2025年11月14日，神舟二十一号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。如图所示，圆轨道1为神舟飞船返回前的飞行轨道，在A点变轨后进入椭圆轨道2无动力飞行，B为近地点。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道1的A点加速进入轨道2 B．飞船在轨道2和轨道1的机械能相等 C．飞船在轨道2从A向B运动过程中动能增大 D．飞船在轨道2从A向B运动过程中加速度减小 4．（2026·江苏南京·二模）神舟十三号载人飞船从核心舱下方采用“径向对接”的方式实现对接，“径向对接”指两对接口在地球半径的延长线上，对接前两者要在间隔一定距离的位置保持相对静止一段时间，如图所示，之后飞船再向上逐步接近核心舱实现对接，则（　　） A．相对静止时，飞船的速度大于核心舱的速度 B．相对静止时，飞船的向心加速度大于核心舱的向心加速度 C．飞船通过加速逐步向上靠近核心舱 D．飞船速度大于7.9km/s才能最终靠近核心舱 5．（2026·陕西·模拟预测）天舟九号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间2025年7月15日8时52分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。如图所示为天舟九号与对接过程示意图，假设空间站在半径为R的圆形轨道上绕地球运行，周期为T，天舟九号飞船在初始在半径为r的圆形轨道上运行，二者绕行方向相同。当空间站运行到A点时，飞船恰好运行到B点，A、B与地心连线相互垂直，此时飞船经过极短时间的点火加速，使其进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为B、远地点与空间站的轨道相切于C点，如图所示。当飞船第一次到达C点时，恰好与空间站相遇。空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在B点加速后的加速度大于加速前的加速度 B．飞船从B到C的过程中速度减小，机械能减小 C．空间站的圆形轨道半径R与飞船的圆形轨道半径r的关系满足： D．飞船在半径为r的圆形轨道上运动的周期为 6．（25-26高三上·广东江门·月考）2025年4月，神舟二十号载人飞船成功发射，并成功对接于空间站“天和”核心舱径向端口，空间站“天和”核心舱离地高度约400km。下列说法正确的是（　　） A．空间站轨道处的加速度大于 B．空间站绕地球飞行的速度小于第一宇宙速度 C．飞船的发射速度小于第一宇宙速度 D．要实现飞船与核心舱的对接，需要把飞船送入核心舱轨道后再加速追上核心舱 7．（2026·北京通州·一模）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．空间站变轨前、后在点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨后在近地点的速度比变轨前的小 （多选）8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，2013年12月6日17时47分，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥三号开始实施近月制动，进入100公里环月轨道Ⅰ，2013年12月10日晚21∶20分左右，嫦娥三号探测器将再次变轨，从100公里的环月圆轨道Ⅰ，降低到近月点（B点）15公里、远月点（A点）100公里的椭圆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备。关于嫦娥三号卫星，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度小于在B点的加速度 B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于失重状态 C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应加速 D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ经过B点时的速度 （多选）9．（2026·云南昭通·二模）如图所示，圆轨道1上运行有两颗地球卫星甲、乙，卫星甲在P点加速从圆轨道1变轨到椭圆轨道2，然后在M点加速进入圆轨道4；卫星乙在P点加速从圆轨道1变轨到椭圆轨道3。O为地球中心，轨道1、2、3相切于P点，轨道4与轨道2相切于M点，N为椭圆轨道3距地球最远点，OM大于。下列判断正确的是（　　） A．卫星甲在P点向前喷气从圆轨道1变轨到椭圆轨道2 B．卫星甲在轨道1、2上经过P点的加速度和卫星乙在轨道1、3上经过P点的加速度相同 C．卫星甲在轨道2上经过P点的速度小于在轨道4上做圆周运动的速度 D．卫星甲在轨道4运行的周期大于卫星乙在轨道3运行的周期 （多选）10．（2026·浙江宁波·二模）我国载人登月方案是先将着陆器送至近月面的圆形环月轨道，再发射载人飞船在环月轨道与着陆器交会对接，航天员进入着陆器后择机降落月面。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球的第一宇宙速度为，。下列说法正确的是（　　） A．着陆器和飞船对接后总质量变大将自发进入更低轨道 B．着陆器与飞船对接时的绕月速率约为1.7km/s C．着陆器在环月轨道上的向心加速度约为地球表面重力加速度的0.17倍 D．若月球的平均密度变为原来的2倍，则近月卫星的周期将变为原来的0.5倍 题型二 双星多星模型 多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①＝ma向 ②×cos(30°×2)＝ma向 常见的四星模型 ①×cos (45°×2)＋＝ma向 ②×cos(30°×2)＋＝ma向 【例题精讲】 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）观测发现质量均为 的双星系统绕圆心转动时,理论计算的周期 与实际观测的周期 不符,且 。为简化计算，可认为有暗物质集中在双星连线的中点，且暗物质对星球的作用力为万有引力。则（　　） A．实际观测到星球运动的周期大于理论计算值 B．实际观测到星球的线速度小于理论计算值 C．暗物质的总质量为 D．暗物质的总质量为 2．（2026·四川·二模）三星系统是由三颗恒星组成的引力束缚系统，宇宙中约10%的恒星系统属于此类。如图所示为某三星系统模型，甲、乙、丙三星位于同一直线上，甲、乙围绕丙做匀速圆周运动，甲丙之间的距离为，乙丙之间的距离为。忽略其他天体的影响，下列说法正确的是（　　） A．甲的质量大于乙的质量 B．甲的周期小于乙的周期 C．甲的角速度大小大于乙的角速度大小 D．甲的线速度大小大于乙的线速度大小 3．（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使航天器稳定的点，由法国数学家拉格朗日1772年推导证明其存在，每个两天体系统存在5个拉格朗日点。如图所示，拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以围绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。其中、、位于两天体连线上，地心、月心、（）构成的三角形为等边三角形，地球质量为月球质量的81倍，地月间距为，地球、月球、航天器均可视为质点，不考虑航天器及其他星体对双星系统的影响，关于地月系统的拉格朗日点，下列说法正确的是（     ） A．处于点的航天器的加速度大于处在点航天器的加速度 B．处于点的航天器，其线速度小于月球做圆周运动的线速度 C．处于点的航天器，做圆周运动的圆心恰好处在地心 D．处于拉格朗日点上的航天器做圆周运动的周期为 5．（2026·重庆·二模）如图所示，中心间距为、总质量为的甲、乙两颗恒星构成双星系统，绕其中心连线上点转动的周期为。经长时间演化，双星的周期变为，总质量保持不变，则双星的中心间距变为（　　） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）某毫秒脉冲星与另一个伴星在相距为的距离内以它们两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，远大于星体自身半径，脉冲星和伴星均可视为匀质球体，不计其他星球的影响。已知脉冲星的质量为，伴星的质量为。关于脉冲星和伴星做圆周运动的各量的比值，下列说法正确的是（　　） A．向心力大小之比 B．向心加速度大小之比 C．线速度大小之比 D．半径之比 （多选）8．（2026·河北沧州·一模）中国科学家发现了距离地球约为2760光年、代号为TMTSJ0526的双星系统，该系统由一颗质量约为0.7Ms（Ms为太阳质量）的碳氧白矮星与质量约为0.3Ms的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合，用望远镜在地球附近观测，发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮，已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示，图中“星等”表示亮度，实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线，虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为 引力常量 下列说法正确的是（    ） A．两颗星体在运动过程中受到太阳引力的影响 B．碳氧白矮星和热亚矮星转动的线速度大小之比约为3：7 C．该双星系统的运转周期约为1200 s D．两星体之间的距离约为 （多选）9．（2026·湖北黄石·二模）观测密近双星时发现了一种双星轨道变化的新模式：密近双星的运动周期会突变，有可能是两子星间的物质相互交流造成，即小质量子星的物质被吸引而转移至大质量子星上（不考虑质量的损失）。若双星的运动周期增大，则（　　） A．两子星的间距增大 B．两子星间的万有引力增大 C．小质量子星的轨道半径增大 D．大质量子星的运动角速度增大 （多选）10．（25-26高三上·安徽·期中）2024年9月，我国研究人员在双星系统G3425中发现一颗小质量恒星级黑洞，该黑洞的可见伴侣星为一颗红巨星，它们绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。设黑洞的质量为，红巨星的质量为。下列说法正确的是（    ） A．黑洞与红巨星的轨道半径之比为 B．黑洞与红巨星的动量大小之比为 C．黑洞与红巨星的动能之比为 D．在相等时间内，黑洞、红巨星与点的连线扫过的面积之比为 课时精练 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 2．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 3．（25-26高三上·云南楚雄·期末）神舟二十一号载人飞船入轨道后，于北京时间2025年11月1日凌晨，成功对接于空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约，创造了神舟系列飞船与空间站交会对接的最快纪录。下列说法正确的是（　　） A．“”指的是时刻 B．对接过程中，神舟二十一号飞船可以视为质点 C．神舟二十一号飞船与空间站对接前在低轨道上做圆周运动的线速度比空间站的小 D．神舟二十一号飞船为了与空间站对接，应在低轨道上加速 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，对接于天和核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，3名航天员随后从“神舟十九号”载人飞船进入空间站天和核心舱。飞船与空间站交会对接后距地面的高度小于地球同步卫星距地面的高度。下列说法正确的是（　　） A．航天员在天和核心舱中处于失重状态，不受地球吸引力 B．飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等 C．飞船先在比空间站运行半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接 D．飞船与空间站组合体的运行速度小于地球同步卫星的速度 5．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）神舟二十二号飞船成功对接空间站天和核心舱后，飞船将转入组合体停靠段，后续将作为神舟二十一号航天员乘组的返回飞船。已知空间站轨道为距地面高度约为400千米的圆轨道，地球半径约为6400千米。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的速度大于7.9 km/s B．空间站运行的周期小于24小时 C．飞船进入停靠段后，速度不变 D．飞船与空间站运行到同一轨道时，只需点火加速便能对接成功 6．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）神舟二十一号载人飞船于北京时间2025年11月1日3时22分成功与中国空间站天和核心舱前向端口对接，实现在载人状态下成功完成3.5小时自主快速交会对接，创下中国载人飞船与空间站对接的最快纪录。下列说法正确的是（　　） A．空间站内的宇航员处于超重状态 B．神舟二十一号先到达空间站所处轨道，再加速与空间站实现对接 C．神舟二十一号与空间站对接后，组合体质量增加，轨道半径变大 D．组合体环绕地球运行的速度一定小于7.9km/s 7．（2026·山西·二模）PSR1913+16是一个由两颗互相绕转的脉冲星组成的双星系统。科学家通过长期观测发现，其绕行周期每年减少约75微秒，两脉冲星质量均不变。据此可以判断两脉冲星（　　） A．线速度均变大 B．距离不变 C．轨道半径之比变小 D．向心加速度均变小 二、多选题 （多选）8．（2026·河南焦作·二模）2026年4月14日12时03分，我国在东风商业航天创新试验区使用力箭一号遥十二运载火箭，成功将吉星高分07A02星等8颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。已知其中某卫星发射后先以近地点M点所在的圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道。下列说法正确的是（　　） A．卫星在圆轨道上运动的周期小于在椭圆轨道上运动的周期 B．卫星在椭圆轨道上运动时，在M点的线速度小于在N点的线速度 C．卫星在近地点的速度可能大于11.2 km/s D．卫星从M点运动到N点的过程中，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小 （多选）9．（2026·辽宁·模拟预测）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 （多选）10．（2026·福建泉州·三模）2025年11月，神舟二十一号载人飞船返回舱首次实施3圈自主快速返回，标志着我国载人飞船再入返回技术实现新突破。如图所示，返回舱从圆轨道1的点变轨后，沿椭圆轨道2运动到点，再次变轨后进入圆轨道3。为1、2轨道的切点，为2、3轨道的切点。已知1、3轨道半径之比为，返回舱在轨道1运行的周期为，则返回舱（   ） A．从点进入轨道2时需要减速 B．从点运行至点所需的最短时间小于 C．在轨道3与轨道1上运行的速率之比为 D．在轨道2上运行时经过、点的速率之比为 三、解答题 11．（2026·江苏·一模）如图甲所示，足够大的绝缘光滑水平面处于真空中，将质量为M、电荷量为的带电小球A锁定在O点，质量为m、带电量为的带电小球B绕小球A做半径为r的匀速圆周运动。静电力常量为k，不计带电小球间的万有引力作用，带电小球B绕小球A运动时可视为质点。 (1)求小球B运动的线速度大小和小球B运动的周期； (2)如图乙所示，解除对小球A的锁定，它们均绕AB连线上的N点做匀速圆周运动，此时小球A和小球B间的距离为L；求带电小球B做圆周运动的角速度和周期大小。 12．（2025·湖北襄阳·三模）天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求： (1)a、b的线速度之比； (2)a、b的质量分别为多大？ 13．（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，求： (1)三颗卫星对地球引力的合力大小； (2)两颗卫星之间的引力大小； (3)一颗卫星对地球的引力大小； (4)地球对一颗卫星的引力大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 卫星变轨问题　双星模型 题型一 人造卫星的变轨及对接问题 2 题型二 双星多星模型 3 课时精练 4 【基础回顾】 一、卫星的变轨和对接问题 1.卫星发射模型 人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在椭圆轨道B点（远地点），G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。 2.变轨过程中几个物理量的大小比较 （1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因为v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 （2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。同理，经过B点加速度也相同。 （3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2（半长轴）、r3。由开普勒第三定律＝k，可知有T1<T2<T3。 （4）机械能：卫星在一个确定的圆（椭圆）轨道上运行时机械能守恒。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。 （5）引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep＝－（G为引力常量）。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA<EpB。 二、双星或多星模型 1.定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。 2.特点 （1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ,。 （2）两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 （3）两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 （4）两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即 （5）双星的运动周期：T＝2π （6）双星的总质量： 题型一 人造卫星的变轨及对接问题 1.卫星的两类变轨问题 两类变轨 离心运动 近心运动 示意图 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 万有引力与向心力的大小关系 G<m G>m 变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小 动能减小、势能增大、机械能增大 动能增大，势能减小、机械能减小 2.卫星的对接问题 在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接。 变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA>vⅠ，在B点加速：vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB （向心）加速 度关系 由a＝＝判断加速度 aⅢ＝aⅡB　aⅡA＝aⅠ 周期关系 由开普勒第三定律判断周期关系TⅠ<TⅡ<TⅢ 机械能 由机械能的变化量等于除重力之外的其他力做的功判断机械能的关系为EⅠ<EⅡ<EⅢ 【例题精讲】 1． （2026·浙江宁波·二模）2026年3月，我国‘蓝焱’220吨级液氧甲烷发动机完成长程试车，将助力载人登月等任务。假设搭载‘蓝焱’发动机的火箭将一艘飞船先送入圆轨道Ⅰ运行，飞船经多次变轨进入地月转移轨道，如图所示。已知a是圆轨道Ⅰ上的点，b是椭圆轨道Ⅱ上的远地点，c是转移轨道上的点，且a、b两点到地球球心的距离分别为R和3R。忽略飞行过程中飞船质量的变化，则飞船（　　） A．从轨道Ⅱ进入转移轨道需向前喷出燃气 B．在c点的机械能大于在b点的机械能 C．经过a、b两点的速度之比为 D．在轨道Ⅰ、Ⅱ上的周期之比为 【答案】B 【详解】A．从轨道Ⅱ进入转移轨道，飞船需做离心运动，即向后喷出燃气，向前喷出燃气会导致减速，故A错误； B．飞船在点从轨道Ⅱ进入转移轨道需点火加速，机械能增加，所以在点的机械能大于在轨道Ⅱ上点的机械能，故B正确； C．如果为轨道Ⅱ的近地点，为远地点，根据开普勒第二定律有 解得 而实际上a是圆轨道Ⅰ上的点，进入轨道Ⅱ，需要在近地点加速，所以，故C错误； D．轨道Ⅰ半径为，轨道Ⅱ半长轴为 根据开普勒第三定律有 解得，故D错误。 故选B。 2．（2026·四川广安·模拟预测）神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日15时50分，成功对接于空间站天和核心舱前向端口。交会对接完成后，神舟二十二号飞船将转入组合体停靠段，后续将作为神舟二十一号航天员乘组的返回飞船。已知空间站距地面高度约为400千米，地球半径约为6400千米，地球第一宇宙速度约为7.9km/s。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的速度小于7.9km/s B．空间站运行的周期可能大于24小时 C．神舟二十二号飞船与空间站运行到同一轨道高度时，只需点火加速便能对接成功 D．神舟二十二号飞船与空间站对接后，加速度变大 【答案】A 【详解】A．由万有引力提供向心力，得环绕速度 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是绕地球做圆周运动卫星的最大环绕速度。空间站轨道半径大于地球半径，因此运行速度小于，故A正确； B．周期为24小时的同步卫星轨道高度约为36000km，远大于空间站的400km。根据开普勒第三定律 空间站轨道半径更小，周期一定小于24小时，故B错误； C．同一轨道上的飞船点火加速后，所需向心力增大，万有引力不足以提供向心力，飞船会做离心运动离开原轨道，无法对接，故C错误； D．对接后组合体仍在原轨道运行，轨道半径不变，由可知，加速度与环绕天体质量无关，因此加速度不变，故D错误。 故选A。 3．（2026·北京西城·一模）2025年11月14日，神舟二十一号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。如图所示，圆轨道1为神舟飞船返回前的飞行轨道，在A点变轨后进入椭圆轨道2无动力飞行，B为近地点。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道1的A点加速进入轨道2 B．飞船在轨道2和轨道1的机械能相等 C．飞船在轨道2从A向B运动过程中动能增大 D．飞船在轨道2从A向B运动过程中加速度减小 【答案】C 【详解】A．飞船从圆轨道1变轨到椭圆轨道2，需要做近心运动（向地球方向偏转），因此需要在A点减速，让万有引力大于所需向心力才能进入轨道2，故A错误； B．变轨时飞船在A点减速，发动机做负功，同位置A的重力势能相等，动能减小，因此轨道2的机械能小于轨道1的机械能，故B错误； C．飞船从A向B运动过程中，离地球越来越近，万有引力做正功，飞船动能增大，故C正确； D．飞船的加速度由万有引力提供，满足，从A向B到地心的距离减小，因此加速度增大，故D错误。 故选C。 4．（2026·江苏南京·二模）神舟十三号载人飞船从核心舱下方采用“径向对接”的方式实现对接，“径向对接”指两对接口在地球半径的延长线上，对接前两者要在间隔一定距离的位置保持相对静止一段时间，如图所示，之后飞船再向上逐步接近核心舱实现对接，则（　　） A．相对静止时，飞船的速度大于核心舱的速度 B．相对静止时，飞船的向心加速度大于核心舱的向心加速度 C．飞船通过加速逐步向上靠近核心舱 D．飞船速度大于7.9km/s才能最终靠近核心舱 【答案】C 【详解】A．相对静止时，飞船与核心舱的角速度相等，飞船的绕地球半径小于核心舱绕地球半径，根据可知，飞船的速度小于核心舱的速度，故A错误； B．相对静止时，飞船与核心舱的角速度相等，根据可知，飞船的向心加速度小于核心舱的向心加速度，故B错误； C．径向对接时，飞船需要加速，做离心运动靠近核心舱，故C正确； D．设地球质量为M，飞船质量为m，轨道半径为r，根据 可得 随轨道半径增大，飞船做圆周运动的线速度减小。飞船最终靠近核心舱速度小于7.9km/s，故D错误。 故选C。 5．（2026·陕西·模拟预测）天舟九号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间2025年7月15日8时52分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。如图所示为天舟九号与对接过程示意图，假设空间站在半径为R的圆形轨道上绕地球运行，周期为T，天舟九号飞船在初始在半径为r的圆形轨道上运行，二者绕行方向相同。当空间站运行到A点时，飞船恰好运行到B点，A、B与地心连线相互垂直，此时飞船经过极短时间的点火加速，使其进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为B、远地点与空间站的轨道相切于C点，如图所示。当飞船第一次到达C点时，恰好与空间站相遇。空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．飞船在B点加速后的加速度大于加速前的加速度 B．飞船从B到C的过程中速度减小，机械能减小 C．空间站的圆形轨道半径R与飞船的圆形轨道半径r的关系满足： D．飞船在半径为r的圆形轨道上运动的周期为 【答案】D 【详解】A．飞船在B点，根据牛顿第二定律有 即 可知飞船在B点加速后的加速度等于加速前的加速度，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知飞船从到的过程中速度逐渐减小，由于飞船由到的过程中只有万有引力做功，所以机械能守恒，故B错误。 CD．设飞船在圆形轨道运行的周期为，则根据开普勒第三定律可得 解得 设飞船在椭圆轨道上的周期为，则根据开普勒第三定律可得 根据题意可知 联立解得，，故D正确，C错误。 故选D。 6．（25-26高三上·广东江门·月考）2025年4月，神舟二十号载人飞船成功发射，并成功对接于空间站“天和”核心舱径向端口，空间站“天和”核心舱离地高度约400km。下列说法正确的是（　　） A．空间站轨道处的加速度大于 B．空间站绕地球飞行的速度小于第一宇宙速度 C．飞船的发射速度小于第一宇宙速度 D．要实现飞船与核心舱的对接，需要把飞船送入核心舱轨道后再加速追上核心舱 【答案】B 【详解】 A．空间站轨道处的加速度为引力加速度，其中为空间站的轨道半径，（为地球半径，为轨道高度）；地面处的重力加速度为。 因为，所以，即空间站轨道处的加速度小于，故A错误。 B．第一宇宙速度是卫星在近地轨道（轨道半径约等于地球半径）运行的速度，大小为； 空间站的轨道半径，其运行速度为，所以，故B正确。 C．第一宇宙速度是从地面发射卫星，使其环绕地球做圆周运动的最小速度；要将飞船发射到离地约的轨道，其发射速度必须大于第一宇宙速度，故C错误。 D．飞船在与核心舱相同的轨道上加速，根据，飞船将做离心运动，进入更高的轨道。在更高的轨道上，其运行速度更小，周期更长，反而会离核心舱越来越远； 正确的对接方式是，飞船在比核心舱更低的轨道上运行，利用较低轨道速度更快的特点追上核心舱，在接近时再加速变轨到核心舱轨道实现对接，故D错误。 故选B。 7．（2026·北京通州·一模）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。下列说法正确的是（　　） A．空间站变轨前、后在点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨后在近地点的速度比变轨前的小 【答案】A 【详解】A．空间站变轨前、后在点受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律，由于点位置不变，所以加速度相同，故A正确； B．根据开普勒第三定律，变轨后半长轴变大，则运动周期变大，故B错误； C．空间站在点原速度沿切线方向，喷气获得径向速度，合速度，显然，故C错误； D．空间站变轨后在近地点的速度比近地圆轨道的速度大，因为从近地圆轨道进入变轨后轨道需要离心加速运动，而根据 可知 近地圆轨道的速度大于变轨前圆轨道的速度，所以空间站变轨后在近地点的速度比变轨前的大，故D错误。 故选A。 （多选）8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，2013年12月6日17时47分，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥三号开始实施近月制动，进入100公里环月轨道Ⅰ，2013年12月10日晚21∶20分左右，嫦娥三号探测器将再次变轨，从100公里的环月圆轨道Ⅰ，降低到近月点（B点）15公里、远月点（A点）100公里的椭圆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备。关于嫦娥三号卫星，下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度小于在B点的加速度 B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于失重状态 C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应加速 D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ经过B点时的速度 【答案】ABD 【详解】A．根据牛顿第二定律可得 解得 可知卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度小于在B点的加速度，故A正确； B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力提供所需的向心力，卫星中的科考仪器处于失重状态，故B正确； C．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应减速，故C错误； D．卫星在轨道Ⅱ运行时，由于A点是远月点，B点是近月点，根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道Ⅱ经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ经过B点时的速度，故D正确。 故选ABD。 （多选）9．（2026·云南昭通·二模）如图所示，圆轨道1上运行有两颗地球卫星甲、乙，卫星甲在P点加速从圆轨道1变轨到椭圆轨道2，然后在M点加速进入圆轨道4；卫星乙在P点加速从圆轨道1变轨到椭圆轨道3。O为地球中心，轨道1、2、3相切于P点，轨道4与轨道2相切于M点，N为椭圆轨道3距地球最远点，OM大于。下列判断正确的是（　　） A．卫星甲在P点向前喷气从圆轨道1变轨到椭圆轨道2 B．卫星甲在轨道1、2上经过P点的加速度和卫星乙在轨道1、3上经过P点的加速度相同 C．卫星甲在轨道2上经过P点的速度小于在轨道4上做圆周运动的速度 D．卫星甲在轨道4运行的周期大于卫星乙在轨道3运行的周期 【答案】BD 【详解】A．卫星甲在点向后喷气加速从圆轨道1变轨到椭圆轨道2，故A错误； B．根据 可得 可知卫星甲在轨道1、2上经过点的加速度和卫星乙在轨道1、3上经过点的加速度相同，故B正确； C．根据 可得 可知卫星甲在轨道1上的线速度大于在轨道4上的线速度，而卫星甲从轨道1到轨道2要在点加速，可知卫星甲在轨道2上经过点的速度大于在轨道4上做圆周运动的速度，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，因，即轨道4的轨道半径大于轨道3的半长轴，可知卫星甲在轨道4运行的周期大于卫星乙在轨道3运行的周期，故D正确。 故选BD。 （多选）10．（2026·浙江宁波·二模）我国载人登月方案是先将着陆器送至近月面的圆形环月轨道，再发射载人飞船在环月轨道与着陆器交会对接，航天员进入着陆器后择机降落月面。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球的第一宇宙速度为，。下列说法正确的是（　　） A．着陆器和飞船对接后总质量变大将自发进入更低轨道 B．着陆器与飞船对接时的绕月速率约为1.7km/s C．着陆器在环月轨道上的向心加速度约为地球表面重力加速度的0.17倍 D．若月球的平均密度变为原来的2倍，则近月卫星的周期将变为原来的0.5倍 【答案】BC 【详解】A．对接后万有引力提供向心力，有 等式中环绕天体质量可约去，得 对接后总质量改变但速度不变，着陆器不会自发进入更低轨道，进入低轨道需要主动减速，故A错误； B．近月轨道环绕速率等于月球第一宇宙速度，第一宇宙速度为 因此月球与地球第一宇宙速度比值为 代入，得，故B正确； C．近月轨道向心加速度近似等于月球表面重力加速度，由牛顿第二定律可知，星球表面重力加速度满足 可得 因此，故C正确； D．近月卫星由万有引力提供向心力，周期满足 代入，化简得 即，密度变为原来2倍时，周期变为原来的倍，不是0.5倍，故D错误。 故选BC。 题型二 双星多星模型 多星模型 所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律： 常见的三星模型 ①＝ma向 ②×cos(30°×2)＝ma向 常见的四星模型 ①×cos (45°×2)＋＝ma向 ②×cos(30°×2)＋＝ma向 【例题精讲】 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）观测发现质量均为 的双星系统绕圆心转动时,理论计算的周期 与实际观测的周期 不符,且 。为简化计算，可认为有暗物质集中在双星连线的中点，且暗物质对星球的作用力为万有引力。则（　　） A．实际观测到星球运动的周期大于理论计算值 B．实际观测到星球的线速度小于理论计算值 C．暗物质的总质量为 D．暗物质的总质量为 【答案】C 【详解】ACD．设双星间距为，两星质量均为，轨道半径均为，无暗物质时，双星间万有引力提供向心力 整理得 设暗物质总质量为，暗物质在双星中点，对单个星的引力为，合力提供向心力有 整理得 联立两式得 解得 以上可知k>1，又因为 因此，故AD错误，C正确； B．根据线速度可知，轨道半径不变，越小越大，因，故实际线速度（理论线速度），故B错误。 故选C。 2．（2026·四川·二模）三星系统是由三颗恒星组成的引力束缚系统，宇宙中约10%的恒星系统属于此类。如图所示为某三星系统模型，甲、乙、丙三星位于同一直线上，甲、乙围绕丙做匀速圆周运动，甲丙之间的距离为，乙丙之间的距离为。忽略其他天体的影响，下列说法正确的是（　　） A．甲的质量大于乙的质量 B．甲的周期小于乙的周期 C．甲的角速度大小大于乙的角速度大小 D．甲的线速度大小大于乙的线速度大小 【答案】A 【详解】BC．三星系统模型，甲、乙、丙三星位于同一直线上，甲、乙围绕丙做匀速圆周运动，可得、，故BC错误； D．甲、乙线速度之比为，故D错误； A．甲、乙围绕丙做匀速圆周运动，乙对甲的引力、丙对甲的引力合力充当向心力，列式得 甲对乙的引力、丙对乙的引力合力充当向心力，列式得 且 整理可得 可得，故A正确。 故选A。 3．（2026·山东聊城·二模）“食双星”是一种双星系统，两颗恒星在引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但两颗恒星的彼此“掩食”会使观测到的亮度发生周期性变化。如图所示，两颗恒星相邻两次“掩食”的时刻分别为、。时刻，较亮的恒星遮挡较暗的恒星，观测到亮度L稍微减弱；时刻，较暗的恒星遮挡较亮的恒星，观测到亮度L减弱比较明显。若双星间的距离始终为d，引力常量为G，不计其他星球的影响，下列说法正确的是（　　） A．根据已知条件，可求得两恒星质量之比 B．双星系统的角速度为 C．双星系统的总质量为 D．双星做圆周运动的速率之和为 【答案】C 【详解】A．由万有引力提供向心力得 化简可得 根据已知条件无法求得半径的比值，因此无法得到质量比，故A错误； B．根据题意可得双星系统周期为 双星系统的角速度为，故B错误； C．因为 得 根据 得 两式相加可得 双星系统的总质量为，故C正确； D．双星做圆周运动的速率之和为，故D错误。 故选C。 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使航天器稳定的点，由法国数学家拉格朗日1772年推导证明其存在，每个两天体系统存在5个拉格朗日点。如图所示，拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以围绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，从而使地、月、航天器三者在太空的相对位置保持不变。其中、、位于两天体连线上，地心、月心、（）构成的三角形为等边三角形，地球质量为月球质量的81倍，地月间距为，地球、月球、航天器均可视为质点，不考虑航天器及其他星体对双星系统的影响，关于地月系统的拉格朗日点，下列说法正确的是（     ） A．处于点的航天器的加速度大于处在点航天器的加速度 B．处于点的航天器，其线速度小于月球做圆周运动的线速度 C．处于点的航天器，做圆周运动的圆心恰好处在地心 D．处于拉格朗日点上的航天器做圆周运动的周期为 【答案】D 【详解】AB．拉格朗日点上的航天器在两天体引力的共同作用下可以绕“地月双星系统”的圆心做周期相同的圆周运动，则有 根据可知，处于点的航天器的加速度小于处在点航天器的加速度； 根据可知，处于点的航天器，其线速度大于月球做圆周运动的线速度，故AB错误； C．处于点的航天器，受到地球的万有引力，方向指向地心，以及月球的万有引力，两个力的合力不指向地心。航天器做匀速圆周运动，合力充当向心力，指向圆心，所以圆心不处在地心，故C错误； D．对于地月双星系统得， 解得， 代入，解得，故D正确。 故选D。 5．（2026·重庆·二模）如图所示，中心间距为、总质量为的甲、乙两颗恒星构成双星系统，绕其中心连线上点转动的周期为。经长时间演化，双星的周期变为，总质量保持不变，则双星的中心间距变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由万有引力提供向心力有 其中， 联立可得 又 则有 当周期变为nT时，双星中心间距变为。 故选C。 6．（2026高三·全国·专题练习）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则（　　） A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期为4πR C．三角形三星系统中星体间的距离为L＝R D．三角形三星系统的线速度大小为 【答案】B 【详解】A．因两种系统的运动周期相同,则直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，又运动半径相同，由 甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误； B．万有引力提供向心力 得，故B正确； C．两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三星系统中任意星体所受合力为 则 轨道半径r与边长L的关系为 解得，故C错误； D．三角形三星系统的线速度大小为 得，故D错误。 故选B。 7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）某毫秒脉冲星与另一个伴星在相距为的距离内以它们两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，远大于星体自身半径，脉冲星和伴星均可视为匀质球体，不计其他星球的影响。已知脉冲星的质量为，伴星的质量为。关于脉冲星和伴星做圆周运动的各量的比值，下列说法正确的是（　　） A．向心力大小之比 B．向心加速度大小之比 C．线速度大小之比 D．半径之比 【答案】A 【详解】本题为双星系统问题，两星角速度相同，向心力由彼此间的万有引力提供，是一对作用力与反作用力。 A．两星的向心力是相互的万有引力，大小相等，故，A正确； B．由牛顿第二定律，向心力大小相等，故，不是，B错误； D．两星角速度相同，向心力满足，故，D错误； C．线速度，相同，故，C错误。 故选A。 （多选）8．（2026·河北沧州·一模）中国科学家发现了距离地球约为2760光年、代号为TMTSJ0526的双星系统，该系统由一颗质量约为0.7Ms（Ms为太阳质量）的碳氧白矮星与质量约为0.3Ms的热亚矮星两颗星体组成。它们的轨道平面几乎与地球的观测平面重合，用望远镜在地球附近观测，发现双星系统的亮度周期性地变暗和变亮，已知两个天体周期性地互相遮挡造成观测的双星系统亮度变化周期是该系统匀速圆周运动周期的一半。某次观测记录该双星系统的亮度随时间t的变化情况如图所示，图中“星等”表示亮度，实线为实验数据经最佳拟合得到的正弦式曲线，虚线所对时刻是曲线上“星等”最小的时刻。已知太阳质量约为 引力常量 下列说法正确的是（    ） A．两颗星体在运动过程中受到太阳引力的影响 B．碳氧白矮星和热亚矮星转动的线速度大小之比约为3：7 C．该双星系统的运转周期约为1200 s D．两星体之间的距离约为 【答案】BC 【详解】A．由于双星系统距离太阳系非常遥远，所以它们不受太阳引力的影响，故A错误； C．由图可知双星系统亮度变化的周期为600s，结合题意可知双星绕转的周期为1200s，故C正确； BD．碳氧白矮星的质量约为，热亚矮星的质量约为。设两星之间的距离为L，圆周运动的半径分别为，周期为T。万有引力提供向心力， 解得， 由可知，碳氧白矮星和热亚矮星转动的线速度大小之比为，故B正确，D错误。 故选BC。 （多选）9．（2026·湖北黄石·二模）观测密近双星时发现了一种双星轨道变化的新模式：密近双星的运动周期会突变，有可能是两子星间的物质相互交流造成，即小质量子星的物质被吸引而转移至大质量子星上（不考虑质量的损失）。若双星的运动周期增大，则（　　） A．两子星的间距增大 B．两子星间的万有引力增大 C．小质量子星的轨道半径增大 D．大质量子星的运动角速度增大 【答案】AC 【分析】设小质量子星质量为，大质量子星质量为，两星总质量（无质量损失，恒定），两星间距为，轨道半径分别为、，周期为，角速度为。 双星系统角速度相同，万有引力提供向心力，， 联立推导得核心公式：周期公式： 轨道半径关系：、 【详解】A. 由 恒定，增大时必有增大，故A正确； B. 两星间万有引力 恒定，减小、增大时，的乘积减小（两数和固定，差值越大乘积越小），同时增大，因此减小，故B错误； C. 小质量子星轨道半径 恒定，增大、增大，因此增大，故C正确； D. 角速度，增大则减小，故D错误。 故选AC。 （多选）10．（25-26高三上·安徽·期中）2024年9月，我国研究人员在双星系统G3425中发现一颗小质量恒星级黑洞，该黑洞的可见伴侣星为一颗红巨星，它们绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。设黑洞的质量为，红巨星的质量为。下列说法正确的是（    ） A．黑洞与红巨星的轨道半径之比为 B．黑洞与红巨星的动量大小之比为 C．黑洞与红巨星的动能之比为 D．在相等时间内，黑洞、红巨星与点的连线扫过的面积之比为 【答案】AD 【详解】A．设黑洞与红巨星运动的轨道半径分别为、，二者之间的距离为，两星体间的万有引力提供彼此做圆周运动的向心力，有 解得两星体运动半径之比为，故A正确； B．黑洞与红巨星运动的角速度相等，它们的动量大小之比为，故B错误； C．黑洞与红巨星运动的角速度相等，它们的动能之比为，故C错误； D．在相等时间内，黑洞、红巨星与点的连线扫过的面积之比为，故D正确。 故选AD。 课时精练 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 2．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 3．（25-26高三上·云南楚雄·期末）神舟二十一号载人飞船入轨道后，于北京时间2025年11月1日凌晨，成功对接于空间站天和核心舱前向端口，整个对接过程历时约，创造了神舟系列飞船与空间站交会对接的最快纪录。下列说法正确的是（　　） A．“”指的是时刻 B．对接过程中，神舟二十一号飞船可以视为质点 C．神舟二十一号飞船与空间站对接前在低轨道上做圆周运动的线速度比空间站的小 D．神舟二十一号飞船为了与空间站对接，应在低轨道上加速 【答案】D 【详解】A．“”表示对接过程的持续时间，是时间间隔，不是时刻，A错误； B．对接过程涉及飞船的精确位置和姿态，形状和大小不可忽略，故不能视为质点，B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得线速度为 可知低轨道半径小，线速度大，而空间站在高轨道，半径大，线速度小，因此飞船线速度比空间站大，C错误； D．根据轨道力学，飞船在低轨道加速可进入椭圆转移轨道，最终与高轨道空间站对接，故D正确。 故选D。 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，对接于天和核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，3名航天员随后从“神舟十九号”载人飞船进入空间站天和核心舱。飞船与空间站交会对接后距地面的高度小于地球同步卫星距地面的高度。下列说法正确的是（　　） A．航天员在天和核心舱中处于失重状态，不受地球吸引力 B．飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等 C．飞船先在比空间站运行半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接 D．飞船与空间站组合体的运行速度小于地球同步卫星的速度 【答案】B 【详解】A．航天员在天和核心舱中处于失重状态，并不是不受地球吸引力，而是地球吸引力全部用来充当向心力，故A错误； B．在对接后，飞船与空间站组合体所受万有引力提供向心力，有 解得 故飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等，故B正确； C．当飞船在比空间站运行半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，逐渐远离空间站，不可能实现对接，飞船对接需从低轨道变轨到高轨道，应加速，而不是减速，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 解得 飞船与空间站组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，运行速度比地球同步卫星的速度大，故D错误。 故选B。 5．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）神舟二十二号飞船成功对接空间站天和核心舱后，飞船将转入组合体停靠段，后续将作为神舟二十一号航天员乘组的返回飞船。已知空间站轨道为距地面高度约为400千米的圆轨道，地球半径约为6400千米。下列说法正确的是（　　） A．空间站运行的速度大于7.9 km/s B．空间站运行的周期小于24小时 C．飞船进入停靠段后，速度不变 D．飞船与空间站运行到同一轨道时，只需点火加速便能对接成功 【答案】B 【详解】A．第一宇宙速度 7.9km/s 是近地卫星的环绕速度，也是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由可知，轨道半径越大，运行速度越小。空间站轨道半径大于地球半径，故其运行速度小于 7.9km/s，故A错误； B．地球同步卫星的周期为24小时，轨道高度约为36000km。空间站轨道高度约为400km，远小于同步卫星轨道高度。根据开普勒第三定律可知，轨道半径越小，周期越小，所以空间站运行周期小于24小时，故B正确； C．飞船进入停靠段后，随空间站做匀速圆周运动，速度大小不变，但速度方向时刻改变，所以速度是变化的，故C错误； D．若飞船与空间站在同一轨道，飞船点火加速，速度增大，所需向心力增大，万有引力不足以提供向心力，飞船将做离心运动飞向更高轨道，无法与空间站对接，故D错误。 故选B。 6．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·月考）神舟二十一号载人飞船于北京时间2025年11月1日3时22分成功与中国空间站天和核心舱前向端口对接，实现在载人状态下成功完成3.5小时自主快速交会对接，创下中国载人飞船与空间站对接的最快纪录。下列说法正确的是（　　） A．空间站内的宇航员处于超重状态 B．神舟二十一号先到达空间站所处轨道，再加速与空间站实现对接 C．神舟二十一号与空间站对接后，组合体质量增加，轨道半径变大 D．组合体环绕地球运行的速度一定小于7.9km/s 【答案】D 【详解】A．空间站内的宇航员绕地球做圆周运动，万有引力完全提供向心力，此时处于完全失重状态，而非超重状态，故A错误； B．若飞船已到达空间站所处轨道，再加速飞船会做离心运动，使其进入更高轨道，导致无法与空间站实现对接，故B错误； C． 对接后组合体质量增加，绕地球做圆周运动由万有引力提供向心力 解得， 其中为地球质量，为轨道半径，轨道半径由地球质量和组合体的运行速度决定，与组合体质量无关，所以轨道半径不变，故C错误； D．第一宇宙速度7.9 km/s是近地轨道的环绕速度，组合体轨道半径大于地球半径，由可知，轨道越大速度越小，因此组合体速度一定小于7.9 km/s，故D正确。 故选D。 7．（2026·山西·二模）PSR1913+16是一个由两颗互相绕转的脉冲星组成的双星系统。科学家通过长期观测发现，其绕行周期每年减少约75微秒，两脉冲星质量均不变。据此可以判断两脉冲星（　　） A．线速度均变大 B．距离不变 C．轨道半径之比变小 D．向心加速度均变小 【答案】A 【详解】B．双星系统，两星角速度、周期相同，万有引力提供向心力，轨道半径之和等于两星间距离L，则，， 联立解得 由于周期减小，则两星间距离减小，故B错误； C．由以上分析可知 由于两星质量不变，所以轨道半径之比不变，故C错误； D．根据万有引力提供向心力， 所以， 由于两星间距离减小，所以向心加速度均变大，故D错误； A．由于， 所以， 由于两星间距离减小，则线速度均变大，故A正确。 故选A。 二、多选题 （多选）8．（2026·河南焦作·二模）2026年4月14日12时03分，我国在东风商业航天创新试验区使用力箭一号遥十二运载火箭，成功将吉星高分07A02星等8颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。已知其中某卫星发射后先以近地点M点所在的圆轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道。下列说法正确的是（　　） A．卫星在圆轨道上运动的周期小于在椭圆轨道上运动的周期 B．卫星在椭圆轨道上运动时，在M点的线速度小于在N点的线速度 C．卫星在近地点的速度可能大于11.2 km/s D．卫星从M点运动到N点的过程中，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小 【答案】AD 【详解】A．由开普勒第三定律得，半长轴越大周期越大，故A正确； B．由开普勒第二定律得，近地点M的速度大于远地点N的速度，故B错误； C．11.2 km/s为地球的第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的脱离速度，由于该卫星没有脱离地球的束缚，因此，卫星在近地点的速度小于11.2 km/s，故C错误； D．卫星从M点运动到N点的过程中，远离地球，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小，故D正确。 故选AD。 （多选）9．（2026·辽宁·模拟预测）目前，我国已有近千颗卫星在轨运行。质量为m的某卫星发射初期先进入近地圆轨道稳定运行，后在近地点进行加速进入椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再次加速后，进入预定圆轨道稳定运行。已知卫星近地圆轨道半径为R，预定圆轨道半径为2R，地球表面的重力加速度为g。若仅考虑地球引力，则该卫星距离地心r处的引力势能表达式为（r≥R）。不考虑地球自转，且除近地点和远地点外，其余位置发动机不提供动力，则（　　） A．卫星在椭圆轨道近地点的速率为 B．第一次点火时卫星获得的机械能为 C．卫星在预定圆轨道上稳定的运行速率为 D．第一次点火和第二次点火卫星增加的机械能之比为1：1 【答案】BC 【详解】A．卫星在近地点的速度为v近，到达远地点未加速时的速度为v远，根据机械能守恒和开普勒第二定律可得， 代入题目给的势能公式， 解得，v远=，故A错误； B．近地圆速度v0满足 根据万有引力与重力的关系有 则可知总机械能为 第一次点火后椭圆轨道总机械能 卫星增加的机械能为，故B正确； C．预定圆轨道半径2R，万有引力提供向心力 解得，故C正确； D．预定圆轨道总机械能 第二次点火卫星增加的机械能为 则，故D错误； 故选BC。 （多选）10．（2026·福建泉州·三模）2025年11月，神舟二十一号载人飞船返回舱首次实施3圈自主快速返回，标志着我国载人飞船再入返回技术实现新突破。如图所示，返回舱从圆轨道1的点变轨后，沿椭圆轨道2运动到点，再次变轨后进入圆轨道3。为1、2轨道的切点，为2、3轨道的切点。已知1、3轨道半径之比为，返回舱在轨道1运行的周期为，则返回舱（   ） A．从点进入轨道2时需要减速 B．从点运行至点所需的最短时间小于 C．在轨道3与轨道1上运行的速率之比为 D．在轨道2上运行时经过、点的速率之比为 【答案】AB 【详解】A．从点进入轨道2时，做近心运动，可知返回舱需要减速，故A正确； B．设轨道1的半径为，轨道3的半径为，椭圆轨道2的半长轴为 根据开普勒第三定律可得返回舱在轨道1运行的周期大于在椭圆轨道2的周期，从点运行至点所需的最短时间为，可知最短时间小于，故B正确； C．根据万有引力提供向心力可得 可得 因为1、3轨道半径之比为，可得在轨道3与轨道1上运行的速率之比，故C错误； D．在轨道2上运行时经过、点时，根据开普勒第二定律有 可得经过、点的速率之比，故D错误。 故选AB。 三、解答题 11．（2026·江苏·一模）如图甲所示，足够大的绝缘光滑水平面处于真空中，将质量为M、电荷量为的带电小球A锁定在O点，质量为m、带电量为的带电小球B绕小球A做半径为r的匀速圆周运动。静电力常量为k，不计带电小球间的万有引力作用，带电小球B绕小球A运动时可视为质点。 (1)求小球B运动的线速度大小和小球B运动的周期； (2)如图乙所示，解除对小球A的锁定，它们均绕AB连线上的N点做匀速圆周运动，此时小球A和小球B间的距离为L；求带电小球B做圆周运动的角速度和周期大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由库仑力提供向心力得 解得 由库仑力提供向心力得 解得 （2）解除对小球A的锁定后，小球A和小球B绕N点做匀速圆周运动，具有相同的角速度和周期，小球A和小球B受到的向心力大小相同，设小球A和小球B做圆周运动的半径分别为和，则 又 解得 对小球A，由库仑力提供向心力得 解得 则带电小球B做圆周运动的周期为 解得 12．（2025·湖北襄阳·三模）天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求： (1)a、b的线速度之比； (2)a、b的质量分别为多大？ 【答案】(1)4:3 (2) 【详解】（1）由图像可知， 图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期， 可知该双星系统的周期为， a与轨迹中心间的距离为，b与轨迹中心间的距离为，可得 由线速度 可知a、b的线速度之比为 （2）由题意可知 联立解得 对b由万有引力提供向心力可知 解得 13．（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R，求： (1)三颗卫星对地球引力的合力大小； (2)两颗卫星之间的引力大小； (3)一颗卫星对地球的引力大小； (4)地球对一颗卫星的引力大小。 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）根据万有引力定律，每颗卫星对地球的引力大小均为 三个引力方向互成，根据矢量合成规则，三个大小相等、互成的矢量和为零，因此合力大小为零 （2）由几何关系可知两颗卫星对地心的圆心角为，根据余弦定理，两卫星间距 根据万有引力定律得两颗卫星间引力为 （3）根据万有引力定律，卫星到地心的距离为轨道半径r，因此引力大小为 （4）根据牛顿第二定律，地球对一颗卫星的引力大小等于一颗卫星对地球的引力大小，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 卫星变轨问题　双星模型 题型一 人造卫星的变轨及对接问题 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】ABD 9．【答案】BD 10．【答案】BC 题型二 双星多星模型 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】BC 9．【答案】AC 10．【答案】AD 课时精练 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】AD 9．【答案】BC 10．【答案】AB 11．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由库仑力提供向心力得 解得 由库仑力提供向心力得 解得 （2）解除对小球A的锁定后，小球A和小球B绕N点做匀速圆周运动，具有相同的角速度和周期，小球A和小球B受到的向心力大小相同，设小球A和小球B做圆周运动的半径分别为和，则 又 解得 对小球A，由库仑力提供向心力得 解得 则带电小球B做圆周运动的周期为 解得 12．【答案】(1)4:3 (2) 【详解】（1）由图像可知， 图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期， 可知该双星系统的周期为， a与轨迹中心间的距离为，b与轨迹中心间的距离为，可得 由线速度 可知a、b的线速度之比为 （2）由题意可知 联立解得 对b由万有引力提供向心力可知 解得 13．【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）根据万有引力定律，每颗卫星对地球的引力大小均为 三个引力方向互成，根据矢量合成规则，三个大小相等、互成的矢量和为零，因此合力大小为零 （2）由几何关系可知两颗卫星对地心的圆心角为，根据余弦定理，两卫星间距 根据万有引力定律得两颗卫星间引力为 （3）根据万有引力定律，卫星到地心的距离为轨道半径r，因此引力大小为 （4）根据牛顿第二定律，地球对一颗卫星的引力大小等于一颗卫星对地球的引力大小，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $