21.7 正方形（第2课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

21.7 正方形 （第二课时） 第二十一章 四边形 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 21.1多边形 21.2 平行四边形性质 21.4三角形中位线 四边形内外角和 多边形内外角和 性质定理一 性质定理二 21.5矩形 中位线定理 性质定理三 21.3 平行四边形的判定 判定定理一 判定定理二 判定定理三 矩形的性质 矩形的判定 21.6菱形 菱形的性质 菱形的判定 21.7正方形 21.8梯形 正方形的性质 正方形的判定 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握正方形的判定方法，明确判定正方形的基本思路（既是矩形又是菱形），能运用判定方法进行几何证明与判断 经历正方形判定方法的探究、归纳与应用过程，体会逆向思维、类比思想、转化思想，提升逻辑推理与综合应用能力 在探究与辨析中感受数学的严谨性，培养主动思考、举一反三的学习习惯，体会正方形判定在实际问题中的应用价值 知识回顾 1. 有一组邻边 且有一个角是 ⁠的平行四边形叫做正 方形. 2. 正方形的四边 ，四个角都是 ，对角线互相 ⁠ ，每条对角线平分一组对角. 相等　 直角　 相等　 直角　 平分且相等　 情景导入 问题探究 根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,说一说如何判定一个四边形是正方形 平行四边形 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 矩形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 可以先判定这个四边形是矩形,再证明这个矩形是菱形; 也可以先判定这个四边形是菱形,再证明这个菱形是矩形. 判定一个四边形是正方形,只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可 新知探究 正方形的判定 (1)从四边形出发： ①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发： ①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发： ①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形． 新知探究 正方形的判定 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 先证矩形，再证一组邻边相等 （或对角线互相垂直） 先证菱形，再证有一个角是直角 （或对角线相等） 已知平行四边形 已知四边形有三个直角 或对角线相等 已知四边形四边相等 或对角线互相垂直平分 新知探究 四边形之间的关系 (1)平行四边形、矩形、菱形、正方形间的包含关系如图1. (2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图2 图2 图1 典例分析 例1 已知:如图，分别延长正方形ABCD 的边AB，BC，CD，DA 到点E，F，G，H，使BE=CF=DG=AH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH. 求证:四边形EFGH 是正方形. 证明: 四边形ABCD 是正方形, AB=BC=CD=DA ∠EBF=∠FCG=∠GDH=∠HAE=90° 又 BE=CF=DG=AH AE=BF=CG=DH. △EBF△FCG△GDH△HAE. EF=FG=GH=HE,∠EFB=∠HEA. 四边形EFGH 是菱形. 又∠EFB+∠FEB=90° ∠FEB+∠HEA=90°,即∠FEH=90° 菱形EFGH 是正方形. 首先通过三角形全等证明四边形 EFGH 的四条边相等，判定它是菱形； 再证明其中一个角是直角，从而判定它是正方形 典例分析 例2 已知:如图，在菱形 ABCD 中， 对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA. 求证:四边形AECF 是正方形. 证明: 四边形ABCD 是菱形 AC⊥BD，OA=OC，OB=OD 又 BE=DF OE=OF 四边形AECF 是菱形 又 OE=OA OE=OF=OA=OC，即EF=AC 菱形AECF 是正方形 首先利用菱形对角线的性质，证明四边形 AECF 是菱形； 再证明它的对角线相等，从而判定它是正方形。 对角线相等的菱形是正方形，这是判定的关键一步 即学即练 方法技巧 利用 “正方形四边相等”，通过线段相减得到 BE=CF=DM=AN，是构造全等三角形的基础。 证明直角时，利用 “同角的余角相等”，将分散的角集中到四边形的一个内角中，快速得到 90° 角 已知:如图，点E，F，M，N分别在正方形ABCD的四条边上，且AE=BF=CM=DN. 求证:四边形EFMN 是正方形. 证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=AD 又AE=BF=CM=DN 可得BE=CF=DM=AN 在△AEN和△BFE中， △AEN△BFE 同理可得△AEN△BFE△CMF△DNM EF=MF=MN=EN 四边形EFMN是菱形 又∠ANE=∠DMN，∠ANE+∠DNM=90°，∠ENM=90° 四边形EFMN是正方形 即学即练 方法技巧 折叠问题的本质是轴对称，折叠前后对应边、对应角相等。本题中，关键是抓住 “折叠后邻边重合” 这一点，结合矩形的直角性质，直接推出 “邻边相等的矩形”，从而得到正方形。 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形? 为什么? 解：正方形． 因为有三个角是直角，所以是矩形， 由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形． 即学即练 方法技巧 从定义出发 直接证明：四条边都相等，且四个角都是直角的四边形是正方形。 （缺点：条件多，步骤繁琐，一般不推荐） 从矩形出发 邻边相等的矩形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 判定一个四边形是正方形有哪些方法? 请至少写出三种方法 1.四条边都相等，且四个角都是直角的四边形是正方形 2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; 3.两组对边分别平行，且邻边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 课堂练习 1. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若只添加一个条件， 即可推出该四边形是正方形，则这个条件可以是（　D　） A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AD＝BC D. BC＝CD D 解：根据已知条件，可知四边形ABCD是矩形，添加条件BC=CD，可利用一组邻边相等的矩形是正方形证明 课堂练习 2. 如图，在矩形ABCD中，有下列结论：① △AOB是等腰三角形；② S△AOB＝S△AOD；③ AC＝BD；④ AC⊥BD；⑤ 当∠ABD＝45°时，矩 形ABCD会变成正方形.其中，正确的是 （填序号）. ①②③⑤　 解：四边形ABCD是矩形， AC=BD，故③正确 OA=OB △AOB是等腰三角形，故①正确 AO为△ABD中线 S△AOB＝S△AOD故②正确 当∠ABD=45°时，△ABD为等腰直角三角形 AB=AD 四边形ABCD是正方形，故⑤正确 课堂练习 3.下列判断错误的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形 D 解：两条对角线垂直且互相平分是菱形， 增加两条对角线相等，才能得证四边形是正方形 课堂练习 4.如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED， 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， AO＝CO， EA＝EC，EO⊥AC，即BD⊥AC， 四边形ABCD是菱形． (2)∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∠ADO＝∠DAC，AO＝DO， 四边形ABCD是菱形 AC＝2AO，BD＝2DO，AC＝BD 四边形ABCD是正方形. 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 转化与化归 演绎推理 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $