精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第十七中学片联考2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价

2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系求出的取值范围，再利用二次根式的性质化简，最后去绝对值计算得到结果． 【详解】解：∵4、5、是三角形的三边长， ∴，即， ∴， ∴． 3. 如图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定能裁剪的长方形的条数，再确定镶边时长方形的长，由此可求出正方形作品的边长，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 根据图②的裁剪长方形，如图所示， ∵， ∴， ∴能裁剪的纸条的条数为（条）， 根据题意，， 则， 依次类推，第三条长方形的长为， ∴总长度为：，且宽为， ∴按图③镶边，如图所示， ∴， ∴， ∴正方形美术作品的面积为：． 4. 一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则并结合无理数和有理数的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，为有理数，该选项不符合题意； B、，其结果为无理数，该选项符合题意； C、，为有理数，该选项不符合题意； D、，为有理数，该选项不符合题意． 5. 如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由长方形纸片沿对折，得垂直平分，则有；由沿折叠知，，则是等边三角形，，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形纸片沿对折， ∴垂直平分， ∴； ∵沿折叠， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴； 由折叠知，， ∴； ∵， ∴， ∴． 6. 我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直角三角形的较短直角边为，根据小正方形面积得出较长直角边长为，再利用勾股定理列方程求出，进而求出较长直角边长即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为， ∵中间小正方形的面积为，  ∴小正方形的边长为， ∴直角三角形的较长直角边长为， ∵直角三角形的斜边为，  ∴根据勾股定理得，， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴较长直角边长为，  ． 7. 下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的三边关系即可判断． 【详解】解： A、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、∵最长边为，，∴不能构成三角形，故选项不符合题意； C、∵最长边为，，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； D、∵ 最长边为，，∴能构成直角三角形，故选项符合题意． 8. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正八边形内角和， 则每个内角的度数． 9. 如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． ∵， ∴． 10. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ，  ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，列出相关的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数， 因此， 解得． 13. 现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】最简二次根式为同类二次根式时被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵和都是最简二次根式，且为同类二次根式， ∴， 解得． 14. 若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 15. 如图，在Rt中，．点D，E分别为边上的动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则面积的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点D，旋转，得到；再将点D、点E移动的距离，设为未知数，利用直角三角形的角、勾股定理，获取的高，用于表示的面积，得到关于的函数；结合n的取值范围，求面积函数的最大值，最终得到的最大面积． 【详解】解：将绕点D，旋转，得到，点F与点E重合，如下图： ， , 设，过点E作的垂线，垂足为H，延长，相交于点G， ， ， （对顶角相等）， ， ， ， 在中，， ， , , ， ， ， 如果要使最大，n取最大值：， ， 配方得：， 当时，取得最大值，最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为：． 16. 如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作交的延长线于，交于，连接，证明，再进一步利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交于，连接， ∵等腰直角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 17. 如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知点与点关于对称，作点关于的对称点，则在上，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为的最小值，连接，利用三角形中位线定理和勾股定理求出的长度即可 . 【详解】解:四边形是菱形，边长为5， ，，， 在中，， 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度，  点与点关于对称，，  点在上，且，  是的中点，  ，  ， ， 连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 在中，，  的最小值为. 18. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式和平方差公式展开化简后，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 已知实数，，满足，，试求： （1），，的值； （2）的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值、二次根式、偶次方的非负性得出，，，再求出，，的值即可； （2）将，，的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，且，，， 故，，， 即，，， 解得，． 【小问2详解】 解：将，代入，原式． 21. 先化简，当x，y满足时求上式的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，非负性求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 22. 已知为直角三角形的两条边长，且，求这个直角三角形的第三边长． 【答案】这个直角三角形的第三边长或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、勾股定理，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，分两种情况：当为直角三角形的两条直角边时；当为直角边，为斜边时；分别求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ，即， 为直角三角形的两条边长， 当为直角三角形的两条直角边时，第三边长为， 当为直角边，为斜边时，第三边长为， 综上所述，这个直角三角形的第三边长或． 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． （1）求当x等于何值时，? （2）当时，求的长． （3）利用图形求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想 （1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可． （2）当时，，利用勾股定理计算即可． （3）根据得， 构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 【小问1详解】 根据题意，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 根据题意，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故． 【小问3详解】 根据得， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 24. 我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用角的关系求得，再在中，由勾股定理求得的长，据此即可求解． 【详解】解：∵折叠，点恰好落在线段上的点处 ∴，，，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴， ∴． 25. 【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 【答案】（1）的最小值为，此时；（2）的最小值，此时；（3）栅栏的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算, 勾股定理的应用； （1）仿照材料中的例子，可求得； （2）先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，可求得； （3）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边的式子，求最小值． 【详解】解：（1）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （2）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （3）设，则，则 ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． ∴ 26. 已知点F是等边的边延长线上一点，以为边，作菱形，使菱形 与等边在的同侧，且，连结． （1）如图①，若，请计算的面积； （2）如图②，若点G是的中点，连接．试探究与的位置和数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，作高线，利用平行线的性质得：，则，利用勾股定理求的长，利用三角形面积公式求面积即可； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证，则，，再证明，则，，所以是等边三角形，由三线合一可得结论． 【小问1详解】 解：如图1， ∵是等边三角形， ∴， ∵， 菱形中，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵菱形，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ； 理由如下：如图2，延长与交于M，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵等边中， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的三线合一的性质、三角形全等的性质和判定等知识，第二问构建辅助线，证明是等腰三角形是关键． 27. 平移是一种基本的几何图形变换，利用平移可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．如图1，在四边形中，，若，求的值． 小明发现，平移至，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）【求解体验】 请根据小明的思路求的值． （2）【尝试应用】 如图3，在矩形和中，连结交于点G，连接．若，求的度数； （3）【拓展延伸】 如图4，在（2）的条件下，连结，若，求的面积． 【答案】（1） （2）60° （3） 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得到四边形ADEC是一个平行四边形，进而求出DE的长度，再利用勾股定理求解； （2）连结AC、CE，由矩形和平行四边形的性质易得AE=CE=AC，进而得到△ACE是一个等边三角形，再利用等边三角形的性质求解； （3）设AC与BD相交于点Q，根据矩形的性质易得BE是线段AC的中垂线，结合BD也是线段AC的中垂线，得到E、B、D三点共线，进而得到FG=2，BE=AF= ，设AQ=x，得到QE=x+，AE=AC=2x，利用勾股定理列出方程求解． 【小问1详解】 解：如下图，由平移的性质可得四边形ADEC是一个平行四边形， ∴DE=AC=3，AD=CE， ∴AD+BC=BE． ∵DE//AC，AC⊥BD， ∴∠BDE=90°， ∴AD+BC=BE=； 【小问2详解】 解：连结AC、CE． ∵矩形ABCD，ABEF为平行四边形， ∴DC∥AB∥EF且DC=AB=EF， ∴DFEC为平行四边形， ∴DF=CE． ∵ABCD为矩形， ∴AC=DB． ∵AE=DF=DB， ∴AE=CE=AC， 即△ACE是一个等边三角形． ∵DF//CE， ∴∠FGE=∠AEC=60°； 【小问3详解】 解：设AC与BD相交于点Q． ∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴ABCD为正方形，AC与BD互相垂直平分． ∵EA=EC，BA=BC， ∴BE是线段AC的中垂线． 又∵BD也是线段AC的中垂线， ∴E、B、D三点共线． ∵AF∥BE， ∴∠FAE=∠AEB=∠AEC =30°， ∴∠AFG=∠FGE —∠FAE =30°． ∵FG=2， ∴BE=AF= ． 在Rt△AEQ中，设AQ=x， 则QE=x+，AE=AC=2x， ∴， 解得，（负的舍去）． ∵AF//DE， ∴==． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，正方形、矩形和平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．理解相关知识是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（ ） A. B. 8 C. D. 3. 如图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（ ） A. 8 B. C. 6 D. 6. 我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若，则的值是______． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 13. 现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______． 14. 若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 15. 如图，在Rt中，．点D，E分别为边上的动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则面积的最大值为_______________． 16. 如图，中，，以为斜边向内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．． 17. 如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 18. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 已知实数，，满足，，试求： （1），，的值； （2）的值． 21. 先化简，当x，y满足时求上式的值． 22. 已知为直角三角形的两条边长，且，求这个直角三角形的第三边长． 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． （1）求当x等于何值时，? （2）当时，求的长． （3）利用图形求代数式的最小值． 24. 我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 25. 【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 26. 已知点F是等边的边延长线上一点，以为边，作菱形，使菱形 与等边在的同侧，且，连结． （1）如图①，若，请计算的面积； （2）如图②，若点G是的中点，连接．试探究与的位置和数量关系，并说明理由． 27. 平移是一种基本的几何图形变换，利用平移可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．如图1，在四边形中，，若，求的值． 小明发现，平移至，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． （1）【求解体验】 请根据小明的思路求的值． （2）【尝试应用】 如图3，在矩形和中，连结交于点G，连接．若，求的度数； （3）【拓展延伸】 如图4，在（2）的条件下，连结，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $