精品解析：2023-2024学年河南省许昌市襄城县人教版五年级下册期中学习之星竞赛数学试卷

2023－2024学年第二学期学习之星评选 五年级数学 学校_______________姓名_______________班级_______________考场座号_______________ 一、填空。（每空3分，共51分） 1. 形如AA，ABA，ABBA，ABCBA……的自然数（A、B、C均表示1~9的自然数且互不相等），我们叫它“对称数”，例如11、15851、2345432都是“对称数”。 （1）在1325132、111222、235523和35753这几个数中，________是“对称数”。 （2）有没有能同时被2、3和5整除的五位数的“对称数”？若有请举例，若没有请说明理由。________________________________________________________ 【答案】（1）35753 （2）没有。因为能同时被2、3和5整除的五位数的“对称数”，个位必须是0，则最高位也是0。而一个多位数的最高位不能为0，A、B、C均表示1~9的自然数且互不相等，所以没有这样的五位数。 【解析】 【分析】（1）判断一个数是不是“对称数”，只要看它的数字是否“左右对称”，即第一位和最后一位是否相同，第二位和倒数第二位是否相同，以此类推。 （2）先确定能同时被2、3、5整除的数的条件：个位上是0。再结合条件看是否有符合的数ABCBA，同时要注意A、B、C均表示1~9的自然数且互不相等。 【小问1详解】 1325132的第一位是1，最后一位是2，所以1325132不是“对称数”； 111222的第一位是1，最后一位是2，所以111222不是“对称数”； 235523的第一位是2，最后一位是3，所以235523不是“对称数”； 35753的第一位是3，最后一位是3，第二位是5，倒数第二位是5，所以35753是“对称数”。 【小问2详解】 能同时被2和5整除的数的个位上是0。五位数的“对称数”的个位与最高位相同，若个位上为0，则最高位也为0。而一个数的最高位不能为0，且A、B、C均表示1~9的自然数，因此不存在能同时被2、3、5整除的五位数“对称数”。 2. 在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝？”这道题时，聪聪是这样想的：因为偶数＋奇数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数。根据聪聪的思考，可以算出a＋b＝（ ）。 【答案】7 【解析】 【分析】因为41是奇数，根据偶数＋奇数＝奇数，可确定3a和7b中一定有一个是偶数，再根据奇数×偶数＝偶数，所以a和b中有一个一定是偶数，既是质数又是偶数的数只有数字2，分a＝2或者b＝2讨论验证即可。 【详解】根据分析：若a＝2，则3a＝3×2＝6，则7b＝41－6＝35，则b＝35÷7＝5，5是质数符合b是质数的条件； 若b＝2，则7b＝7×2＝14，则3a＝41－14＝27，则a＝27÷3＝9，9是合数，不符合a是质数的条件； 综上分析，只有a＝2，b＝5，符合题意，所以a＋b＝7。 3. 如图是一张长方形铁皮，将它裁剪后刚好能做成一个长是8厘米，宽是5厘米，高是2厘米的长方体盒子（接头处忽略不计），这个盒子的表面积是（ ）平方厘米；这张长方形铁皮原来的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 ①. 132 ②. 180 【解析】 【分析】根据长方体表面积公式，直接列式求出这个盒子的表面积； 看图，原来铁皮的长等于长方体两个长和两个高的长度和，原来铁皮的宽等于长方体两个高和一个宽的长度和，由此先分别计算出铁皮的长和宽，再用长×宽，求出它的面积。 【详解】8×5×2＋8×2×2＋5×2×2 ＝80＋32＋20 ＝132（平方厘米） （8×2＋2×2）×（5＋2×2） ＝20×9 ＝180（平方厘米） 所以，这个盒子的表面积是132平方厘米；这张长方形铁皮原来的面积是180平方厘米。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式、长方形的面积公式，关键是要熟记公式并灵活运用。 4. 长方体玻璃容器，从里面量得长、宽、高分别是5、3、8分米．向这个容器中注水，当容器中的水所形成的长方体第二次出现相对的面是正方形时，水的体积是　 　立方分米． 【答案】75 【解析】 【详解】试题分析：已知长方体容器从里面量得长、宽、高分别是5、3、8分米，当向这个容器中注水的高为3分米时，第一次出现相对的正方形面；当向这个容器中注水的高为5分米时第二次出现相对的面是正方形，所以所求水的体积是5×5×3=75立方分米． 解：5×5×3=75（立方分米）； 答：水的体积是75立方分米． 故答案为75． 点评：此题主要考查长方体的体积（容积）的计算，关键是理解向这个容器中注水的高是几分米的时候，才会第二次出现相对的面是正方形；再根据长方体的体积公式解答即可． 5. 一个假分数的分子是11，把它化成带分数后，整数部分、分子和分母是3个连续的自然数，这个假分数是（ ），化成带分数是（ ）。 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】带分数化成假分数的方法：用真分数部分的分母作分母，用分母和整数的积再加上真分数部分的分子的和作分子。据此可知：把假分数化成带分数后，整数部分×分母＋分子＝11；再根据“整数部分、分子和分母是3个连续的自然数”这一条件来确定带分数的整数部分、分子和分母，从而确定带分数及假分数。由题意可知：带分数的真分数部分的分子最大是5，假设分别是1、2、3、4、5，则有11＝1×10＋1，11＝2×5＋1，11＝1×9＋2，11＝3×3＋2，11＝1×8＋3，11＝2×4＋3，11＝1×7＋4，11＝1×6＋5。其中11＝2×4＋3符合题意，所以这个带分数是，＝＝。 【详解】因为11＝2×4＋3，2、3、4是3个连续的自然数，所以，这个假分数是，化成带分数是。 6. 四个真分数、、、中，分数单位最大的分数是________，________一定是最简分数，能化成有限小数的共有________个。 【答案】 ①. ②. ③. 3 【解析】 【分析】（1）分数的分母是几，分数单位就是几分之一。写出这几个分数的分数单位，再比较分数单位的大小。分子相同，分母越大的分数反而越小。 （2）分子小于分母的分数是真分数。分子和分母只有公因数1的分数是最简分数，所以要看这4个分数的分子和分母是否含有除1外的公因数。将这4个分数的分母分解质因数，找到它们的质因数。如果分子是这些质因数的倍数，这个分数就不是最简分数。 （3）能化成有限小数的分数的分母只含有质因数2和5，只要看这些分数的分母是否含有除2和5外的质因数。 【详解】（1）的分数单位是，的分数单位是，的分数单位是，的分数单位是。16＜25＜31＜32，所以＞＞＞，分数单位最大的分数是。 （2）16＝2×2×2×2，16的质因数是2，只要分子a是2的倍数，就不是最简分数。 25＝5×5，25的质因数是5，只要分子b是5的倍数，就不是最简分数。 31是质数，只有因数1和31。是真分数，c小于31，所以c和31的公因数只能是1，因此是最简分数。 32＝2×2×2×2×2，32的质因数是2，只要分子d是2的倍数，就不是最简分数。 （3）、、这3个分母都只含有质因数2和5，都可以化成有限小数。而31是质数，只有因数1和31，不能化成有限小数。所以能化成有限小数的共有3个，分别是、、。 7. 已知，A、B为连续的自然数，则A是________，B是________。 【答案】 ①. 15 ②. 16 【解析】 【分析】先把化成分母为19的形式，再根据不等式关系确定A和B的取值，最后结合A、B是连续自然数验证结果。 【详解】 已知，，A、B为连续的自然数， 所以A＝15，B＝16。 8. 自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a＋b的最大值是__。 【答案】145 【解析】 【分析】将140分解质因数：140＝22 ×5×7；a、b的最小公倍数是140，表示a、b都是由2、2、5、7这四个质因数组合而成的，a、b的最大公约数是5，表示a、b都含有质因数5，且其中一个就是5（“最大”公约数是5）；要取a＋b的最大值，则另一个数要尽可能的大，所以，另一个数应该是140，那么a＋b的最大值就是5＋140＝145。 【详解】由分析知：a和b其中一个是140，一个是5，所以：a＋b的最大值就是5＋140＝145； 故答案为145。 【点睛】解答此题应先进行分解质因数，然后结合题意，根据最大公约数和最小公倍数的知识进行解答。 9. 一个正三角形（等边三角形）至少绕其中心旋转________度，就能与本身重合；一个正六边形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合。 【答案】 ①. 120 ②. 60 【解析】 【分析】正n边形绕中心旋转，最小重合角度等于360度除以边数n。 【详解】正三角形：360÷3＝120（度） 正六边形：360÷6＝60（度） 10. 用6个小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是，最多有________种不同的搭法。 【答案】10 【解析】 【分析】由从上面看到的形状可知，底层有4个小正方体，这4个的摆法是：后排有3个，前排中间有1个。给这4个小正方体的位置编号如图，。 底层用了4个，还剩6－4＝2（个）小正方体。这2个要放在底层4个位置的上方。可以叠放在同一个位置上，也可以分别放在不同的位置。把两种情况的搭法数量相加。 【详解】剩下的2个叠放在同一个位置上，可以叠放在A、B、C、D上，有4种搭法。 分别放在不同的位置，可以分别放在A和B、A和C、A和D、B和C、B和D、C和D上，有6种搭法。 4＋6＝10（种）。 二、选择。（将正确答案的序号填在括号内）（每小题4分，共20分） 11. 已知自然数n只有2个因数，那么3n有（　　）个因数． A. 2 B. 3 C. 4 D. 3或4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据找一个数的因数的方法进行解答即可． 解：因为n只有两个因数，那么n为质数，那么3n最多有4个因数：1、n、3、3n；当n=3时，3n只有3个因数；n≠3时，有4个因数； 故选D． 点评：解答此题应根据题意，进行认真分析，找出3n的所有因数，进而得出结论． 12. 用6个同样的小正方体摆成一个几何体，从正面和上面看是。那么，从左面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面和上面看到的图形，先确定底层小正方体数量，再算出上层小正方体数量，结合总数6个，判断出几何体的层数和前后排分布，进而推出左视图。 【详解】从上面看底层有4个小正方体，总数6个，所以上层有2个；从正面看上层在左侧，说明前后两排的左侧都有上层小正方体，左视图会呈现前排两层、后排两层的2×2正方形。 13. 下面5种纸片，各有4张。选其中的6张，可以围成（ ）个不同形状的长方体。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】长方体有6个面，相对的面形状相同，当长方体有两个相对的面是正方形时，其它四个面是形状相同的长方形，长方体有12条棱，把12条棱平均分成三组，每组棱的长度相等，根据长方体的特征从第一个图形开始，依次找出可以围成不同形状长方体的全部组合。 【详解】第1种：选择2张10×10的纸片和4张10×8的纸片； 第2种：选择2张10×10的纸片和4张10×5的纸片； 第3种：选择4张10×8的纸片和2张8×8的纸片； 第4种：选择2张10×8的纸片、2张8×5的纸片、2张10×5的纸片； 第5种：选择2张8×8的纸片和4张8×5的纸片； 由上可知，可以围成5个不同形状的长方体。 14. 如图，用两个的直条可以把“1”铺满。要铺满第三个直条，还应选用（ ）的直条。 A. 1个 B. 2个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，第一个图形是2个的直条铺满，第三个图形中的一半是由1个的直条铺满，从而根据计算即可求得铺满第三个直条所需要的直条数，据此解答。 【详解】 是由3个组成 用两个的直条可以把“1”铺满。要铺满第三个直条，还应选用（3个）的直条。 故答案为：D 15. D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（ ）。 A. 25° B. 30° C. 35° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可知∠CAB＝90°，AB＝AC。图形旋转前后图形的大小和形状没有改变，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，可知AD＝AD′而且∠BAD＝∠CAD′，进而得到∠D′AD＝∠BAC＝90°，这样△ADD′就是一个等腰直角三角形，它的两个锐角都是45°，据此解答。 【详解】因为△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边 所以∠CAB＝90°，AB＝AC。 因为将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′ 所以AD＝AD′，∠BAD＝∠CAD′。 所以∠D′AD＝∠DAC＋∠CAD′＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝90°。 所以△ADD′是等腰直角三角形，∠ADD′＝45°。 三、探究与操作。（18分） 16. 我们知道“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？举个例子，324是由3个百、2个十、4个一组成的，324＝3×100＋2×10＋4。100和10不是3的倍数，但是99和9都是3的倍数。根据乘法分配律： 324＝3×100＋2×10＋4 ＝3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋4 ＝3×99＋3＋2×9＋2＋4 ＝3×99＋2×9＋（3＋2＋4） 如图，其中3×99和2×9都是3的倍数，括号中的3、2、4正好是324这个数各个数位上的数，所以只要各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （1）根据3的倍数特征的探究方法，请探索下面各数是不是9的倍数，是的在横线上打“√”。 903________ 693________ 239________ 990________ （2）9的倍数特征：_______________________________________，这个数就是9的倍数。 （3）根据你的发现写出两个是9的倍数的五位数：________________、________________。 【答案】（1）见详解 （2）一个数各位上的数的和是9的倍数 （3） ①. 12366 ②. 34551 【解析】 【分析】（1）根据3的倍数的特征“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”推测：一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。计算各数各位上的数的和，看是否是9的倍数，是9的倍数，那这个数就是9的倍数，否则就不是。 （2）仿照3的倍数的特征的探究方法，将一个数按数位展开，利用乘法分配律拆分，根据题目给的推导方法进行验证。 （3）只要写出的五位数满足“各位上的数的和是9的倍数”这个条件即可。（答案不唯一） 【小问1详解】 903：9＋0＋3＝12，12不是9的倍数，所以903不是9的倍数； 693：6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数； 239：2＋3＋9＝14，14不是9的倍数，所以239不是9的倍数； 990：9＋9＋0＝18，18是9的倍数，所以990是9的倍数。 【小问2详解】 以三位数为例进行说明： ＝100a＋10b＋c ＝（99＋1）a＋（9＋1）b＋c ＝99a＋a＋9b＋b＋c ＝99a＋9b＋a＋b＋c ＝99a＋9b＋（a＋b＋c） 99a和9b都是9的倍数，a＋b＋c正好是这个数各位上的数的和，只要a＋b＋c的和是9的倍数，则就是9的倍数。 所以，一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 【小问3详解】 12366：1＋2＋3＋6＋6＝18，18是9的倍数，所以12366是9的倍数； 34551：3＋4＋5＋5＋1＝18，18是9的倍数，所以34551是9的倍数。（答案不唯一） 17. 学校要捐赠一批教学物资给希望小学，其中有24盒粉笔，每盒都是棱长1分米的正方体。现在需要把这24盒粉笔包装起来，请你设计并计算出包装箱表面积最少的情况，同时将包装盒草图画在下面的方框中。（草图标注相关数据） 包装盒表面积计算过程。 【答案】图见详解；52平方分米 【解析】 【分析】要使包装箱的面积最少，也就是把24盒粉笔包装成接近正方体，首先把24分解质因数，然后确定长、宽、高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】如图： 24＝2×2×2×3 所以这个长方体的长是2×2＝4（分米），宽是3分米，高是2分米； （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方分米） 答：包装箱表面积最少是52平方分米。 18. 如图的两个长方形都表示3平方厘米，在下面左边长方形中用正确的方式表示平方厘米，在右边长方形中用正确的方式表示它的。 【答案】见详解 【解析】 【分析】（1）把3平方厘米平均分成4份，每份为平方厘米，则涂其中的1份就是平方厘米，据此作图即可。 （2）把长方形看作单位“1”，平均分成4份，涂其中的3份，用分数即可表示。据此作图即可。 【详解】（1）平方厘米表示如图（左）： （2）长方形的 表示如图（右）： 四、解决问题。（11分） 19. 室内游泳池长50米，宽25米，最浅处水深1.2米，最深处水深1.8米。如图所示。张佳同学就“游泳池的容积是多少立方米”这一数学问题展开了思考。 （1）张佳同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如图①）转化成长方体，所以它的容积就在________立方米和________立方米之间。” （2）你能利用转化的方法计算出游泳池的容积吗？请你写出计算过程。 【答案】（1） ①. 1500 ②. 2250 （2）1875立方米 【解析】 【分析】（1）由图可知，割去一部分后得到一个长50米，宽25米，高1.2米的长方体；补上一部分后得到一个长50米，宽25米，高1.8米的长方体。根据公式“长方体的体积＝长×宽×高”，将以上数值代入计算即可算出容积的范围。 （2）将两个形状、大小相同的这样的游泳池拼在一起，可以得到一个长50米，宽25米，高（1.2＋1.8）米的组合的长方体，根据公式“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个组合的长方体的容积，再除以2就得到单个游泳池的容积。 【小问1详解】 50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.8＝2250（立方米） 所以容积就在1500立方米和2250立方米之间。 【小问2详解】 1.2＋1.8＝3（米） 50×25×3＝3750（立方米） 3750÷2＝1875（立方米） 答：游泳池的容积是1875立方米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第二学期学习之星评选 五年级数学 学校_______________姓名_______________班级_______________考场座号_______________ 一、填空。（每空3分，共51分） 1. 形如AA，ABA，ABBA，ABCBA……的自然数（A、B、C均表示1~9的自然数且互不相等），我们叫它“对称数”，例如11、15851、2345432都是“对称数”。 （1）在1325132、111222、235523和35753这几个数中，________是“对称数”。 （2）有没有能同时被2、3和5整除的五位数的“对称数”？若有请举例，若没有请说明理由。________________________________________________________ 2. 在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝？”这道题时，聪聪是这样想的：因为偶数＋奇数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数。根据聪聪的思考，可以算出a＋b＝（ ）。 3. 如图是一张长方形铁皮，将它裁剪后刚好能做成一个长是8厘米，宽是5厘米，高是2厘米的长方体盒子（接头处忽略不计），这个盒子的表面积是（ ）平方厘米；这张长方形铁皮原来的面积是（ ）平方厘米。 4. 长方体玻璃容器，从里面量得长、宽、高分别是5、3、8分米．向这个容器中注水，当容器中的水所形成的长方体第二次出现相对的面是正方形时，水的体积是　 　立方分米． 5. 一个假分数的分子是11，把它化成带分数后，整数部分、分子和分母是3个连续的自然数，这个假分数是（ ），化成带分数是（ ）。 6. 四个真分数、、、中，分数单位最大的分数是________，________一定是最简分数，能化成有限小数的共有________个。 7. 已知，A、B为连续的自然数，则A是________，B是________。 8. 自然数a和b的最小公倍数是140，最大公约数是5，则a＋b的最大值是__。 9. 一个正三角形（等边三角形）至少绕其中心旋转________度，就能与本身重合；一个正六边形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合。 10. 用6个小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是，最多有________种不同的搭法。 二、选择。（将正确答案的序号填在括号内）（每小题4分，共20分） 11. 已知自然数n只有2个因数，那么3n有（　　）个因数． A. 2 B. 3 C. 4 D. 3或4 12. 用6个同样的小正方体摆成一个几何体，从正面和上面看是。那么，从左面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 13. 下面5种纸片，各有4张。选其中的6张，可以围成（ ）个不同形状的长方体。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 14. 如图，用两个的直条可以把“1”铺满。要铺满第三个直条，还应选用（ ）的直条。 A. 1个 B. 2个 C. 2个 D. 3个 15. D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（ ）。 A. 25° B. 30° C. 35° D. 45° 三、探究与操作。（18分） 16. 我们知道“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？举个例子，324是由3个百、2个十、4个一组成的，324＝3×100＋2×10＋4。100和10不是3的倍数，但是99和9都是3的倍数。根据乘法分配律： 324＝3×100＋2×10＋4 ＝3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋4 ＝3×99＋3＋2×9＋2＋4 ＝3×99＋2×9＋（3＋2＋4） 如图，其中3×99和2×9都是3的倍数，括号中的3、2、4正好是324这个数各个数位上的数，所以只要各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （1）根据3的倍数特征的探究方法，请探索下面各数是不是9的倍数，是的在横线上打“√”。 903________ 693________ 239________ 990________ （2）9的倍数特征：_______________________________________，这个数就是9的倍数。 （3）根据你的发现写出两个是9的倍数的五位数：________________、________________。 17. 学校要捐赠一批教学物资给希望小学，其中有24盒粉笔，每盒都是棱长1分米的正方体。现在需要把这24盒粉笔包装起来，请你设计并计算出包装箱表面积最少的情况，同时将包装盒草图画在下面的方框中。（草图标注相关数据） 包装盒表面积计算过程。 18. 如图的两个长方形都表示3平方厘米，在下面左边长方形中用正确的方式表示平方厘米，在右边长方形中用正确的方式表示它的。 四、解决问题。（11分） 19. 室内游泳池长50米，宽25米，最浅处水深1.2米，最深处水深1.8米。如图所示。张佳同学就“游泳池的容积是多少立方米”这一数学问题展开了思考。 （1）张佳同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如图①）转化成长方体，所以它的容积就在________立方米和________立方米之间。” （2）你能利用转化的方法计算出游泳池的容积吗？请你写出计算过程。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $