5.3分式方程（分层作业）数学新教材北师大版八年级下册

5.3 分式方程 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）分式方程的解是_______． 8．（2021·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 9．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 10．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）请写出一个根为的分式方程：_________． 11．（24-25八年级下·山东青岛·月考）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）解方程：． 13．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 14．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 15．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 1．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 6．（25-26八年级上·四川泸州·期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 7．（24-25八年级上·云南德宏·期末）为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 1．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为______． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 分式方程 1．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程去分母的方法，关键是确定最简公分母，再给方程两边同乘最简公分母转化为整式方程．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以，得． 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．设第一次分钱的人数为x，依题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设第一次分钱的人数为人，则第一次每个人分元，第二次每个人分元，再根据两次每人分的钱相同列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 由题意得，， 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）某工程队原计划修路，实际每天比原计划多修，结果提前3天完成．设原计划每天修路，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用． 本题依据“工作时间工作总量工作效率”，结合原计划完成天数与实际完成天数的差值为3天来列方程． 【详解】解：∵原计划每天修路，总路程为， ∴原计划完成工程的天数为， ∵实际每天比原计划多修， ∴实际每天修路，实际完成工程的天数为， ∵结果提前3天完成，即原计划天数实际天数3， ∴可列方程为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴把代入中，解得：． 故选：C． 6．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）分式方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 8．（2021·湖北襄阳·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为：把一份文件用慢马送到里外的城市需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需时间比规定时间少天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间是多少天？若设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 可得慢马的速度为， 快马的速度为， ∵快马速度是慢马速度的倍， 可得方程， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 10．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）请写出一个根为的分式方程：_________． 【答案】 【详解】中，当 时，左边为，右边为， 等式成立，且分母在时值为， 是分式方程的根． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·山东青岛·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验是否有增根即可． 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解． 12．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母两边同乘以，转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可． 【详解】解：两边同乘以，得， 解得：， 检验，当时，， 所以原方程的解中． 13．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）某工厂现在比原计划平均每天多生产机器台，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需的时间相同，问现在平均每天生产机器多少台？ 【答案】台 【分析】结合题意信息，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划每天生产台， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：现在平均每天生产240台机器． 15．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 1．（24-25八年级下·甘肃白银·开学考试）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】先解分式方程得到，再根据“解为正数”得到，同时排除增根，综合得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式方程的解为正数，则，解得， 由，则，，解得， 综上，的取值范围是且． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 4．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 【答案】 【分析】先将每个不等式的解计算出来，根据有解且至多4个偶数解求得，则．解出分式方程的解为，由为整数，且，确定整数的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式有解，且至多个偶数解， ∴，     解得， 分式方程， 两边同乘以，得， 解得， ∵为整数，且， 又∵， ∴符合条件的所有整数为，，，，和为． 5．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 6．（25-26八年级上·四川泸州·期末）某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务．求引进新设备前后工程队每天改造道路各多少米？ 【答案】引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米，根据某工程队承担了850米长的道路改造任务，工程队施工完200米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了，结果共用14天完成了任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米，则引进新设备后工程队每天改造道路米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：引进新设备前工程队每天改造道路50米，引进新设备后工程队每天改造道路65米． 7．（24-25八年级上·云南德宏·期末）为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】(1)第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 (2)剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【分析】（1）设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元，根据“第二次比第一次多购进200把”列方程求解即可． （2）设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元，根据“第二次的销售利润不低于3840元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． （2）解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 1．（24-25八年级下·四川资阳·月考）关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．8 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况确定参数的取值范围，分式方程的解法， 分式方程的增根问题及根据分式方程的解为整数确定参数的值．先解不等式组，根据有解且至多4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，结合解为整数且不为增根的条件筛选出符合的整数a，最后求和． 【详解】解：∵解不等式组， 得，， ∴不等式组解集为， ∵不等式组有解且至多4个整数解， ∴整数解为（至多4个）， ∴ 两边乘2得， ∴ 解分式方程， 解得， ∵分式方程的解为整数且 ∴是9的约数，且，又∵a为整数且， 逐一验证： 当时，，，符合条件， 当时，，，符合条件， 当时，，（增根，舍去）， 当时，，，符合条件， 当时，（不在范围内，舍去）， 当时，，，符合条件， ∴满足条件的整数a为， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为______． 【答案】和 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，利用换元法求解方程是解题的关键 令代入方程，整理得到，则和是方程的解，由此可求关于x的方程的解． 【详解】解：令， 方程可化为， 整理得， 方程的解为和， 和， 关于x的方程的解为和， 经检验，和是方程的解， 方程的解为和， 故答案为：和 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 4．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) ①(是正数）； ②购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润为元． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同列分式方程解答； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元，根据单个利润乘以数量求出函数解析式，由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得到，求出的取值范围； ②根据一次函数的性质解答 【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $