5.2分式的运算（分层作业）数学新教材北师大版八年级下册

5.2 分式的运算 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质及分式的减法运算，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式子，分式的值不变，据此可判断A；当时，，据此可判断B、D；根据分式的减法运算法则可判断C． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、当时，，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算并化简． 【详解】解： =； ∵， ∴原式． 故选：C． 4．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，需将分子与分母分别相乘后约分简化． 【详解】解：， 故选：A． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】确定最简公分母需取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，据此即可得到结果． 【详解】解：两个分式的分母分别为和． 各分母系数的最小公倍数为． 字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为． 因此最简公分母为． 8．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查分式的乘法运算． 通过分子相乘、分母相乘后约分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 且 且 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时，分式有意义是解题关键； 找出分式中的分母以及除数部分，然后当其不为0时，即可求解． 【详解】解：原式中作分母，作除数， ∴要使原分式有意义，故 ，，， ∴ ，，， ∴ 且 且 ， 故答案为： 且 且 ． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是：． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分母不变，分子相减，计算即可； （2）先通分，再进行减法运算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先将化为，并计算括号里的加法，再计算乘法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减运算，因式分解，通过因式分解找到分子和分母的公因式是解题关键． （1）同分母分式直接合并分子，对分子因式分解后约去公因式，化简得出最简结果； （2）先将异分母分式化为同分母，合并分子后进行因式分解，再约去公因式完成化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答的关键． 根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： = =， 把代入上式， 得：原式． 1．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解所求代数式，再代入x，y的表达式化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 4．（22-23八年级上·山东泰安·期中）若，则______． 【答案】4 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，求的值． 【答案】3 【分析】根据，得到，将进行化简，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 7．（25-26八年级上·山东临沂·期末）先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴，， ∴，， ∵从0，1，2，3中选取一个合适的数 ∴， ∴原式． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 【答案】(1) (2)①；②当时，；当时，； (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 2．（25-26八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出的值，然后把的值代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小颖的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 分式的运算 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算（    ） A． B． C． D．1 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 4．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）分式与的最简公分母是______． 8．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算________． 9．（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式和的最简公分母为____． 11．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）先化简，再求值：，其中． 1．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若，，则等于（　　） A． B．0 C．4 D． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山东泰安·期中）若，则______． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则___________． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知，求的值． 7．（25-26八年级上·山东临沂·期末）先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． (1)若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； (2)已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $