2025-2026学年 北师大版七年级下册期末几何大综合训练（全等三角形+平行线）

初一下几何大综合（全等三角形+平行线专练) 参考答案与试题解析 1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE交于点F,若BD=CD,CF平分 ZACB (1)求证：AD=FD; (2)求证：CF=2BE; (3)探究线段DE与BE+EF之间的数量关系，并说明理由. D E 【解答】(1)证明：：CF平分∠ACB. ·LACE=LBCE, :BD⊥AC,CE⊥AB, :∠BDC=∠ADB=90°=LAEC, ∠A+∠ACE=∠A+∠ABD=90°， :ZACE ZABD 又：BD=CD, ·.△ABD兰△FCD(AAS), :AD=FD: (2)证明：：CE⊥AB, LAEC=LBEC=90°， 又：∠ACE=∠BCE,CE=CE, .△AEC兰△BEC(ASA), :AE BE .AB =2BE △ABD兰△FCD, ·AB=FC, 第1页（共93页） CF =2BE (3)解：BE+EF=√2DE,理由如下： 如图，延长BA至H,使AH=EF,连接DH, :AE=BE,∠ADB=90°， .AE=BE =DE, :∠AEF=∠ADF=90°， :LEAD+LEFD=I80°， :∠DAE+∠DAH=180°， .∠EFD=∠DAH, 又：AH=EF,AD=DF, .△DAH兰△DFE(SAS), .DH=DE,∠EDF=∠ADH, ∠EDH=∠ADF=90°， .EH=√2DE, .BE +EF =2DE H D E F B 2.在四边形ABCD中，AB/CD. A F G B P C H B C M 图1 图2 (I)如图1，P为BC的中点，点B关于直线AP的对称点为E,射线PE交CD于点F,射线AE交CD于 第2页（共93页） 点G,交直线BC于点H,求证：PF=PH; (2)如图2，点N在BC延长线上，BC=CN,M为CN的中点，∠CDN=∠DCN,求证：BD=2DM. 【解答】(1)证明：如图1所示： D F G B P 图1 点B关于直线AP的对称点为E, :AB=AE,BP=EP, 在△ABP和△AEP中， AB=AE BP=EP, AP=AP ∴.△ABP兰△AEP(SSS), .∠B=∠1， AB //CD ∠B=∠C, ∠1=∠2， :∠PEH+∠1=180°，∠PCF+∠2=180°， :ZPCF ZPEH, 点P为BC的中点， :BP=CP 又：BP=EP, :CP=EP, 在△PCF和△PEH中， I∠PCF=∠PEH CP=EP ∠CPF=∠EPH △PCF兰△PEH(ASA), .PF=PH 第3页（共93页） (2)证明：延长DM到P,使MP=DM,连接CP,如图2所示： A 0 3 2 C、 M 、 图2 :DP MP+DM 2DM :∠CDN=∠DCN, .CN DN BC=CN BC =DN 点M为CN的中点， :CM NM 在△AMP和△NMD中， CM=NM ∠1=∠2， MP=DM .△AMP兰△NMD(SAS), ∠P=∠3，PC=DN, :PC IIDN ∠DCP+LCDN=180°， 又：∠DCB+∠DCN=180°，∠CDN=∠DCN, ·LDCB=LDCP, :BC=DN PC=DN :BC=PC, 在△DCB和△DCP中， 第4页（共93页） BC=PC ∠DCB=∠DCP, DC=DC ∴.△DCB=△DCP(SAS), :BD=DP, DP =2DM .BD =2DM 3.已知直线ABI/CD,点M、N分别在直线AB、CD上. A A M B A M B G C D D C N D E 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在直线AB、CD之间，求证：∠MEN=∠AME+∠CNE; (2)如图2，若E在直线CD下方，∠BME与LDNE的角平分线交于点F,判断LE与LF的数量关系并 证明： (3)如图3，若点E是直线AB上方一点，点G是直线AB、CD之间一点，连接EM、EN、GM、GN ,GM的延长线MF将∠AME分为两部分，∠AMF=3∠EMF,∠CNE=3LENG,且4∠E+3∠G=470°， 求∠AME的度数. 【解答】(1)证明：如图，过E作EF//AB, A MB E五 C D AB//CD, :AB //EF I/CD .∠AME=∠1，∠CNE=L2, .∠MEN=∠I+∠2=∠AME+∠CNE; (2)解：∠E=2∠F,证明如下 如图，过E作ELIICD,过F作FTI/AB, 第5页（共93页） A M B 2 D L-5.T五 :AB//CD, :AB //CD//EL //FT, :∠5=3+L4,LMEN+∠5=∠1+∠2，∠3=∠6，∠MFN+∠6=∠1， .∠MEN=∠1+∠2-∠5=∠1+∠2-（∠3+∠4），∠MFN=∠1-∠6=∠1-L3, :∠BME与∠DNE的角平分线交于点F, ∠1=∠2，∠3=∠4， :∠MEN=2∠1-2L3 =2(∠1-∠3) =2∠MFN, ∠E=2LF; (3)解：如图，记AB交EN于点H, E F A ⊙ H G C N D :∠AMF=3∠EMF,∠CNE=3∠ENG, 设LEMF=a,∠ENG=B, 则∠AMF=3a=∠BMG,∠CNE=3B,∠DNG=180°-4B, :∠AHE=∠E+LEMA=LE+4a, AB//CD, ∴.∠AHE=∠CNE=3B, 即∠E=3B-4a, 由(1)可知∠G=∠BMG+∠DNG=3a+180°-4B, :4LE+3∠G=470°， ∴.4(3β-4a)+3(3a+180°-4β)=470°， 第6页（共93页） 540°-7a=470°， a=10°， ∠AME=4a=40°. 4.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BD、CE (1)如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD=CE; (2)如图2，∠BAC=∠DAE=120°，BC=10,且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且 ∠BAM+∠CAE=60°，求△BDM的周长； (3)如图3，∠BAC=LDAE=I20°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF(点F在直线 BC下方)，连接CF,当LACF=LCBD时，求LEAF的度数. B H ⊙ 图1 图2 图3 【解答】(1)证明：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, :ZBAC-ZDAC ZDAE -ZDAC :ZBAD ZCAE .△ABD兰△ACE(SAS), :BD=CE (2)解：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, :LBAC-LBAE=LDAE-∠BAE,∠ABC=∠ACB=30°， :ZBAD ZCAE .△ABD兰△ACE(SAS), BD=CE,∠C=LABD=30°，LBAD=LCAE, :∠BAC=∠DAE=120°，∠BAM+∠CAE=60°， :∠BAM+LBAD=∠DAM=60°=∠EAM, AD=AE,AMAM, .△ADM兰△AEM(SAS), :DM EM 第7页（共93页） .△BDM的周长=BM+DM+BD=BM+EM+CE=BC=I0; (3)解：如图，延长DH到点I,使IH=DH,连接FD,FI,FE,CI, A B 由(2)知△ABD兰△ACE,∠ABC=∠ACB=30°， :ZABD ZACE,CE BD :点H为底边BC的中点，FH⊥DH, :BH=CH,FD=FI, :∠BHD=∠CHI, .△BHD兰△CHI(SAS), BD=CI,∠HBD=∠HCI, :∠ACF=∠CBD,∠ABD=∠ACE, :ZACF ZHCI,ZACF-ZACE ZCBD ZABD, 即∠ECF=∠CBA=30°， .:∠ACF-∠HCF=∠HCl-∠HCF, ∠ACB=LFCI=30°， :∠ECF=∠ICF=30°， :BD=CI,BD=CE, :CE =CI, CF=CF, .△CEF兰△CIF(SAS), :FI=FE=FD :AF=AF,AD=AE, ∴.△AFD兰△AFE(SSS), .ZEAF=ZDAF-DAE=x120=609 5.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分线交AB边于点D,边D作BC的平行线交AC 于点E,将△DEC沿DE折叠得到△DEF,DF交AC边于点G. 第8页（共93页） (1)求证：DE=EC; (2)当AB=BC时，试判断AE与CG的大小关系，并说明理由； 节肠-GE号eEC的长 (3)如图2，过点G作线段DE的垂线，垂足为H.若匹=2. F G D D E H B B 图1 图2 【解答】(1)证明：：CD平分∠ACB, :ZACD ZBCD,ZACB=2ZACD DE //BC, :ZEDC Z BCD ZAED ZACB, ·LACD=LEDC, :DE=EC; (2)解：AE与CG的大小关系是：AE=CG,理由如下： 在Rt△ABC中，∠ABC=90°， .当AB=BC时，△ABC是等腰直角三角形， :LA=LACB=45°， ::CD平分∠ACB, ∠ACD=∠BCD=5∠ACB=22.5 DE//BC, LEDC=LBCD=LACD=22.5°，∠AED=∠ACB=45°， :LA=LAED=45°，DE=EC, △ADE是等腰直角三角形， :DA=DE, 由折叠的性质得：∠FDE=∠EDC=22.5°， LCDG=∠FDE+∠EDC=45°， 第9页（共93页） :∠AGD是△GDC的外角， AGD=∠CDG+LACD=45°+22.5°=67.5°， 在△ADG中，∠ADG=180°-（∠A+∠AGD)=180°-(45°+67.5）=67.5°， ∠ADG=∠AGD=67.5°， :DA=AG, 又：DA=DE,DE=EC, AG EC, :AG EG=EC EG, 即AE=CG; (3)解：在HD上截取HM=HE,连接GM,如图所示： G D M H 图2 G6=9, ..HE2 .设HE=2a,HD=5a, :HM =HE =2a,DE HE+HD =7a, :DM =HD -HM 5a-2a=3a, :GH⊥DE, LGHM=LGHE=90°， 在△GHM和△GHE中， HM HE ∠GHM=∠GHE=90°， GH=GH .△GHM=△GHE(SAS), :GM=6E-号 ∠AED=LGME, 第10页（共3页） 由(1)可知：LACD=LBCD=LEDC,∠AED=LACB,LACB=2LACD, ·LAED=2LEDC,EC=DE, 由折叠的性质得：∠GDE=LEDC, ·LAED=2LGDE, :ZGME 22GDE :∠GME是△DMG的外角， :∠GME=∠GDE+∠MGD=2∠GDE, LMGD=∠GDE, 9 ∴.DM=GM=2, 2 9 :3a=2' 解得：0=3 , 21 :DE =7a= EC=DE-21 6.在△ABC中，∠ABC=90° (1)当∠BAC=30°时， ①如图1，作边AB的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,若BC=3,求AC的长； ②如图2，AF为△ABC的角平分线，在边AB上取一点G,使得GF=CF,求LCFG的度数； (2)如图3，作BH⊥AC于点H,AM平分∠HAB,交BH于点M,点N在边AB上，连接CM,MN ,若AN=MN,2LCAB+LBCM=90°，试探究CH+CM与AH的数量关系并说明理由. C H D F M E B G B N B 图1 图2 图3 【解答】解：(1)①如图1， 第11页（共3页） C D B 图1 连接BC, :DE是AB的垂直平分线， :AD BD, :∠ABD=∠BAC=30°， .∠BDC=∠BAC+∠ABD=60°， :∠ABC=90°， ∠C=90°-∠BAC=60°， .△BCD是等边三角形， :CD BD BC=3, AD=3, :AC=AD+CD=6; ②如图2， F G B E 图2 延长AB至E,使AE=AC,连接EF, :AE是△ABC的平分线， ∠FAC=∠FSB, :AF=AF, .△ACF兰△AEF(SAS), .∠E=∠C=60°，EF=CF, GF=CF, :FG=EF, 第12页（共3页） .△EFG是等边三角形， ∠EFG=60°，EF平分∠EFG, ·LBFG=30°， ∠CFG=180°-∠BFG=150°； (2)如图3， C H B 图3 CH+CM=AH,理由如下： 在AH上截取HP=CH, :∠ABC=90°， LCAB+∠ACB=90°， :2LCAB+LBCM=90°， :∠CAB+∠BCM=∠ACB, :ZCAB+Z BCM ZACM +ZBCM ∠CAB=LACM, :AM平分∠HAB, :ZBAC 2ZCAM .∠ACM=2∠CAM, :BH⊥AC, :PM =CM, ·∠ACM=LCPM, :∠CPM=2LCAM, :∠CAM+LAMP=2∠CAM, .∠CAM=∠AMP, :AP PM :CH+CM =PH AP=AH 第13页（共3页） 7.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB,点D为射线BA上一点，连接CD, 【初步感知】 (I)如图1，当点D在线段BA上时，作点B关于直线CD的对称点B,连接CB',B'A,延长B'A,CD 交于点H.填空：若BC=BD,则LHCB'=_67.5°一；LCHB'=一· 【深入探究】 (2)如图2，当点D在线段BA上时，在AC上方作LCEA=90°，延长EA,CD交于点H,连接BH, 若AH+2AE=BH,求证：AH⊥BH. 【拓展延伸】 (3)点D为射线BA上一点，作点B关于直线CD的对称点B,直线B'A交直线CD于点H,连接BH, 若BH=3AH,点C到直线AH的距离为4.求由顶点B,C,A,H围成四边形的面积. B D H 图1 图2 备用图 【解答】(1)解：：∠BCA=90°，CA=CB, ∠B=45°， BC=BD LBDC=LBCD=67.5°， 由对称的性质可知，∠HCB'=HCB=67.5°，BC=B'C, ∠BCB'=2∠BCD=135°，CA=CB', .∠ACB'=∠BCB'-∠BCA=45°， LCB'A=LCAB'=67.5°， :CHB'=180°-LHCB'-∠HB'C=45°； 故答案为：67.5°，45°： (2)证明：延长AE到F,使得AE=EF,连接CF,如图： B 第14页（共3页） :∠AEC=90°， ∠CEF=90°， 在△ACE和△FEC中， CE=CE ∠AEC=∠FEC, AE=FE .△ACE兰△FCE(SAS), AC=CF,∠ACE=LFCE, AC=CB, :CF=CB FH AH +AE+EF AH +2AE, :FG=BH, 在△CBH和△CFH中， CH=CH BC=FC, BH=FH ∴.△CBH≡△CFH(SSS), .∠BCH=∠FCH,∠BHC=∠FHC, :∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°+2LACE,∠F=90°-∠ACE, ∠FCH=∠BCF=45°+∠ACE, 2 :∠FHC=180°-∠FCH-∠F=180°-45-∠ACE-90°+∠ACE=45°， ∠BHE=2∠FHC=90°， BH⊥AH; (3)解：过C作CM⊥AH, CM=4, ①当D在线段AB上时，如图： B M B D 第15页（共3页） 由对称的性质可知，△BCH兰△B'CH, :BC=B'C AC,BH=B'H, ·LCAM=LCB'M, :∠CMA=∠CMB'=90°，CM=CM, ∴.△ACM=△B'CM(AAS), .AM =B'M BH =3AH :AB'=2AH AH AM B'M 由(2)可知，∠CHM=45°， .CM =HM =4, .AH =AM =B'M =2, 1 5a边cn=S.0m+S.4cm=S.0m+5a=2×3×2x4+2×2×4=16: ②当D在BA延长线上时，如图： B C H A D 同理可得，BH=BH,AM=B'M,△CMH为等腰直角三角形， .AB'=4AH,MH=4, .AM =B'M =2AH, .AH =MH=4, .Sngmncm =S,ncn +S acm =S.wen+S.icn=x12x4+12x4=48 综上所述，顶点B,C,A,H围成四边形的面积为16或48. 8.【数学理解】 (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.如图1，△ABC中AC=6,BC=9, AB=10,P为AC上一点，当AP=3时，△ABP与△CBP是偏等积三角形； 【数学应用】 第16页（共3页） (2)如图2，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=2,AC=6,且线段AD的长度为正整数，求AD 的长度： 【联系拓广】 (3)如图3，四边形ABED是一片绿色花园，CA=CB,CD=CE, ∠ACB=∠DCE=90(0°<∠BCE<90).△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由. A D B D E 图1 图2 图3 【解答】解：(1)如图1，连接BP, C D B 图1 △ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等， :当AP=CP=AC=x6=3时，△ABP与△CBP面积相等， 2 2 :BC=9,AB=10, BC≠AB, :AP=CP,BP=BP,BC≠AB, ∴△ABP与△CBP不全等， .此时△ABP与△CBP是偏等积三角形， 故答案为：3； (2)如图2，.△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、DC边上的高相等， A D、 图2 E :BD=CD, 第17页（共3页） 过C作CE/IAB交AD的延长线于E, ∠E=∠BAD, 在△ECD和△ABD中， ∠E=∠BAD ∠EDC=∠ADB, CD=BD .△ECD兰△ABD(AAS), :ED=AD,EC=AB=2, :AC-EC<AE AC EC,AC=6,AE=2AD, :6-2<2AD<6+2, 2<AD<4, 线段AD的长度为正整数， AD=3, 故答案为：3； (3)△ACD与△BCE是偏等积三角形， 理由：如图3，：∠ACB=∠DCE=90° :∠ACD+∠BCE=180°， :0°<∠BCE<90°， ∠ACD>90°， D G B 图3 :LACD≠LBCE, :CA=CB,CD=CE, .△ACD与△BCE不全等， 作BF⊥CE于点F,AG⊥DC交DC的延长线于点G,则∠G=∠BFC=90°， :∠ECG=180°-∠DCE=90°， :∠ACG=ACB-∠BCG=90°-∠BCG, 第18页（共3页） LBCF=LECG-LBCG=90°-∠BCG, :ZACG ZBCF 在△ACG和△BCF中， 「∠G=LBFC ∠ACG=∠BCF, CA=BF .△ACG≈△BCF(AAS), :AG BF, CD.4G-CE.B即 .△ACD与△BCE面积相等， ∴.△ACD与△BCE是偏等积三角形 9.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=120°. ② 0 E D B 图1 图2 (1)如图1，在边AB上取两点D,E(点D在点E的左侧)，连接CD,CE·当△CDE是等边三角形 时，求证：AD=BE; (2)在(1)的条件下，在线段BE上取一点D'（点D'不与B,E重合)，在直线CD'的右侧作等边△ CD'E',连接BE'.若AD'=nBD'，S4Bc=10. )如图2，当n=5时，求四边形CEBE'的面积； )请用含n的代数式直接表示出ScE和SE，不必写解答过程. 【解答】(1)证明：：CA=CB, ∠A=∠B, △CDE是等边三角形， .∠CDE=∠CED=60°， :180°-LCDE=180°-∠CED,即∠CDA=∠CEB, .△CAD=△CBE(AAS), 第19页（共3页） :AD=BE (2)解：i):∠ACB=120°， :LA+LABC=180°-∠ACB=60°， CA=CB, LA=LABC=30°， :LACD=∠CDE-∠A=60°-30°=30°， ∠BCE=∠CED-∠ABC=60°-30°=30°， LA=LACD,∠CBE=∠BCE, :AD=CD,CE=BE, :△CDE是等边三角形， :CD=DE CE .AD DE BE =AB, 3 AD'=5BD, A0=24B, 6 AB= DD'=AD-AD-54B-14 6 1 ∴.S.cDp= 25Bc=7×10=5, 连接EE', D E D △CD'E'是等边三角形， CD'=CE',∠D'CE'=60°， 在等边△CDE中，∠DCE=60°， :Z DCE ZECD'=ZD'CE ZECD', 即∠DCD'=∠ECE', CD=CE .△DCD'兰△ECE'(SAS), 第20页（共3页） ScE=ScD=5,LCEE'=LCDD'=60°， :∠CEB=180°-∠CED=120°， :∠E'EB=LCEB-LCEE'=60°， :ZCEE'=ZBEE' :CE BE EE'EE', .△CEE's△BEE'(SAS), S.BEE=SCEE=5 S阳边形cEBE'=SBEE'+ScEE'=5+5=10; ii i).AD'=nBD', 40448, AD=DE BE=-AB', 3 :.DD'=AD'-AD=4B-148=20-14B, n+1 3 3(n+1) 2n-LS.4Bc230n+0 :.S.cpp=30m+1) c=2n=1×10=20n=10 3(n+1) 由i)可知△DCD'≈△ECE'兰△EBE', 20n-10 SECE=S.EBE=SDCD 3(n+1) 40n-20 .S四边形CEBE=SBEE+SCEE= 3(n+1 10 40n-2010_10n-10 S,BCE=S月边形cEBE-S,BCE= 3n+13n+1 BE=1AB,AD'=nBD', 3 即BD= -AB, n+1 :.BD=3BE, n+1 SDE三川中i3 320n-1020n-10 n+13(n+1）n2+2n+1 10.如图1，己知直线PQ/1MW,点A在直线PQ上，点B,C在直线MN上，连接AB,AC, 第21页（共3页） LPAB=50°，∠ACB=30°，AD平分∠PAC,BD平分∠ABC,AD与BD相交于点D. (1)求∠ADB的度数； (2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到AC,如图2，此时AD平分∠AAC,BD平分∠ABC, AD与BD相交于点D,LPAB=50°，∠AC,B=30°，求∠ADB的度数： (3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到AC,如图3，其他条件与(2)相同，求此时∠ADB的度 数. AA D B C -N B C 图1 图2 图3 【解答】解：(1)如图1所示： ,直线PQ/MN,∠ADC=30°， .∠ADC=∠QAD=30°， ∠PAD=150°， :∠PAC=50°，AD平分∠PAD, .∠PAE=75°， LCAE=25°， 可得∠PAC=∠ACN=50°， :CE平分∠ACD, ∠ECA=25°， ∠AEC=180°-25°-25°=130°； (2)如图2所示： ·∠AD,C=30°，线段AD沿MN向右平移到AD,PQ/IMN, ∠QA,D,=30°， 第22页（共3页） .∠PAD1=150°， AE平分∠AAD, ∠PAE=∠EA,D,=75°， :∠PAC=50°，PQ/MN, .∠CAQ=130°，LACN=50°， :CE平分∠ACD, ∠ACE=25°， .∠CEA=360°-25°-130°-75°=130°； (3)如图3所示， 过点D作ED/IPQ, :∠A,C,B=30°，线段AC沿MN向左平移到AC,PQ/1MN, .∠0A,C1=30°. AD平分∠AA,C1, ∠QAD=∠ADE=15°. :∠PAB=50°，PQ/MN, .∠ABN=50°. :BD平分∠ABC,EDIIMN, LABD=∠DBN=∠EDB=25°. .∠BDA=∠EDB+∠A,DE=25°+15°=40°. Q E不>D MB C N 图3 第23页（共3页） E M C 图2 Q E D M C N 图1 I1.如图，△ABC与△AED为等腰三角形，AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠BAC,D为线段BC上一 个动点，AB与DE相交于点G. (1)如图1，求证：BA平分∠CBE: (2)如图2，作CF/1AB,交ED延长线于F,求证：DF=EG; (3)如图3，若AE⊥AC,且∠BAD=2LBDE,BD=3,求△BDE的面积. G G G B D B D ⊙ 图1 图2 图3 【解答】(I)证明：由条件可知∠EAB=∠EAD-∠BAD=LBAC-∠BAD=∠DAC, 在△EAB和△DAC中， AE=AD ∠EAB=∠DAC, AB=AC .△EAB兰△DAC(SAS), .∠ABE=∠ACD,EB=DC, AB=AC, :ZABC ZACB, .∠ABE=∠ABC, .BA平分∠CBE. (2)证明：作EK //BC,交AB于点K,则∠EKB=∠ABC,∠KEG=LCDF, 第24页（共3页） 由条件可知∠EKB=∠ABE, EK EB D C :CF //AB, LDCF=LABC=∠EKG, 在△EKG和△DCF中， [∠KEG=∠CDF EK=DC ∠EKG=∠DCF .△EKG≈△DCF(ASA), DF=EG A E---- K G B D C ◇ (3)解：由条件可知LABC=LACB,∠AED=∠ADE, 2LC+∠BAC=180°，2∠ADE+∠DAE=180°， :∠EAD=∠BAC, ∠C=LADE, 又：∠ADE+∠BDE=LADB=∠CAD+∠C, :ZBDE ZCAD, 设LBDE=a,则LEAB=∠CAD=a, :∠BAD=2∠BDE, .∠BAD=2a, :AE⊥AC, ·LEAC=90°， .a+2a+4=90°， a=22.5°， :ZABE ZACD ZAED ZEGB=ZAGD ∠BED=180°-∠EBG-∠BGE=180°-LADG-∠AGD=∠DAG=2Q, 第25页（共3页） .∠DEB=22.5°×2=45°， 延长DB,作EP⊥DB交DB延长线于点P,在EP延长线上截取PS=PE,连接DS,交EB延长线于点 H, A E G B、 H 由条件可知∠DPE=∠DPS=90°， 在△DPE和△DPS中， PE=PS ∠DPE=∠DPS, PD=PD .△DPE￥△DPS(SAS), ∠PDS=LPDE, ∠EDS=2LPDE=45°， .∠EDH=∠DEH,∠EHD=90°， EH=DH,LSEH=90°-LEBP=90°-LDBH=∠BDH,∠EHS=90°， 在△EHS和△DHB中， ∠SEH=∠BDH EH=DH ∠EHS=∠DHB :ES DB, PS=PE BD =3, 2EP=3, ·p=3 ’ 319 S.e=3x224' 9 答：SBDE=4 第26页（共3页） 12.(1)问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC,若另有一个以AD、AE为腰的等腰 △AED且∠BAC=LEAD,求证：△ABE兰△ACD· (2)尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC,BD⊥CD,过点A的直线分别交DB 的延长线和CD的延长线于点N、M,BD与AC交于K,若∠M=60°，∠BAC=90°，求证： MC+NB =2AM. (3)问题拓展：如图3，△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，∠BDA=∠BEA=60°， AE,BD交于点H,等边△ABF的边AF与BC相交于G点.若CE=6,AH=4,请直接写出BE的长 度 M B G N B 图1 图2 图3 【解答】(I)证明：，△AED是以AD、AE为腰的等腰三角形， :AE=AD, ZBACZBAC ·∠BAE=LCAD, 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE=AD ∴.△ABE兰△ACD(SAS); (2)证明：延长MC至G,使CG=BN,连接AG,如图2， :∠BAK=90°=∠CDK,∠AKB=∠DKC, ∠ABK=∠DCK, :ZABN ZACG, 在△ABN和△ACG中， (AB=AC ∠ABN=∠ACG, BN=CG 第27页（共3页） △ABN兰△ACG(SAS), M A N C B G 图2 .∠BAN=∠CAG, :∠CAG+∠BAG=90°， LBAN+∠BAG=90°， .∠NAG=90°， :∠MAG=90°， :∠M=60°， ∠G=90°-60°=30°， :MG 2AM MG MC+CG=MC+NB, :M C N B 2AM (3)解：BE的长度为16，理由如下： 如图3，过A作AM⊥BC于M,连接EF. :△ABF为等边三角形， .BF=AF=AB=AC,∠AFB=∠ABF=60°=∠BDA=∠BEA, :∠AHD=∠BHE, :ZDBE Z CAE :∠AGE=∠BGF, ∠4=∠1， :∠AEB=60°=LC+L2,LABF=60°=LABC+L4, LC+LCAE=LABC+∠FBE, AB=AC, :ZC ZABC 第28页（共3页） ∠2=∠4， ∠1=∠2=L3=∠4， 在△ACE和△AFE中， (AC=AF ∠2=∠1， AE=AE .△ACE兰△AFE(SAS), CE=EF=6,∠AEC=LAEF, :∠AEB=60°， D 3 B 图3 LAEC=∠AEF=120°， :∠BEF=LAEF-LAEB=60°=LAEB, ∠3=∠4，BE=BE, .△BEH兰△BEF(ASA), :EH EF =6, AE=AH+EH=4+6=10, :AM⊥BC,∠AEM=60°， .∠MAE=30°， EM=方AB=5, :CM=EM+CE=6+5=11, :AB=AC,AM⊥BC, :BM =CM =11, .BE=BM+EM=11+5=16. 13.如图，己知ABI1CD,E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF· 第29页（共3页） E -B A E G A B E D 图1 图2 图3 (1)当∠BEG=40°，EP平分∠BEG,FP平分∠DFG时： ①如图1，若EG⊥FG,则∠DFG的度数为_50°一，则∠P的度数为； ②如图2，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+∠G的度数； (2)如图3，在AB的上方有一点O,若F0平分∠GFC,线段GE的延长线平分L0EA,则当 ∠E0F+∠EGF=100°时，请直接写出∠0EA与∠OFC的数量关系 【解答】解：(1)①如图，分别过点G、P作GN11AB,PM11AB, A E B M---- N-----G -D F 图1 ∠BEG=LEGN=40°， :AB//CD, :NG//CD ∠NGF=∠GFD, :.ZEGF ZBEG ZGFD, 同理可得：∠EPF=∠BEP+∠PFD, :EG⊥FG, ·∠EGF=90°， ∠NGF=90°-40°=50°=∠GFD, 由条件可知∠BEP=∠BEG,∠PFD=∠GFD, ∠EPF=∠BEG+∠GFD)=5∠EGF=4S 故答案为：50°，45°； 第30页（共3页） ②如图，过点Q作QR/CD, A B P C D Q---R 图2 由条件可知∠GEQ=∠BEG=40°，∠GFD=∠QFD, 设∠GFD=∠QFD=a, .OR//CD,AB//CD .AB//CD//OR, .∠EQR=180°-∠QEB=180°-2∠QEG=100°， 由条件可知∠DFQ+∠FQR=180°， .a+∠FQR=180°， .a+∠FQE=80°， .∠FQE=80°-a, 由(1)可知LG=LBEG+∠GFD=40°+a, .∠FQE+∠G=80°-a+40°+a=120°. (2)如图，在AB的上方有一点O,F0平分∠GFC,线段GE的延长线平分∠OEA, H G 图3 设H为线段GE的延长线上一点，则LOFC=∠OFG,∠0EH=∠HEA, 设∠OFC=∠OFG=B,L0EH=∠HEA=a, 如图，过点O作0T//AB,则0T11CD, .∠TOF=∠OFC=B,LT0E=∠OEA=L0EH+LAEH=2a, ∴.∠EOF=∠TOF-∠TOE=B-2a, 第31页（共3页） 由(1)可知：∠G=∠BEG+∠GFD=a+180°-2B, 由条件可知B-2a+a+180°-2B=100°，即a+B=80°， .2a+2B=160°， :L0EA=2a，∠OFC=B, ∠0EA+2∠0FC=160°. 14.在等边三角形ABC中，D为射线BC上一点，连接AD,点B关于AD的对称点为点E,连接AE, DE,CE. (1)如图1；点D在线段BC上，且∠BAD=45°，求∠DCE的度数； (2)直线AD与直线EC交于点F,过D作DGIIAC交直线BA于点G,直线GE交直线AD于点H. ①如图2，点D在线段BC上，求证：△AGH兰△CDF; ②点D在线段BC的延长线上，试猜想线段AH,FH,CE之间的数量关系，并证明. G H E B B B 图1 图2 备用图 【解答】(1)解：点B关于直线AD的对称点为E, AB=AE,∠BAD=LDAE=45°， :∠BAE=90°， △ABC是等边三角形， AB=AC,∠BAC=LACB=60° :AE=AC,ZEAC=30 ∠4CE=∠ABC-180°-∠C1E=75°， 2 :LDCE=LACE+LACB=75°+60°=135°； (2)①证明：，△ABC是等边三角形， ·AB=AC=BC,LBAC=∠ACB=∠B=60°， :DG//AC, ∠BGD=∠BAC=60°，∠BDG=∠BCA=60°， 第32页（共3页） ∠B=∠BGD=∠BDG=60°， .△BDG是等边三角形， .BG BD AG=CD, 点B关于直线AD的对称点为E, LBAD=LEAD,∠ADE=∠ADB,AB=AE, 设∠BAD=∠DAE=a, ,△ABC是等边三角形， AC=AB,LACB=∠BAC=60°， ∠EAC=60°-2a,AE=AC, ∠ACE=∠ABC=180°-∠CAE-180°-(60°-2）=60°+a, 2 2 .∠DCF=∠ACE-∠ACB=(60°+a)-60°=a, :LDCF=∠BAD, :∠ADE=∠ADB=180°-∠B-∠BAD=120°-a, ∠F=∠B=60°， :∠ADG=∠ADB-∠BDG=120°-a-60°=60°-a, :∠GDE=∠ADG+∠ADE=60°-a+120°-a=180°-2a, :DG=BD DE, ∠DGE=∠DEG=180°-∠GDE=&, 2 .∠AHG=∠DGE+∠ADG=60°， :ZAHG ZF .△AGH兰△CDF(ASA); ②解：如图，CE=HF+AH, 公 H D 第33页（共3页） 证明：由上知：∠BDG=∠DBG=60°， :BD=BG .AB BC, AG=CD 设LEAD=LBAD=a,则LEAC=LEAD+LBAD+LBAC=2a-60°， AE=AB=AC, ∠AEC=∠ACE=120°-a, LDCE=180°-LACB-∠ACE=a, LBAD=∠DCE, :∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=60°-Q, ∠ADE=∠ADB=60°-a, :∠EDB=∠ADB+∠ADE=120°-2a, :∠EDG=∠EDB-∠BDG=2a-60°， ED=BD DG, ∠DGE=LDEG=60°+a, :∠AGH=180°-∠DGB-∠DGE=60°-a, .∠AGH=∠ADB, .△AGH兰△CDF(ASA); AH =CF, 在△AFC中，∠AFC=120°， ∠EFH=60°， LEHF=∠DEG-∠EDH=60°， LEFH=LEHF=LHEF=60°， .HF=EF, :CE EF CF=HF+AH 15.己知正方形ABCD的边长是6，点E是AB边上一动点，点F是BC边上一动点. 第34页（共3页） 0 C B A E B A E 图1 图2 图3 (1)如图1，若AE=CF,连接DE,DF,已知∠EDF=58°，求∠ADE的度数： (2)如图2，若AE=BF,连接AF,DE,探究AF和DE的数量关系和位置关系，并写出理由； (3)如图3，若AE=BF,连接DE,DF,在图中画出当DE+DF最小时，点F的位置，并求出此时 BF的长度 【解答】解：(1)四边形ABCD是正方形， :∠ADC=∠A=∠C=90°，AD=DC, AE=CF, ,△ADE兰△CDF(SAS), ·LADE=LCDF, :∠EDF=58°， ∠4DE=×90-589=16, (2)线段AF与DE的数量关系是DE=AF、位置关系是AF⊥DE,理由如下： 在正方形ABCD中，AD=AB,∠DAE=∠B=90°， AE BF .△DAE兰△ABF(SAS), DE=AF,∠ADE=∠BAF, :∠DAF+∠BAF=90°， LDAF+LADE=90°， ∠AGD=90°， AF⊥DE; (3)四边形ABCD是正方形，如图1，连接AF, 第35页（共3页） D C E B 图3 AB=AD,∠ABF=∠DAE=90°， 在△ABF和△DAE中， AB=AD ∠ABF=∠DAE, BF=AE .△ABF兰△DAE(SAS), :AF DE, :DE+DF的最小值等于AF+DF的最小值， 如图2，作点A关于BC的对称点H,连接DH,则A,B,H三点共线，连接DH,DH与BC的交点 即为所求的点F, D A B H 根据对称性可知AF=HF,HB=AB=6, :DC=BH, ZC=Z FBH ZDFC ZBFH ∴.△DCF兰△HBF(AAS), :CF=BF =3, F为BC的中点. 16.如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D,F为线段AD上一动点（不与端点重合），连接 第36页（共93页） BF,CF,以BF为边作等边△BEF,连接AE. E E M F B D B D D 图1 图2 图3 (1)求证：△BAE兰△BCF; (2)如图2，连接CE交AB于点M,连接DM,EF与DM所在直线交于点N.求证：点N为EF中点； (3)如图3，连接MF,将△DMF沿DM所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DMG,连接EG.若 AB=7,求EG的值. 【解答】(1)证明：：△ABC和△BEF是等边三角形， :AB=BC,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60°， ∠CBF=∠ABE, .△ABE兰△BCF(SAS); (2)证明：如图，过点F作FH/EM,交DN的延长线与H, M D 图2 △ABE兰△BCF, :AE CF 等边△ABC中，AD⊥BC, AD垂直平分BC,∠ADB=90°， :BF=CF,BD=CD=IBC, 2 :AE =CF BF BE .点E在AB的中垂线上， AC=BC, ∴.点C在AB的中垂线上， 第37页（共3页） :CE垂直平分AB, :BM AM=14B, Γ2 .BM BD 又：LCBF=LABE,BE=BF, .△BEM兰△BFD(SAS), :EM FD :BM=BD,∠ABC=60°， .△BMD是等边三角形， :∠BMD=∠BDM=60°， ∠EMN=30°=∠ADM, FH //EM ∠H=∠EMN=30°， LH=∠ADM, .FH FD, :FH =EM 又：∠HNF=∠MNE, .△FNH兰△ENM(AAS), :EN FN 点N为EF中点； (3)解：：AB=7,BM=AM,AD⊥BC, 7 .DM BM AM= :将△DMF沿DM所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DMG, ∠ADM=∠GDM=30°，DF=DG, EM =DG :∠EMD=∠EMB+∠BMD=150°， :∠EMG+∠DGM=180°， .EM //DG :LEMG=∠MGD, 又：MG=MG, 第38页（共93页） .△EMG=△DGM(SAS), EG=MD= 17.在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E, H 图1 图2 备用图 (1)如图1，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F,求证：△ABE三△CAF; (2)在射线EB上取点G,使EG=AE,连接AG,CG,CG与AD交于点H. ①如图2，若∠AGC=90°，AE=4,求线段BG的长； ②者阳号二的值 BG 【解答】(1)证明：等腰直角△ABC中，∠BAC=90°， :AB AC, CF⊥AD,BE⊥AD, ∠BAC=LF=LAEB=90°， :ZABE ZCAF, .△ABE兰△CAF(AAS); (2)解：①过点C作射线AD的垂线，垂足为点F,由(I)可得△ABE兰△CAF, :AE CF,BE=AF, EG=AE, :EG=AE=CF,∠BEF=LF=90°，LEHG=LFHC, ∴.△EHG兰△FHC(AAS), :EH =FH :EG=AE,BE⊥AD, :∠AGE=45°， 第39页（共3页） LEGH=45°， EH=EG, :EH=FH=EG CF=AE =CF :BE =3AE,BG=2AE, :AE=4, BG=8; ②根据BG-3 AH 5 BG=3x,AH=5x,EG=AE=CF=a, 当点E在△ABC的内部时，如图，过点C作CF⊥AD于F, B D C :BE AF =3x+a,EH AH AE 5x-a, :FH AF-AH a-2x, :EH =FH .5x-a=a-2x, 7 解得：a=2x, 7 EG a 2 x 1 8G3x=3x=6 当点E在△ABC的外部时，如图，过点C作CF⊥AD于F, BG=3x,AH=5x,EG=AE =CF=a, BE AF a-3x,EH AE AH a-5x,:.FH =AH AF =8x-a,EH FH, a-5x=8x-a, 13 ∴.a= x, 2 第40页（共3页） 13 EG a =213 3x 6 综上所述， EG 的值为7或3 BG 66 18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为BC边上一动点（点D不与B,C重合），过B作 BE⊥AD于点E,交AC的延长线于点F,连接CE· (1)求证：△ACD=△BCF; (2)试探究∠CEF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若D为BC边的中点，CF=3,求△ACE的面积. B B 备用图 【解答】(1)证明：：∠ACB=90°，BE⊥AD, LACB=LBCF=LBED=90°， :∠CAD=LCBF, 在△ACD和△BCF中， I∠CAD=∠CBF AC=BC ∠ACD=∠BCF .△ACD兰△BCF(ASA); (2)方法一：过点C作CG⊥CE交AE于点G, B E D .∠ECG=∠BCA=90°， :ZBCE ZACG ,△ACD兰△BCF, 第41页（共3页） :ZCBE ZCAG BC=AC, .△BCE兰△ACG(ASA), :CE =CG .LCGE=45°， ·LCEF=LBCE+LCBE=LACG+∠CAG=∠CGE=45°； 方法二：过点C作CH⊥AE于点H,过点C作CG⊥BF于点G, ⊙ H G 由(1)得：△BCE兰△ACG, :CG=CH, CE是LAEF的角平分线， ∠CEF=45°： (3)方法一：过点C作CH⊥AE于点H,过点C作CG⊥BF于点G, B E G :LBED=LCHD=∠CGF=90°， △ACD兰△BCF, :CF=CD=3, :D是BC中点， :BD =CD=CF BC=AC=6, :∠BDE=LCDH, .△BDE兰△CDH(AAS), .DE =DH, 第42页（共3页） :∠F=∠BDE,CF=BD,∠BED=∠CGF, .△BDE兰△CFG(AAS), 1 S.CDE =S.CDH =S.BDE =S.BCF 5 1 SBCr=5×3×6=9, 2 9 :.S.CDE=5' :△ACE的面积=9+亏了： .954 方法二：设SBD=S.cDE=x，则ScEr=9-2x, S=FC-3-1, S.cE-CA6 9-2x_1 9+x2 9 x=5 .954 ∴.△ACE的面积=9+ 55 19.己知点A是线段BD上的一点，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，将线段AD绕点D顺时针旋 转90°得线段DE,连接CE,F为CE的中点，连接DF,BF. G C E B A D B 图1 图2 (1)如图1，延长BC、DF交于点G. ①求证：LG=LEDF; ②判断线段DF与BF之间的关系，并证明. (2)将△ABC绕点B逆时针旋转到图2的位置时，判断线段DF与BF之间的关系，并说明理由. 【解答】(1)①证明：，线段AD绕点D顺时针旋转90°得线段DE, ∠ADE=90°， :∠ABC+LADE=180°， :BG//DE, 第43页（共3页） ·LG=LEDF; ②解：DF⊥BF,DF=BF,理由如下： :F为CE的中点， :CF EF 由①知：∠G=∠EDF, :∠GFC=∠EFD, .△FCG兰△FED(AAS), :GF=DF,CG=ED, 由旋转可知：AD=ED, ..CG=AD, :△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°， BC=AB :CG+BC AD AB, .BG BD :DF⊥BF,BF=DG=DF: (2)解：DF⊥BF,DF=BF,理由如下： 、F E 图2 如图2，将BD绕点B逆时针旋转90°到BH,交CE于点N,过点D作DM⊥BD交CE于点M,连接 CH,FH, :∠CBH+∠ABH=∠ABD+∠ABH=90°， LCBH=∠ABD, BC=AB BH =BD .△BHC=△BDA(SAS), :CH=AD,∠BHC=LBDA, 第44页（共3页） AD=ED, CH=ED, :BH⊥BD,MD⊥BD, :BH //MD :Z BN E Z D M E, :∠BNE=∠CNH, .∠CNH=∠DME :LADM+∠MDE=∠BDA+∠ADM=90°， ∠MDE=∠BDA, ∠NHC=∠MDE, ∴.△NHC兰△MDE(AAS), ·LHCN=LE, :CH DE ∠CHF=∠EDF, :CH=ED, .△FHC兰△FDE(ASA), .∠CFH=∠DFE,FH=DF, H,F,D三点共线， BD=BH,∠DBH=90°， △BDH是等腰直角三角形， LBFD=∠BFH=90°， :LBDH=∠DBF=45°， DF⊥BF,DF=BF. 20.如图，直线l/IL2,点A,B在L上，点C,D在L,上，连接AD,BC,AC,点M在BA的延长线 上，连接CM,CM与AD交于点N.已知LBMC=LBCA· (1)求证：LBCA=LDCN; (2)若∠ANM=∠BAC,请判断AD,BC的位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接BN,E为CD上一点，连BE与NC,AC分别交于点P,Q,且 LEBN=LABN·若∠ABN的度数为a,∠NCD的度数为B,∠EBC:∠NPE=2:6,请求出∠AQE的度 第45页（共3页） 数（结果用a,B表示）. M N D E Q ⊙ C 【解答】(1)证明：411儿2， :∠BMC=∠DCN, 又：∠BMC=LBCA, ·LBCA=LDCN; (2)解：AD/1BC,理由如下： :∠BAC=LBMC+LACM, 又：∠BMC=LBCA, :ZBAC ZBCA+ZACM Z BCM :∠ANM=∠BAC, :∠ANM=∠BCM, :AD//BC (3)解：：∠NCD的度数为B, ∴.∠BCA=∠DCN=B=∠BMC, .∠AQE=∠BQC=180°-∠EBC-∠BCA=180°-∠EBC-B, :∠EBC:∠NPE=2:6, .∠EBC=∠NPE, 3 :∠NPE=∠BMC+∠MBP=B+∠MBP, ∠MBP=∠ABN+∠EBN, 又：LEBN=LABN,∠ABN的度数为a, ·∠MBP=a+a=2a, ∴.∠NPE=B+∠MBP=B+2a, BC(B20). 第46页（共3页） ∠40E=180-0+2a)-A=180-a-B. 21.如图1，在四边形ABCD中，BC=CD,连接AC,BD交于点O,G为0B上一点，连接CG,有 CG=CO. (1)求证：D0=BG; (2)若∠A0D=60°，∠ACB+∠ADB=180°，求线段A0,C0,D0之间的等量关系式： (3)如图2，在(2)的条件下，在CD上取一点E,在BC上取一点F,使CF=CE,且 ∠CBE+∠CAD=∠BAC,在BD上点取一点M,连接BE,FM,且∠BFM=∠DAB,试判断FM,BD 的位置关系，并说明理由， C D M B B 图1 图2 【解答】(1)证明：过C作CH⊥BD于点H, D H B CB=CD,CO=CG, :DH=BH,OH=GH, :DH-0H =BH-GH DO=BG (2)解：A0=D0+C0,证明如下， 方法一：在OA上取一点M，连接DM,使DM=D0, D M B :∠A0D=60°，DM=D0, △D0M为等边三角形， .DM=D0=0M, :C0=CG,∠C0G=LA0D=60°， 第47页（共3页） :AC0G为等边三角形， :∠0CG=60°， :LDA0+∠A0D+∠ADB=180°，且∠ACB+∠ADB=180°， :LDAO+LAOD=∠ACB=∠OCG+∠BCG, :∠A0D=∠0CG=60°， ·LDA0=LBCG, 由(1)中方法可得，∠DCH=∠BCH,∠OCH=∠GCH, :ZDCH -Z0CH ZBCH -ZGCH 即∠DC0=∠BCG, LDC0=∠DA0, :∠DMA=∠D0C=120°， .△DAM兰△DCO(AAS), :AM =0C, :A0=AM+0M, A0=D0+C0. 方法二：如图，作DQ⊥AC于点Q, D 由方法一得出DA=DC, ..AO=Co, 设O0=x,OC=y,则AQ=CQ=x+y, .A0=AQ+O9=2x+y, :∠A0D=60°， .∠0DQ=30°， 0D-20Q=2x, ∴.OD+OC=2x+y=AO, A0=D0+C0. (3)解：FM⊥BD,理由如下， 第48页（共3页） 如图，连接DF, D B CB=CD,ZBCE =ZCDF CE=CF, .△BCE兰△DCF(SAS), :ZBEC ZDFC,Z CBE Z CDF, 设∠ACB=a,∠BAC=B, :∠ACB+∠ADB=180°， ∠ADB=180°-a, :∠A0D=60°， LCAD=a-60°=∠DCA, :∠BCE=∠DCA+∠ACB=2a-60°， ∠CBD=180°-∠BCE=120°-a, 2 :LCBE+∠CAD=LBAC, ∠CBE=∠BAC-∠CAD=B-a+60°=∠CDF, :∠CEB=180°-∠CBE-∠BCE=180°-(B-a+60)-(2a-60)=180°-a-阝， .∠CFD=180°-a-β， :∠BFM=∠DAB=∠DAC+∠BAC=a-60°+B, ∠DFM=180°-∠CFD-∠BFM=180°-180°--B)-(@-60°+B)=60°， 由(2)得A0=D0+C0=0G+BG=0B,∠A0D=60°， :∠0BA=∠0AB=30°，即B=30°， '∠FDB=180°-∠CBD-∠BFD=180°-(120°-a)-(a+B)=60°-B=30°， :∠FMD=180°-∠FDM-∠DFM=90°， FM⊥BD. 22.类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事 物的相应特征存在的思维活动.请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥1于 点D,过点B作BE⊥I于点E,直接写出DE、AD、BE之间的数量关系：一DE=AD+BE一： 第49页（共3页） (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边BC、AC上，且DA=DE,∠B=∠ADE.若 BC=a,AB=b,求CE的长度（用含a,b的代数式表示） (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠A=45°，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为腰向 右作等腰△DEF,使得DE=DF,且∠EDF=45°，连接CF、BF,∠FCA=22.5°. ①求证：BE=2AD; ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若BC=8,当线段BF取得最小值时，直接写出 △BFC的面积. B B A E D C D 图1 图2 图3 【解答】(1)解：：AD⊥1，BE⊥1， LBEC=∠CDA=90°， :∠EBC+∠BCE=90°， :∠ACB=90°， ∠BCE+∠ACD=180°-90°=90°， .∠EBC=∠DCA, BC=AC, .△BCE兰△CAD(AAS), .BE CD,EC AD :DE EC CD AD +BE 故答案为：DE=AD+BE; (2)解：：AB=AC, :ZB =ZC :LADC=∠ADE+∠EDC=∠B+LDAB,∠B=∠ADE, :Z EDC=Z DAB :DA=DE △DAB兰△EDC(AAS), 第50页（共3页） :AB=CD=b,BD=CE, :CE=BD =BC -CD =BC-AB=a-b (3)①证明：如图，在AC上取一点M,使得DM=AE,连接FM, B E A D M C :∠A=45°，∠EDF=45°， LA=∠EDF, AB=AC,AE DM .AE BE AC-D M 即BE=AD+CM, :∠EDM=∠EDF+∠FDM=∠EAD+∠AED, .∠FDM=∠DEA, DE DF, .△AED兰△MDF(SAS), .AD=FM,∠DMF=∠A=45°， :∠FCD=22.5°，LFMD=LFCD+∠MFC, LMFC=45°-22.5°=22.5°=LFCD, :FM =CM AD, BE AD +CM .BE =2AD ②解：：∠FCA=22.5°， CF为定直线， .当BF⊥CF时，BF最小，如图，过点F作FG⊥BC于点G, 第51页（共3页） ⊙ E D C :∠BFC=90°， :AB=AC,∠A=45°， ∠ACB=180°-45 =67.5°， ∠GCF=∠ACB-∠FCA=45°， ∠GFC=90°-45°=45°=∠GCF, GF=GC,∠BFG=90°-∠GFC=45°， LFBG=90°-45°=45=∠BFG, :BG=FG=CG, :BC=8, FG=4, :△BFC的面积为×4×8=16. 23.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D. (1)求证：∠ABD=∠ACB; (2)如图2，点E在AB上，连接CE交BD于点F,若BE=BF,求证：CE平分∠ACB; (3)如图3，在(2)的条件下，过A作AH⊥CE,交CE的延长线于点G,交CB的延长线于点H.若 △AHC的面积为40，且AC+AB=18,求AC-AB的值 y G E 图1 图2 图3 【解答】(1)证明：：LABC=90°， LABD+∠CBD=90°， :BD⊥AC, 第52页（共3页） :LACB+LCBD=90°， :∠ABD=LACB; (2)证明：同(1)的方法可得：∠A=∠CBD, :BE BF, ∠BEF=∠BFE, :LBEF=LA+LACE,LBFE=∠CBD+∠BCE, .∠ACE=∠BCE, CE平分LACB; (3)解：在△ACG和△HCG中， 「∠ACG=∠HCG CG=CG ∠AGC=∠HGC .△ACG兰△HCG(ASA), :AC=CH, :△AHC的面积为40， .4B.HC=40 2AB·HC=160, 2AB·AC=160, :AC+AB=18, .(AC+AB)2=324, AC2+2AB·AC+AB2=324, .AC2-2AB·AC+AB2=4, (AC-AB)2=4, :AC-AB 2. 24.【问题情境】(1)如图1，在△ABC与△CDE中，∠ACB=LDCE=90°，CA=CB,CD=CE,连接 AD,BE,且点E在线段AD上. 【问题解决】①求证：LCAD=LCBE; ②连接DB,若DE=2,△ABD的面积为24.5，求AE的长度； 【问题迁移】(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，,∠BAC=90°.D是△ABC内一动点，作射线BD,连 第53页（共3页） 接AD,作AE⊥AD交射线BD于点E(点E在D右侧)，在射线AD上截AF=AE,连接CF·当 CFI/AE时，用等式表示AE,DF,CF的数量关系，并说明理由. A E /D BB B C 图1 图2 备用图 【解答】(1)①证明：如图1， 图1 ∠ACB=∠DCE=90°， :ZACB +ZACE ZD CE Z ACE 即∠ACD=LBCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE △ACD兰△BCE(SAS), :ZCAD Z CBE ②解：：∠DCE=90°，CD=CE, LCDE=LCED=45°， 设AE=X, 由①知：△ACD兰△BCE, BE=AD=x+2,∠BEC=LADC=45°， ∠BED=45°+45°=90°， 第54页（共3页） AD⊥BE, :△ABD的面积为24.5， 1 六24D:BE=245, 六2r+2x+2)=24.5, 解得：x1=5,x2=-9（舍)， AE=5; (2)解：分两种情况： ①如图2，当点F在AD的延长线上时，AE-DF=CF,理由如下： A E D F D B C 图2 在CF上取一点D',使AD=CD',连接AD', :AE⊥AF, :∠EAF=90°， :∠BAC=∠EAF=90°， .∠BAD=∠CAE, AE //CF, LCAE=LACF,LAFC+LFAE=180°， ∠BAD=LACF,∠AFC=90°， AB=AC, ∴.△BAD兰△ACD'(SAS), :∠ABD=∠CAD', :∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠AD'C=∠CAD'+∠ACF, :ZADE ZAD'F :∠DAE=∠AFD'=90°，AE=AF, 第55页（共3页） ∴△AFD'△EAD(AAS), :AD D'F CD', AE-DF=AF-DF=AD, AE-DF-7CF ②如图3，当点F在线段4D上时，4E+DFCF,理由如下： E F D' B C 图3 在CF上取一点D',使AD=CD',连接AD', 同理得：△BAD兰△ACD'(SAS), ∠ABD=∠CAD', :∠ADE=∠AD'F, 同理又得：△AFD'兰△EAD(AAS), .AD D'F=CD', :AE+DF=AF DF=AD GAE+DECF 25.已知△ABC是等边三角形. (I)如图1，点D、E分别为AB,AC边上的点，CE=AD,连接BE,CD相交于点F,求∠BFD的 度数： (2)如图2，AEI1BC,点D在AB边上，点F在射线AE上，AC与DF相交于点Q,且∠CDF=60°. ①求证：DC=DF; ②作FH⊥AC于点H,当点D在AB边上移动时，请同学们探究线段AD,AC,CH之间的数量关系， 并对结论加以证明. 第56页（共3页） A E Q D E 图1 图2 【解答】解：(1)：△ABC是等边三角形， AC=BC=AB,∠A=LBCE=60°， 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠A, CE=AD ∴.△BCE兰△CAD(SAS), :ZCBE ZACD :ZBFD ZCBF ZBCF ZACD+Z BCF =60. (2)①证明：如图，在线段CB上截取CM=AD, F 一E Q D M :AB=BC, .BD BM :∠B=60°， △BDM是等边三角形， .∠BMD=60°， ∠DMC=120°， AEI/BC, .∠B+∠DAF=180°， ∠DAF=120°=∠DMC, :∠ADC=∠ADF+∠CDF=∠B+∠DCM,且∠CDF=∠B=60°， ∠ADF=∠DCM. 第57页（共3页） 在△DCM和△FDA中， ∠DMC=∠DAF CM=AD ∠DCM=∠ADF ..△DCM兰△FDA(ASA), :DC DF ②AC+AD=2CH; 方法一： 证明：作FG⊥BA交BA延长线于点G,连接CF, G 、F -E D H B C :∠CAF=∠GAF=60°，且FG⊥AG,FH⊥AC, :FG=FH, AF=AF, .Rt△FAG兰Rt△FAH(HL), :AH AG, :LCDF=60°，DC=DF, :△CDF是等边三角形， CF=DF=CD, .RtAFGD≌RtAFHC(HL), :DG=CH .CH=DG=AD+AG=AD+AH, :AH =CH-AD .CH=AC-AH=AC-(CH-AD)=AC-CH+AD, .AC+AD=2CH 方法二：延长CA到点P,使AP=AD,连接PF, 第58页（共3页） 、A 一E Q D H B C 易证△PAF兰△DAF, :PF=DF, 由①知DC=DF, :∠FDC=60°， :△DCF为等边三角形， :CF=DF, :CF=PF FH⊥PC, H是PC中点， :CP=2CH, :AC+AP=2CH :AC+AD=2CH. 26.如图，己知△ABC中，AB=AC,AC=6cm,BC=4cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上 以1cm1s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动 (1)①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒时△BPD兰△CQP？请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ (2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿 △ABC三边运动，则经过几秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇？ D Q BP 【解答】解：(I)①经过1秒时△BPD兰△CQP,理由如下： :1=1秒， 第59页（共3页） BP=CQ=1×1=l(cm), :AB=6cm,点D为AB的中点， :BD 3cm 又：PC=BC-BP,BC=4cm, .PC=4-1=3(cm), :PC BD 又：AB=AC, LB=∠C, .△BPD兰△CQP; ②假设△BPD兰△CQP, vp≠Vg' ∴BP≠CQ, 又：△BPD兰△CQP,∠B=∠C,则BP=CP=2cm,BD=CQ=3cm, :点P,点Q运动的时间t=BP=2秒， 1 ∴.vg= ce-3-1.5(cm s); (2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得1.5x=x+2×6, 解得x=24, .点P共运动了24s×1cm/s=24cm. 24×1.5=36, .点P、点Q在AC边上相遇， .经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇， 27.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC,D是线段BC的中点，过点D作射线DE和射线DF,分别 交边AB,AC于点E,F,∠AED+∠AFD=180°. (1)∠AED与∠CFD相等吗？为什么？ (2)DE与DF相等吗？为什么？ (3)如图2，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10,试求EF+EC的最小值.（在直角三角形中，如果有 一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) 第60页（共3页） E 、E D D 图1 图2 【解答】解：(1)：∠AFD+∠CFD=180°，∠AED+∠AFD=180°， ·LCFD=LAED; (2)过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,分别交于M,N, B D 图1 :D是线段BC的中点且△ABC为等腰三角形， :AD平分∠BAC, :DM⊥AB,DN⊥AC, DM=DN,∠DME=∠DNF=90°， 在△DEM和△DFN中， ∠AED=∠CFD ∠DME=∠DNF, DM=DN .△DEM兰△DFN(AAS), :DE =DF (3)由(2)可知DE=DF, :∠EDF=60°， .△DEF为等边三角形， :DE =EF, ∴.求EF+EC的最小值，即为求DE+EC的最小值， 作点C关于直线AB对称点G,连接GE,BG,GD,GC,AG, 由对称的性质可得GE=EC, ∴.求DE+EC最小值即为求DE+GE最小值， :GE+ED最小值为GD的长度， 第61页（共3页） D C 图2 则EF+EC最小值为GD的长度， 由对称的性质可得△ABC兰△ABG. :ZABC=ZABG,BC=BG,AC=AG, :△ABC为等腰三角形，∠A=120°， .∠ABC=30°， ∠GBC=∠ABC+∠ABG=60°， .△GBC为等边三角形， 由等边三角形对称性可得△ABC兰△AGC, :D是线段BC的中点， GD⊥BC, AB=10, .AD=5,AG=10, .GD=15, :EF+EC最小值为15. 28.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,BC=8cm,D为AB的中点，动点E从点C开始沿射线CB 方向以2cm/s的速度运动， (1)如图1，当点E在BC边上运动时，过点D作DE的垂线交直线AC于点F,试探究线段CE,AF之 间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，,DE ,DP.设动点E的运动时间为ts,则当t为何值时，△DCP与△DBE全等？ 第62页（共3页） B B D B A D 图1 备用图 【解答】解：(1)线段CE,AF之间的数量关系是：CE=AF,证明如下： 连接CD,如图1所示： E 分 A D 图1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB的中点， LA=LABC=45°，CD⊥AB,CD=AD=BD, ∠DCE=LA=LABC=45°，∠ADF+∠CDF=90°， :DF⊥DE, ·∠CDE+LCDF=90°， :ZCDE ZADF 在△CDE和△ADF中， ∠CDE=∠ADF CD=AD ∠DCE=∠A .△CDE兰△ADF(ASA), :CE=AF; (2)依题意有以下两种情况： ①当点P在直线AC上沿AC方向运动时， 设点M为AC延长线上的点，N为CB延长线上的点，如图2所示： 第63页（共3页） 么 c ⊙ A D E 图2 N :∠ACB=90°，CD=BD,∠DCB=∠ABC=45°， ·∠BCM=90°， ∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+90°=135°， :∠DBN=180°-∠ABC=180°-45°=135°， ∠DCM=∠DBN=135°， 又：CD=BD,点P在AC的延长线上， .当△DCP与△DBE全等时，点E在CB的延长线上， 此时CP=BE, 根据点E,P的运动速度和时间得：CE=2tcm,CP=tcm, AC=BC =8cm .BE CE-BC=(2t-8)cm, t=2t-8, 解得：t=8(s), ②当点P在直线上沿CA方向运动时，如图3所示： c B B d 图 第64页（共3页） CD=DB,∠DCP=∠DBE=45°， .当CP=BE时，△DCP兰△DBE, 依题意得：CP=tcm,CE=2tcm, .BE BC-CE =(8-2t)cm, .当CP=BE时，t=8-2t, 解得：1=8y), 3 :当t为8或s时，△DCP与△DBE全等. 29.已知，在等边△ABC中，点D为射线BA上一点（点D与点B不重合），连接CD,以DC为边在BC上 方作等边ADCE,连接AE. D A E E B B 图1 图2 (1)如图1，当点D是AB边中点时，求∠ADE的度数： (2)求证：AE=BD; (3)如图2，当动点D在BA的延长线上时，以DC为边在其下方作等边△DCF,连接BF,求线段AB, AE,BF之间的等量关系式 【解答】(1)解：：△ABC是等边三角形， :AC=BC, 又当点D是AB边中点 CD⊥AB, .∠ADC=90°， 又：△DCE是等边三角形， ·∠CDE=60°， .∠ADE=∠ADC-∠CDE=30°； (2)证明：①当点D在AB上时（点D与点B不重合）， :△ABC是等边三角形， 第65页（共3页） .AC=BC,∠ACB=60°， :△DCE是等边三角形，EC=DC,∠DCE=60°， :LACB-LACD=∠DCE-LACD,即LACE=LBCD, 在△ACE和△BCD, (AC=BC ∠ACE=∠BCD, EC=DC ∴.△ACE兰△BCD(SAS), .AE BD ②当点D在BA的延长线上时，如图1， D F ⊙ C 图1 同理可证△ACE兰△BCD(SAS), .AE BD, 综上，AE=BD: (3)解：：LACD+∠ACF=60°，LBCF+LACF=60°， :ZACD=ZBCF 在△ACD和△BCF中， AC=BC ∠ACD=∠BCF, DC=FC ..△ACD兰△BCF(SAS), :AD BF, 由(2)知，AE=BD, :AE -BF BD-AD AB, .AE=AB BF 30.已知，在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D,点E在线段BD上，且CD=DE,点F在线段 第66页（共3页） AB上，且∠BEF=45°. (1)如图1，试说明∠DAE=∠B; (2)如图1，若AC=2,且AF=2BF,求△ABC的面积； (3》如图2，若点F是AB的中点，求CE的值. BE D D E ⊙ F 图1 图2 【解答】(1)解：：∠CAB=90°， .∠CAD+∠DAB=90°， :AD⊥BC, ∠ADB=∠ADC=90°， ∠DAB+∠B=90°， LCAD=∠B, 在△ACD和△ADE中， CD=DE ∠ADC=∠ADE, AD=AD .△ACD=△ADE(SAS), :Z CAD=ZDAE LDAE=∠B; (2)解：设∠B=x,则LC=90°-x, 由(1)知，∠CEA=∠C=90°-x, :LBEF=45°， :∠AFE=∠B+∠BEF=x+45°， :LAEF=180°-∠EAF-LAFE=x+45°， :ZAEF ZAFE :.AE=AF, 由(1)可知AC=AE, :AF AC =2, 第67页（共3页） :AF =2BF, BF=1, :AB AF BF =3, 4A8C的面积：2AB4C3 (3)解：过F作FG⊥BE于点G,连接AG, 则∠BGF=∠EGF=90°， :∠BEF=45°， .∠EFG=∠GEF=45°， :.EG=FG, 设EG=FG=a, 由(2)及F是AB的中点可知：AC=AE=AF=BF, 在△ACD和△BFG中， ∠CAD=∠B ∠ADC=∠FGB, AC=BF .△ACD≡△BFG(AAS), :CD FG=a,BG=DA, :DE =CD a, :DG=DE +EG 2a,CE CD+DE=2a, 在△EAG和△FAG中， AE=AF EG=FG, AG=AG ∴.△EAG兰△FAG(SSS), ∠EGA=∠FGA=2∠EGF=45°， :∠ADB=90°， 第68页（共3页） ∠DAG=LDGA=45°， :DA=DG=2a, .BG 2a :BE BG +EG 3a, CE2a_2 31.已知线段AB,点C是平面内一动点，且AB=AC,连接BC,将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到 线段BD,连接CD,AD,AD交BC于点E. D A ⊙ 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠BAC=60°. ①求LAEB的度数； ②如图2，作∠CBD的角平分线BF交AD于F,试探究线段AD与2DF+BF之间的数量关系，并说明理 由； (2)若AB=2,当AD最长时，求DE的长 【解答】解：(1)①：AB=AC,LBAC=60°， △ABC是等边三角形， :BC=AB,∠ABC=60°， :∠CBD=90°， ·∠ABD=∠ABC+∠CBD=150°， 由题意，得BD=BC, .BD AB, ·∠DAB=∠ADB=180°-150 =15°， 2 ∠AEB=180°-∠ABC-∠DAB=105°， ②AD=BF+2DF;理由如下： 在线段AF上截取AG=DF,如图2， 第69页（共3页） C D A B 图2 :AB=BC=BD, LGAB=∠FDB, ∴.△ABG兰△DBF(SAS), BG BF :BF是∠CBD的角平分线， :∠CBF=1∠CBD=45°， 2 :LGFB=LAEB-LCBF=60°， :LFGB=∠GFB=∠GBF=60°， :.GF=BF, AD=AF+FD=GF+AG+FD=BF +2DF (2)如图3，过B作BH⊥AB,且使BH=AB,所以点H是定点，AH的长度是定长. H E B 图3 :LCBA+LCBH=90°， :LDBH+∠CBH=∠CBD=90°， :ZCBA ZDBH 在△CAB和△DHB中， AB=BH ∠CBA=∠DBH, BC=BD ∴.△CAB兰△DHB(SAS), :HD=AC=AB=2, 第70页（共3页） 而ADAH+HD, .当AD最长时，A,H,D三点在同一条直线上，如图4， H. A B 图4 :LHEB=90°-∠HDB,∠HBE=90°-∠HBD, HB=AB =HD LHBD=∠HDB, .∠HBE=∠HEB, .HE HB=AB=2, :DE =HE HD =4. 32.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF, ∠BFE=45°. (1)求证：BF平分∠ABE; (2)连接CF交AD于点G,若SAABF=SACF,求证：LAFC=90°； (3)在(2)的条件下，当BE=3,AG=4.5时，求线段AB的长. A F G B 石 D C 【解答】(1)证明：：AE是∠BAD的角平分线， ∠BAD=2∠BAF, :∠BFE=45°， LFBA+LBAF=45°， .2∠FBA+2∠BAF=90°， 第71页（共3页） :AD为BC边上的高， :∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°， .2∠FBA=∠EBA+∠FBA, ∠EBF=∠FBA, BF平分LABE; (2)证明：过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N, :BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB, :FM FN SAABF SACBF 即ABFN=BCFM, AB =BC, 在△ABF和△CBF中， BA=BC ∠ABF=∠CBF, BF=BF ..△ABF兰△CBF(SAS), :ZAFB ZC FB, :∠BFE=45O ∠AFB=135°， LCFB=135°， LCFE=LCFB-LBFE=135°-45°=90°， LAFC=90°； (3)解：：△ABF兰△CBF, :AF=FC, :LAFC=∠ADC=90°，∠AGF=LCGD, LFAG=∠FCE, 在△AFG和△CFE中， ∠AFG=∠CFE AF=CF ∠FAG=∠FCE 第2页（共3页） .∴.△AFG兰△CFE(ASA), AG=EC=4.5, :BE=3, :BC=BE +EC=7.5 :△ABF兰△CBF, AB=BC=7.5. A N G E M D C 33.在等边三角形ABC中，D为射线CB上一点，连接AD,点B关于直线AD的对称点为E,连接AE, DE,CE· (1)如图1，点D在线段BC上，∠BAD=15°，求∠BCE的度数： (2)射线AD与射线CE的交于点F,过点D作DGIIAC交射线AB于点G,连接GE交AD于点H. 1)如图2，点D在线段BC上，求证：△AGH兰△CDF; i)点D在线段CB延长线上，用等式表示线段AH,FH和CE之间的数量关系，并说明理由. G H B B D D C B E F 图1 图2 备用圆 【解答】(1)解：点B关于直线AD的对称点为E, AB=AE,∠BAD=LDAE=I5°， LBAE=30°， ·.·△ABC是等边三角形， 第乃页（共3页） .AB=AC,LBAC=∠ACB=60° AE=AC,∠EAC=30° ∠4CE=∠ABC=180°-∠C1E=750, 2 LBCE=∠ACE-LACB=75°-60°=15°； (2))证明：：△ABC是等边三角形， AB=AC=BC,LBAC=∠ACB=∠B=60°， :DG/IAC, ∠BGD=∠BAC=60°，∠BDG=∠BCA=60°， ∠B=LBGD=LBDG=60°， ∴△BDG是等边三角形， :BG=BD :AG=CD, :点B关于直线AD的对称点为E, ∠BAD=∠EAD,∠ADE=∠ADB,AB=AE, 设LBAD=∠DAE=&, '△ABC是等边三角形， .AC=AB,∠ACB=∠BAC=60°， LEAC=60°-2a,AE=AC, 六∠ACE=∠AEC-180°-∠CE_180°-60°-2m）-60°+a, 2 .∠DCF=∠ACE-∠ACB=(60°+a)-60°=a, ·LDCF=LBAD, :LADE=∠ADB=180°-∠B-∠BAD=120°-a, LF=LB=60°， :∠ADG=∠ADB-∠BDG=120°-a-60°=60°-a, :∠GDE=∠ADG+∠ADE=60°-a+120°-a=180°-2a, DG BD =DE, ∠DGE=∠DEG=180°-∠GDE=a, 2 LAHG=LDGE+∠ADG=60°， :ZAHG ZF 第74页（共3页） △AGH￥△CDF(ASA): 词解：如图， E F B G 由上知：∠BDG=∠DBG=60°， :BD=BG AB=BC, :AB BG=BC BD AG=CD, 设∠EAD=∠BAD=a,则∠EAC=∠EAD+∠BAD+∠BAC=2a+60°， :AE=AB=AC, :LAEC=ACE=60°-a, ∠DCE=∠ACB-∠ACE=60°-(60°-a)=a, :ZBAD ZD CE :ZADB=ZABC-ZBAD=60-a, ∠ADE=LADB=60°-a, .∠EDB=∠ADB+∠ADE=120°-2a, :∠EDG=∠EDB+LBDG=180°-2a, ED BD DG, :ZDGE ZDEG a, :ZAGH ZDGB-ZDGE=60-a, :ZAGH ZADB △AGH兰△CDF(ASA); AH CF. 在△AFC中，∠AFC=60°， 第5页（共3页） ∠EFH=60°， LEHF=LDEG+∠EDH=60°， LEFH=∠EHF=∠HEF=60°， :HF =EF, :CE=EF+CF=HF+AH· 34.如图，向△ABC外作△ABE和等边△ACD,连接BD. E E A D A B B 图1 图2 (1)如图1，当△ABE也是等边三角形时，连接CE,交BD于点F. ()试猜想CE、DB的关系，并说明理由； (i)连接FA,问FA是否平分∠DFE,为什么？ (2)如图2，当△ABE是直角三角形（∠ABE=90)时，若∠ABC=30°，BC=BE. 求证：AE=BD. 【解答】(1)解：()CE=BD,且∠BFC=120°，理由如下： :△ABE和△ACD都是等边三角形， AC=AD,AE=AB,∠BAE=LCAD=60°， △CAE兰△DAB(SAS), ·∠ACE=LADB,CE=DB, .∠BFC=∠DCF+∠CDF=(60°+∠ACE)+(60°-∠ADB)=120°； (i)如图1， B 图1 FA平分∠DFE, 理由：作AM⊥BD于点M,作AN⊥CE于点N. 由()结论可得：SAACE=SADB, 第76页（共3页） CCE:4NBD·AM0 CE=DB, AN AM, FA平分∠DFE; (2)证明：如图2， E B 图2 向△ABC外作等边△BCG,连接AG, 由(1)()的结论可得：AG=BD, :△BCG是等边三角形， :BC=BG,∠CBG=60 BC=BE, :BG=BE :∠ABC=30°，∠ABG=∠ABC+∠CBG=90°，∠ABE=90°， .∠EBG=∠ABE+∠ABG=180°， 点E、点B、点G点共线， :AB是线段EG的垂直平分线， :AG=AE, .AE BD. 35.《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.目 前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明。 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 第刀页（共3页） 如图1，△ABC中，L4BC=90°，BD是斜边AC上的中线.求证：BD=)AC 分析：如图2，要证明BD等于AC的一半，可以用“中线倍长法”延长BD到E,使得DE=BD,连接 AE,可证AADE兰ACDB,再证明△MBE兰△BAC,最后得到：BD=AC. 2 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【核型应用】如图3，在48C中，∠4C8=90P,延长BC到E,使得CE=4B,D是4B边胸中点， 连接ED,求证：LB=2LE; 【模型构造】如图4，在AMBC中，∠B=30°∠BAC=∠B,延长BC到D,使得CD=BC,连接AD,求 D B C ∠D的度数. 图1 图2 图3 图4 【解答】解：(1)如图所示： 延长BD到E,使得DE=BD,连接AE. 在△ADE和△CDB中， LAD=CD ∠ADE=∠BDC, DE=BD A E D B C ∴.△ADE兰△CDB(SAS), AE=BC,∠AED=∠CBD, :AE/BC(内错角相等，两直线平行)， ∠ABC+∠BAE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. :∠ABC=90°， ∠BAE=90°， 第78页（共3页） 在△ABE和△BAC中， AE=BC ∠ABC=∠BAE, AB=AB ..△ABE兰△CBA(SAS), :AC EB BD-EAC (2)证明：连接CD. :∠ACB=90°，且D为AB的中点， 、 B Q E CD=BD-AB ∠B=∠DCB, CE-AB :CE=CD, ∠E=∠CDE, .∠DCB=2∠E, ∠B=2∠E; (3)解：如图所示，过D作DH⊥AB于H,连接CH. :∠DHB=90°，且CD=BC, HC=BC=CD. 第79页（共3页） A H B C D ∠CHB=∠B. ∠B=30°. ∠CHB=30°， ∠CHD=60°， :△HCD为等边三角形 CH=DH,∠HCD=60°， 2<B=150 ∠BAC= ∠ACD=∠B+∠BAC=45°. :∠ACH=∠HCD-∠ACD=15°， ·∠ACH=LCAH. :AH =CH =DH. :△AHD为等腰直角三角形. ∠HDA=45°， ∠ADB=∠ADH+∠BDH=105°. 36.如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE相交于点G,BD=DG· (1)求证：LBAD=LBCE; (2)判断AACD的形状，并说明理由； (3)如图2，DH平分∠ADB,点M为HD的延长线一点，F为DC上一点，连接MC,MF,若 ∠CFM+∠AFD=180°，CM=5,MF=3,求线段AF的长. A A G E G B C D D M 图1 图2 第80页（共93页） 【解答】(1)证明：：AD⊥BC于D,CE⊥AB于E, :∠ADB=LADC=LAEG=90°， :LAGE=∠CGD, ∠BAD=LBCE; (2)解：△ACD是等腰直角三角形，理由如下， 由(1)知△ABD兰△CGD(AAS), .AD=CD ,∠ADC=90°， .△ADC是等腰直角三角形； (3)解：如图，在AF上截取FK=FM, :∠CFM+∠AFD=180°，∠CFM+∠MFD=180°， ∠KFD=∠MFD, DF=D F .∴.△KDF兰△MDF(SAS), DK=DM,∠KDF=∠MDF, :DH平分LADB, ∠BDH=ADB=4S, :∠KDF=∠MDF=∠BDH=45°， ∠ADK=∠ADF-∠KDF=45°， :Z ADK Z C DM 由(2)知AD=DC, .△ADK≡△CDM(SAS), .AK CM=5, :AF=AK FK CM +MF =5+3=8. A G H B M 第81页（共3页） A H G D 以 图1 图2 37.如图，直线PQ/1MN,一副三角板按如图①放置（∠ABC=∠CDE=90°，LACB=30°，∠BAC=60° ,∠DCE=∠DEC=45),其中点E在直线PQ上，点B,C均在直线MW上，且CE平分∠ACN. (1)求∠DEQ的度数； (2)如图②，若将△ABC绕B点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F,G),设 旋转时间为t秒(t不大于30). ①在旋转过程中，若边BG/ICD,求t的值； ②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转(C,D的对应点分别 为H,K).请直接写出当边BG/1HK时t的值. E Q E A M C 图① 图② 图③ 【解答】解：(1)如图①中， P E B 图① :∠ACB=30°， ·LACN=180°-LACB=150°， :CE平分∠ACN, 第82页（共3页） LECN∠ACN=7 .PO//MN .∠QEC+∠ECN=180°， ∴.∠QEC=180°-75°=105°， ∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°. (2)①如图②中， P E Q M 图② :BG //CD :ZGBC ZDCN :∠DCN=∠ECN-LECD=75°-45°=30°， ∠GBC=30°， 61=30, t=5. ∴.在旋转过程中，若边BG/1CD,t的值为5. ②如图③中，当BG/IHK时，延长KH交MN于R. P M HA B N R 图③ :BG //KR, .∠GBN=∠KRN, :∠QEK=60°+41，∠K=∠QEK+∠KRN, ∠KRN=90°-(60°+4°1)=30°-4t, 第83页（共3页） :61=30°-4°t, t=3. 如图③-1中，当BGI/HK时，延长HK交MN于R. E Q H G K M R N 图③-1 BG/KR, :∠GBN+LKRM=180°， :∠QEK=60°+41，∠EKR=∠PEK+LKRM, .∠KRM=90°-(180°-60°-4t)=4°t-30° 61+41-30°=180°， 1-21. 综上所述，满足条件的t的值为3或21. 38.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是BC边上的一个动点，连接AD并延长，过点B作 BF⊥AD延长线于点F. (1)如图1，若AD平分LBAC,AD=6,求BF的值： (2)如图2，M是FB延长线上一点，连接AM,当AD平分∠MAC时，试探究AC、CD、AM之间的 数量关系并说明理由： (3)如图3，连接CF, ①求证：∠AFC=45°； ②S=35, =4,Scr=21,求AF的值. 第84页（共3页） M M B B B D ◇F DI D OF C C 图1 图2 图3 【解答】A(1)解：如图，延长AC、BF,交于点G, B D 口R y G BF⊥AD, :LAFB=90°， :∠DAC+LADC=∠BDF+LDBF, 又：∠ADC=∠BDF, ·LDAC=LDBF, 在△ADC和△BGC中， ∠DAC=∠DBF AC=BC ∠ACD=∠GCB .△ADC兰△BGC(ASA). AD BG, :AF平分∠BAG, ·∠FAG=∠CBG= 2×45°=2.5°， ∠G=90°-∠FAG=67.5°， ∠ABG=∠ABC+∠CBG=45°+22.5°=67.5°， AB =AG, 又：AF⊥BG, 第85页（共3页） 1 BF-FG=BG-AD- 2 2×6=3, 即BF的值为3； (2)解：AM=AC+CD,理由如下： 如图，延长AC、MF,交于点G, M DR ■ -------、G C 由(1)可得：△ADC兰△BGC, CD=CG, :AF⊥MG, :∠AFM=∠AFG=90, :AD平分∠MAC, :ZM AF ZGAF, 在△AMF和△AFG中， ∠MAF=∠GAF AF=AF ∠AFM=∠AFG ∴.△AMF兰△AFG(ASA), :AM =AG, AG=AC+CG, ·AM=AC+CD. (3)①证明：如图，在AD上截取AH=BF, 在△ACH和△BCF中， 第86页（共93页） AH=BF ∠DAC=∠CBF, AC=BC ∴.△ACH兰△BCF(SAS), :ZACH=ZBCF,CH=CF, :∠HCF=∠HCB+LBCF=LHCB+∠ACH=∠ACB=90°， .△HCF是等腰直角三角形， ∠AFC=45°； M B M A C ②解：如①中图，过点C作CM⊥AF于点点M, △HCF是等腰直角三角形， :c-r, 由①可知：△ACH兰△BCF, 35 .S.ACH=S.8CF 4 5,as=Se-S0=21-35_49, 44 .5.FCM-M 4 即：F2=49 4 4 :HF>0, HF=7, CM35 :S.CH=AH CM=35 4 解得：AH=5, :AF=AH+HF=5+7=12, 第87页（共3页） :AF的值为12. 39.已知0P平分∠M0N,如图1所示，点B在射线0P上，过点B作BA⊥OM于点A,在射线0N上 取一点C,使得BC=B0. (1)若线段0A=3cm,求线段0C的长； (2)如图2，点D是线段OA上一点，作∠DBE,使得∠DBE=∠AB0,∠DBE的另一边交ON于点E, 连接DE. ①∠OBC=2∠DBE是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段CE,OD,DE的数量关系，并说明理由 P M E 图1 图2 【解答】解：(1)如图1，过点B作BH⊥0C于H, :BC=B0,BH⊥OC, :.0H=HC, :OP平分∠M0N, ∠P0N=∠P0M, 又：∠BA0=LBH0,B0=B0, .△OAB兰△OHB(AAS), 0A=0H=3cm, :0C=6cm; (2)①∠0BC=2∠DBE,理由如下： 如图2，过点B作BH⊥OC于H, 由(1)可得△0AB兰△0HB, ∠AB0=∠0BH, BC=BO,BH⊥OC, :ZOBH Z CBH .∠0BC=2∠AB0, 第88页（共3页） :∠DBE=∠ABO, ∠0BC=2∠DBE, ②CE=OD+DE,理由如下： 如图2，在CE上截取CQ=DO,连接BQ, :0B =BC :ZBOC=ZBCO .∠BCO=∠AOB, 又：B0=BC,OD=QC, .△ODB兰△CQB(SAS), ∴.BD=BO,∠CBO=∠OBD, :∠DBE=∠OBH=∠CBH, ∠OBD=∠CBQ=∠EBH,∠QBH=∠OBE, ,∠DBE=∠QBE, 又：BE=BE,DB=BQ, ∴.△DBE兰△CBE(SAS), .DE OE, ∴.CE=CQ+QE=DO+DE. P B D EH QC -N 图2 M ⊙ A口 -N H C 图1 40.已知等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在射线BC上，连结AD,在AD右侧作等腰Rt△ADE, 且∠ADE=90°. 第89页（共3页） M G D B D C 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD平分LBAC,延长AE、BC交于点F,求证：DE=EF; (2)如图2，点M为AE的中点，求证：点M在线段CD的垂直平分线上； (3)如图3，射线AC与射线ED交于点G,若AD+DG=AE,求∠ADC的度数. 【解答】(1)证明：在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∠BAC=∠BCA=45°， :AD平分∠BAC, ∠BAD=1∠BAC=22.50, 2 ∠BDA=90°-∠BAD=67.5°， 在等腰R1△ADE,∠ADE=90°，AD=ED, LDAE=LDEA=45°， ∠EDF=180°-∠ADE-∠BDA=180°-90°-67.5°=22.5°， :∠DEA=∠EDF+∠F=45°， ∠F=45°-LEDF=22.5°， :ZF ZEDF :DE EF. (2证明：(2)证明：在BA上取一点N,使BN=BD,连接CE,MD,MC,延长CM到T,使 MT=MC,连接AT,则CT=2CM, T M N、 0 AB B C, 第90页（共3页） :AN BN BD CD 即：AN=CD, :∠ABD=∠ADE=90°， LNAD+∠ADB=∠EDC+∠ADB, :∠NAD=LEDC 在△AND和△DCE中， AN CD ∠NAD=∠EDC, AD=ED .△AND≡△DCE(SAS), ·LAND=∠DCE, :BN=BD,∠ABC=90°， .△BDN为等腰直角三角形， ∠BDN=∠BND=45°， :∠AND=∠DCE=135°， 又△ADE为等腰直角三角形， ∠ACB=45°， ∠ACE=∠DCE-LACB=135°-45°=90°， 即：CE⊥AC, 点M为AE的中点， .AM EM MD,AE =2EM, 在△AMT和△CME中， AM=EM ∠AMT=∠EMC, MT=MC ∴.△AMT兰△CME(SAS), :AT=CE,∠TAM=LCEM, :AT//CE, AT⊥AC, :∠CAT=∠ACE=90°， 第91页（共3页） 在△ACT和△CAE中， AT=CE AC=CA, AC=CA .△ACT兰△CAE(SAS), :CT=AE, :2CM =2EM :CM EM .EM MD 点M在线段CD的垂直平分线上. (3)解：①当点D在BC边上时，延长AD到H,使DH=DG,连接EH, ⊙ i- H AD+DG=AE,∠DAE=45°， .AH AE, ∠H=∠ABH=180°-∠D1E=67.50, 2 :∠ADE=90°， ∠DEH=90°-∠H=22.5°， 在△ADG和△EDH中， AD=ED,∠ADE=∠EDH=90°，DH=DG, ∴.△ADG兰△EDH(SAS), ∠DAG=∠DEH=22.5°， :∠ADC=180°-∠DAG-∠BCA=180°-22.5°-45°=112.5°. ②当点D在BC的延长线上时， 第92页（共3页） E C D ·△ADE为等腰直角三角形， AD=DE,∠EAD=45°， AD DG=AE, :DE +DG AE 即：EG=AE, LEAG=∠G, ∠G=∠EAG=LEAD+LDAG=45°+∠DAG, :∠ADE=90°， .∠ADG=90°， ∠DAG+∠G=90°， ∠DAG+45°+∠DAG=90°， ∠DAG=22.5°， :∠ACB=∠ADC+∠DAG=45°， LADC=45°-∠DAG=22.5°， 综上所述：∠ADC的度数为：112.5°或22.5° 第93页（共3页） 七年级下期几何大综合练习（全等三角形+平行线专练） 1．如图，在△ ABC 中，BD AC 于 D ，CE AB 于 E ，BD 与CE 交于点 F ，若 BD CD ，CF 平分 ACB ． （1）求证： AD FD ； （2）求证： CF 2BE ； （3）探究线段 DE 与 BE EF 之间的数量关系，并说明理由． 2．在四边形 ABCD 中， AB / /CD ． （1）如图 1，P 为 BC 的中点，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E ，射线 PE 交 CD 于点 F ，射线 AE 交CD 于 点 G ，交直线 BC 于点 H ，求证： PF PH ； （2）如图 2，点 N 在 BC 延长线上， BC CN ，M 为CN 的中点，CDN DCN ，求证： BD 2DM ． 第 1页（共 38页） 3．已知直线 AB / /CD ，点 M 、 N 分别在直线 AB 、 CD 上． （1）如图 1，点 E 在直线 AB 、CD 之间，求证： MEN AME CNE ； （2）如图 2，若 E 在直线 CD 下方，BME 与 DNE 的角平分线交于点 F ，判断 E 与 F 的数量关系并 证明； （3）如图 3，若点 E 是直线 AB 上方一点，点 G 是直线 AB 、CD 之间一点，连接 EM 、EN 、GM 、GN ， GM 的延长线 MF 将 AME 分为两部分，AMF 3EMF ，CNE 3ENG ，且 4E 3G 470 ，求 AME 的度数． 第 2页（共 38页） 4．如图，△ ABC 和△ ADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE ，连接 BD 、CE ． （1）如图 1，当点 D 在△ ABC 的内部时，求证： BD CE ； （2）如图 2， BAC DAE 120 ， BC 10 ，且点 E 落在 BC 边上．若 M 为 BC 上的一点，且 BAM CAE 60，求△ BDM 的周长； （3）如图 3，BAC DAE 120 ，点 H 为底边 BC 的中点，过点 H 作 DH 的垂线 HF（点 F 在直线 BC 下方），连接 CF ．当 ACF CBD 时，求 EAF 的度数． 第 3页（共 38页） 5．如图 1，在 Rt △ ABC 中，ABC 90 ，ACB 的平分线交 AB 边于点 D ，边 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E ，将△ DEC 沿 DE 折叠得到△ DEF ， DF 交 AC 边于点 G ． （1）求证： DE EC ； （2）当 AB BC 时，试判断 AE 与CG 的大小关系，并说明理由； HE HD 2 5 9 （3）如图 2，过点G 作线段 DE 的垂线，垂足为 H ．若 ,GE ，求 EC 的长． 2 第 4页（共 38页） 6．在△ ABC 中， ABC 90 （1）当 BAC 30 时， ①如图 1，作边 AB 的垂直平分线 DE ，交 AC 于点 D ，交 AB 于点 E ．若 BC 3，求 AC 的长； ②如图 2， AF 为△ ABC 的角平分线，在边 AB 上取一点 G ，使得GF CF ，求 CFG 的度数； （2）如图 3，作 BH AC 于点 H ， AM 平分 HAB ，交 BH 于点 M ，点 N 在边 AB 上，连接CM ，MN ， 若 AN MN ， 2CAB BCM 90 ，试探究 CH CM 与 AH 的数量关系并说明理由． 第 5页（共 38页） 7．如图，在△ ABC 中， BCA 90 ， CA CB ，点 D 为射线 BA 上一点，连接 CD ． 【初步感知】 （1）如图 1，当点 D 在线段 BA 上时，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B ，连接 CB ， B A，延长 B A，CD 交于点 H ．填空：若 BC BD ，则 HCB ； CHB ． 【深入探究】 （2）如图 2，当点 D 在线段 BA 上时，在 AC 上方作 CEA 90 ，延长 EA ，CD 交于点 H ，连接 BH ， 若 AH 2AE BH ，求证： AH BH ． 【拓展延伸】 （3）点 D 为射线 BA 上一点，作点 B 关于直线 CD 的对称点 B ，直线 B A交直线CD 于点 H ，连接 BH ， 若 BH 3AH ，点 C 到直线 AH 的距离为 4．求由顶点 B ，C ， A ， H 围成四边形的面积． 第 6页（共 38页） 8．【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图 1，△ ABC 中 AC 6 ， BC 9 ， AB 10 ， P 为 AC 上一点，当 AP 时，△ ABP 与△ CBP 是偏等积三角形； 【数学应用】 （2）如图 2，△ ABD 与△ ACD 是偏等积三角形， AB 2 ， AC 6，且线段 AD 的长度为正整数，求 AD 的长度； 【联系拓广】 （ 3 ） 如 图 3 ， 四 边 形 ABED 是 一 片 绿 色 花 园 ， CA CB ， CD CE ACB DCE 90(0 BCE 90) ．△ ACD 与△ BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由． ， 第 7页（共 38页） 9．在△ ABC 中， AC BC ， ACB 120 ． （1）如图 1，在边 AB 上取两点 D ， E （点 D 在点 E 的左侧），连接CD ， CE ．当△ CDE 是等边三角形 时，求证： AD BE ； （2）在（1）的条件下，在线段 BE 上取一点 D（点 D 不与 B ，E 重合），在直线CD 的右侧作等边△ CDE ， 连接 BE ．若 AD nBD ， S ABC 10 ． i)如图 2，当 n 5 时，求四边形 CEBE的面积； ii) 请用含 n 的代数式直接表示出 SBCE 和 SBDE ，不必写解答过程． 第 8页（共 38页） 10．如图 1，已知直线 PQ / /MN ，点 A 在直线 PQ 上，点 B ，C 在直线 MN 上，连接 AB ，AC ，PAB 50 ， ACB 30 ， AD 平分 PAC ， BD 平分 ABC ， AD 与 BD 相交于点 D ． （1）求 ADB 的度数； （2）若将图 1 中的线段 AC 沿 MN 向右平移到 AC ，如图 2，此时 A D 平分 AAC ，BD 平分 ABC ，A D 1 1 1 1 1 1 1 与 BD 相交于点 D ， PAB 50 ， AC B 30 ，求 A DB 的度数； 1 1 1 （3）若将图 1 中的线段 AC 沿 MN 向左平移到 AC ，如图 3，其他条件与（2）相同，求此时 A DB 的度 1 1 1 数． 第 9页（共 38页） 11．如图，△ ABC 与△ AED 为等腰三角形， AB AC ， AE AD ， EAD BAC ， D 为线段 BC 上一 个动点， AB 与 DE 相交于点G ． （1）如图 1，求证： BA 平分 CBE ； （2）如图 2，作 CF / /AB ，交 ED 延长线于 F ，求证： DF EG ； （3）如图 3，若 AE AC ，且 BAD 2BDE ， BD 3 ，求△ BDE 的面积． 第 10页（共 38页） 12．（1）问题提出：如图 1，点 E 为等腰△ ABC 内一点， AB AC ，若另有一个以 AD 、 AE 为腰的等腰 △ AED 且 BAC EAD ，求证：△ ABE △ ACD ． （2）尝试应用：如图 2，点 D 为等腰 Rt △ ABC 外一点， AB AC ，BD CD ，过点 A 的直线分别交 DB 的延长线和 CD 的延长线于点 N 、 M ， BD 与 AC 交于 K ，若 M 60 ， BAC 90 ，求证： MC NB 2AM ． （3）问题拓展：如图 3，△ ABC 中， AB AC ，点 D ， E 分别在边 AC ， BC 上， BDA BEA 60， AE ， BD 交于点 H ，等边△ ABF 的边 AF 与 BC 相交于 G 点．若 CE 6 ， AH 4 ，请直接写出 BE 的长 度． 第 11页（共 38页） 13．如图，已知 AB / /CD ， E 、 F 分别在 AB 、 CD 上，点 G 在 AB 、 CD 之间，连接 GE 、GF ． （1）当 BEG 40 ， EP 平分 BEG ， FP 平分 DFG 时： ①如图 1，若 EG FG ，则 DFG 的度数为 ，则 P 的度数为 ； ②如图 2，在 CD 的下方有一点 Q ， EG 平分 BEQ ， FD 平分 GFQ ，求 Q G 的度数； （2）如图 3，在 AB 的上方有一点 O ，若 FO 平分 GFC ．线段 GE 的延长线平分 OEA ，则当 EOF EGF 100 时，请直接写出 OEA 与 OFC 的数量关系． 第 12页（共 38页） 14．在等边三角形 ABC 中，D 为射线 BC 上一点，连接 AD ，点 B 关于 AD 的对称点为点 E ，连接 AE ，DE ， CE ． （1）如图 1；点 D 在线段 BC 上，且 BAD 45 ，求 DCE 的度数； （2）直线 AD 与直线 EC 交于点 F ，过 D 作 DG / /AC 交直线 BA 于点 G ，直线 GE 交直线 AD 于点 H ． ①如图 2，点 D 在线段 BC 上，求证：△ AGH △CDF ； ②点 D 在线段 BC 的延长线上，试猜想线段 AH ， FH ， CE 之间的数量关系，并证明． 第 13页（共 38页） 15．已知正方形 ABCD 的边长是 6，点 E 是 AB 边上一动点，点 F 是 BC 边上一动点． （1）如图 1，若 AE CF ，连接 DE ， DF ，已知 EDF 58 ，求 ADE 的度数； （2）如图 2，若 AE BF ，连接 AF ， DE ，探究 AF 和 DE 的数量关系和位置关系，并写出理由； （3）如图 3，若 AE BF ，连接 DE ，DF ，在图中画出当 DE DF 最小时，点 F 的位置，并求出此时 BF 的长度． 第 14页（共 38页） 16．如图 1，在等边三角形 ABC 中，AD BC 于点 D ，F 为线段 AD 上一动点（不与端点重合），连接 BF ， CF ，以 BF 为边作等边△ BEF ，连接 AE ． （1）求证：△ BAE △ BCF ； （2）如图 2，连接 CE 交 AB 于点 M ，连接 DM ，EF 与 DM 所在直线交于点 N ．求证：点 N 为 EF 中点； （3）如图 3，连接 MF ，将△ DMF 沿 DM 所在直线翻折至△ ABC 所在平面内，得到△ DMG ，连接 EG ．若 AB 7 ，求 EG 的值． 第 15页（共 38页） 17．在等腰直角△ ABC 中， BAC 90 ，点 D 在边 BC 上，过点 B 作射线 AD 的垂线，垂足为点 E ． （1）如图 1，过点C 作射线 AD 的垂线，垂足为点 F ，求证：△ ABE △ CAF ； （2）在射线 EB 上取点 G ，使 EG AE ，连接 AG ，CG ，CG 与 AD 交于点 H ． ①如图 2，若 AGC 90 ， AE 4 ，求线段 BG 的长； BG AH 3 5 EG BG ②若 ，求 的值． 第 16页（共 38页） 18．如图，在△ ABC 中，ACB 90 ， AC BC ，D 为 BC 边上一动点（点 D 不与 B ，C 重合），过 B 作 BE AD 于点 E ，交 AC 的延长线于点 F ，连接 CE ． （1）求证：△ ACD △ BCF ； （2）试探究 CEF 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）若 D 为 BC 边的中点， CF 3，求△ ACE 的面积． 第 17页（共 38页） 19．已知点 A 是线段 BD 上的一点，ABC 是等腰直角三角形，ABC 90 ，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋 转 90 得线段 DE ，连接CE ， F 为CE 的中点，连接 DF ， BF ． （1）如图 1，延长 BC 、 DF 交于点G ． ①求证： G EDF ； ②判断线段 DF 与 BF 之间的关系，并证明． （2）将 ABC 绕点 B 逆时针旋转到图 2 的位置时，判断线段 DF 与 BF 之间的关系，并说明理由． 第 18页（共 38页） 20．如图，直线 l / /l ，点 A ， B 在 l 上，点C ， D 在l 上，连接 AD ， BC ， AC ，点 M 在 BA 的延长线 1 2 1 2 上，连接 CM ， CM 与 AD 交于点 N ．已知 BMC BCA ． （1）求证： BCA DCN ； （2）若 ANM BAC ，请判断 AD ， BC 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 BN ，E 为 CD 上一点，连 BE 与 NC ，AC 分别交于点 P ，Q ，且 EBN ABN ．若 ABN 的度数为 ， NCD 的度数为 ， EBC :NPE 2:6 ，请求出 AQE 的度数（结果用 ， 表 示）． 第 19页（共 38页） 21．如图 1，在四边形 ABCD 中，BC CD ，连接 AC ，BD 交于点 O ，G 为OB 上一点，连接 CG ，有 CG CO ． （1）求证： DO BG ； （2）若 AOD 60 ， ACB ADB 180 ，求线段 AO ， CO ， DO 之间的等量关系式； （3）如图 2，在（2）的条件下，在 CD 上取一点 E ，在 BC 上取一点 F ，使 CF CE ，且 CBE CAD BAC ， 在 BD 上点取一点 M ，连接 BE ， FM ，且 BFM DAB ，试判断 FM ， BD 的位置关系，并说明理由． 第 20页（共 38页） 22．类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事 物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： （1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， ACB 90 ，CA CB ，直线l 经过点 C ，过点 A 作 AD l 于 点 D ，过点 B 作 BE l 于点 E ，直接写出 DE 、 AD 、 BE 之间的数量关系： ； （2）如图 2，在 ABC 中，AB AC ，点 D 、E 分别在边 BC 、AC 上，且 DA DE ，B ADE ．若 BC a ， AB b ，求 CE 的长度（用含 a ， b 的代数式表示）． （3）如图 3，在 ABC 中， AB AC ， A 45 ，点 D 、 E 分别是边 AC 、 AB 上的动点，以 DE 为腰向 右作等腰 DEF ，使得 DE DF ，且 EDF 45，连接 CF 、 BF ， FCA 22.5． ①求证： BE 2AD ； ②在点 D 、E 运动过程中，点 F 位置也随之发生改变，若 BC 8，当线段 BF 取得最小值时，直接写出 BFC 的面积． 第 21页（共 38页） 23．如图 1，在 ABC 中， ABC 90 ， BD AC 于点 D ． （1）求证： ABD ACB ； （2）如图 2，点 E 在 AB 上，连接 CE 交 BD 于点 F ，若 BE BF ，求证： CE 平分 ACB ； （3）如图 3，在（2）的条件下，过 A 作 AH CE ，交 CE 的延长线于点 G ，交 CB 的延长线于点 H ．若 AHC 的面积为 40，且 AC AB 18，求 AC AB 的值． 第 22页（共 38页） 24．【问题情境】（1）如图 1，在 ABC 与 CDE 中，ACB DCE 90 ，CA CB ，CD CE ，连接 AD ， BE ，且点 E 在线段 AD 上． 【问题解决】①求证： CAD CBE ； ②连接 DB ，若 DE 2 ， ABD 的面积为 24.5，求 AE 的长度； 【问题迁移】（2）如图 2，在 ABC 中， AB AC ， BAC 90 ． D 是 ABC 内一动点，作射线 BD ，连 接 AD ，作 AE AD 交射线 BD 于点 E（点 E 在 D 右侧），在射线 AD 上截 AF AE ，连接 CF ．当 CF / /AE 时，用等式表示 AE ， DF ，CF 的数量关系，并说明理由． 第 23页（共 38页） 25．已知 ABC 是等边三角形． （1）如图 1，点 D 、 E 分别为 AB ， AC 边上的点， CE AD ，连接 BE ， CD 相交于点 F ．求 BFD 的 度数； （2）如图 2， AE / /BC ，点 D 在 AB 边上，点 F 在射线 AE 上， AC 与 DF 相交于点 Q ，且 CDF 60 ． ①求证： DC DF ； ②作 FH AC 于点 H ，当点 D 在 AB 边上移动时，请同学们探究线段 AD ， AC ， CH 之间的数量关系， 并对结论加以证明． 第 24页（共 38页） 26．如图，已知 ABC 中， AB AC ， AC 6cm ，BC 4cm ，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC 上 以1cm / s 的速度由点 B 向 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点C 向 A 运动． （1）①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过几秒时 BPD CQP ？请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全 等？ （2）若点 Q 以（1）②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以1cm / s 的运动速度从 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，则经过几秒后，点 P 与点 Q 第一次在 ABC 上相遇？ 第 25页（共 38页） 27．如图 1，ABC 为等腰三角形， AB AC ，D 是线段 BC 的中点，过点 D 作射线 DE 和射线 DF ，分别 交边 AB ， AC 于点 E ， F ， AED AFD 180 ． （1） AED 与 CFD 相等吗？为什么？ （2） DE 与 DF 相等吗？为什么？ （3）如图 2，若 A 120 ，EDF 60 ， AB 10 ，试求 EF EC 的最小值．（在直角三角形中，如果有 一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 第 26页（共 38页） 28．在 Rt △ ABC 中，C 90 ， AC BC ， BC 8cm ， D 为 AB 的中点，动点 E 从点 C 开始沿射线 CB 方向以 2cm / s 的速度运动． （1）如图 1，当点 E 在 BC 边上运动时，过点 D 作 DE 的垂线交直线 AC 于点 F ，试探究线段CE ， AF 之 间的数量关系，请写出结论并证明； （2）动点 P 也同时从点C 开始在直线 AC 上以1cm / s 的速度向远离 C 点的方向运动，分别连接 DC ，DE ， DP ．设动点 E 的运动时间为t s ，则当t 为何值时，△ DCP 与△ DBE 全等？ 第 27页（共 38页） 29．已知，在等边 ABC 中，点 D 为射线 BA 上一点（点 D 与点 B 不重合），连接 CD ，以 DC 为边在 BC 上 方作等边 DCE ，连接 AE ． （1）如图 1，当点 D 是 AB 边中点时，求 ADE 的度数； （2）求证： AE BD ； （3）如图 2，当动点 D 在 BA 的延长线上时，以 DC 为边在其下方作等边 DCF ，连接 BF ，求线段 AB ， AE ， BF 之间的等量关系式． 第 28页（共 38页） 30．已知，在 ABC 中， CAB 90 ， AD BC 于点 D ，点 E 在线段 BD 上，且 CD DE ，点 F 在线段 AB 上，且 BEF 45 ． （1）如图 1，试说明 DAE B ； （2）如图 1，若 AC 2 ，且 AF 2BF ，求 ABC 的面积； CE （3）如图 2，若点 F 是 AB 的中点，求 的值． BE 31．已知线段 AB ，点C 是平面内一动点，且 AB AC ，连接 BC ，将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转90 得到 线段 BD ，连接 CD ， AD ， AD 交 BC 于点 E ． （1）如图 1，若 BAC 60 ． ①求 AEB 的度数； ②如图 2，作 CBD 的角平分线 BF 交 AD 于 F ，试探究线段 AD 与 2DF BF 之间的数量关系，并说明理 由； （2）若 AB 2 ，当 AD 最长时，求 DE 的长． 第 29页（共 38页） 32．如图，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的高， AE 是 BAD 的角平分线，点 F 为 AE 上一点，连接 BF ， BFE 45 ． （1）求证： BF 平分 ABE ； （2）连接CF 交 AD 于点 G ，若 SABF SCBF ，求证： AFC 90 ； （3）在（2）的条件下，当 BE 3 ， AG 4.5 时，求线段 AB 的长． 第 30页（共 38页） 33．在等边三角形 ABC 中， D 为射线 CB 上一点，连接 AD ，点 B 关于直线 AD 的对称点为 E ，连接 AE ， DE ，CE ． （1）如图 1，点 D 在线段 BC 上， BAD 15，求 BCE 的度数； （2）射线 AD 与射线 CE 的交于点 F ，过点 D 作 DG / /AC 交射线 AB 于点 G ，连接GE 交 AD 于点 H ． 1) 如图 2，点 D 在线段 BC 上，求证：△ AGH △ CDF ； ii) 点 D 在线段 CB 延长线上，用等式表示线段 AH ， FH 和 CE 之间的数量关系，并说明理由． 第 31页（共 38页） 34．如图，向 ABC 外作 ABE 和等边 ACD ，连接 BD ． （1）如图 1，当 ABE 也是等边三角形时，连接CE ，交 BD 于点 F ． (i) 试猜想 CE 、 DB 的关系，并说明理由； (ii) 连接 FA ，问 FA 是否平分 DFE ，为什么？ （2）如图 2，当 ABE 是直角三角形 (ABE 90) 时，若 ABC 30 ， BC BE ． 求证： AE BD ． 第 32页（共 38页） 35．《2022 新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目 前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 1 如图 1， ABC 中， ABC 90 ， BD 是斜边 AC 上的中线．求证： BD AC ． 2 分析：如图 2，要证明 BD 等于 AC 的一半，可以用“中线倍长法”延长 BD 到 E ，使得 DE BD ，连接 AE ， 1 可证 ADE CDB ，再证明 ABE BAC ，最后得到： BD AC ． 2 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 1 【模型应用】如图 3，在 ABC 中， ACB 90 ，延长 BC 到 E ，使得 CE AB ， D 是 AB 边的中点， 2 连接 ED ，求证： B 2E ； 1 【模型构造】如图 4，在 ABC 中，B 30BAC B ，延长 BC 到 D ，使得 CD BC ，连接 AD ，求 2 D 的度数． 第 33页（共 38页） 36．如图 1，在 ABC 中， AD BC 于 D ，CE AB 于 E ， AD 与 CE 相交于点 G ， BD DG ． （1）求证： BAD BCE ； （2）判断 ACD 的形状，并说明理由； （3）如图 2， DH 平分 ADB ，点 M 为 HD 的延长线一点， F 为 DC 上一点，连接 MC ， MF ，若 CFM AFD 180，CM 5， MF 3，求线段 AF 的长． 第 34页（共 38页） 37．如图，直线 PQ / /MN ，一副三角板按如图①放置 (ABC CDE 90 ，ACB 30 ，BAC 60， DCE DEC 45) ，其中点 E 在直线 PQ 上，点 B ， C 均在直线 MN 上，且 CE 平分 ACN ． （1）求 DEQ 的度数； （2）如图②，若将 ABC 绕 B 点以每秒 6 的速度按逆时针方向旋转 (A， C 的对应点分别为 F ， G) ，设 旋转时间为t 秒 (t 不大于 30) ． ①在旋转过程中，若边 BG / /CD ，求t 的值； ②若在 ABC 绕 B 点旋转的同时， CDE 绕 E 点以每秒 4 的速度按顺时针方向旋转 (C ， D 的对应点分别 为 H ， K) ．请直接写出当边 BG / /HK 时t 的值． 第 35页（共 38页） 38．△ ABC 中，ACB 90 ，AC BC ，点 D 是 BC 边上的一个动点，连接 AD 并延长，过点 B 作 BF AD 延长线于点 F ． （1）如图 1，若 AD 平分 BAC ， AD 6 ，求 BF 的值； （2）如图 2， M 是 FB 延长线上一点，连接 AM ，当 AD 平分 MAC 时，试探究 AC 、 CD 、 AM 之间的 数量关系并说明理由； （3）如图 3，连接CF ， ①求证： AFC 45； 35 ② SBCF ， S ACF 21，求 AF 的值． 4 第 36页（共 38页） 39．已知 OP 平分 MON ，如图 1 所示，点 B 在射线 OP 上，过点 B 作 BA OM 于点 A ，在射线 ON 上 取一点 C ，使得 BC BO ． （1）若线段 OA 3cm ，求线段 OC 的长； （2）如图 2，点 D 是线段OA 上一点，作 DBE ，使得 DBE ABO ， DBE 的另一边交ON 于点 E ， 连接 DE ． ① OBC 2DBE 是否成立，请说明理由； ②请判断三条线段 CE ，OD ， DE 的数量关系，并说明理由． 第 37页（共 38页） 40．已知等腰 Rt △ ABC 中， ABC 90 ，点 D 在射线 BC 上，连结 AD ，在 AD 右侧作等腰 Rt △ ADE ， 且 ADE 90 ． （1）如图 1，若 AD 平分 BAC ，延长 AE 、 BC 交于点 F ，求证： DE EF ； （2）如图 2，点 M 为 AE 的中点，求证：点 M 在线段CD 的垂直平分线上； （3）如图 3，射线 AC 与射线 ED 交于点G ，若 AD DG AE ，求 ADC 的度数． 第 38页（共 38页） 学科网（北京）股份有限公司 $