知识点9 绝对值的应用&知识点10 有理数的综合应用-2025-2026学年七年级全一册数学代数典型题专项训练(人教版·新教材)

七年级代数题典型题专项训练 知识点9绝对值的应用 © 知识点提炼： 若x=a(a>0),则x=±a,即绝对值是同一个正数的数有两个，这个 正数本身和这个正数的相反数： 代数大冲关 (难度等级★★★★) 1.若x=4,y=3,则x+y的值是 2.若a=4,b=2,且a+b=a+b,则a-b的值 3.已知x为有理数，则x+2+x-3的最小值为 -3-2-10123 4.已知x为有理数，则x-1+x-2+x-3的最小值为 -3-2寸0123一 5.已知x为有理数，若x-1+x-2=3,则x= -3-2-10123 6.已知2a-6与b+2互为相反数，求a-b和ab的值， 7.已知m,n为整数，且Im-21+1m-nl=1,求m+n的值. 8.已知：△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,a是最小的合数，b,c满足等式：b-5+(c-6)2= O.点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB的顺序顺 时针移动一周，回到点B后停止，移动的路程为S,如图所示 (1)试求出△ABC的周长； (2)当点P移动到AC边上时，化简：S-4+3S-6+4S-45. 12净 第一章有理数 知识点10 有理数的综合应用 知识点提炼： 探索数字或数式规律的步骤：(1)标序号；(2)找结构；(3)处理符号； (4)验证 代数大冲关 1 (难度等级★★★) 1.直接写出下一项： (1)6,9,12,15,18， (2)3,8,15,24,35, (3)1,2,5,10,17, (4)-2,4,-6,8,-10, (5)1,-43,-85 3253 (6)-26,-1220 9162536 2接一定规#排列的一列致宁1,1，口.品片号，请你仔集观察：照此现#方E内的 数字应为 3.观察等式：①9-1=2×4；②25-1=4×6；③49-1=6×8.按照这个规律写出第4个等式 4.符号“∫”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)f1)=0,f2)=1,f3)=2,f(4)=3,… (2)2)=2)=3,4)=4)=5,… 利用以上规律计算：202s)-2025) 5先阅读并填空，再解答问题： 我们如道12=1-23=克写3女4-分42025206205206 (1)用含有n的式子表示你发现的规律： 1,1,1 1 (2)并依此计算：1X3+3x5+5×7++2025×2027 N13 七年级代数题典型题专项训练 ©知识点提炼： 阅读理解类题目做题步骤：(1)读：仔细阅读材料，理解材料的定义或方法；(2)搬：照搬例 子的思路做前几题；(3)创新：用解决上一问的方法类比解决这一问，如果不能，分析找出不能 类比的原因，依据不变的特征，转化为已知的类型再求解. 代数大冲关2 (难度等级★★★) 1.我们知道，在数轴上，a表示数α到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上 两个点A,B表示的数分别用a,b表示，那么A,B两点之间的距离为：AB=a-b.利用此结 论，解决问题： (1)数轴上表示25和-30的两点之间的距离是 (2)数轴上表示x和-2.5的两点A,B之间的距离是 ,如果AB=7.5,那么x是 (3)①如果数轴上点M与N分别对应数-3与2，点P在数轴上，PM+PW最小值是 ②如果点M,N表示的数分别为-4,1，当PM+PN=9时，则数轴上点P对应的数 2.阅读下列材料并解决相关问题 化简代数式x+5+2x-3的关键在于去掉两个绝对值符号，我们知道，只去掉一个绝对 值符号很容易，如x+5,只要考虑x+5的正负，可以分为x<-5与x≥-5两种情况来讨 论，这里的x=-5是使x+5=0的x值，我们称它为x+5的一个零点，同理，对于2x-3,也 有一个零点x=多为了同时去掉两个绝对值符号我们可以将x的取值范围分成三段，即x< 5≤x<号，x≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论 围的方法称为“零点分段法”。 (1)填空：x+5+2x-3 (2)代数式x-1+x-2+x+1的零点值有哪些？ (3)化简x-1+x-2+x+1. 14净七年级代数题典型题专项训练 知识点8新定义与程序图 代数大冲关 1.B2.C3.-2023-1204.4 5.【答案】244872 【解析】由三个等式，得到规律： 5*3④6=301848可知： 5×63×66×(5+3), 2*6⊕7=144256可知： 2×76×77×(2+6), 9*2④5=451055可知： 9×52×55×(9+2), .4*8④6=4×68×66×(4+8)= 244872. 故答案为244872 6.【答案】k 【解析】f(3)=k, ∴.f9)=f(3+3+3)=k·k·k=k3. 7.解：(1)4a-b (2)不满足 .'aYb=4a-b,bYa=4b-a,而a≠b, ∴.aYb≠bya. ∴.这种运算不满足交换律 (3).(2x+5)(1-3x)=41, ∴.4(2x+5)-(1-3x)=41. 解得x=2. 故x的值为2. 知识点9绝对值的应用 代数大冲关 1.【答案】1或7 【解析】x=4,y=3, .x=±4，y=±3. 当x=4,y=3时，x+y|=4+3=7=7; 当x=4,y=-3时，x+y=4-3=1=1; 当x=-4,y=3时，x+y=|-4+3= -1=1; 104净 当x=-4,y=-3时，x+y=-4-3= -7=7 综上所述，x+y的值为1或7 2.【答案】2或6 【解析】a=4,b=2, ∴.a=±4，b=±2. a+b=a+b, .∴.a+b>0 ∴.a=4,b=2,或a=4,b=-2 当a=4,b=2时，a-b=4-2=2; 当a=4,b=-2时，a-b=4-(-2)= 4+2=6. .a-b的值为2或6. 3.【答案】5 【解析】x+2+x-3的最小值即为 数轴上的点到表示-2的点的距离与到表 示3的点的距离之和最短，则数轴上这个 点表示的数在-2和3之间，包括-2和3 这两个点，则最短距离是3-（-2)=5，即 x+2+x-3的最小值是5. 4.【答案】2 【解析】由题意，先求出x-1+x-2+ x-3的零点， .x-1=0,x-2=0,x-3=0. .零点有x=1,x=2,x=3. 当x<1和x>3时，x-1+x-2+ x-3没有最小值； 当1≤x≤2时，在x=2时，x-1+ x-2+x-3取最小值为2； 当2<x≤3时，x-1+x-2+ x-3没有最小值. 故当x=2时，x-1+x-2+x-3取 最小值为2 5.【答案】0或3 【解析】x为有理数，x-1+x-2= 3,即数轴上表示数x与数1的点的距离加上 数轴上表示x与2的点的距离等于3， .从数轴上可以看出x=0或x=3. 6.解：.2a-6与b+2互为相反数， .2a-6+b+2=0, ·2a-6≥0，b+2≥0， ∴.2a-6=0,b+2=0, ∴.a=3,b=-2, .∴.a-b=3-（-2)=5, ab=3×(-2)=-6. 7.解：m,n为整数，且lm-21+m-nl=1, ∴.①当lm-2|=0时，lm-nl=1. .m=2,n=3或1. .m+n=3或5； ②当1m-2|=1时，lm-nl=0, ∴.m=3,n=3或m=1,n=1, ∴.m+n=6或2. 综上，m+n的值为2,3,5或6. 8.解：(1)a是最小的合数， .a=4. 又.b-5|+(c-6)2=0 且b-5≥0，(c-6)2≥0， .b-5=0,c-6=0,∴.b=5,c=6. ∴.C△ABc=a+b+c=4+5+6=15. (2)由题意，得 当点P移动到AC边上时，6≤S≤11， .原式=S-4+3S-6+45-4S=35. 参考答案 知识点10有理数的综合应用 代数大冲关1 1.(1)21(2)48(3)26(4)12 (5)【答案】 1 12 【解析】 1=2,-2-436 2’3=6,5=10 这列数为子-680 :下-个数的符号是负号数值是7 下一个数是-12 故答案为：12 (6)【答案】 49 30 【解折】一号 321642 -1×2'6=2x3 25 523662 -12=-3×4'204×5' 72 49 ·下一个数是-5x6 30 故答案为：铝 2.【答案】1 【解析】将两个整数1分别化为，；，得 135 91113 2写弓()}1319…，可以发现分 子为连续奇数，分母为连续质数，所以第4 个数的分子是7，分母是7. 故答案为：1. 3.【答案】81-1=8×10 【解析】①9-1=32-1=(2×1+1)2- 1=2×(2+2)=2×4; N105 七年级代数题典型题专项训练 ②25-1=52-1=(2×2+1)2-1=(2× 2)×(2+2×2)=4×6; ③49-1=72-1=(2×3+1)2-1=(2× 3)×(2+2×3)=6×8: 因此第4个等式为：(2×4+1)2-1=(2× 4)×(2+2×4). 即81-1=8×10. 4.【答案】1 【解析】由题意，得f(2025 =2025, f(2025)=2024, ∴f(202s)-f(2025)=2025-2024=1 故答案为：1. 11 S.解：)nn+1)=nn+ (2)原式可化为： 1 1 2027×2 =1-207×号 0对 1013 -2027 代数大冲关2 1.解：(1)25-（-30)=25+30=55 故答案为：55. (2)由题意，得 AB=x-(-2.5)=x+2.5=7.5, .x+2.5=7.5或x+2.5=-7.5. 解得x=5或x=-10. 故答案为：lx+2.51;5或-10 (3)①当P点在M点与N点之间时，PM 106◆ 和PN取得最小值， 此时PM+PW=MN=-3-2=5. 故答案为：5； ②设P点对应的数为x,则PM=x+4, PN=x-1, ·当P点在MN中间时，PM+PN=5, ∴.P点只可能在M点左侧或N点右侧， 当x<-3时，有-x-4-x+1=9, 解得x=-6. 当x>2时，有x+4+x-1=9, 解得x=3. 故P点对应的数为：-6或3. 2.解：(1)x+5+2x-3= -3x-2,(x<-5) 8-(-5≤x< 3x+2.≥) (2)由题意得：x-1=0,x-2=1,x+1=0, 分别解得x=1,x=2,x=-1.综上所述， 代数式x-1+x-2+x+1的零点值 有x=±1或2； (3)整理顺序，得引x-11+|x-21+1x+1|= |x+1|+Ix-1|+lx-21, ①当x<-1时，1x+1|+1x-11+1x-2|= -x-1-x+1-x+2=-3x+2; ②当-1≤x<1时，1x+1|+|x-1|+x- 21=x+1-x+1-x+2=-x+4; ③当1≤x≤2时，lx+1|+|x-1川+|x-2|= x+1+x-1-x+2=x+2; ④当x>2时，lx+11+|x-11+1x-21=x+ 1+x-1+x-2=3x-2. 综上，x-1+x-2+x+1= -3x+2,(x<-1) -x+4, (-1≤x<1) x+2, (1≤x≤2) 3x-2. (x>2) 知识点11数轴上的动点问题 代数大冲关1 1.解：(1)，b是最大的负整数， .∴.b=-1. ·4b-a+(c-5)2=0, 且4b-a≥0，(c-5)2≥0， .∴.4b-a=0,c-5=0. ∴.c=5,a=-4. 故答案为：-4；-1；5. (2)设点P表示的数为x. PB=2PC, .x+1=2x-5. ∴.x+1=2(x-5)或x+1=-2(x-5). 解得x=11或3. 答：P点表示的数为11或3. 2.解：(1)：数轴上两点A,B表示的数分别 为-2,7， .AB=7-（-2)=9 答：AB的值为9 (2)设点C表示的数为x. ·.·AC=2BC .x-(-2)=2x-7. .∴.x+2=2x-7 .x+2=2(x-7)或x+2=-2(x-7). .x=16或x=4. 答：点C表示的数为4或16. 参考答案 (3)t秒后，点P表示的数为2t-2,点Q表 示的数为7-t, .PB=2t-2-7=2t-9. AQ=|7-t+2|=9-t 当PB+AQ=12时，2t-9+9-t=12, ①当0≤t≤4.5时，解得t=2. ②当4.5<t≤9时，解得t=12(舍去) ③当t>9时，解得t=10, 故t=10或2. 代数大冲关2 1.解：(1)设点A的速度为v单位长度秒， 则点B的速度为3v单位长度秒. 依题意，有4v+4×3m=16. 解得v=1. 故点A的速度为1单位长度秒，点B的 速度为3单位长度/秒 则4秒后点A到达的位置为-4，点B到达 的位置为12，在数轴上的位置如图所示： 7-654-3-2-01234567890五 (2)设经过t秒后，原点恰好处在AB的 中点 根据题意，得-4-t+12-3t=0, 解得t=2, 故再过2秒时，原点恰好处在AB的中点， (3)设当点C运动z秒后，点C为AB的 中点。 由题意，得12-3z+（-4-z)=0.5z×2, 解得： 故当点C运动秒时，点C为AB的中点。 N107