线面角最值问题、面面角最值问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 考点目录 线面角最值问题 面面角最值问题 考点一 线面角最值问题 例1．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 例2．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 例3．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 变式1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 变式2．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. (1)求证：平面； (2)现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 变式3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． (1)证明：平面PBC； (2)证明：平面PBD； (3)若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 考点二 面面角最值问题 例1．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 例2．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）在三棱柱中，，，且为的中点，为的中点.    (1)若，求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，求二面角的正弦值的最大值. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 例3．（24-25高一下·广东广州·期末）在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 变式1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 变式2．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在三棱柱中，，，，点在面内的投影为点O，若点O在线段上运动，. (1)证明：面面； (2)求二面角余弦的最大值； (3)求四面体内切球半径的最大值. 变式3．（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角正切的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 线面角最值问题、面面角最值问题专项训练 考点目录 线面角最值问题 面面角最值问题 考点一 线面角最值问题 例1．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 例2．（25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解． 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． 例3．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）已知直三棱柱，，D，E分别是边，的中点．    (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【详解】（1）证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又且，且， 四边形ADEF为平行四边形，. 又平面，平面，平面；    证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是的中点，DF为中位线，， 又平面，平面，平面. 在三棱柱中，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. ，平面DEF，平面平面， 又平面DEF，平面；    （2）如下图所示，连接， 是直三棱柱，平面， 平面，. ，,平面， 平面，就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ，（当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为.    变式1．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求点到平面的距离； (2)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长． 【答案】(1) (2)点E在线段AD上靠近点D的四等分点处，最大角的正弦值， 【分析】（1）由求距离； （2）设直线与平面所成的角为，则，当时最大. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 由题意可得､与都是边长为2的等边三角形，，， ，， ， 设点D到平面PBC的距离为， 由得，解得． 故点D到平面PBC的距离为． （2）设直线与平面所成的角为， ∵，平面，不在平面内，∴， ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离． 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使PE最小，此时． 由题意可知：，，平面，且， ，， 在中，， ， 由面积相等， 即，解得：， ，点E在线段AD上靠近点D的四等分点处． 即点E在线段AD上靠近点D的四等分点处时，直线与平面所成的角最大， 最大角的正弦值是，此时. 变式2．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. (1)求证：平面； (2)现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①存在，且；② 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可证得，推导出，可得出，由直棱柱的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）①连接、、、，分析可知异面直线与所成的角为或其补角，由余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理求出的值，即可得出角的值； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、，求出、的长，，利用换元法、基本不等式以及对勾函数的单调性可求得的最大值，即为所求. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得， 即，解得， 由勾股定理可得，故， 在底面中，因为，故，则， 在直四棱柱中，平面，平面，所以， 因为，、平面，因此，平面. （2）①连接、、、，如图所示： 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 故异面直线与所成的角为或其补角， 在矩形中，， 故为等腰三角形，且为锐角，故， 由余弦定理得，解得， 因为平面，，故平面， 因为平面，，故， 因为四边形为平行四边形，所以， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因为，故，故，所以， 故存在满足条件的，使得直线与直线所成角的余弦值为，且； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，， 当时，即当时，， 所以， 此时， 所以 ， 所以，， 令，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，则， 令，则， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 此时， 由于，故的最大值为. 变式3．（24-25高一下·贵州黔南·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． (1)证明：平面PBC； (2)证明：平面PBD； (3)若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证法一：根据平行四边形性质以及线面平行的判定，可得答案；证法二：利用中位线性质以及线面平行判定，可得面面平行，根据面面平行的性质，可得答案. （2）根据菱形以及线面垂直的性质，可得线线垂直，利用线面垂直判定，可得答案. （3）利用等体积法，选定三棱锥，根据解三角形的思路，表示高与底，建立函数，可得答案. 【详解】（1）证法一：如图1，取PB的中点为Q，连接EQ，CQ． 又E，F分别为线段PA，DC的中点，四边形ABCD为菱形， 所以且，且， 所以且，所以四边形EFCQ为平行四边形，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 证法二：如图2，取PD的中点为G，连接EG，FG． 由中位线性质，可得，且，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 同理可证平面PBC． 又，平面，平面EFG， 所以平面平面PBC． 又平面EFG，所以平面PBC． （2）证明：如图3，连接AC，BD． 因为四边形ABCD为菱形，所以． 因为平面，平面ABCD，所以． 又平面，平面PBD，，所以平面PBD． （3）设． 因为四边形ABCD为菱形，而，故． 因为平面，平面，平面，平面ABCD， 故． 又因为，故． 而，故． 设d为点C到平面PAB的距离， 所以． 又． 由等体积法，有，故， 解得． 而PC与平面PAB所成的角为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以． 考点二 面面角最值问题 例1．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 例2．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）在三棱柱中，，，且为的中点，为的中点.    (1)若，求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若，求二面角的正弦值的最大值. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件依次求证和平面即可根据面面垂直的判定定理得证； （2）由（1）的信息，利用定义法求出是直线与平面 所成角即可依据题意信息计算求解； （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形邻边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值． 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由得，由得， 则，于是， 由得，而，平面， 则平面，所以平面， 又平面，∴平面平面.    （2）由（1）知，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作交于点，平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面 所成角， 因为， 所以， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则， 由（2）得，过作平面交平面于点，连接， 由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号， 所以， 所以二面角的正弦值的最大值为.    例3．（24-25高一下·广东广州·期末）在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    变式1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）根据异面直线所成角定义结合余弦定理计算求解； （2）先根据边长关系得出，进而应用线面垂直判定定理得出平面，即可证明线线垂直； （3）应用面面垂直判定定理得出平面，进而得到平面，应用定义得出即为二面角的平面角，再结合基本不等式求解最大值即可求出角的最值. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，所以，又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 变式2．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在三棱柱中，，，，点在面内的投影为点O，若点O在线段上运动，. (1)证明：面面； (2)求二面角余弦的最大值； (3)求四面体内切球半径的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再利用勾股定理逆定理得，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）构造出二面角的平面角，设，则，再根据函数单调性即可求出其最值； （3）首先求出四面体的体积为定值，设，则，则转化为求和的最小值；方法一：利用换元法，设，利用函数单调性即可求出最值；方法二：利用几何法，根据对称转化结合三角不等式即可求出最值；方法三：利用琴生不等式即可求出其最值. 【详解】（1）由题意知平面， 因为平面，所以， 由:，则， 则，则， 因为，平面，则平面， 又因为平面，则平面平面. （2）过点作，垂足为，交于点，再连接， 因为平面，平面，则，又因为， 平面，，所以平面， 因为平面，则， 设，所以二面角的平面角为， 则， 当时，， 当时，， 则当时，最大值为. （3）平行四边形，， 因为三棱柱，则， 因为平面，平面，则平面， 点到平面的距离相等， ， 所以四面体的体积为定值， 由（2）知，因为平面，，则平面， 因为平面，则， 设四面体内切球半径为，四面体表面积， 设三角形，的面积依次为， 四面体表面积S可以转化为四棱锥的侧面面积， 四棱锥底面平面图如图所示： 设，则， ， ， ，要求r的最大值，即求和的最小值； 方法一：已知， ， 令，由均值不等式可知：，则， 当且仅当时等号成立，则， 原式， 因为均在上单调递减， 所以在上单调递减， 的最小值为，所以的最小值为，当且仅当且仅当时等号成立， 同理可知的最小值为，当且仅当时等号成立， 所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值， 所以面积的最小值为：. 方法二：如图，画出的平面展开图，过作的平行线，构造矩形， 再在上方构造一个全等矩形，我们需要求的最小值， 由对称性可知，其中， 所以由三角不等式有： ， 即，当且仅当时等号成立， 同理可得：，当且仅当时等号成立， 所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值， 所以面积的最小值为：， 所以半径的最大值为：. 变式3．（2025·四川自贡·二模）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)若，求证：平面平面； (2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角正切的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设等边三角形的边长为2，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理证明面，根据面面垂直的判定定理得证； （2）根据题意，可证，即三棱锥为正三棱锥，连接并延长交于，可证面面，过作，证明面，取的中点为，可得，所以为所求线面角，运算得解； （3）设，过作，过作，连接，可证为所求夹角，在中，可得，由三角函数有界性求出的最大值，得解. 【详解】（1）设等边三角形的边长为2， 则，连接交于点. 因为是等腰三角形，所以，即， 因为，，. 所以，， ，面， 所以面，因为面， 所以面面. （2）在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以三棱锥为正三棱锥. 因为是的重心， 所以面，则， 连接并延长交于， 连接，可得，， 所以面， 所以面面，过作， 因为面面，面， 所以面. 取的中点为，由题意知是的中点. 所以，所以为所求线面角. 在中，，， 所以. （3）因为，设，过作. 因为，可得平面， 所以平面平面，所以平面， 可得，， 过作，连接， 易得，可得为所求夹角. 在中，，， 所以， ， 所以，解得， 所以平面与平面夹角正切的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $