第7单元 指数运算与指数函数 A卷基础达标-【金试卷】2026-2027学年高一数学必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第七单元指数运算与指数函数 A卷基础达标 建议用时：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.下列各式正确的是 A.a-a B.a°=1 C.(-4)=-4 D.(-3)3=-3 密 2.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)的值为 识 A.4 B.8 C.16 D.1 封 的结果是 典 3.化简a).(a) A.a16 B.as C.a D.a2 线 2-1,x≤1 4.设f(x)= ,则f(f()的值为 2x2-3x+1,x>1 内 A.0 C.1 D.2 5.已知关于x的不等式()>3“，则该不等式的解集为() 不 A.[4,+∞) B.（-∞，-4) C.(-4,十∞) D.（-4,1] 如 准 6.函数y=2+1的图象是 答 题 7.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水 果失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(天)满足函数关系式h m·a.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后 20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果 失去40%新鲜度的时间为 () 丝 A.25天 B.30天 C.35天 D.40天 邻 8.若函数f(x)=a2x-r+1(a>0且a≠1)在区间(1,3)上单调递增， 则实数a的取值范围为 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(1,4] D.[4,+o∞) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 程或演算步骤。 得2分，有选错的得0分 9.下列说法中正确的是 10分优而公e-招 A.-27=3 B.16的4次方根是士2 C.81=±3 D.W/(x+y)2=|x+y 10.函数f(x)=2+(a∈R)的图象可能为 0 11.设函数f(x)=2,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确 的是 ( A.f(x1十x2)=f(x1)·f(x2) B.f(x1·x2)=f(x1)·f(x2) C.f(r-f(: x1一x2 18.(12分)设f(x)=3,g(x)=(号片： Df(32KfVf) (1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图象： 2 (2)计算f(1)与g(一1)，f(π)与g(-π)，f(m)与g(-m)的值， 12.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，其中f(x)是奇函数， 从中你能得到什么结论？ g(x)是偶函数，且f(x)十g(x)=2,则下列说法正确的是() A.f(g(x))为偶函数 B.g(0)=0 C.g(x)-f(x)为定值 2,x≥0 D.|f(x)|+g(x)= 2x,x<0 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若k<4+1对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是 14.已知函数f(x)=x3(a·2一2x)是偶函数，则a= 15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= ①fx)在R上单调递减：②fx)fx) =f(0);③f(0)<1. f(x1十x2) 16.函数f(x=2a（u>1),若f()=1,则，= ax+√a f202+f2022)+…+f(号32》 .(本题第一 空2分，第二空3分) 第一部分单元检测卷15 19.(12分)已知函数f(x)=a-b(a>0,a≠1，b>0,b≠1)，且 f(1)=2,f(2)=12. (1)求a,b的值； (2)若x∈[-2,1]，求f(x)的值域. 20.(12分)已知函数f(x)=(a2一3a+3)a是指数函数. (1)求f(x)的表达式； (2)令F(x)=f(x)十2f(-x),解不等式F(x)>3. 16第一部分单元检测卷 21.(12分)已知函数f(x)=b·a(a,b为常数，a>0,且a≠1)的图 象经过点A(1,6),B(3,24). (1)试确定函数f(x)的解析式； (2)若关于x的不等式(）”+(6)广-m≥0在区间(-∞，1门上 恒成立，求实数m的取值范围. 2.(12分)已知f(x)-)十(a∈R)的图象关于坐标原点对称， (1)求a的值； 2)若存在x0,,使不等式f(x)+22之0成立，求 实数b的取值范围.(2)当0<x4时，u(x)=2→0f(x)=x·v(x)=2x8; 当4<x≤20时，v(x)=-0.125x十2.5→f(x)=-0.125x2+2.5x, 2.5 当x=一2X(0.125=10时，/x)取得最大值f10)=12.5. 因为12.5>8. 所以当x=10时，鱼的年生长量f(x)可以达到最大，最大值为12.5千克米3. 19.解(1)函数f(x)的图象如图所示 3到 函数f(x)的单调递增区间为[一1,0]和[1，+∞)， 单调递减区间为（一∞，一1]和0,1]. 2 (2)当x<0时，一x>0,所以g(一x)=f(一x) =(-x)2-(-2x)+1=x2+2x+1, -3-2-10 123 因为g(x)为奇函数，所以g(x)=一g(一x)= -11 -x2-2x-1,且g(0)=0, -2 1x2-2x+1,x>0 3 所以g(x)=0,a=0 -x2-2x-1,x<0 20.解(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x2-2x, :f(x)是奇函数，.f(x)=-f(-x)=x2+2x,∴.m=2 (2)f(x)的图象如图， :函数f(x)在区间[-1，a一2]上单调递增， .-1<a-2≤1，∴.1<a≤3. 实数a的取值范围是(1,3]. (3)由f)-f-<0可得2/）<0，即f(x)<0. 当x>0时f(x)<0,由图象可得x>2, 当x0时f(x)>0,由图象可得x<一2， 综上：x∈(-∞，-2)U(2,十∞). 21.解(1)当a=1时，f(x)=x2一x一4，设x0是f(x)的“伸缩2倍点”，则f(x0)= x6-x0-4=2x0,得x0=-1或x0=4,∴.函数f(x)的“伸缩2倍点”是一1和4. (2),函数f(x)有唯一一个“伸缩3倍点” ∴.方程ax2-ax-(a十3)=3x有唯一解，即ax2-(a十3)x-(a十3)=0有唯一解， 由4=(a+3)2+4aa+3)=a+30(5a+3)=0,解得a=-号或a=-3. ①当a=-多时，二次画数f)=ar2-ar-a十3)=-号2+号x-号 5 -2-x+0=-号[（号）+4]=-(：一2）-展大值为-是 ②当a=-3时，二次函数f(x)=a.x2-ax-(a十3)=-3x2十3.x=-3(x2-x)= -3[(x)-]=-3(x2)+最大值为至 22.解选择①. 由f(x)=x2+(2-a)x十4在[b-1,b+1]上是偶函数， 得2-a=0,且(b-1)+(b十1)=0，所以a=2,b=0.所以gx)=272+2 选择②. 当a>0时，f(x)=ax十b在[1,2]上单调递增， 则。2解释6所以ga)22 (1)g(x)为奇函数. 证明如下：g(x)的定义域为R. 因为g(一x)= 工。=一g(x),所以g(x)为奇函数. 2.x2+2 (2)当x>0时，g(x)=1 2·因为2x十二≥4，当且仅当2x=二，即x=1时等 成主，所以0gx)≤：当<0时，因为g()为奇画数，所以-}≤gx)<0: 当=0时g0=0,所以g)的发装为[-}. 因为h(x)=一x-2c在[一2,2]上单调递减，所以函数h(x)的值域是[一2一2c,2-2c]. 因为对任意的x1∈R,总存在x2∈[一2,2]，使得g(x1)=h(x2)成立， 所以[-][-2-22-2].所以 -2-2≤-4解得一8 1 2-2c≥4 所以实纸〔的取位范国无[-名，冒] 第七单元指数运算与指数函数 A卷基础达标 1.D对于A,因为a的正负不确定，所以a8=a.对于B要求a≠0.对于C结果应 为4，只有D正确.故选D. 2.B由题意，设指数函数的解析式为f(x)=a(a>0,且a≠1)，由函数y=f(x)的图 象过点(2,4)，得a2=4,所以a=2或a=-2(舍去)，即f(x)=2x,所以f(3)=23= 8,故选B. 3.c原式=(ag)·(a号)-(ax）'(e×日)》'=a2a2=a.故选C e国方以》-（号》-x+1=1所 f(f(2)）=f1)=21-1=1,故选C 5.C依题意可知，原不等式可转化为3+4>3-2x,由于指数函数y=3x为R上的增 函数，故一x十4>一2x,解得x>一4，故选C. 6.A当x=0时，y=2,且函数单调递增，故选A 7.B依题意， 20%解得m=动-2，当秀=40%时，40%=六·心，即 ∫10%=m·a10 40%=20·a0·a10,解得a10=4=(a10)2=a20,所以1-10=20，解得1=30，所 1 以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选B. 8.C根揚复合函数的单调性可知，当0<a<1时，f(x)在(-∞，）上单调递增，在 10a<1 (学十四)上率调超浅因为炎)在(13)上单调送坊，所以污无解 当a>1时，f(x)在(-∞，分)上单调诡减，在(，十∞）上单调递增，因为函数 a>1 f)在13)上单调递增.所以a≤1解得1<a≤4.所以a的取值范因为14， 故选C 9.BD负数的3次方根是一个负数，一27=一3，故A错误；16的4次方根有两个， 为士2，故B正确；√81=3，故C错误√(x十y)是非负数，所以W(x十y)2=x十y, 故D正确.故选BD. 10.ABD当a=0时，fx)=2,图象A满足：当a=1时，fx)=2*+f0)=2,且 f(-x)=f(x),此时函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，图象B满足；当a= -1时，fx)=2r-2f0)=0,且f(-)=-f)此时画鼓f)是寺画数，因 象关于原点对称，图象D满足；图象C过点(0，I),此时a=0,故图象C不满足.故 选ABD. 11.ACD2x1·2x2=2x十x2,所以A正确；2x1·2x2≠2x1·x2,所以B不正确；函 数f(x)=2r在R上是单调递增函数，若x1>x2,则f(x1)>f(x2),则 f)-fx0,若1<2，则f1)<f2),则f）f>0,故C正确： x1一x2 x1一x2 -1(）=242-2学=2-2x2+2 2 2年)因为大所以f士f>f(吉）故D正确，故选AD 2 2 12.ACD因为f(x)十g(x)=2,所以f(-x)十g(-x)=2,又f(x)是奇函数， 2一，f()=2-2-x g()是偶函数，所以-fx)十g()=2,解得g()=2十2， 2— 对于A,f(g(一x))=f(g(x)),故f(g(x))为偶函数，A正确；对于B,g(0)=1,故 B错误：对于CgG()-()=(22)）-(22)'=1,故C正痛：时于 D有≥0时-2川+)2+=2：当 2 <0时fx1=222.fx)1+g(x）)=222+2t2=2,所以 2 2 1)6一伦2成D盒教送Gm 13.(-∞，1]k<4十1对一切实数x都成立，即<(4+1)min,:4>0,∴.4+1>1， ..k1. 14.1通解（定义法）因为f(x)=x2(a·2r一2-x)的定义域为R,且是偶函数，所以 f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(-x)3(a·2x-2)=x3(a·2-2r)对 任意的x∈R恒成立，所以x3(a一1)(2x十2-x)=0对任意的x∈R恒成立，所 以a=1. 优解一（取特殊值检验法）因为f(x)=x3(a·2一2-x)的定义域为R,且是偶函 数，所以f(-1)=f1),所以-（号-2）=2a-,解得a=1,经检验，f(x)=x3 (2x-2x)为偶函数，所以a=1. 优解二（转化法）由题意知f(x)=x3(a·2r-2x)的定义域为R,且是偶函数设 g(x)=x3,h(x)=a·2x-2x,因为g(x)=x3为奇函数，所以h(x)=a·2-2x 为奇函数.所以h(0)=a·20一2-0=0，解得a=1,经检验，f(x)=x3(2x一2-r)为 偶函数，所以a=1. 15.号×（号）广（答案不唯-，形如f()=m·a(0<m<1,0<a<1)均可）对于画数 )=号×（合）广，固为y=(2）广在R上单调道减，所以)在R上单调递减， 又f)f(2)9×24+) 1 y=)3f0)=3X2)=3<1,所以f) ×(2)广满足题意。 16.号2021由题设f0)=,2a=1,又a>1,则a=瓜，可得x=分因为 a。+a f(1-x)=-2al-x 2a =2a,所以f(x)+f1-x)=2a al-x+aa十ar·vaa十a a*+a 22故)+)++（经）-1x[2a)+(经8器]+ Ja Ha" (28)=2020+f(号)=2021. 17.解原式=a(a=80）。÷a-26.a-a[a8-(26)1 .a3 46号+2a6+a 4b3+2ab+a a-26 ·a=a立(a-26(a+2ab时+46i). 4b号+2ab+a号 a二26at=aaa-a 18.解(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示： g(x))f()=3 (2)f)=31-3g(-1=(得）厂-3：x)=3g(-0=(号） =3； f(m)=3m,g(-m) (3)=8 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当 指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称 参考答案69 19.解(1)因为f(1)=a-b=2,f(2)=a2-b2=12,所以a=4,b=2. (2)由(1)可知，f(x)=4-2x=(2)2-2, 令1=2，因为x[-211所以1[，2] 于是(2)2-25=2-1=0-2)2- 4 根据画数y-(:一）广-}的因象（图略），可知当E[},2]时=一子=2 、1 所以若x∈[-2,1，则f(x)的值城为[-，2]. 20.解(1)函数f(x)=(a2-3a十3)a是指数函数， ∴.a2-3a十3=1，可得a=2或a=1(舍去)，∴.f(x)=2. 迪(1)得.F(x)=2+2X2,x∈R,F(x)>3,即2+2 即(2x)2-3×2+2>0,(2x-1)(2x-2)>0,解得2>2或2r<1, 解得x>1或x<0. 原不等式的解集为（一∞，0）U(1,+∞). 21.解(1)把(1,6)，(3,24)代入f(x)=b·ax,得 24=b·a3,结合a>0,且a≠1，解 (6=ab 得/a=2 10=3…f)=3x2= (2)要使（合）广+(）广≥m在区间(-0,1]上恒成立.只需保证画数y=(2）广 +(号）厂在区间(-0,1]上的最小值不小于m即可 :函数y=(2）广+(2）广在区问(-©，1上单调递减， 当x=1时y=(号)广+（号）广取得最小，为专只需m≤名即可 即实袋m的取值艺国为（一] 22.解(1)由题意知f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,得a=1. @设D262+210 2x+1 2x+1 由题设知存在x∈[0,1]使h(x)<0成立， 即存在x∈[0,1]使不等式(2r)2+2+1-1一b<0成立， 即存在x∈[0,1]使b>(2r)2+2x+1-1成立， 令t=2x,则存在t∈[1,2]使b>t2+2t-1成立，只需b>(t2十21-1)mim 令g(t)=t2十2t-1,g(t)图象的对称轴为直线t=一1，则g(t)在[1,2]上单调递增， 所以当t∈[1,2]时，g(t)min=g(1)=2,所以b>2. 所以实数b的取值范围为(2，十∞). B卷能力提升 1.C由f(x)过定点(2,1)，则1=32-6，故b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函 数，所以f(x)mim=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为[1,9].故选C. 2.A由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数y=0.4的单调性可知0.40.2>0.406，即 b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上，a>b>c.故选A. 3.Bf(x)=a+1(a>0,且a≠1)在[0,1]上单调，所以f(x)在[0,1]上的最大值与最 小位的和为0)十fI)=a十a2=是，解得a=号或a=-2(含去).故选B 4.Aa=4=2>2号=b,c=9=9>4令=a,∴b<a<c.故选A 5.B函数f)=(号）是单调运减函数，将西数)=f)的周象向左年移1个单位 长度即可得函数y=(x十1)的图象，该函数图象与y轴的交点在(0,1)的下方，只 有B的图象符合，故选B. 110-5.2=b.1068a 6.B由题意可知1069-6·10，解得a=0.1b=10-1,所以1=10-2·10t =10.1山一12，所以当L=40时，达到安静环境要求下的1取得最大值，1max 100.1×40-12=10-8(Wm2).故选B. 70 参考答案 7.A由题意得1+3r+a·9r>≥0的解集为(-0,1，即[（号）]+（兮）+a≥0 的解案为(-，1.令1=（兮），则≥日，即不等式+1十a≥0的解集为 [合十)人所以（号）广+号十a=0,所以a=-合故选A m一 &B由题专知函数f)-3十令8)=)受别8)+】号 g号，号湖光又线秀g-号品g ∴.函数g(x)为奇函数.又m>0,.易知g(x)在R上单调递增.由f(a十2)十f(b)- m<0,可得f八a十2)-罗+f0)-2<0,即g(a+2)+g6)<0.ga十2)< g(b)=g(-b),.a十2<-b,即a十b十2<0.故选B. 9.ACf-x)=)元-f,g(-x)=+元=gx,所以f(-)十g(-0 2 2 gx）-fx),所以A正确：f(x)-g(x)=-,-十元=-一2m 2 2 2 4,所以B不正确：f2)=-,=2:,.士=2/()gr),所 2 2 2 以C正确，[f(x-[g(x)=(任2兰)-(2) (+(）答.经-1，所以D不 正确.故选AC. 10.ABD因为2>0，所以函教f(x)的定义城为R,A中结论正确：f(x)=2}=1 2x+1 247由2r>02+1>10<1p-2K4<0m-11-24 2 2 <1,所以函数f(x)的值城为(-1,1).B中结论正确：因为(-x)=? 2十1 1+2一f(),所以函数f)是奇函数，其因象关于原点对称，不关于y轴对称， 1-2 C中结论不正确；因为画数y=2+1是增函教，y=2十1>1，所以画数y=2十 2 是减画数，因此画数f)=1一2子是增西效，D中结论正确，故选ABD 1.AB由题意得f)=(2）广+a与f(-)=2r+a在区间1,202]上同塔或 同减若同增，则()广+a≤ 在区间[1,2022]上恒成立，即a≤-2，所以 21十a≥0 a≥-2 若同减，则 1 -2a≤- (号)+a≥0在区间[1,2022]上楼成立.即 2r十a0 ≥-（经）2 无解，综上，实数口的取位范国是[-2，一]，所以A,B选项符 a≤-22022 合题意，故选AB. 12.AC因为函数f(x)是定义在[-4,0)U(0,4]上 的奇函数，由题意，画出函数f(x)在[-4,0)U (0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y= y=3*-1 3-1的因象，国为12)=号，所以f(-2)= 289 f2)=-8=32-1.又f1=2=31-1,所以 -4-3-2-10 1234 f(x)的图象与y=3r一1的图象交于 （-8、合)*12)两点fx)-3≥0 即为f(x)≥3-1，由图象可得，只需-4≤x≤ -2或0<x≤1，故A,C可能取到，故选AC. 13.(-0,-3》因为y=(0.5-8)-t=1,所以0.5-8>0,2>23，即 √/0.5x-8 -x>3,解得x<-3,故函数y=(0.5x一8)亨的定义域为(-∞，一3). 14.[2,十∞)将原函数f(x)看作y=(号）u=x-2的复合函数y=(号）广”是减 函数，u=x一2在[2，十∞)上为增函数，在（一∞，2]上为减函数，由复合函数的性 质知，f(x)的单调递减区间是[2，十∞). 15.[1.十o）[-1号+0)令-2+2x+3=1,则y=(2广-1为减画教，则要求 f(x)的单调递增区间，即求t=一x2+2x十3的单调递减区间，因为t=一x2+2x十 3的单调递减区间为[1，十∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为[1，十∞).又t= -+2+8=-(-1)+1,期()广-12(》′-1=是所以高数) 的值越为[-总+)上 16.(经，号]画教y=a1-1a>0且a≠1D的图象是将高数y=a(a>0,且a≠ 1)的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数f(x)=|ax一1一1 |(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0).当0<a<1时，结合函数f(x)的图象（图 f0<a<1 略.若品技)在区同(a.32少)上单羽装减，则Q<322少. 2,解得<a 3(2a-1)≤1 2 ≤号.当a>1时，结合函数fx)的图象（图略）.若f)在区间(a, .32,）上￥ /a>1 涧造减，则/a<3(221) ?,无实教解，综上，实数a的取位龙国为(？，]： 3(2a-1)≤1 2 17.解(1)(4a2b)(-2a6号)÷(-b-支)=[4×(-2)÷(-1)门a2+3b号-号+7= 8ab2. e673g-2-1+(-1m+21=厘-得-11+号 辉(1)：f(x)是R上的奇函数，f(0)=0,即)0=0，解得b= :f(x)=21+d 1-2x 1一2 1 _1一2，解得a=2, 又f-1)=-f1)a+i=2+a 经检验当a=2.b=1时，r)=12,是奇函数f)=12 2x+1+2 2x+1+21 21f)2十2器-号+2中 对任意的x1,x2∈R,且x1<x2, 1 2xg-251 有)x)25十125+125+D2+D x1<x2….2<2,∴f(x1)>f(x2),f(x)在R上单调递减. 19.解)网为8=（传）”-合故a=3:所以)=()少 =23x-10, 故f(x)≥4等价于23x-10≥22，解得x≥4.所以x的取值范围是[4，十∞). (2)f(x)在[3,4]上单调递增，g(x)=-2x十m在[3,4]上单调递减， 要使区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>g(x)恒成立，则需满足f(x)mm> gx)即f3)>g3).即名>一号×3十m,解得m<2,所以实数m的取值范国 是(-∞，2).