湖南师范大学附属中学2026届高三下学期模拟卷(二) 数学试题

高三模拟卷（二） 数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 9 10 11 答案 D C B A C D C A ABD BD ABC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D【解析】易得M={(x,y)x2+(y-1)2=0}={(0,1)》是点集，而N={0,1}是数集，所以两个集合没有公共 元素 2.C【解析】当a=1,6=-1时，不等式}<名不能成立：不等式。>6不能成立，故AB错误：因为函数y= 在R上单调递增，又a>b,所以a3>b3恒成立，故C正确；当c=0时，不等式ac2>bc2不能成立. 3B【解折】因为16gm=2.logm=3,所以1oga=3l0gb=号所以1oga+log.b=号即1og4b=音 4.A【解析】Ai=3a+3b,BC=-a+3b,CD=a+3b,.AC=Ai+BC-(3a+3b)+(-a十3b)=2(a+3b)= 2CD,AC与CD共线，又AC与CD有公共点C,A,C,D三点共线. 5.C【解折】段图柱的高为：底西半径为，可知=号×4=2=号×号×4=1，则圈维的母线长为V公十平= 2√5，所以剩下几何体的表面积为π×2+2π×1×2+π×2X2V5=(8十45)元. 6.D【解析】由已知得线段AC是动圆E的直径，故AB⊥CB,于是AB·CB=0,即(x,-5)·(x,一y)=0,可得 x2=一5y,又点B,C不重合，所以原，点除外 7.C【解析】可作出y=cos苓x的图象.当n=1时，作出y=logx的图象， 因为log5=1,故y=logx的图象与y=cos于x的图象有1个交点， 注意到y=c0s号x的周期为6，log-1(6n一1)=1，n每增加1个单位，6n-1增加6个单位（一个周期），则交 点增加2个，故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2026=4051. 8.A【解析】由题意可得f(x1)=x1e=m,则lnm=lnx1十x1,由g(x2)=ex2(1+lnx2)=m,则lnm=1+ lnx2十ln(1十lnx2),令1十lnx2=t,则lnm=t+lnt,令h(x)=x十lnx,可知函数h(x)在(0，十o∞)上单调递 增，所以当lnm=lnx1十x1=t十lnt时，有t=x1,即1+lnx2=x1,可得x2=e-1, 所以x2lnm=xe-1(+ln),令u=e(u>0),则lnu=x十ln,所以e的-1(x1+1nc)=ln“, e 令p(w)=lh"(u>0),则p(0=+1,令p'(W=0,即lnu+1=0,解符u=是，当0<u<。时，p'(u)<0, e e 则p(0在(0，。)上单调递减，当w>是时，p'(w)>0,则p(u)在（合，十∞）上单调递增，所以函数p(u)在u= 是处取得极小值，也是最小值，为（日）=一是所以西·xnm的最小值为己 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD【解析】随机变量X服从正态分布N(6,4),则u=6,o=2,P(7<X<9)=P(3<X<5),A正确；E(X)= u=6,则E(2X十1)=2E(X)+1=13,B正确；D(X)=g2=4,则D(2X+1)=4D(X)=16,C错误；由P(2<X 数学参考答案(T9)-1 <10)=m,P(4<X<8)=,得P(6<X<10)=受，P(4<X≤6)=号，因此P(4<X<10)=P(4<X≤6)+ P(6<X<10)=mn,D正确. 2 10.BD【解析】对于A,当a=b=c=0时，b2=ac,此时a,b,c不成等比数列，故A错误；对于B,若数列{an}为等 差载列，设其公差为d,则此时有=31=3>0，所以最列3为等比教列，故B正确：对于C,若S =3”+1,则a1=S1=3十1=4，am=Sm-Sm-1=3"+1-(3m-1+1)=3”-3m-1=2·3"-1(n≥2)，a1=4不满足 an=2·3”-1,所以数列{an}不是等比数列，故C错误；对于D,因为2a=a+1十a-1,由等差中项的定义可知， 数列{a品}是首项a=1,公差d=a-a=4-1=3的等差数列，所以a=a+(n一1)d=1十3(n-1)=3n-2, 由此可知a号=3×9-2=25，又因为am>0,所以ag=5.D正确. 1.AC【解标】对于选项A,因为体对角线之间不可能异面，所以分两类：第一夹：校和校之间共有4义2=24 第二类：体对角线与棱共有4×6=24，所以共48对，A正确； 对于选项B,在CC上取CE=号，连接BE并延长交BC延长线于F,在Rt△BCE和R△BBC中， ∠BRC=∠BGR06-器号所以R△C.ERA C 则∠B1BC+∠B1CB=∠EB1C+∠B1C1B=90°，所以B1E⊥BC, 由长方体性质易得CD⊥BE,而CD1∩BC=C1,且CD1,BC1C平面BCD1, 所以B1E⊥平面BCD1,BD1C平面BCD1,故B1E⊥BD1,根据题设，易知A1B⊥AB1,A1D1⊥AB1,同理可 证AB1⊥BD1,由B1E∩AB1=B1且B1E,AB1C平面ABE,所以BD1⊥平面AB1E, 即BD1⊥平面AB1F,又平面ABF∩平面ABCD=AF,所以BD1⊥AF,又BD1⊥B1P,点P在平面 ABCD上， 故只需点P在直线AF上，即点P在平面ABCD上的轨迹是一条直线，故B正确； 对于选项C,由DD1⊥平面ABCD,所以∠DPD1是直线D1P和平面ABCD所成角的平面角， 所以1an0-P限，受使该值最大，只需DP最小，显然当PDLAF时DP最小 AF=VAg+BF,BF=C+Cr,罡-B器=最CF-9所以BF-则AF=-5,月DP= AD·CD_3×59 AF 5√房DD=5,故tan0-5,故C正确， 9 3 A B 对于选项D,由DD1⊥平面ABCD,PCC平面ABCD,则DD1⊥PC,若存在，点P,使得PD1⊥PC, 又DD1∩PD=D1,且DD1,PDC平面PDD1,此时PC⊥平面PDD1,PDC平面PDD1, 所以PC⊥PD,显然，在平面ABCD上以CD为直径的圆与AF的交，点作为P点，满足PC⊥PD, 故存在点P,使得PD1⊥PC,故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.号【解析】因为A泸=O°-Oi,所以A户=-2Oi+日O+10元可化简为O°-Oi=-2Oi+日O成+ r0心，即Oi-0i+808+:0心.由于A,B.CP四点共面，则2+8+1=1，解得1=含 数学参考答案(T9)-2 18,4【解折】因为精国C莞十需-1，所以a=5,6=46=3,设辆圆的右焦点为连接PF,记线段PF的中 点为Q,连接OQ,因为OF|=c=3,所以|OQ=3,因为O,Q分别为FF1和PF的中点，所以OQ∥F1P,所以 |PF|=2OQ=6,又|PF1+PF=2a=10,所以|PF1=10-PF1|=4. 14.号【解析】把10次取球看成10个位置，从中任取2个位置成红球，共有C种，且等可能：当X=6,第6个位 置为红球，另一个红球在前-1个位置中任取1个，则P(X=)=Ck=2,3,45,6,78,9,10,所以期 E0=2x8+8×8+4×+5xg+6x+7×是+8×g+sxg+10x-器 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)因为f(x)=xlnx-a.x2-x, 所以f'(x)=lnx十1-2ax-1=lnx-2ax.… …2分 因为曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1，所以f(1)=一2a, …4分 所以-2a=1,即a=-2 5分 （2)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，… 6分 由f(x)=xlnx-ax2-x≤0在x∈(0，+oo)上恒成立， 则lnT1≤a在x∈(0，十o∞)上恒成立， …7分 设h(x)=lnx-1,x∈0，十oo),则1(x)= 1·x-(nx-1) 2-In x x2 …9分 x 令h'(x)>0,得0<x<e,令h'(x)<0,得x>e2, 所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减，… 11分 则h(x)ms=h(e)=是，即a≥是 …12分 所以实数a的取值范国为[已十) 。。+。 ..…13分 16.【解折]1号-2sn(C+号）∴3a=2sin(C+5）=inC+V3 eosC. 由正弦定理得3sinA=sin Bsin C汁√3 sin Bcos C,…2分 因为sinA=sin(B+C),所以W3sin(B+C)=√3 sin Bcos C+sin Bsin C, g即V3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C=√3 sin Bcos C+sin Bsin C,… …4分 整理得√3 cos Bsin C=sin Bsin C,,C∈(0，π)，则sinC>0,'.sinB=√3cosB, 则tanB=,所以B=子 6分 (2)设∠DAC-∠BAC=a,则∠ACD=受-a 在R△ACD中.AD=35,易知：AC= AD 3√3 8分 sin(-aj 209g……… 在△ABC中.由正获定理得sin BAC"sin2C即 BC AC 33 P sin a 2X 2 cos a .4c0sa=3sina,… 10分 又因为sina十cosa=1,a∈(0，受），得cosa-号，sina=5, 3 4 …12分 数学参考答案(T9)-3 所以sin☑ACB=in(e+5)=in吾+si吾-4牛8 10 ,…13分 235.55.5Ar-2ain∠AcB=23+号 所以b=2c09&2 即△ABC的面积为2B+号 17.【解析】(1)如图，连接AB',取BB的中点Q,连接AQ,CQ, A 由侧面ABB'A'为菱形，所以A'B⊥AB 又由A'B⊥B'C,且AB∩B'C=B,AB',B'CC平面BAC, 所以A'B⊥平面B'AC,又ACC平面BAC,故而A'B⊥AC, ……2分 又由∠ABB'=否，所以△ABB为等边三角形，所以AQ1BB. 由B'C=BC,所以CQ⊥BB',且AQ∩CQ=Q,AQ,CQC平面ACQ, 所以BB⊥平面ACQ,又ACC平面ACQ,所以AC⊥BB', ……………4分 又BB'∩A'B=B,BB,A'BC平面ABBA',所以AC⊥平面ABB'A',ACC平面ABC, 故而平面ABBA'⊥平面ABC.… 6分 (2)如图，取A'B'的中点F,连接AF, A' 由(1)知AB⊥AC,AC⊥AF,由F为A'B'的中点，则AF⊥A'B', 即AF⊥AB,所以AB,AC,AF两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，… …8分 由AB=AC=2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),A'(-1,0W3),E(0,1,0), 所以EB=(2,-1,0),AB=(3,0,-√3). 设P(x0,y0,z),由2EA=5EP, 得2(-1，-1，W3)=5(x0,y-1,0),所以x0=一 2 3 2√3 5%=5,20= 5 所以Ai-(看2) …10分 n.EB=0,2x1-y=0, 设平面A'BE的法向量为n=(x1,y1,之)，则 即 n·Ai=0,3x-31=0, 令x1=1,则y1=2,之1=√5，所以n=(1,2,3),… 12分 令0为AP与平面ABE所成的角，所以sing=|cos(n,A1=1n·A过 2_2 …14分 nAP √8X/ 2 所以直线AP与平面A'BE所成角的正孩值为号 …15分 21 18.【解析】(1)由题可知1=3“ 1 …1分 若第1次抽到A类部件，第2次抽到A类部件的概率为4； …2分 若第1次为到B美部件，第2次抽到A类部件的瓶率为是-： 1 ……3分 由全概车公式=×}十号×-品+造 ………………………4分 (2)记事件Mn为“第n次操作抽调到A类部件”，则P(M)=pn,其对立事件Mn(第n次抽到B类部件)的概 率为P(M)=1一pn,根据全概率公式，第n十1次抽到A类部件的概率为： P=P(M)=P(M,P(M,M,)+P(M P(MM,) 即pn+1=pnP(M+1Mn)十(1-pn)P(Mn+1Mn),. …………6分 数学参考答案(T9)-4 第n次操作后，系统内总部件数为3十n,… …7分 若第n次抽到A类，则A.=(+2)p,P(M1M)=n十2)色； 3+n ……8分 若第n次抽到B类，则A.=(m十2)p,+1,PM+1M)=n+2)p+1 …………9分 3+n 代入全概率公式得：1=p,.+2》卫+1-，).n+2+1_n士 3+n 3十n + 即A与p的关系式方A一A十g (或(n十3)pm+1=(n+1)pn+1或(n+3)p+1-(n+1)pn=1,或(n+3)pm+1-(n+1)p,-1=0).…11分 (3)由(2)得(n+3)(n+2)pa+1=(n+2)(n+1)pm+(n+2), 令bn=(n十2)(n十1)pn得b+1=bn十(n十2)，即bn一b-1=n十1，…13分 累加得： 6,-6=2(k+1)=0n-1D)+4D 。 2 14分 又6=1+2)×1+1D×p=3×2×号=2 所以b,=n(n十3) 4444444444444 2 15分 n(n+3) 又b.=(n十2)(n+1)p,得p,=2(n+1)(m+2) 16分 100×103_25×103_2575 所以p1m=2X101X10251X101515T 17分 19.【解析】(1)因为双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，所以a=b, 设双曲线E的方程为x2一y2=a2,代入，点(1,0)，得a2=1, 所以双曲线E的方程为x2一y2=1. 3分 (2)△ABC的垂心在双曲线E上.理由如下：… 4分 因为B,C两点在双曲线x2-y=1上， 1 1 1 ,7m m 设B(2m,2m）.C2”,2” n 1 又A(一1,0)，所以直线AB的斜率k1= m =m-1 (m+)+1mT 1 所以AB边上的高所在直钱方程为4：y(a一）=mx一(a+)】门， 41 即l4:y=-m十1 mn n m-1x+ m—1> …7分 1 mn十 同理，AC边上的高所在直线方程为12：y=-”x m …………8分 设△ABC的垂心为H(x0,yo),H在直线l1,l2上， n y0= m-1o+ m-1 所以有 解之得， mn …9分 1 y%=-n+1,mn十 数学参考答案(T9)-5 所以△ABC的垂心在双曲线E上. 10分 (3)由长轴长为32，可得a=3y2 ，由离心率=后=9得= 所以公=a2-=号 已知描圆W的焦点在x轴，则方程为号十号=1，则精圆W的“交换精圆”方程为 93 3十名=1…11分 22 22 因为矩形PQMN关于直线y=x对称，设P(x1,y)在椭圆W上(y≤c1),如图所示， 则Q(y1,x1)在“交换椭圆”上(y1>x1),则|PQ=√(x1一y)2十（y1一x1)产=√2|x1一y,…12分 又直线PN平行直线y=x,则直线PN的斜率为1， 0 所以直线PN的方程为y一y1=x一x1,即y=xx1十y1, y=x一x1十y1, 联立传+誉-1、得8x+120-460o-9=0 2 2 所以十xN= 12。),得=，3y, 8 2 所以1PN=Fw--号1+3 所以面积S=|PQ·|PN|=|x1-y|·x1十3y1=x1十2x1y一3yi|,…14分 因为点P在精圆W上，所以十=1≤1， 9 3 22 8号c0s9=9n0.0为参数，0c[0,201,因为n 令01=32 所以n3号m8,屏得n0厅，不与取第一象限部分则0[0，引、 代入可得s=2os0+35s血s0-号mi-号ms29+35n29 9 3v3sin(20+5), 因为0c[0,],则20+晋∈[5m, 所以当20+5=5时，S取得最大值为3V3≈5.196<5.20.…17分 数学参考答案(T9)-6高三模拟卷(二) 数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 吹 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合M={(x,y)x2+(y一1)8=0},N={0,1},则M与N的关系是 A.M=N B.M∈N C.M N D.M∩N=O 2.已知a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式恒成立的是 A<号 B.a262 C.a3>b3 D.ac?bc2 3.已知logam=2,logm,=3,则logmab=,y 邮 a司 B昌 c号 D号 4.已知平面向量a,b不共线,AB=3a+3b,BC=一a十3b,C =a+3b,则 A.A,C,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线 5.如图,圆锥PO的底面直径和高均是4,过PO的中点O1作平行于底面的截面, 以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的表面积为 A.(6+4V5) B.(7+4√5) C.(8+4√5) D.(9+4√5) 6.已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B(x,0),C(0,y),圆心在y轴上的圆E经过A,B, C三点,设点M的坐标为(x,y),则点M的轨迹方程为 A.x2=5y(y≠0) B:y2=5x(x≠0) C.y2=-5x(x≠0) D.x2=一5y(y≠0) 数学试题(T9)第1页(共7页) 7.已知n∈N,设函数f(x)=cos号c一log-Dx的零点个数为a,则as= A.4049 B.4050 C.4051 D.4052 8.已知函数f(x)=xe,g(x)=ex(1十lnx),若f(x1)=g(x2)=m,m>0,则1 x2 lnm的最 小值为 A-是 B月 C.-1 D.e2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.若随机变量X服从正态分布N(6,4),且P(2<X<10)=m,P(4<X<8)=n,则 A.P(7<X<9)=P(3<X<5) B.E(2X+1)=13 C.D(2X+1)=8 D.P(4<X<10)=m十 2 10.已知数列{a}的前n项和为Sm,下列说法正确的是 A.若b2=ac,则a,b,c等比数列 B.若数列{an}为等差数列,则数列{3}为等比数列 C.若S,=3十1,则数列{an}为等比数列 D.各项均为正数的数列{an}满足2a品=a品+1十a品1(n∈N,且n≥2),a1=1,a2=2,则ag=5 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=5,AD=3,点P是 D 平面ABCD上的动点,满足BD⊥BP A.长方体各棱、体对角线所在的16条直线中,共有48对异面直线 B.点P在底面ABCD上的轨迹是一条直线 C.若角日是直线DP和平面ABCD所成角,则tanA的最大值是534 9 D.不存在点P,使得PD⊥PC 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12,0为空间任意一点,若A=-Oi+号O成+:0元,若A,B,C,P四点共面,则实数:等于 1已知点P在椭圆C:宗+若-1上,C的左焦点为F,若线段PP的中点在以原点0为圆心, |OF|为半径的圆上,则|PF的值为 14.已知盒子中共有10个大小相同的球,有红、黄、白三种颜色,且红球、黄球、白球的个数分别为 2,3,5,每次随机取出一个球不放回,记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的 个数,则X的数学期望为 数学试题(T9)第2页(共7页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=xlnx一ax2一x. (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为1,求实数a的值; (2)若f(x)≤0在定义域上恒成立,求实数a的取值范围. 数学试题(T9)第3页(共7页) 16.(本小题满分15分) 在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4, 号=2nfc+》 b (1)求B; (2)若D为 ABC外-点,B,D分别位于直线AC的两侧,∠ADC=受,AD-3 2 ,∠BAC= ∠DAC,求 ABC的面积. 数学试题(T9)第4页(共7页) 17.(本小题满分15分) 如图,已知在斜三棱柱ABC-A'B'C中,A'B⊥BC,侧面ABBA'是边长为2的菱形,且 ∠ABB'=S,B'C=BC (1)求证:平面ABBA'⊥平面ABC; (2)若AC=AB,E是AC的中点,2EA=5EP,求直线AP与平面A'BE所成角的正弦值. 数学试题(T9)第5页(共7页) 18.(本小题满分17分) 某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件, 具体操作如下:每次从系统中随机抽调1个部件,记录类别后将其保留在系统中,同时向系统 内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第n(n∈N”)次操作抽调到A类部件的概率为 pu,第n次操作后系统内A类部件的数量为Am, (1)求p1与p2的值; (2)求pm与pw+1的关系式; (3)求p100. 数学试题(T9)第6页(共7页) 19.(本小题满分17分) 对于双曲线导-苦=1。>0,6>0),我们称号-苦-1与后-带=1互为“交换双曲线”, 对于椭圆后+芳-1a>6>0),我们称号+兰=1与后十带-1互为“交换椭圆 (1)若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身,且过点(1,0),求双曲线E的标准方程; (2)在(1)的条件下,设双曲线E的左顶点为A,斜率为2的直线1与双曲线E的右支交于B, C两点,且B,C均不在x轴上.试判断 ABC的垂心是否在双曲线E上,并说明理由; (3)已知椭圆w的焦点在x轴上,长轴长为3区,高心率为封闭曲线T上任一点D(z,》) 满足:当y≤x时,点D在椭圆W上;当y>x时,点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形 PQMN关于直线y=x对称且各顶点均在曲线T上,求证:矩形PQMN的面积小于 5.20.(注3≈1.732) 数学试题(T9)第7页(共7页)