湖南长沙市第二十一中学2026届高三下学期四月月考数学试题

2026届高三四月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设（是虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列各组平面向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ） A. 18 B. 30 C. 36 D. 54 6. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为两个不重合的平面，，为两条不重合的直线，且，.记直线与直线的夹角和二面角均为，直线与平面的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 当变化时，不在直线上的点构成区域G，是区域G内的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若x，y满足，则（ ）. A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积为______． 13. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______. 14. 已知函数，下列说法正确的是__________.的值域是；当时，方程 有两个不等实根；若函数有三个零点时，则；经过有三条直线与相切. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知首项大于0的等差数列的公差，且； （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，，，其中； ①求数列的通项； ②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 16. 已知二次函数及函数，函数在处取得极值． （Ⅰ）求所满足的关系式； （Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 17. 如图所示，已知平面，分别是的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18. 我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响． （1）试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，． ①求p； ②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检，已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率． （2）视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值． 19. 定义平面曲线的法线如下：经过平面曲线上一点，且与曲线在点处的切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．设点为抛物线上一点． （1）求抛物线在点处的切线的方程（结果不含）； （2）求抛物线在点处的法线被抛物线截得的弦长的最小值，并求此时点的坐标． 2026届高三四月月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】①②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）（）；（2）①；② 存在，； 【16题答案】 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【18题答案】 【答案】（1）①，② （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $