精品解析：辽宁沈阳市第七中学2025--2026学年八年级下学期5月阶段学情自测数学试卷

数学 答题时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．利用中心对称图形的定义可得答案． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原判断错误； B．若，当，时，，故原判断错误； C．若，且，则，故原判断错误； D．若，则，故原判断正确； 故选：D． 3. “花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数． 【详解】解：由多边形的外角和等于， 可得， ∵，， ∴， ∴， 即． 4. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. x2－x－2＝x(x－1)－2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. x2+3x+2＝(x＋1)(x+2) D. x－2＝x(1－) 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可． 【详解】A项按因式分解的定义可知不是因式分解，故A项错误； B项按因式分解的定义可知不是因式分解，故B项错误； C项是把一个多项式化为几个整式的积的形式是因式分解，故B项正确； D项变形后含有分式，因此也不是因式分解，故D项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义． 5. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：A． 6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别求出每个不等式的解集，把每个解集在数轴上表示出来即可判断． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 把这两个解集在数轴上表示出来为： 故选：D． 7. 下列条件不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，分别是线段的垂直平分线，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴； 无法得到，，； 故选C． 9. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分、15分，每小题3分） 11. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 12. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 13. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式与一次函数解图象的关系． 由直线经过，即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵直线经过， ∴从图象可得不等式的解集为． 故答案为． 14. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心、平移性质、等腰三角形的判定，根据三角形的内心是三角形角平分线的交点得到，再根据平移性质得到，进而证得，再利用等腰三角形的判定证得，同理证得，进而可求解即可． 【详解】解：连接、，如图， ∵点I为的内心， ∴， 由平移性质得， ∴，则， ∴， 同理可证， ∴图中阴影部分的周长为， 故答案为：6． 15. 如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，得到四边形均为长方形，进而确定相关角度与线段的等量关系，由等边三角形性质求出，，再判定、，得到相关线段长度，最后由题意确定点的运动轨迹，结合垂线段最短得到最小值为，代入线段长度计算即可． 【详解】解：过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，如图所示： 四边形均为长方形， 则，，，，，，， 在等边中，，则是边的中线， ， 在中，由勾股定理可得， 是的中点， ， 在和中， ， ，， 由旋转性质可知，， ， ， 在和中， ， ，则由题意可知，点在直线上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，为， ， ． 三．解答题（共10小题，满分75分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，所有正整数解解为，， 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，关键是熟练应用知识点解题；分别解出两个不等式的解集，取其公共部分，最后找出特殊解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 所有正整数解解为：，，． 18. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】 证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 19. 如图，各顶点的坐标分别为 （1）请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出绕点逆时针旋转后得到； （3）若与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C平移后对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C绕点逆时针旋转后对应点、、，然后顺次连接即可； （3）根据中点坐标公式求出的中点，即可得出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：作出点A、B、C平移后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：作出点A、B、C绕点逆时针旋转后对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形； 【小问3详解】 解：∵与关于某点成中心对称， ∴对称中心为的中点， ∵点，， ∴的中点坐标为， 即的中点坐标为， ∴对称中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转作图，中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是作出平移或旋转后，点A、B、C对应点的位置． 20. 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． （1）求证：； （2）当为等腰三角形时，请直接写出的长； 【答案】（1） 证明：将绕点按逆时针方向旋转，得到， 则， ， ， 在和中， ， ； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合运用，分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． （1）利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合全等三角形的判定定理（ASA）证明三角形全等，进而推出线段相等； （2）先借助勾股定理求出等腰三角形的高，再根据等腰三角形的不同顶角情况进行分类讨论，结合旋转性质和等腰三角形的边角关系，分别计算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，则，则； 设， 当时，则点、、重合，构不成三角形， 故该种情况不存在； 当时，如图： 则， 而， ， 则， 由（1）知，，则， 则， 则； 当时，如图， 则， 则， ， 则， 则， 综上，或． 21. 综合与实践． 我国新能源汽车产业在全球处于领先地位．某数学兴趣小组为了解新能源汽车的销售情况，在某汽车销售公司进行了调研，获取了以下信息： 1．A型汽车每辆进价27万元，售价28万元；B型汽车每辆进价24万元，售价25.5万元． 2．公司一次购买两种车型共20辆． 请根据以土信息，解决以下问题： （1）若该公司购买两种型号汽车共支付504万元，求两种型号汽车各购买了多少辆； （2）若要保证这20辆汽车全部销售后，所得利润要不低于26万元，该公司最多购买A型汽车多少辆？ （3）若购买的B型汽车的数量不超过A型汽车数量的2倍，如何购买可使20辆汽车全部销售后所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型汽车购买了8辆，B型汽车购买了12辆 （2）该公司最多购买A型汽车8辆 （3）购买A型汽车7辆，B型汽车13辆时，利润最大为26.5万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于n的函数关系式． （1）设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆，利用“公司一次购买两种车型共20辆，购买两种型号汽车共支付504万元” 可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆．，根据“要保证这20辆汽车全部销售后，所得利润要不低于26万元”，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）设购买A型汽车n辆，则购买B型汽车辆，根据购买的B型汽车的数量不超过A型汽车数量的2倍，可列出关于n的一元一次不等式，解之可得出n的取值范围，设购买的20辆汽车全部销售后所得利润为w万元，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润×购进A型汽车的数量+每辆B型汽车的销售利润×购进B型汽车的数量，可找出w关于n的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆． 根据题意，得 解得， 答：A型汽车购买了8辆，B型汽车购买了12辆． 【小问2详解】 解：设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆． 根据题意，得． 解得，． 答：该公司最多购买A型汽车8辆； 【小问3详解】 解：设购买A型汽车n辆，则购买B型汽车辆． 则销售完这20辆汽车的总利润为． 因为购买的B型汽车的数量不超过A型汽车数量的2倍， 所以， 解得， 因为n为整数，所以． 在中，∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为 所以当时，即购买A型汽车7辆，B型汽车13辆时，利润最大为26.5万元． 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究： （1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象； （2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质： ①___________； ②___________ （3）当时，自变量的取值范围是___________； （4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是___________． 【答案】（1）如下表 如图 （2） ①当时，随的增大而减小，当时随的增大而增大， ②当时，函数有最小值，最小值为 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可； （2）根据增减性以及最小值写出两条性质，即可求解； （3）根据图象即可得到答案； （4）根据图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时， 当时， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 当时， 当或时， 根据函数图象，当时，自变量的取值范围是或 故答案为：或． 【小问4详解】 解：如图所示， 当时，， 当时，， 将代入，则， ∴过定点， 当与平行时，即时，与的图象只有一个交点， 当与平行时，即时，与的图象没有交点， 当过点时，， 解得：， 此时，与的图象只有一个交点， ∴由图象可知，当或或时，一次函数图象与函数的图象只有一个交点． 23. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为． （1）求证：是等边三角形. （2）如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由. （3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：∵绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）存在， （3）存在，当或9时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，即可得到结论； （2）当时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论； （3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当时，由旋转的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，求得，于是得到；③当时，，不存在直角三角形．④当时，由旋转的性质得到，求得，于是得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在，当时， 由旋转的性质得，， ∴， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的周长最小， 此时，， ∴的最小周长； 【小问3详解】 解：存在， ①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， ②当时，由旋转可知，，， ∴， 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 因为， 不存在直角三角形． ④如图， 当时，由旋转的性质可知，， 又由（1）知， ∴， 而， ∴， ∴只能， 从而， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或9时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 答题时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. “花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. x2－x－2＝x(x－1)－2 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 C. x2+3x+2＝(x＋1)(x+2) D. x－2＝x(1－) 5. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 6. 把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件不能判断是等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，分别是线段的垂直平分线，连接，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二．填空题（共5小题，满分、15分，每小题3分） 11. 若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 12. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 13. 如图，直线经过和两点，则不等式的解集为______________． 14. 如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为______． 15. 如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为________． 三．解答题（共10小题，满分75分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 19. 如图，各顶点的坐标分别为 （1）请画出先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到的； （2）请画出绕点逆时针旋转后得到； （3）若与关于某点成中心对称，且，请写出对称中心的坐标_____________． 20. 在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点． （1）求证：； （2）当为等腰三角形时，请直接写出的长； 21. 综合与实践． 我国新能源汽车产业在全球处于领先地位．某数学兴趣小组为了解新能源汽车的销售情况，在某汽车销售公司进行了调研，获取了以下信息： 1．A型汽车每辆进价27万元，售价28万元；B型汽车每辆进价24万元，售价25.5万元． 2．公司一次购买两种车型共20辆． 请根据以土信息，解决以下问题： （1）若该公司购买两种型号汽车共支付504万元，求两种型号汽车各购买了多少辆； （2）若要保证这20辆汽车全部销售后，所得利润要不低于26万元，该公司最多购买A型汽车多少辆？ （3）若购买的B型汽车的数量不超过A型汽车数量的2倍，如何购买可使20辆汽车全部销售后所得利润最大？最大利润是多少？ 22. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究： （1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象； （2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质： ①___________； ②___________ （3）当时，自变量的取值范围是___________； （4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是___________． 23. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从点O出发，沿的方向以的速度运动，当点D不与点A重合时，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接，设点D的运动时间为． （1）求证：是等边三角形. （2）如图2，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由. （3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $