第10单元 空间直角坐标系，空间向量与向量运算，空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 A卷基础达标-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

1答案+1 解析，x=1是圆x2十y2=1的一条切线，∴.椭圆的右焦点为(1,0)，即c=1. 设P1号)，则ke=子.OPLAB..kw=--2,则直线AB的方程为)=-2-1D. 它与y轴的交点为(0,2)6=22=8+2=5，故描国的方程为号+誉-=1 15.答案4±22 解析由题得抛物线C的焦点为F(?,0),且点F到双曲线的渐近线y=士5x ·3 的距离为3，则2 =√5，解得p=4.由题可知k≠0，设A(x1y1),B(x2y2),直 /3+1 线1的方程为x十my-台=0(m=一名)，与y2=2p虹联主，消去x可得y2十 2mpy-p2=0,则y1十y2=-2mp①，y1y2=-p2②.由AB=3FB可得AF= 2F店，即(2-x1-1）=2(x-号5)，即1=-2@，因此由①，@，©得 2呢=p22=2mp,签理得m2=8,即2=8.所以实数的值为士22。 16.答案 解析根据题意得F(0,2),A(一2,0)，B(2,0),圆孤x2+(y-2)2=8(y≤0)所在 圆的圆心为F(0,2),半径为r=2√2，所以设CE所在直线的方程为y=kx十2(k> 0),C(x1y1),E(x2y2),所以x1>0,一2≤x2<0,所以=kF≥kAF=1,所以梯形 CDBG的面积S=2(2x-2x2)·(1-2)=(-x2)(y-2)=(m-x2)2. 因为CE=√1十k21x1-x2,1CE12=(1十k2)·(x1-x2)2,所以梯形CDEG的 面积S=, CE:=CE,由简图的焦半径公式得CF=2反-号， CE=CF+EF=2E+CF=42-号，所以当=1时有最小值，此 时CE有大位，又因为日十>2，√会·质=2，当且仅当及=1时等号成主，所以当 gs y=x+2 ,1CE12取得最大值当k=1时，联立+=1得3x2+4虹 84 1=0,解得1=号（负位合去此时n=8所以CE=1巨-号×号-8， 所以s×(8)°- 17解(1由题毫知2-50=1.解得6=5，所以双由钱的方程为2-号=1. (y=x+m (2)由2-号=1消去得2x2-2mx-m2-3=0,则4=4m2+8(m2+3)>0, 3 设A1).By).所以十=m,则0=空%=0十m=之m,所以=3. 3 18.解(1)选择条件①：PF=x0+2, 由抛物线的定义可得PF=o十号∴号=2，解得b=4, 故抛物线C的标准方程为y2=8x. 选择条件②：y0=2x0=4, :点P(x0yo)在抛物线C上，y哈=2px0,解得p=4, 故抛物线C的标准方程为y2=8x. 选择条件③：当PF⊥x轴时，PF=4, 当PFLx轴时，PF到=台+台=4p=4 故抛物线C的标准方程为y2=8x. 2设A1)Bx,联立'1=0，整理可得2-10x+1=0, 由韦达定理可得，x1十x2=10,x1x2=1, .x1-x2=√/(1十x2)2-4x1x2=4V6 AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=W2x1-x2=8V3. 100参考答案 19.解(1)由题设可得（一2）2=2p,p=2,则抛物线方程为y2=4x,准线方程x=一1 (2)直线OA斜率为-2，则方程为y=一2. 因直线l与OA平行，故可设直线l的方程为y=一2x十t. 因直线1与抛物线有公共点， 联立y一2x+,消y得4x2-（十4)x十2=0， y2=4x, 此方程有解，故△=(4+4)2-16≥0，所以≥-分 又直线1与直线0A的距离为5， 5 故5=得1=士1.因≥-故1=1 5√/1+4 所以直线1的方程为2x十y一1=0. 20.解(1)设机器鼠位置为点，由题意，A(一5,0)，B(5,0), 由题意可得PA_PB-8,即PA-|PB1=8<1O, 00 可得点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线的右支， 则点P的轨过方程为C6苦=1≥4 t0时，OP=4,即P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0). (2)由题意知直线1：y=x,设直线l的平行线l1的方程为y=x十m, y=x十m 联立=1x≥4可得7r2+32mx+16m2+144=0, 169 令△=(32m)2-4×7×(16m2+144)=0,解得m2=7, 此时11与双曲线的右支相切，∴m=一√7，l1:y=x一√7 此时1与11的距离为d=一=，即机器鼠距离1最小的距离为1.5 2 2 则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险 21.解(1)由题意，知a=2√，所以一条渐近线方程为y 252, 即x-25y=0,所以6c=3.又c2=a2+=12+62. √/62+12 所以(12+)=3+12，所以=3，所以双曲线的方程为名一背=1， (2)设M(x1y1),V(x2y2),D(xoyo)(x0>0),则由OM+ON=tOD, 得(x1y1)+(x2,y2)=t(x0ya),所以x1十x2=1x0,y1十y2=yo. 将直线方程代入双曲线方程， 消去y得x2-16√3.x十84=0， 则十=166n十g--2+9,-2=(1十g)-4=12 3 x0>0, x0_43 所以=3，所以=43，由OM+O术=0D. y0=3. 得(16√3,12)=(4√3t,3t),所以t=4,点D的坐标为(4√3,3). 22.解法一(1)设E(x,y)为椭圆上任意一，点，则 1PE=+w-I=y-28+18(+）》'+0 同北，当E点金标为（士严，）时，PE取到最大植品2 11 (2)由题意，设直线AB的方程为y=kx十2A(x1y1)B(x2y2), 1 由直线AB的方程与椭国方程联立得y=kx十2 x2+12y2=12 则(1+12k2)x2+12kx-9=0, -12k -9 从而1+=1+12k2x1x2=1+12k2 /y1=y1 设C(xC,yC),D(xD,yD),由直线PA与CD的方程联立得 y=- 2x+3 4x1 解得xc=(2k+1Dx1- 4x2 同理得xD=(2k+1)x2-T 那么.CD1=1+T1e-n=262k+1Dg2+i+)t x2-x1 =35/16k2+1 23k+1T 当k=一 时，PA/CD或PB/CD,不行合题忘 令3+1=.则cD1-图（)+票 2V9元-25) 因此，当一品时，CD取得装小值，且展小位为55 法二 (1)设M(2√3cos0,sin0)(0∈[0,2π))是椭圆上任意一点，由P(0,1),知 PM:=12os0+1-sm02=18-1sm0-2sm--n(a0+7)°< 11 故PM的最大值是l2T,即，点P到精国上点的距离的最大值为12四 11 11 (2)易知直线AB的斜率存在，设直线AB:y=kx十号，联立直线AB与椭国的方 程，梦理得(2+b)r+红一子=0 设A(x1y1),B(x2y2),则工1十x2= 62+1x2= k 3 12 4(2+) 直线PA的方程为y=十1，代入y=一+3， 整理得xC= 4x1 4x1 x1+2y1-2(2k+1)x1-1 4x2 4x2 同理可得.xD2十22-2(2k+1x2' 则CD气+子e-n= 4x1 4x2 2(2k+1)x1-1(2k+1)x2-1 =2√5 x1-x2 x1-T2 (2k+1)01-1(2k+1)x2-1] =2√5 (2k+1)21x2-(2k+1)(x1+x2)+1 3 =25 k2十包 1 35× √16k2+1 3 k十1 2 (2k+1)2 +(2k+1)X 3k+1 4(+) =65 1 65 (4k)2+1]× 5 16k2+1X/6 3k+1 3k+1 ≥65× 65 5 4子 3k+1 5 当且仅当4=子即=高时等号成立，所以当=最时.CD取得爱小值， 第十单元 空间直角坐标系、空间向量与向量运算、空间 向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 A卷基础达标 1.B对于A,AC+CD=AD.对于B,AD+DC+CB=AB.对于C,CA-CB=BA.对 于D,CB+DA-DC=CA+CB.故选B. 2.B由题图得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐 标公式，可得对角线的交点坐标为（分0，）故选B 3.D:点P在x轴上，∴设点P的坐标为(x,0,0),由题意PP1=2PP2, W/(x-0)2+(0-√2)2+(0-3)2=2√(x-0)2+(0-1)2+(0+1)2, 解得x=土1，.所求，点为(1,0,0)或（一1,0,0）.故选D. 4.B因为AB=(k-1,k,2),AC=(k十2，k,一4)，AB与AC的夹角为钝角，所以AB· AC<0,即(k-1D(k+2)+2-8=22+k-10<0,解得-号<k<2.若A店与AC的 夹角为180°，则存在实数t<0,有(k+2,k,一4)=t(k一1，k,2),于是得 k+2=t(k-1) k=ik -4=2t ,解得1=-2k=0,所以k的取值范国足(-一号0U0,2.故选B 5.D如图，连接ON.:V是C的中点O示=2O丽+0 0 0M=2MA0i=号0i.M=O-0i=}oi+号od -号oi=-号a+b6+2c故选D. 6.C因为A正.BC-2(A店+AC)·(AC-AB) =号(AC2-AB12)=0. AE.CD-(AB+BE)CD-AB.CD+BE CD-AB.(BD-BC)+7BC.CD =AB·BD1·c0s120°-AB·BCleos120+号1BC·1CDc0s120<0. 所以AE·BC>AE.CD.故选C 7.C当a=c时，(a·b)c=A(c·b)c=dc(c·b)=a(b·c)成立，充分性成立；若a,b,c 两两垂直，则(a·b)c=a(b·c)成立，但此时a≠λc,必要性不成立.故选C. 8.D设下底面圆的圆心为O,如图，以O为坐标原点建立空间 1 直角坐标系，不妨设M(0,2,w√3)，N(4cos0,4sin0,0),0∈[0， → 2x),则MN=(4cos0,4sin0-2,-3),所以|MN|=0 √16cos20+(4sin0-2)2+3=√16cos20+16sin20-16sin0+7 =√23-16sin0,所以当sin0=-1时，MNIx=√39.故 选D. 9.ABC根据题意，逐项分析如下： 选项正误 原因 单位向量：AA1,A1A,BB1,BB,CC,CC,DD1,D1D B 与AB相等的向量：A1B1,D1C1,DC 与AA1相反的向量：A1A,B1B,C1C,D1D 因为CC1=AA1,向量A1D1,A1B1,AA1有一个公共点A1,而点A1, D × B1,D1都在平面A1B1C1D1内，点A在平面A1BCD1外，所以向量 A1D1,A1B1,CC1不共面 故选ABC. 10.ACD根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；B的坐标为(4,5,0)，C 的坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，一3)，选项B错误； 在长方体中|AD1I=BC1I=√AD十AA12=5=|AB|,所以四边形ABC1D1 为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3), 选项C正确；点C坐标为(0,5,0)，其关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项 D正确.故选ACD. 1AC时于A,国为0i=0i+成+号之.号+宁+甘1，片以点M不在 4 平面ABC内，向量(MA,MB,MC能构成空间的一组基；对于B,MA=MB+2MC, 利用平面向量基本定理知，向量MA,MB,MC共面，不能构成空间的一组基；对于 C,因为OM=OA+2OB+3OC,1+2+3≠1，所以点M不在平面ABC内，向量 (MA,MB,MC)能构成空间的一组基；对于D,MA=3MB-2MC,根据平面向量基 本定理知，向量MA,MB,MC共面，不能构成空间的一组基.故选AC. 12.ACD如图，根据题意，可知△BOC2△BAC,cos∠ABC= cos∠OBC=《2√2)2+C22)2二2兰2一3.cos<OB,BC)>= 2×2√2X2√2 0sBA,B心)=：O.B武-Oi+BA.BC-O店 3 ·BC+BA·BC=|OB·IBCI cosOB,BC)+|BAI·IBC1B ·cos(Bi.BC)=22x22×(-)+2厄x22×子=0，OALBC.故A正 确；OC2+AC2=OA2,.OC⊥AC,取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC,∴cOs ∠OAC=2. o∠BAc-福-2goi.ad-(oi+.-oi,d A店.AC-22×2×(-图)+22×2×，g=-2≠00i与AC不套直，故B错 2√2 误；连接OP,由于点P是棱BC上任一点，可设BP=入BC(入∈[0,1])，则OP·OA =(OB+ABC)·OA=OB·OA+ABC·OA,:BC·OA=0,∴.OP·OA的结果与 入无关，即OP·OA为定值，故C正确；取OA的中点E,连接BE,CE,由于△AOB 是边长为22的等边三角形，则BE=√(2√2)2-(2)2=√6，且BE⊥OA,在 △BCE中，BE=√6，CE=√2，BC=2√2，则BE2十CE2=BC2,∴BE⊥CE,而OA∩ CE=E,∴.BEL年面OCA,即BE为三棱锥B-OCA的高，而S△0CA=0A·CE =号X22XE=2.VE0=V生度8A=号Sa·BE=号×2X6 一y6,故D正确.故选ACD. 13.答案 解析由题意可得a十b=(m十2,1,4)，因为(a十b)⊥a,所以(a十b)·a=2(m十2) -1+12=0,解得m=-号 14.答案 51462 2 2 解析设AB的中点E,AC的中点G,三角形三个顶点为A(2,一1,4)，B(3,2,一6)， c50,2E(27).c(3)G-54.1ce- 2 21 15.答案 (44,8) 3’33 解析设OQ=tOP,因为OP=(1,1,2),所以OQ=(t,t,2t),所以点Q的坐标为(t, t,2t).又QA=(1-t,2-t,3-21),QB=(2-t,1-t,2-2t),所以QA·QB=2(1 0(2-0+(3-202-20=60-161+10,所以当1=专时，Q·Q店取最小值，北 时点Q的坐标为（停，专，） 16.答案后 解析如图，设C-mC京，由于A花-AB+B酝M-B心+m E Ad,因地A在.M=(A店+B应)·（2BC+mAD)=号×1X1 ×(-)+m=0,解得m所以器6 1n.解1)调为a/e,所以导-音=解得=4 所以c=(2,4,-4),故c=√22+42十(-4)2=6. (2)因为b⊥c,所以b·c=0, 即(-2，-4,4)·(2，x,-4)=-4-4x-16=0,解得x=-5, 所以c=(2,-5,-4). c在a方均上的投影数量为wa=e·8治一0后f-22、 √12+22+(-2)2 =0, 故c在a方向上的投影数量为0. 18.解设O为A在底面BCD上的射影，则O为正三角形BCD 2 的中心，如图以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为之轴， 以过O与CD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系. 设CD中，点为E,由BC=3,O为△BCD中心可知， D/ 2>C IOB=号BE=号·91BC=1,1oE-2OBl-2 B(1,0,0),E(-20.0 又cE=ED1-9c(-29.oD(-2-9o) 又A在之轴上，且AO=1,∴A(0,0,1). 由两点间的距离公式AB|=√(1-0)2+(0-0)2+(0-1)2=√2， 六各点坐标为A001.B1,0.0).C(-号o)小D(-号-o)小，侧校AB 长为√2. 19.解(1)因为AB=(2,4,2),AC=(-1,1,-1),AB·AC=-2十4-2=0，所以AB ⊥AC,即AB⊥AC,所以△ABC为直角三角形， 又由AB1=√22+42+22=26，|AC=5, 所以SAc=号1A.1AC=X26X5=32. (2)由D(x,3,4),可得AD=(x,4,2), 因为点D在A,B,C三，点确定的平面内，所以存在实数入，使得AD=入AB十uAC, (2λ一H=x 即4以十=4，解得入=1=0，x=2. 2λ-=2 20.解由题意，正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2， 则A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),D(0,0,0),C(0,2,0), 设E(0,a,2)(0≤a≤2)，F(b,2,2)(0≤b≤2)， 则EF=(b,2-a,0),A1C=(-2,2,-2),AE=(-2,a,2),BF=(b-2,0,2), 所以EF·A1C=4-2(a+b),AE·BF=8-2b. 选择①， 因为DE=(0,a,2),CF=(b,0,2),(DE+CF)⊥(DE-CF), 所以(DE+CF)·(DE-CF)=0,DE2=CF2,即a2+4=b2+4,得a=b. 若EF·A1C=0,则4-2(a+b)=0,又a=b,所以a=b=1, 故存在，点E(0,1,2),F(1,2,2),满足EF⊥A1C,此时AE·BF=8-2b=6. 选择②， 因为D成=0a,2》.D=9所以+有=空，得a=2 若E序.AC=0,别4-2a+b)=0.得b=是 故寿在点E(0,2,2）,F(号22）满足ELA1C,此时A正.B萨=8-2b=5. 选择③， DB=(2,2,0),因为0<c0s(EF,DB》<1,所以EF与DB不共线，所以b≠2-a,即a 十b≠2， 则EF·A1C=4-2(a十b)≠0，故不存在点E,F满足EF⊥A1C 21.解(1)：BD=BD+DD=BA+BC+DD=-AB+AD+AA, BD'=xAD+yAB+zAA',..x=1.y=-1,z=1. (2:AE=AA+A它=AA+?AC -A+2A它+AD)=A+号A+2AD -2AD+2AB+AA. 又A=xA+yA店+：A=y=名=1 2.解1)结合图形，知P店-=A店-A正，DM=号(Di+DC)=号(AP-AD+A店 合A动)=合A护+2A店-子A0, 则PB,DM=(A店-A户)·(2Ap+2AB-3AD)=1A2-21AP2=0. 所以PB⊥DM. (2)设PA=AD=AB=2BC=2a(a>0),由于Pi=Ad-AP,AC-A店+2AD. 因此1PD12=AD-AP12=AD12-2AD.AP+AP12=8a2,故|PD1=22a, AC:=A店+号A市=A+2A店·号A市+1A:=5, 故AC=5a.Pi.AC=(AD-AP)·(AB+2AD)=2a2, 故成.-2晋防夫角的参教植 10 参考答案101第十单元空间直角坐标系、空间向量与向量运算 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 A卷基础达标 曲 测试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 密 1.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是 幼 A.AC+CD B.AD+D元+CB 封 典 C.CA-CB D.CB+DA-DC 2.以棱长为1的正方体ABCD一ABC1D1的棱 线 AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴，建立空间 直角坐标系，如图所示，则正方形AA,B,B的 对角线的交点坐标为 B 内 Ao,22》 不 c(日2o) 3.设点P在x轴上，它到P1(0,√2,3)的距离为到点P2(0,1,一1) 数 准 的距离的两倍，则点P的坐标为 A.(1,0,0) B.(-1,0,0) C.(1,0,0)或(0，-1,0) D.(1,0,0)或(-1,0,0) 答 4.已知空间向量AB=(k一1，k,2),AC=(k十2，k,一4)，若AB与 AC的夹角为钝角，则k的取值范围为 童 题 A(82) B.(-30jU0,2) C.(2,+∞) D.(-o,》 5.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC c.点M在OA上，且OM=2MA,N为BC的中 斜 点，则MN ( 北 1 2 2 A.a b+2 B.3a+ b 3 1 1 2 C.2a+2b-2c D. 3a+2b+ 6.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点， 12.如图，在三棱锥O-ABC中，OA=AB=OB= 那么 ( ) BC=2√2，OC=AC=2,则 ( A.AE.BC<AE.CD A.OA⊥BC B.AE·BC=AE·CD B.OB⊥AC C.AE·BC>AE·CD C.若点P是棱BC上任一点，则OP·OA为 D.AE·BC与AE·CD的大小不能比较 定值 7.已知非零空间向量a,b,c,则“a=c”是“(a·b)c=a(b·c)”的 ( D.三棱锥O-ABC的体积是2y6 3 A.充要条件 B.必要不充分条件 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知向量a=(2,一1,3)，b=(m,2,1),若(a+b)⊥a,则m= 8.已知圆台的上、下底半径分别为2,4，高为3，点M,N分别在圆 14.已知三角形三个顶点为A(2,一1,4)，B(3,2,一6)，C(5,0,2), 台上、下底面圆周上，则MN的最大值为 ) 则过B点的中线长为 ;过C点的中线长为 A.7 B.√/13 C.2√3 D.√/39 15.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 OP上运动，当QA·QB取小值时，点Q的坐标是 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 16.已知正三棱柱ABC一DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是 得2分，有选错的得0分 9.如图所示，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=3,AD=2,AA1 BC的中点，若直线CF上有一点N,使MNLA应，则 =1,则在以八个顶点中的两个顶点分别为始点和终点的向量中 ( 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 A.单位向量有8个 程或演算步骤。 B.与AB相等的向量有3个 17.(10分)已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4). C.与AA,相反的向量有4个 (1)若a∥c,求c; (2)若b⊥c,求c在a方向上的投影数量. D.向量A1D1,A1B1,CC1共面 10.如图，在长方体ABCD-ABCD1中，|AB=5,AD=4,AA =3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐 标系，则下列说法正确的是 ( A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，一3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABBA1对称的点为(8,5,0) 11.已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子 中能使{MA,MB,MC}成为空间的一组基的是 A.0i-0i+o成+0d B.MA=MB+2 MC C.OM=OA+2 OB+3 OC D.MA=3 MB-2 MC 第一部分单元检测卷29 18.(12分)已知正三棱锥A一BCD,高为1，底面正三角形边长为 √3，建立适当坐标系写出A,B,C,D四点的坐标，并求侧棱AB 的长度 19.(12分)已知空间中三点A(0,-1,2),B(2,3,4),C(-1,0,1). (1)求△ABC的面积； (2)若点D(x,3,4)在A,B,C三点确定的平面内，求x的值」 30第一部分单元检测卷 20,12分)在0(D症+)L(DE-.②Di-罗，80< 21.(12分)如图，已知正方体ABCD一A'B'C'D 中，点E是上底面A'B'CD的中心，求下列 A cos(EF,DB)<1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线 各式中x,y,之的值 中，并解答下列问题. (1)BD=xAD+yAB+之AA'; D 如图，在正方体ABCD一AB,C1D1中，以D D E (2)AE=xAD+yAB+之AA. 为坐标原点，建立空间直角坐标系D一xy之. A16 B 已知点D1的坐标为(0,0,2)，E为棱DC1上 D 的动点，F为棱BC1上的动点， ,试 问是否存在点E,F满足EF⊥AC.若存在，求 出AE·BF的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 22.(12分)如图，在四棱锥P一ABCD中， 底面ABCD为直角梯形，AD∥BC, ∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD,且PA M =AD=AB=2BC,M为PC的中点， A (1)求证：PB⊥DM; B (2)求AC与PD夹角的余弦值，