第4单元 圆的标准方程，圆的一般方程-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

所以S=S边指0HBc-S△0P,C=26-18.故S=f0)= 4,日<<号 2s-8g<k<3 (2)若要使直线y=kx(号<k<3)将四边形OABC分为面积相等的两部分， 结合(1)知只需1432-10（号<<号）：解得k= k+2 第四单元圆的标准方程、圆的一般方程 1.D圆的半径r=√/(1-0)2+(1一0)2=√2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为 (x-1)2+(y-1)2=2.故选D. 2.B将点(1,2)代入圆的方程，有(1+1)2十(2一2)2>1，所以点A在圆外，故选B. 3.C根据题意，圆C:x2十y2-2x十4y十m=0可变形为(x-1)2十（y十2)2=5-m, 则圆心C的坐标为(1，一2)，半径为/5一m,又其直径为4，则√5一m=2,解得m=1, 故选C. 4C因为国2十y2十ax一y=0的国心坐标为（一号，合），由国心在第二象限可得 a>0,b>0,所以直线x十ay-b=0的斜率-】<0，y轴上的藏距为么>0，所以该 直线一定不经过第三象限.故选C. 5.A设C点坐标为(xy),又A(-1,0),B(1,0),则AC·BC=(x+1,y)·(x-1,y) =x2十y2一1=3，即x2十y2=4,则C点在以O(0,0)为圆心，半径r=2的圆上，则 |BC表示点B到圆x2+y2=4上一动点的距离，又12+0=1<4，故点B在圆x2+ y2=4内部，则|BCImin=r-BO=1.故选A, 6.B所给圆的半径为r1+m二1)二2m=。/-(m+1D2+3,所以当m= 时，半径，取最大值此时最大面积是不故选B 7.A由圆x2十y2=1与y轴的负半轴交于点A,可得A(0,一1)，因为B为圆上的一 动点，所以可设B(cos0,sin0),所以OA·BA=(0,一1)·(-cos0,-1-sin0)= sin0+1,因为sin0∈[-1,1]，所以sin0+1∈[0,2].故选A. 8.B圆x2十y2一2x-6y=0变形为(x-1)2十(y-3)2=10,所以圆心为P(1,3),半 径r=√10.因为，点E(0,1),所以PE=√/12十(3一1)2=√5.根据题意，知最长弦 AC(即圆的直径)和最短弦BD垂直，所以|AC=2r=210,|BD=2√r2一PE2= 25.所以四边形ABCD的面积S=号×AC×BD=号X2V0X25=102. 故选B. 9.ACD由圆M:(x一4)2十(y十3)2=52，故圆心为(4，一3)，半径为5，则AC正确；令 x=0,得y=0或y=-6,线段长为6，故D正确.故选ACD. 10.ABD将x2+y-4x-14y十45=0化为(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标 为(2,7)，故A正确；因为C(2,7),Q(一2,3)两点之间的距离为 √（一2-2）2十(3-7)2=4√2>2√2，所以，点Q在圆C外，故B正确；因为点P(m,m +1)在圆C上，所以m2+(m十1)2-4m-14(m+1)+45=0,所以m=4,即P(4,5), 所以直线PQ的斜率为号，故C错误；因为圆心C(2,7),半径r=22,CQ=4巨 所以|CQ|-r≤MQ|≤CQ|十r,即2√2≤MQ≤6√2，故D正确.故选ABD. 11.AD令x=0,则y=4;令y=0,则x=2. 所以直线2x十y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).AB|= /22+42=2√/5，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2十(y一4)2=20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x一2)2十y2=20.故选AD. 12.AD因为二次函数y=x2-2x十m(m≠0)的图象的对称轴是x=1,所以A,B两 点关于直线x=1对称，所以圆心M在直线x=1上，故A正确；因为二次函数y x2-2x十m(m≠0)的图象交x轴于A,B两点，所以△=4-41>0，解得m<1且m ≠0，故B错误；令y=0,即x2-2x十m=0,解得x1=1一/1一m,x2=1+√1-m, 所以可令A(1一/1-m,0),B(1+√/1-m,0),令x=0,得y=m,则C(0,m),设圆 M的方程为（红-1）2+(y-b)2=2,将A,B.C的坐标代入得1-m+b22 1+(m-b)2=2,消 去产得m2=26m,所以m=2办-1，即6="生，所以2=1-m+() m-2m+5_m-)2+4,因为m<1且m≠0，所以r>1且r≠，故C错误：园 4 4 M的方程为(x-1D2+（y",1)=m,即x2-2x+yym(y 4 =0,则圆M恒过定，点(0,1)，(2,1)，故D正确.故选AD. 13.答案2 解析，x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y十2m2-6m十4=0表示圆，∴.[-2(m- 1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m十4)>0，∴.m>1.又圆C过原点，∴.2nm2-6m十+4 =0,∴.m=2或m=1(舍去)，.m=2. 14.答案√5+3 y 解析由x2+y2+4x-2y-4=0可得(x+2)2+(y-1)2= M 9,表示以(-2,1)为圆心，3为半径的圆，√x2十y2= √(x-0)2+(y-0)2,表示圆上一点P(x,y)到(0,0)的距离， 作出图形，当圆上一点P位于M时，Jx2十y2有最大值 OM,|OM=|OC+3=/4+1+3=√5+3. 15.答案88+4π 解析方程x2+y2一2x一2y|=0,对x,y分类讨论， ①x≥0，y≥0时，方程化为(x-1)2+(y-1)2=2;②.x≥ 0,y≤0时，方程化为(x-1)2+(y十1)2=2；③x≤0，y≥0 时，方程化为(x+1)2+(y-1)2=2;④x≤0，y≤0时，方 2 /B 程化为(x十1)2+(y十1)2=2，由此可得，曲线C的形状由 0 四个大小相等的半圆和一个以直径为边长的正方形组成， -2 如图所示，所以四边形ABCD的面积是号X4X4=8,曲 A 线C所围成的封闭图形面积S=8十2π×(2)2=8十4π 16.答案√3 解析因为点D,E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动 点，根据米勒定理可知，当△DEF的外接圆与x轴相切时，∠DFE最大，易知，弦 DE的垂直平分线必过△DEF的外接圆圆心，所以弦DE中点G的纵坐标，即为 △DEF外接圆半径的大小，即r=2.设△DEF的外接圆的圆心为(a,2),其中a≥ 则a2+(DE)=2,即a2+12=22,解得a=3,所以△DEF的外接圆的方程 (x一√3)2十(y-2)2=4,令y=0,可得x=3,即点F的横坐标为3. 17.解(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0, 解得m<号故m的取值范国为(-∞，)】 (2)将方程x2+y2+2mx-2y十n2+5m=0化为标准方程，得(x十m)2+(y-1)2 =1-5m, 故圆心坐标为（一m,1),半径为/1一5m. 18.解)法一由已知得，直线AB的方程为号十言=1，即3x十4y-12=0 1x=2, 联立{3十y二28解得3则D(2,)片 8x-6y-7=0,1 y=2 又AB1=5△ABC的外接国的丰径长R=, :△ABC的分装国的方程为，一2+（是）广-空 法二由已知得，D∈AB,且D为△ABC的外心， ∴.△ABC为直角三角形，D为线段AB的中点， 国心D(2,受)国的半径长R=AB=号 △ABC的外接国的方程为(x-2)2+(y一多）-2华 (2)设点C的坐标为(a,b),由已知得AB=5, 直线AB的方程为3x十4y一12=0， 由S△Ac=10得点C到直线AB的距离d=|3a十46-12=4，即3a十4b-121= W/42+32 20,① 又，点C的坐标(a,b)满足方程x十3y十6=0，即a十3b十6=0，② 联主0@解得80成824i0点C的生折为0，-2或24-10. 19.解(1)由圆C:(x十2)2+(y-2)2=1可得圆心C(-2,2),半径为1， 设点M(4,4)关于x轴的对称点为M',易得点M的坐标为(4，一4)， 光线从M到N经过的路程，即为点M与，点V的距离， 其最小值为M'C-1=√62+(-6)2-1=6√2-1， 所以光线路程的最小值为6√2一1. (2)设点P(x,y),A(x1y1), x1+4 因为点M(4,4),线段MA的中点为P,所以 2=x y1+4 解得11=2x-4 （y1=2y-4 2=y 又因为点A在圆C上，所以(2x-4十2)2+(2y-4-2)2=1, 即(x-1D2+(y-3)2=即点P的轨连方程为(x-1)2+(y-3)2= 13 多)若逃条件①，设圆心C远，由题意得3，解得{二，所以C0,D 1x=0 设半径为r,则r=AC=/(2-0)2十(1-1)2=2. 则圆C的标准方程为x2十(y一1)2=4. 若选条件②，设圆心C(0,b),由题意知AC=/(2一0)2十(1一b)2=2,解得b=1, 所以圆心C(0,1),半径为2，所以圆C的标准方程为x2十(y-1)2=4. 若选条件③，设圆心C(0,b),由题意知AC=|MC, 即√(2-0)2+(1-b)2=/(3-0)2+(2-b)2,解得b=1, 所以圆心C(0,1),且半径为√/(W3-0)2+(2-1)2=2, 所以圆C的标准方程为x2+(y一1)2=4， (2)TA+TP=TQ,即TA=TQ-TP=PQ,又|PQ≤2r=4,所以|TA≤4， 故点T在以，点A(2,1)为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即(t-2)2+(0-1)2≤16，解得2-√15≤t≤2+√15， 即实数t的取值范围是[2-√15,2+√15]. 21.解因为(m-22+m十D24m-2》=226m+13=2m）)/土7>0包 成立所以无论m为何值，方程总表示国，且同心坐标为(2三。m士)，国的半 径r=号√2m2-6m+13. 1)当圆的丰径最小时，图的面积最小.r=号V2m-6m十13=号 √2（侧号）广十号≥厚，当显仅当m一多时，等号成立光时面积藏小 4 所以当圆的面积最小时，国心坐标为（什一子），辛径r= 41 （2)圆心到生标原点的距商d=2(m-)》'干 号≥32，当且仅当m=2时，圈 29 4 心到坐标原点的距离最近，此时，圆心坐标为（任，一）丰径r=平 4 22.解(1)因为点A的坐标满足方程x2+y4=4,所以t=4,解得t=一2或t=√2 (舍去)，所以A(0,-√2).BA=BC=√22+(W2)2=√6，AC=2√2， AC-aRC2号 2BA·BC 因此△ABC是锐角三角形，即△ABC的最小覆盖圆是其外接圆. 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0, 2-√2E+F=01D=-1 则2+√2E+F=0,解得E=0, 4+2D+F=0 F=-2 即△ABC的外接圆方程为x2十y2-x一2=0. 所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2十y2-x-2=0. (2)因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆， 所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2十y2=4. 记O为坐标原点， 又OA=OC=√2<2，所以点A,C在圆x2十y2=4内， 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2十y2=4. (3)设P(a,b)是平面图形W上一点， 则oP1=a2+6=-6++4=-(-）°+平(-<≤②. 当6=p6=±号时，oP=9. 因为平面图形W关于原点中心对称， 所以平面图形W的最小覆盖圆的方程是2+y 参考答案89第四单元圆的标准方程、圆的一般方程 测试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 曲 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是 ( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 密 2.点A(1,2)与圆C:(x+1)2+(y一2)2=1的位置关系是( 识 A.点A在圆内 B.点A在圆外 封 C.点A在圆上 D.不能确定 典 3.已知圆C:x2+y2一2x十4y十m=0的直径为4，则 线 A.m=-1 B.点C坐标为（一1，一2） C.m=1 D.点C坐标为（一1,2） 4.若圆x2+y2+ax一by=0的圆心在第二象限，则直线x十ay一b 内 =0一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 不 C.第三象限 D.第四象限 5.(综合运用)已知平面内两定点A(一1,0)，B(1,0),若一动点C 故 准 满足AC·BC=3,则BC的最小值为 ( A.1 B.3 C.2 D.0 答 6.由方程t十十a十(m一1Dy十m=0所确定的圆的面积的最 大值为 题 1冷 C.π D.2元 7.已知圆x2十y2=1与y轴的负半轴交于点A,若B为圆上的一动 点，O为坐标原点，则OA·BA的取值范围为 ( A.[0,2] B.[0,1] 丝 C.[-2,2] D.[-1,1] 北 8.在圆x2十y2一2x一6y=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分 别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 () A.52 B.10√2 C.15√2 D.20√2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 9.已知圆M:(x一4)2十(y十3)2=25，则下列说法正确的是() A.圆M的圆心为(4，一3) B.圆M的圆心为（一4,3） C.圆M的半径为5 D.圆M截y轴所得的线段长为6 10.已知圆C:x2+y2-4x-14y十45=0及点Q(-2,3),则下列说 法正确的是 A.点C的坐标为(2,7) B.点Q在圆C外 C.若点P(m,m十1)在圆C上，则直线PQ的斜率为号 D.若M是圆C上任一点，则|MQ的取值范围为[2√2,6√2] 11.以直线2x十y一4=0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个 交点的圆的方程可能为 () A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20 C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20 12.已知二次函数y=x2-2x十m(m≠0)的图象交x轴于A,B两 点(A,B不重合)，交y轴于点C.圆M过A,B,C三点.下列说 法正确的是 () A.圆心M在直线x=1上 B.m的取值范围是(0,1) C.圆M半径的最小值为1 D.存在定点N,使得圆M恒过点N 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过 坐标原点，则实数m的值为 14.若实数x,y满足x2十y2+4x一2y一4=0，则√x2十y2的最大值 是 15.(思维创新)数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2-2|x-2|y=0就是其中之一，已知曲线C与两坐 标轴分别交于A,B,C,D四点，则四边形ABCD的面积是 ;当x∈R,y∈R时，曲线C所围成的封闭图形的面积 是 .(本题第一空2分，第二空3分) 16.(情境创新)德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一 般的描述是：已知点A,B是∠MON的ON边上的两个定点，C 是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的 答案是：当且仅当△ABC的外接圆与OM边相切于点C时， ∠ACB最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点D,E的坐标 分别是(0,1)，(0,3)，F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最 大时，点F的横坐标为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 17.(10分)（回归教材）若方程x2+y2十2mx-2y十m2十5m=0表 示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 第一部分单元检测卷 9 18.(12分)在△ABC中，已知A(0,3),B(4,0),直线1经过点C (1)若直线1：8x一6y一7=0与线段AB交于点D,且D为 △ABC的外心，求△ABC的外接圆的方程； (2)若直线1方程为x+3y十6=0，且△ABC的面积为10，求点 C的坐标. 19.(12分)已知圆C:(x+2)2+(y-2)2=1,定点M(4,4). (1)光线自定点M开始射到x轴上，经x轴发生镜面反射后到 达圆C上的点N为止，求光线路程的最小值； (2)若点A在圆C上转动，点P为线段MA的中点，求点P的 轨迹方程. 10第一部分单元检测卷 20.(12分)（开放创新）[名师改编]已知圆C过点A(2,1),圆心在 y轴上，且 在①圆心C在直线y=x+1上：②圆C的半径为2：③圆C 过点M(√3,2)这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线 上，并解答下列问题， (1)求圆C的标准方程； (2)设点T(t,0),满足存在圆C上的两点P和Q,使得TA十TP =TQ,求实数t的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 21.(12分)已知圆C的方程为x2+y2+(m-2)x+(m+1)y+m 2=0,根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐 标和半径. (1)圆的面积最小； (2)圆心距离坐标原点最近. 22.(12分)（探索创新）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形 且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆，最小覆盖圆满 足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆； ②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知x,y满 足方程x2+y=4,记其构成的平面图形为W,已知平面图形W 关于原点中心对称，A(0,t),B(2,0),C(0,√2)，D(一2,0)为平 面图形W上不同的四点 (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程.