精品解析：重庆市渝东北等部分区县2026届高三下学期5月学情自测数学试题

重庆市渝东北等部分区县2026届高三三诊模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则集合可以分别（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则m=（ ） A. B. 15 C. D. 3. 若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（ ） A. 2r B. C. 4r D. 4. 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 5. 重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点 处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（ ）(参考数据：取） A. 26米 B. 28米 C. 30米 D. 32米 6. 若向量a且∥，则m的最小值为（ ） A. e B. C. 4 D. 7. 若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 0 B. 9 C. 12 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四点不共面 D. 与底面所成的角为 10. 在等差数列中，则下列判断正确的是（ ） A. B. 的前n项和为 C. 满足的n的最大值为29 D. 若从的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的概率为 11. 过点的直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点，射线 、射线与直线分别交于点 、点N，则（ ） A. B. 点的横坐标之积与直线的斜率有关 C. 与的面积相等 D. 当直线的斜率为2且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的实部与虚部之差为______. 13. 若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 14. 若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有 个元素，则的取值范围是_________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求曲线的对称轴方程； （2）若关于x的方程 ()在上恰有2个解，求a的取值范围. 16. 在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置的情感词典计算打分. 志愿者组的评分如下表： 15.2 16.5 18.8 19 20.2 20.8 21.3 22 22.5 23.2 23.5 24.1 25.8 26 26.5 27 27.5 28.5 30.1 31.2 AI组的评分如下表： 7.8 8.5 9.2 10 11.4 11.8 12.4 13 13.2 14.2 15.5 16 16.2 16.5 17.2 18 18.5 19.2 19.5 20.5 （1）求AI组20个评分的极差与第20百分位数. （2）设这40个评分的中位数为m. （i）求m的值，并统计两组(人类组即志愿者组)样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成下面的列联表： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 AI组 合计 （ii）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知是否存在差异. 附： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）若，求正数a的取值范围. 18. 设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. （1）求; （2）证明并求; （3）证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 19. 已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. （1）求圆O的方程. （2）设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点分别到达点的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ①若(翻折前)，且，求二面角的余弦值. ②将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝东北等部分区县2026届高三三诊模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则集合可以分别（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，从而可得出答案. 【详解】因为，所以，故只有C选项符合题意. 2. 若直线与直线垂直，则m=（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 3. 若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（ ） A. 2r B. C. 4r D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的高为，则，解得. 4. 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 5. 重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点 处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（ ）(参考数据：取） A. 26米 B. 28米 C. 30米 D. 32米 【答案】B 【解析】 【分析】先在中用正弦定理求出 ，再在 中利用仰角的正切值即可求出塔高. 【详解】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在 中，， 所以米. 6. 若向量a且∥，则m的最小值为（ ） A. e B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得到 关于 的表达式，再通过求导分析函数的单调性，进而求出 的最小值. 【详解】因为，且 ，， 所以，整理得：， 令，所以， 令 ，因 ，，，故 ，得 ， 当 时，，故 ， 在 上单调递减； 当 时，，故 ， 在 上单调递增， 因此， 是 的极小值点，也是 时的最小值点， 将 代入 ，得：， 所以 的最小值为 . 7. 若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等面积法建立方程，表示出P横坐标，再根据△PF1F2的内切圆的半径取值范围求解. 【详解】由题可知，所以，， 设△PF1F2的内切圆的半径为 ， 所以， 又，所以，即 又，所以，所以， 所以，因为 所以所以， 所以或，所以点P横坐标的取值范围是 8. 若，则（ ） A. 0 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【详解】在中，偶数次项系数为正，奇数次项系数为负， 所以，取， 可得， 故所求式的值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正四棱柱中，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四点不共面 D. 与底面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，根据两条平行线确定一个平面判断C，根据线面角的定义判断D. 【详解】如图， 因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 正四棱柱中，平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以 ，因为平面， 所以平面，故B正确； 在正四棱柱中，，所以， 故四点共面，故C错误； 因为平面，所以与底面所成的角为， 在中，，所以，故D正确. 10. 在等差数列中，则下列判断正确的是（ ） A. B. 的前n项和为 C. 满足的n的最大值为29 D. 若从的前20项中任选3项，则这3项都是偶数的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式基本量法，求出首项和公差，根据通项公式判断选项A、C；根据等差数列前项和公式判断选项B；对于选项D，确定前20项中偶数项的数量，再利用古典概型的概率公式计算概率. 【详解】设公差为，由，得，即， 首项. 因此通项公式为：， 前项和为：. 选项A ：，正确； 选项B ：前项和，正确； 选项C ：由，得，的最大值为28，不是29，错误. 选项D ：的奇偶性：为奇数时为偶数，为偶数时为奇数； 前20项中，共10个偶数项， 任选3项都是偶数的概率为：，正确. 11. 过点的直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点，射线 、射线 与直线分别交于点 、点N，则（ ） A. B. 点的横坐标之积与直线的斜率有关 C. 与的面积相等 D. 当直线的斜率为2且时， 【答案】AC 【解析】 【详解】 如图所示，不妨设， 可知直线 斜率必定存在，设直线 为， 联立方程组可得，消去 得， 可知在时，， 则， 直线为，当时，解得，即点， 直线为，当时，解得，即点， 则， 可知， 因为，所以， 所以，所以A正确； 可知，与斜率无关，所以B错误； 可知，， 因为，所以， 所以，选项C正确； 当时，可知， 因为， 所以，即， 化简得，因为，即， 所以，因为，所以，解得，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的实部与虚部之差为______. 【答案】 【解析】 【详解】由， 所以实部与虚部之差为. 13. 若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线方程化为标准方程得：，其中， 则实轴长，虚轴长，焦距， 由焦距是虚轴长的倍，则， 平方得：， 即，因为，所以. 14. 若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有 个元素，则的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性及极值，作出的大致图象，转化为与图象有2个交点，数形结合即可得解. 【详解】由指数函数性质知，在上单调递减，且值域为， 的定义域为，， 令，解得，令，解得， 则的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以，作出的大致图象，如图， 当只有 个元素时，即直线与的图象总共有2个交点， 由图象可知，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求曲线的对称轴方程； （2）若关于x的方程 ()在上恰有2个解，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将转化为正弦型函数，根据正弦函数的对称轴方程进行求解； （2）由、可得，进而求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以曲线的对称轴方程为直线； 【小问2详解】 ，时， 由可得， 当，时，， 若方程 ()在上恰有2个解， 则，解得， 所以a的取值范围为 16. 在一项“人机协作”的心理学实验中，研究人员让20名志愿者和20个AI语言模型分别完成同一项“情感强度打分”任务.志愿者组根据自己的主观感受打分，AI组则根据AI模型内置的情感词典计算打分. 志愿者组的评分如下表： 15.2 16.5 18.8 19 20.2 20.8 21.3 22 22.5 23.2 23.5 24.1 25.8 26 26.5 27 27.5 28.5 30.1 31.2 AI组的评分如下表： 7.8 8.5 9.2 10 11.4 11.8 12.4 13 13.2 14.2 15.5 16 16.2 16.5 17.2 18 18.5 19.2 19.5 20.5 （1）求AI组20个评分的极差与第20百分位数. （2）设这40个评分的中位数为m. （i）求m的值，并统计两组(人类组即志愿者组)样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成下面的列联表： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 AI组 合计 （ii）根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析AI的情感量化结果与人类的主观感知是否存在差异. 附： α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）极差为，第百分位数为； （2）（i）中位数， 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 3 17 20 AI组 17 3 20 合计 20 20 40 （ii）认为AI的情感量化结果与人类的主观感知存在差异. 【解析】 【分析】（1）找出AI组评分的最大值和最小值，进而得到极差；结合百分位数定义求解即可； （2）（i）将所有40个评分从小到大排序，找到第20和第21个数据，计算其平均值得 ，分别在志愿者组和AI组的评分中，逐个比对数据与 的大小，统计对应个数，完成列联表； （ii）先根据列联表中的数据，代入卡方公式计算值，再与10.828比较判断即可. 【小问1详解】 AI组20个评分已按从小到大排序，最大值为，最小值为， 因此：极差 计算第20百分位数：，为整数， 因此第20百分位数为第4项和第5项的平均数：； 【小问2详解】 （i）40个数据从小到大排序后，中位数为第20项和第21项的平均数. 则第20项为，第21项为， 因此： . 补充列联表如下： 评分小于m 评分不小于m 合计 人类组 3 17 20 AI组 17 3 20 合计 20 20 40 （ii）零假设：AI的情感量化结果与人类的主观感知无差异. 代入卡方公式计算：， 已知对应的临界值，由于，因此拒绝零假设. 即认为AI的情感量化结果与人类的主观感知存在差异. 17. 已知函数 （1）若，求曲线在点处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）若，求正数a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时：在上单调递增。当时：在上单调递减；在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程即可； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负来回答函数的单调性； （3）利用函数的单调性求最值来解决不等式恒成立问题. 【小问1详解】 由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； 【小问2详解】 求导得：， 当时：  由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时：  由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 【小问3详解】 已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 18. 设某湖泊每年的水质会在Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类中按如下规律变化： 若上一年是Ⅰ类，则下一年仍是Ⅰ类的概率为0.8，降为Ⅱ类的概率为0.2； 若上一年是Ⅱ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.3，保持Ⅱ类的概率为0.5，降为Ⅲ类的概率为0.2; 若上一年是Ⅲ类，则下一年变成Ⅰ类的概率为0.1，变成Ⅱ类的概率是0.2，保持Ⅲ类的概率是0.7. 已知该湖泊第1年的水质为Ⅰ类，设第n年的水质为Ⅰ类的概率为，水质为Ⅱ类的概率为. （1）求; （2）证明并求; （3）证明:存在λ和μ，使得是等比数列. 【答案】（1）， （2）证明：由，得，故， 整理为，这是首项为、公比为的等比数列，因此． （3）证明：由，代入得， 再代入，整理得， 取，，则是公比为的等比数列． 【解析】 【分析】（1）利用马尔可夫链的状态转移规律，结合初始状态的概率分布，直接计算第2、3年的水质概率，是对状态转移递推关系的基础应用； （2）通过水质概率和为1的关系，消元后推导出的一阶线性递推关系，再用构造法转化为等比数列求解，体现了递推数列的核心解题技巧 （3）通过消元将的递推式用表示，再代入的通项，整理为可构造等比数列的形式，完成了对递推数列的深层转化与证明． 【小问1详解】 已知第1年水质为Ⅰ类，故，，. 根据转移规律，，，， 因此． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. （1）求圆O的方程. （2）设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点分别到达点的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ①若(翻折前)，且，求二面角的余弦值. ②将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 【答案】（1） （2）① ②（i）证明：设, 的坐标为， 则在平面的正投影的坐标为， 在平面的正投影的坐标为,线段在平面上的正投影的中点 的坐标为， 所以，即. 由题意知，故，化简得， 所以点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii） 【解析】 【分析】（1）易得圆的半径为点到直线的距离，即可求解； （2）①求出 点坐标及两个面的法向量，利用二面角的向量公式即可求解； ②（i）设, 的坐标为,则， 在平面的正投影的坐标分别为，，故 的坐标为，所以.由题意知，故，化简即可证明. （ii）由题意得，结合正弦函数的图象即可求解. 【小问1详解】 由题意知圆的半径即为点到直线的距离，即 ， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 ① 如图，由题意得, 则. 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为，则， 令，则.设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则. ②（i）略 （ii）由题意得， 因为，所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $