重庆市江津中学校2026届高三考前适应性考试数学试卷

**基本信息** 高三数学三模试卷以新能源汽车、智能机器人等时代情境为载体，通过梯度化题型设计，考查数学抽象、逻辑推理、数据意识等核心素养，适配高考冲刺阶段能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、椭圆光学性质等|第7题结合购车偏好调查考查条件概率，体现数据意识| |填空题|3/15|等差数列、立体几何体积、概率|第14题机器人路径规划，融合数学建模与运算能力| |解答题|5/77|解三角形、椭圆、导数、概率统计|第19题信息源概率模型，考查逻辑推理与数学表达，呼应高考创新命题趋势|

江津中学适应性考试参考答案 选择题 题号 1 2 4 5 6 9 10 答案 C B C B B A C D ABD ACD 题号 11 答案 ABD 二、填空题：12.【答案】12 13.【答案】a 14.【答案】霜 三、解答题： 15.【解析】解：(1)由题意csinB=bsin(C+),根据正弦定理得sinCsinB=sinBsint(C+)… 0<B<n.sinB≠0sinC=sin(+)… :sinC=2sinc+9cosc即：tanc=V5. :0<C<,C=写 (2)由题意D在边AB上一点，且AD=2BD,CD=2,可得CD=C丽+CA,… cD2=(号C丽+}C,cD=+c+c丽.C，… 故4=a2+b2+ab,…10分 4=ga2+号b2+ab≥ab+ab=ab, .ab≤6当且仅当b=2a=23时取到等号，…12分 故saac=0hsin写≤3 S△4c的最大值为3，当且仅当b=2a=23时取到等号.… 16.【解析】解：(1)由题意知F(-√3,0)·c=√3 4公2=+33分：椭圆经过点(V5,分小是+是=1 解得和=2，b=1…6分 放椭圆C的标准方程为+y2=1… (2由题可得kAB=克 直线平行于AB“设直线平行的方程为y=x+m0m≠0)，点P(x,y1), 第1页，共4页 Q(x2y2). 将直线的方程代入椭圆C的方程2x2+4mx+4m2-4=0, 易得4>0，则x+x2=-2m,xx2=2m2-2. …9分 yiy2 x1+m x2+m 1 2m(x1+x2)+m21,-m2+m21 ·kk2= x1X2 X1X2 x1X2 4 X1X2 4…14分 k2=k1k2即k1,k,k2成等比数列.…15分 17.【解析】(1)取B1C1中点G,则FG/平面A1C1E,BG/平面A1C1E, 所以平面BEF/平面A1C1E, 所以BF平面A1C1E…6分 (2)以E为坐标原点，EA,EB为x,y轴建立直角坐标系，设A1=(x,y,zZ), 则AA=(x-V3,yz),AB=(-V3,1,0),AC=(-V3,-1,0): IAA12=(x-3)2+y2+z2=1 额--解得x=9y=0,2= 所以CoS∠BAA=E 2 3 AC-AA1 cos2CAA1=丽3- 2 故AA⊥CB,所以BC⊥平面AA1E,所以平面AA1E的一个法向量元=(0,1,0)…11分 设平面A1C1的法向量为元-(xy2列，A1G-AC=(-3,-1,0,EA-(2,0,) 佩A=x+92=0x=1玩=(1，-反-②15分 i.A1C=-3x-y=0 设两平面的夹角为0，则c0s0=cos<元元>=号 所以平面AA1E与平面A1CE夹角的余弦值为 .…17分 18.【解析】解：(1)由fx)=ex-ax-1,得f'(x)=ex-a, 又f(0)=1-a=-1,所以a=2,…2分 所以f(x)=e-2x-1,f(x)=ex-2, 由f(x)=ex-2>0,得x>ln2, 所以函数f()的单调递减区间为(-o,ln2),单调递增区间为n2,+o).…4分 (2)(i)由(1)知f(x)mim=fn2)=en2-2ln2-1=1-ln4, 所以f(x)21-ln4,即ex-2x-1≥1-ln4,ex-2x≥2-1n4>0,…6分 第2页，共4页 令g(x)=e*-x2-1,则g'(x)=e-2x>0,所以g(x)在(0，+o)上单调递增，所以g(x)=e-x2-1> g(0)=0,即ex>x2+1.…8分 令h()=e-3x3,则h(=e*-2,又当x>0时，e*>x2+1,则e*>x2,所以h'()>0,所以h() 在(0.+o)上单调递增，所以h(6)>h0)=1>0,所以e>号x8.…10分 (ii)由(i知e*>号x3,所以x>n(（后x）即x+ln3>3nx,…12分 依次取x=子浸…，代入上式， 财+1h3>3n子号+1hn3>3n2,4+ln3>3n n ，…14分 以上各式相加，有+++t+nn3>3n(仔××…×) 所以n+(1+号+写++)+n3>3ln(m+1), 所以1++号++>3nm+1)-n3-n, 即1+计号+…+片>ng, 3nen, 即可证明：当凯eN时，%1>n (3e)n …17分 19.【解析】解(1)因为x~B(2,p),则a1=C2=p2,b1=C2P(1-p)=2p(1-p),c1=C(1-p)2=(1- p)2.…4分 (2②(i)油题知a1=3b1=号G1=云则b1-3G=0,由题可得：b1=ab+b.(a.+c)+cb, Cn+1=ancn+bxcn+Cnan. …6分 a+1=a晚+b2+c2 a+1=a晚+b+c2 由bnt1=ab,+b(a.+i0）+cb,即bnt1=bcn+2a,bn,…8分 2 Cn+1=ancn+DnCn Cnan Cn+1=nCn +2ancn 则a+1+bn+1+cn+1=(an+bn+cn)2=(an-1+bn-1+cn-i)4=…=(a1+b1+c)2=1, 又因为bn+1-3Cn+1=2an(bn-3cn),所以bn=3Cn恒成立，…11分 (i)由(i知b.=3c恒成立，又a=1-b-C=1-4c,则c=1 所以a+1=G+10G=G+1-a)2-号G-a+ 5 …13分 则a1音-号a-,所以a言=a1}-号×a -”-(阁( 8 2n-1 21 8 =13×(25 …15分 第3页，共4页 咖=（侣×（是+）-品勋=3c-3x=岛 所以a=,b=,c= 6 2 17分 法二，nat+1=na=aimb+1=imb.=b,pc+1=mn=c n→+00 n→+00 n→+00 n→+00 a=a2+b2+c2 5 a= 1 所以 b=ibc+2ab 解得b= 6 c=bc+2ac 2 a+b+c=1 (C= 第4页，共4页 高三适应性考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.试卷由”整理排版。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={-2,-1,0,1,2}, ,则A∩B =( ) A.{0,1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {-1,0,1,2} 2. 设a, b∈R, i是虚数单位,则“ab = 0”是“复数 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 的展开式中，x4的系数为( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.若抛物线 的准线为l，则l截圆所得的弦长为( ) A. B. C. D. 5.在平形四边形ABCD中, E为线段BC的中点, , 则 ( ) A.9 B.11 C.13 D.15 6.已知α，β，γ均为锐角，且 则α+β+γ= ( ) A. B. C. D.或 7.随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示： 年龄段 人数占样本的比例 组内最看重高阶智能驾驶的比例 A组(30岁及以下) 40% 60% B组 (31--45岁) 50% 30% C 组 (46岁及以上) 10% 10% 现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为( ) A. 0.24 B. 0.40 C. 0.60 D. 0.80 8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆内壁反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆 的左、右焦点分别为，从发出的一条光线交椭圆于点A，在点A处反射后交椭圆于点B，在点B处反射后再次经过点.若且 则C的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3道小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9. 某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损. 成绩/分 5 6 7 8 9 10 人数 (破损) 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则下列说法正确的是( ) A.众数为9 B. 极差为5 C.第30百分位数为6 D.平均数小于中位数 10. 已知函数 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是( ) A. ω=3 B. f(x)的图象关于(,0)中心对称 C. f(x)在[0,a]上有4个零点,则实数a的取值范围是[,] D.将g(x)=2cos3x的图象向右平移个单位长度,可以得到函数f(x)的图象 11.在棱长为1的正方体 中，M为正方形BCC1B1内(包含边界)的动点，N为线段AC₁上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是( ) A.线段BM的长度为定值 B.C₁M的最小值为 C.直线DM与直线AB始终为异面直线 D. 的最小值为1 三、填空题：本大题共3道小题，每小题5分，共15分。 12. 已知是公差不为零的等差数列， 且, , 成等比数列,则 13. 如图，将 1张长为2m，宽为 1m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为 m3. 14. 在某智能机器人路径规划实验中，机器人初始位于平面直角坐标系的原点O处，每次移动，该机器人都等可能地向上、下、左、右四个方向之一移动 1米，则经过 6次移动后，机器人与原点O的距离等于 米的概率为 . 四、解答题：本大题共5道小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知 (1) 求C; (2)若D在AB边上, 且AD=2DB, CD =2, 求△ABC面积的最大值. 16. (15分) 已知椭圆E 经过点 且直线 过椭圆E的焦点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)斜率为 的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为 求 的值. 17. (15分) 如图，三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， F分别为BC,的中点. (1) 证明: BF//平面E; (2)求平面ABC与平面E夹角的余弦值. 18.(17分) 已知函数 (a为常数，e为自然对数的底数)，曲线y =f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x+y=0. (1)求a的值及函数y=f(x)的单调区间； (2)证明:当x>0时, (3)证明:当i,n∈N*时, 19.(17分) 某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射A，B，C的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布X~B(2,p)生成, 第一次信息发射后遵循如下规则：若第n次发射信息为A，则第n+1次发射信息A，B，C的概率分别为，，；若第n次发射信息为B，则第n+1次发射信息A，B，C的概率分别为 若第n次发射信息为C，则第n+1次发射信息A，B，C的概率分别为，，.当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，C的概率分别趋近于定值a，b，c，则称该信息源存在发射稳定期. (1)写出，，值(用p表示) ; ()当 时， (i)用，，表示 和 并证明： (ii)当 时，该信息源是否存在发射稳定期?若存在，求a，b，c的值；若不存在，请说明理由. 数学试卷 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $