精品解析：四川南充市2026年春季九年级第一次诊断性考试数学试卷

2026年春季九年级诊断性考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 预计到2035年，南充临江新区生产总值将突破1300亿元．将1300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 南充某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 则该班学生阅读时间的中位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 5. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有x个客人，y个盘子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 乐乐在数轴上按照如图的方法“画出”了，，，．若图中长方形的顶点B和C在数轴上对应的数分别为1和，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5 7. 如图，是某学校校门入口的智能闸机及其示意图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与C之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则可以通过闸机的物体的最大宽度约为（ ）（参考值：，，） A. B. C. D. 8. 已知实数，，满足，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 化简：______． 12. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为__________． 13. 若关于的不等式解集为，则a的取值范围是_____. 14. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长是______ ． 15. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有_________（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 大模型具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数．其中是国产大模型之一，它的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场同时开始的网络直播，对四类人工智能分别进行讲解，其主题分别为：A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统．某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为多少人，并根据题意补全条形统计图； （2）请根据调查结果，估计该校七年级800名学生中，观看主题“D．专家系统”有多少人？ （3）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 20. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围． （2）求代数式的最大值或最小值． 21. 如图，直线与双曲线交于点和点． （1）求k、b的值； （2）写出点的坐标_____； （3）点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 22. 如图，内接于，，过点作交于点，交于点，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，，求的长． 23. 如图，是某小区矩形停车场平面图，长60米，宽30米，其中共有A、B、C三个矩形停车区域（宽度分别为a米，米，a米），面积和为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位长a米，宽2.5米．两端和停车区域间分别为宽度相同的车道． （1）求行车道宽度和车位数量； （2）停车场实行按天收费，在试营业期间，调查发现：按每个车位12元/天的标准收费，车位全部被租完，当车位费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求w的最大值． （3）在（2）的条件下，停车场确定收费标准为每个车位16元/天，同时将未出租车位中的m个普通车位改装为充电车位（充电车位每天都能全出租）．充电车位每个改装费为5000元．若改装m个车位后，停车场全年总收入（扣除改装费后）超过未改装前全年停车收费总金额的最大值（全年均按365天计），求m的最小值． 24. 综合与实践 背景 生活中常见的纸是由国际标准化组织的定义的，规格为．通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想出纸的长、宽之比为．我们取一张纸记为矩形，通过下面的折纸操作都能验证这一结论． 操作 如图1，将短边沿过点B的直线折叠，使点A的对应点落在边上，得到折痕，用另一张纸的长边靠近，发现它恰好与重合． 如图2，在第一次折叠的基础上，继续将沿过点B的直线折叠，使点E的对应点落在点C处，得到折痕，点D的对应点为点． 如图3，将第一次折叠后的图形展开，再将短边沿过点C的直线折叠，使点D的对应点落在边上，得到折痕，再次展开图形，折痕与交于点O． 如图4，将图3得到的纸片再分别沿折叠，发现与重合，与重合． 问题解决： （1）根据图1，求的值； （2）根据图2，若矩形边长，求的长度； （3）根据图3和图4，连接并延长交于F，求． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求点的坐标． （2）直线与抛物线交于，两点，其横坐标分别为，．若，，求的取值范围． （3）如图2，直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，过点作交于点．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季九年级诊断性考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除法法则、幂的乘方运算法则逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C正确； D、，∴D错误． 2. 将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角板的性质得出，，利用角的和差关系计算，进而求出； 【详解】解：在中，，， ， ，  ， 在中，， ． 3. 预计到2035年，南充临江新区生产总值将突破1300亿元．将1300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数． 【详解】解：． 4. 南充某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表： 阅读时间（h） 6 7 8 9 10 11 12 人数（人） 5 6 9 10 6 3 1 则该班学生阅读时间的中位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 【答案】B 【解析】 【分析】先计算抽取的总人数，再根据中位数的定义找到中间位置的两个数据，计算平均数即可得到中位数． 【详解】解：∵总人数为 ，40为偶数， ∴该班学生阅读时间的中位数是排序后第20个和第21个数据的平均数， ，， ∴第20个数据为8，第21个数据为9， ∴中位数为． 5. 北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有x个客人，y个盘子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设有个客人，个盘子， ∵2个人共用1个盘子，少2个盘子，即一共需要个盘子，现有个盘子比需要的少2个， ∴， ∵3个人共用1个盘子，多出来3个盘子，即一共用掉个盘子，现有个盘子比用掉的多3个， ∴， 因此可得方程组． 6. 乐乐在数轴上按照如图的方法“画出”了，，，．若图中长方形的顶点B和C在数轴上对应的数分别为1和，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴．利用两点之间的距离公式求得，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴长方形的面积为， 故选：A． 7. 如图，是某学校校门入口的智能闸机及其示意图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与C之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则可以通过闸机的物体的最大宽度约为（ ）（参考值：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用正弦函数求出双翼在水平方向上的投影长度，再加上中间端点间的距离即可得出最大宽度． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，，， ，  同理可得， 可以通过闸机的物体的最大宽度为． 8. 已知实数，，满足，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的运算及化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是运用分式的运算法则进行恒等变形． 9. 如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 10. 如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，根据二次函数的性质、二次函数与一次函数的交点解答即可 【详解】解：由题意知， ∵对称轴为直线，且． ∴， ∴， 将代入，得，两边同时除以c，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故A错误； ∵直线经过第一、二、四象限， ∴， 直线在当时， ∴，得， ∴，故B错误； ∵直线与抛物线有两个交点， ∴， 得， 由得， ∴，故C错误； 令 ∴， ∵， ∴， ∵交点在右边， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．让获得奖励的人数除以参赛选手的人数即为周颖获得奖励的概率． 【详解】解：设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名， 所以选手周颖获得奖励的概率为． 故答案为：． 13. 若关于的不等式解集为，则a的取值范围是_____. 【答案】a＜2 【解析】 【分析】根据不等式的解法，两边都除以（a-2），不等号的方向改变，a-2＜0计算即可得解． 【详解】解：∵（a-2）x＞a-2两边都除以（a-2）得x＜1， ∴a-2＜0， ∴a＜2． 故答案为a＜2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，先根据不等式的解集为x＜1得出关于a的不等式是解答此题的关键． 14. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则的长是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质解题的关键． 根据直角三角形的性质，根据角平分线的定义可得，再解直角三角形可得，最后根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：，， ， 由作法得平分， ， ∵，即, ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 16. 如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有_________（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①连接，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；②连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接，过点作于点，根据正方形的性质及勾股定理可得、的长，再利用三角形的面积公式答案． 【详解】解：①如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 、、、在以为直径的圆上， ，， ， ，故①正确； ②如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故②不正确； ③由①得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为，故③正确； ④如图，若设的中点为，则点在上时，连接，过点作于点， ，， ， 由③知四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． ④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 4 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂和立方根，再进行加减运算即可． 【详解】 解：       ． 18. 如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是的中线， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等； （2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ，是的中线， ， 即， ． 19. 大模型具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数．其中是国产大模型之一，它的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场同时开始的网络直播，对四类人工智能分别进行讲解，其主题分别为：A．机器人技术，B．计算机视觉，C．自然语言处理，D．专家系统．某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为多少人，并根据题意补全条形统计图； （2）请根据调查结果，估计该校七年级800名学生中，观看主题“D．专家系统”有多少人？ （3）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 【答案】（1）200人， 补全条形图如图： （2）160人 （3） 【解析】 【分析】（1）已知观看主题C的人数为30人，占总人数的，据此求出总人数，再用总人数减去其余三个人数求出观看主题B的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）用列表法解答即可； 【小问1详解】 解：总人数（人）， 观看主题B的人数（人）； 【小问2详解】 解：七年级800名学生中，观看D的人数估计为：  （人）， 答：估计观看“D．专家系统”的学生有人． 【小问3详解】 解：用列表法分析所有等可能结果（设四个主题为A、B、C、D）： 乙 甲 A B C D A B C D 由表可知，总共有种等可能的结果，其中甲乙选择同一场直播的结果有种， ∴（ 甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看）． 20. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围． （2）求代数式的最大值或最小值． 【答案】（1），且 （2）最小 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数求最值，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先将原方程展开，再根据方程有2个实数根，得到求解，注意即可； （2）由根系关系，得．将其展开，代入，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：由已知，得， 即． ∵有两个实数根，， ， ， 同时，二次系数，即， 的取值范围为，且； 【小问2详解】 解：由根系关系，得． ∴令 ． 当时，最小． 21. 如图，直线与双曲线交于点和点． （1）求k、b的值； （2）写出点的坐标_____； （3）点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 22. 如图，内接于，，过点作交于点，交于点，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，，求的长． 【答案】如图，连接 ∵ ， ∴ 是的直径， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 是的切线； ． 【解析】 【分析】根据，可得是的直径，进而得到根据圆周角定理，可得，最后根据，可得，即是的切线； 根据，可得，，，进而在中，求得，根据勾股定理可得，最后在中，根据，，求得，即可得到的长 【详解】略 如图，连接，交于点， ∵ ， ∴ 弧弧 ∴ ，，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形，运用了三角函数求线段的长，综合性比较强，作辅助线转化是解题的关键 23. 如图，是某小区矩形停车场平面图，长60米，宽30米，其中共有A、B、C三个矩形停车区域（宽度分别为a米，米，a米），面积和为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位长a米，宽2.5米．两端和停车区域间分别为宽度相同的车道． （1）求行车道宽度和车位数量； （2）停车场实行按天收费，在试营业期间，调查发现：按每个车位12元/天的标准收费，车位全部被租完，当车位费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求w的最大值． （3）在（2）的条件下，停车场确定收费标准为每个车位16元/天，同时将未出租车位中的m个普通车位改装为充电车位（充电车位每天都能全出租）．充电车位每个改装费为5000元．若改装m个车位后，停车场全年总收入（扣除改装费后）超过未改装前全年停车收费总金额的最大值（全年均按365天计），求m的最小值． 【答案】（1）行车道宽度米，车位数量个 （2）的最大值为元 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）设行车道宽度为米，根据图形和题意可得，则， 三个停车区水平总长度为，则，将代入得：，求出，则，据此即可求解； （2）由题意，涨价元后，每个车位收费元，出租数量为个，则，再根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意可得原出租数量为个，未出租数量为个，未改装前全年最大总收入为元， 改装个后，每天收入为，根据题意可得，解得，即可解答； 【小问1详解】 解：设行车道宽度为米， 根据图形和题意： 竖直方向总高度关系：， 化简得，即， 三个停车区水平总长度为， 则， 化简得， 将代入得：， 解得：（负根舍去）， 则， 停车区总水平长度为米， ∵每个车位宽2.5米，故每排可停个车位； 总排数为排，总车位数个； 【小问2详解】 解：由题意，涨价元后，每个车位收费元，出租数量为个， 总金额：， 这是开口向下的二次函数，对称轴为，为正整数， 故当时：； 【小问3详解】 解：收费为16元/天时，，则原出租数量为个，未出租数量为个， 未改装前全年最大总收入为元； 改装个后，每天收入为， 全年扣除改装费后总收入满足：， 化简得：， ∵为正整数，且， 故最小值为9． 24. 综合与实践 背景 生活中常见的纸是由国际标准化组织的定义的，规格为．通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想出纸的长、宽之比为．我们取一张纸记为矩形，通过下面的折纸操作都能验证这一结论． 操作 如图1，将短边沿过点B的直线折叠，使点A的对应点落在边上，得到折痕，用另一张纸的长边靠近，发现它恰好与重合． 如图2，在第一次折叠的基础上，继续将沿过点B的直线折叠，使点E的对应点落在点C处，得到折痕，点D的对应点为点． 如图3，将第一次折叠后的图形展开，再将短边沿过点C的直线折叠，使点D的对应点落在边上，得到折痕，再次展开图形，折痕与交于点O． 如图4，将图3得到的纸片再分别沿折叠，发现与重合，与重合． 问题解决： （1）根据图1，求的值； （2）根据图2，若矩形边长，求的长度； （3）根据图3和图4，连接并延长交于F，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合矩形的性质、折叠的性质，可知是等腰直角三角形，即可得出；设，则，设，则，利用勾股定理解，用含的式子表示出，即可求解； （2）由折叠的性质得出是等腰直角三角形，进而可得； （3）证明是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，设，则，分别求得的长，证明，等面积法求得，进而求比值，即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ， 由折叠知， ， ∴， 即是等腰直角三角形， ， ． 【小问2详解】 解：同（1）可得， ，则， 由折叠知， ， ， ， 设，则， 由折叠知， 在中，， ， 解得， ． 【小问3详解】 解：∵纸片沿折叠，发现与重合，与重合， ， 又∵矩形中，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 根据折叠可得， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， 又， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求点的坐标． （2）直线与抛物线交于，两点，其横坐标分别为，．若，，求的取值范围． （3）如图2，直线在第一象限交抛物线于点，交直线于点，交轴于点，过点作交于点．若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由待定系数法求出抛物线表达式，再令求出点； （2）联立，得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，那么由完全平方公式变形得到，再代入可得，再由，，等到不等式组，求解即可； （3）过点作于点，求出直线，则，，则，表示出，，可得，则，即可建立方程求解． 【小问1详解】 解：将点，代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， ； 【小问2详解】 联立， 即， 整理得：， ，， ， ， ，， ， ∴ 解得：； 【小问3详解】 解：过点作于点， 设直线， 代入点，则， 解得：， ∴直线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，解直角三角形的相关计算等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $