1.4 函数与方程（二）课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题一 函数 专题 1.4 函数与方程（二） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题一 函数 专题 1.4 函数与方程 函数的零点问题之分段分析法模型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 若至少存在一个,使得方程,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 原方程有解 当时, 当时, 令 求导 则 典例剖析 3 解析：原方程简化有解, 令 , 当时,单调递减. 当时,单调递增. 所以在时取得最大值 . 故,正确选项为 B . 例题 1. 若至少存在一个,使得方程,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 典例剖析 4 例题 2. 设,若函数至少存在一个零点,则实数的取值范围是(    ). A. B. C. D. 等价与的交点 最小值为 在极大值点 当方可保证图象存在交点 即零点,则 典例剖析 5 解析：由依题意得,函数至少存在一个零点,且. 可构造函数与问题等价于与有交点. 当时,单调递增. 当时, 单调递减. 在极大值点. 作出函数的示意图,要保证图象存在交点,即至少存在一个零点, 则故取值范围为,正确选项为 D . 例题 2. 设,若函数至少存在一个零点,则实数的取值范围是(    ). A. B. C. D. 典例剖析 6 方法一： 函数构造,根据题目给出的条件,注意函数的零点与方程等式的转换,判断选择参数全分离或者是参数半分离来选择构造函数. 若是选择了参数全分离来构造函数，一般可借助导数或者函数本身的性质(单调性、周期性、二次函数)来进行分析. 若是选择了参数半分离,则一般会有两个函数,一个函数固定不变,另一个函数跟随参数的变化而变化. 通过最值或是关键点对参数进行分段,在不同的点或是区间上,进行分类讨论,最后得出结果. 画出图象帮助分析最佳 方法讲解 练习 1. 若设函数,记若函数至少存在一个零点,则实数的取值范围为( ). A. B. C. D. 解析： , 令右侧,. 当当 则又当 要使方程,则需满足正确选项为 D. 点拨:由分理出参数构建函数分析的最值,确定的取值范围. 变式训练 练习 2. 已知函数 则根为          ;若函数有三个零点,则实数的取值范围是           ． 解析：当时,由,得,即,解得: 当,由,得,解得:或(舍去, 综上可得,根为,． 由函数性质分段讨论如下: 当时,最小值为 当时,令解得 点拨:由分段函数解析式,分类讨论,解方程即可求得的根;作出函数图象,由图可求出实数的取值范围． 变式训练 练习 2. 已知函数 则根为          ;若函数有三个零点,则实数的取值范围是           ． 解析：所以函数在上单调递减,在上单调递增,且 综合以上分析,作出函数图象. 若函数有三个零点,则函数的图象与有三个交点. 结合函数图象得,故答案为 ． 变式训练 专题一 函数 专题 1.4 函数与方程 唯一零点求值问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数有唯一零点，则＝( ). A. B. C. D. 故为偶函数 由于有唯一零点 故 关于对称 示意图供理解 做题不必画出 若则在的两侧存在两个零点 若 则可能无零点 典例剖析 12 解析：设定义域为 R . 故函数为偶函数,则函数的图象关于轴对称, 即为,则的图象关于对称, 有唯一零点,结合对称的性质, 即 故本题的正确选项为 D . 例题 1. 已知函数有唯一零点，则＝( ). A. B. C. D. 典例剖析 13 例题 2. 已知函数有唯一零点，则＝( ). A. B. C. D. 令 等价 令 为偶函数,关于轴对称 且成立 唯一零点, 典例剖析 14 解析：令 则 记则 令图象关于轴对称,且成立 因为,且只有唯一的零点,故零点只能为 于是故本题的正确选项为 C . 例题 2. 已知函数有唯一零点，则＝( ). A. B. C. D. 典例剖析 15 方法一：解题总结 利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： 利用零点存在性定理构建不等式求解,有时需要借助单调性保证唯一零点. 通过函数的性质(奇偶性,对称性,周期性),借助导数工具,结合函数图象,数形结合进行求解.例如当函数关于轴对称,则此处一般为解题关键. 分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. 方法讲解 练习 1. 已知函数有唯一零点,则负＝( ). A. B. C. D. 解析：则函数有唯一零点, 故为偶函数,当时, 故当时,递增.当时,递减.又唯一零点,故零点为 即故本题选 A . 点拨:通过换元将函数调整为更简单形式,分析其单调性和奇偶性来确定唯一零点的横坐标,得出结果. 变式训练 练习 2. 已知函数内有唯一零点,则的可能取值为( ). A. B. C. D. 解析：设函数区间上是连续函数且有唯一零点,则根据函数的零点定理可得,. 结合选择题选项,故可能的取值为 . 故答案选择 B,C . 点拨:根据区间上的连续函数的零点定理来确定可能的范围. 提醒：若要严格证明,这里要证明在区间上的单调性 变式训练 专题一 函数 专题 1.4 函数与方程 分段函数的零点问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数有两个零点,则的取值范围是( ). A. B. C. D 作出函数图象 图象可知,在上与有两个交点,故 典例剖析 20 解析： 存在两个零点,等价于与的图象有两个交点, 在同一直角坐标系中作出函数图象. 结合图象可知,为满足图象有两个交点, 需满足解得. 故本题正确选项为 A . 例题 1.已知函数有两个零点,则的取值范围是( ). A. B. C. D 典例剖析 21 例题 2. 已知若函数有两个不同的零点,则的取值范围是(    ). A. B. C. D. 在和上均 要使有两个不同零点 时 时 则在区间和 上各有一个零点 则在无零点 结合定义域, 解法一：分段研究 典例剖析 22 例题 2. 已知若函数有两个不同的零点,则的取值范围是(    ). A. B. C. D. 和的完整曲线如图1 ,如图2 所示,有两个不同的零点 解法二：图象法 时,如图3所示,只有一个零点 ,如图4 所示,有一个零点 典例剖析 23 解析：分段研究：注意到在区间和上均单调递增,所以要使得有两个零点,应满足在和上各有一个零点, 当因为所以是一个零点.当 综上的取值范围是.本题选 A . 图象法：两段的解析式都很简单,和的完整曲线如图1.,如图2 所示,有两个不同的零点. 时,如图3所示,只有一个零点.,如图4 所示,有一个零点.综上本题选 A . 例题 2. 已知若函数有两个不同的零点,则的取值范围是(    ). A. B. C. D. 典例剖析 24 方法一：解题技巧 不含参数的分段函数：此种类型函数明确给出,可根据函数的单调性求解参数范围,强烈建议作出函数图象,图象与直线的交点个数即为零点个数. 含有动态分段点的分段函数：分段点随着参数的变化而变化,作图时可作出每一段的完整图象,再观察随参数的变化,进行分类讨论,在每一段定义域上确定具体的函数形式(此定义域可含参),抓住关键点位置,结合实际问题进行求解. 方法讲解 练习 1. 已知函数其中若存在实数使得方程有三个不同的实数解,则的取值范围是(    ). A. B. C. D. 解析：当时, 当时, 当 记两个分段点分别为,根据上述分析作出函数的大致图象. 点拨:由题意,问题等价于存在直线的图象有三个交点,去掉绝对值,分三段作出的图象. 变式训练 练习 1. 已知函数其中若存在实数使得方程有三个不同的实数解,则的取值范围是(    ). A. B. C. D. 解析：若同一高度或在的上方,如图1,图2,都不存在直线与个交点;若在的下方,如图3和图4,存在直线与有3个交点,所以本题正确选项为 C . 总结：含参的分段函数问题,常考虑画图辅助分析,会更加直观,想象分段点变化时图形的运动过程,抓住关键位置,但不要遗漏.这里的情况与下一小节将要介绍的等高线问题有一定的相似之处. 变式训练 专题一 函数 专题 1.4 函数与方程 等高线问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数则的最大值是( ). A. B. C. D 故在上单调递减 典例剖析 29 解析：设如图,由图可知且所以 故在区间上单调递减. 从而故的最大值是. 本题的正确选项为 B . 例题 1. 已知函数则的最大值是( ). A. B. C. D 典例剖析 30 例题 2. 已知函数满足则的取值范围是( ). A. B. C . D 条件给出的关于故考虑作出图象 设 由图可知 典例剖析 31 例题 2. 已知函数满足则的取值范围是( ). A. B. C . D 由于轴左侧图象关于对称 故 则 令 上单调递增 典例剖析 32 解析：作出的图象,设 不妨设由图可知,直线的图象在轴左侧的两个交点关于直线对称,所以 再来看和,可将和带入解析式,把用表示, 因为所以 又因为所以 例题 2.已知函数满足则的取值范围是( ). A. B. C . D 典例剖析 33 解析：注意到故将换元,可简化表达式, 令则且 设故在上单调递增,又所以的值域为 故的取值范围是 例题 2.已知函数满足则的取值范围是( ). A. B. C . D 反思：题干中关于的连等式容易让人困扰,但为了使该条件与已知函数形式统一,自然想到研究函数另外,函数具有对称性,结合对称性简化做题步骤. 典例剖析 34 方法一：解题技巧 首先分析分段函数的定义域和表达式,明确分段区间,写出每一段的函数表达式. 根据上述分析画出函数的示意图,标注上一些特殊点方便后续分析. 通过直线与函数图象的交点确定的取值范围,同时确定变量的取值范围. 通过等式,使用根据题目具体要求构造关于的函数,结合导数或者函数的性质进行求解. 方法讲解 练习 1. 已知函数则的最小值为________. 解析：,可知 且所以从而 设 求导当时 当时 故即的最小值为 2 . 点拨:欲求最小值,先通过设将变量统一,构造函数,研究最值. 变式训练 $