专题7 第2讲 基本初等函数、函数与方程（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

第2讲　基本初等函数、函数与方程 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 基础自测　思维引航 基础自测 1.(2024全国甲,理15)已知a>1且=-,则a=　　　　　.  64 解析 由log2a=-, 得(log2a)2-5log2a-6=0,即(log2a+1)(log2a-6)=0, 又a>1,则log2a+1>0,所以log2a=6,则a=64. 2.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　　.  1 解析 ∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x),即x3(a·2x-2-x)=(-x)3 整理得,a·2x-2-x=-,即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0.(a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1. 3.(2020新高考Ⅱ,7)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(2,+∞)　 B.[2,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) D 解析 由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞), 因为y=x2-4x-5在区间(5,+∞)上单调递增, 所以f(x)=lg(x2-4x-5)在区间(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.故选D. 4.(人A必一复习参考题改编)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别是a,b,c,则有(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c B 解析 在同一坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=x3以及y=-x的图象,则函数y=2x,y=log2x,y=x3与直线y=-x的交点横坐标分别就是三个函数的零点,则a<0,b>0,c=0,因此a<c<b.故选B. 5.(人B必一3.3例5改编)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q),则当年产量为　　　　　时,平均成本最小.  100 解析 当Q=100时,C=6 000,代入得6 000=a·1002+3 000,解得a=, 则C=+3 000,于是f(Q)=2=60, 当且仅当,即Q=100时,等号成立, 故当年产量为100时平均成本最小. 思维引航 1.logamn=logam+logan(a>0,a≠1,m,n>0),lobn=logab(a>0,a≠1,b>0), logab=(a>0,a≠1,c>0,c≠1,b>0). 2.y=ax+a-x(a>0,a≠1)是偶函数,y=ax-a-x(a>0,a≠1)是奇函数. 3.注意函数的定义域. 4.f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根,亦即f(x)的图象与x轴交点横坐标. 5.平均成本=. 考点进阶　素养淬炼 考点一　基本初等函数的图象与性质 例1　(1)(2025河北秦皇岛模拟)已知a=log2678,b=1.250.9,c=log918,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b B 解析 依题意,a=log2678=log26(3×26)=log263+1>log273+1=1+, c=log918=log9(2×9)=1+log92<1+log82=1+, 且c=1+log92>1+log162=1+,b=1.250.9<1.251=1+, 综上可知b<1+<c<1+<a,即a>c>b.故选B. (2)(2025陕西西安模拟)已知函数f(x)=ex+3(x<0),g(x)=2ln(x+m).若存在x0>0,使得f(-x0)=g(x0),则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,e) B.(-∞,e2) C.(-,e2) D.(-e,) B 解析 依题意知方程f(-x)-g(x)=0在区间(0,+∞)上有解,即e-x+3=2ln(x+m)在区间(0,+∞)上有解,亦即函数y=e-x+3与y=2ln(x+m)的图象在区间(0,+∞)上有交点.由于函数y=e-x+3单调递减,且图象过点(0,4),将点(0,4)代入y=2ln(x+m)得m=e2,令2ln(x+m)=0得x=1-m,因为函数y=2ln(x+m)在定义域上单调递增,所以要使两函数的图象在区间(0,+∞)上有交点,应满足1-m>1-e2,解得m<e2.故选B. (3)(2025北京海淀模拟)已知函数f(x)=(a>0且a≠1). 若f(x)的值域为(-∞,2],则实数a的取值范围是　　　　　.  (0,1) 解析 当x≤1时,易知y=2-x2的值域为(-∞,2],若f(x)的值域为(-∞,2], 则当x>1时,由于a>0,y=ax+3在区间(1,+∞)上单调递增, 故需满足解得0<a<1. 一题多变 本例(3)中,若将题目条件改为“若f(x)的值域为R”,则实数a的取值范围是 　　　　　.  [2,+∞) 解析 当x≤1时,易知y=2-x2的值域为(-∞,2],若f(x)的值域为R, 则需满足当x>1时,因为a>0,y=ax+3在区间(1,+∞)上单调递增,则需满足解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). 【对点训练1】(1)(2025安徽黄山期中)若f(x)=log4|-a|-b是奇函数,则ab=(　　) A. B. C. D.2 C 解析 当a=0时,f(x)=log4||-b,其定义域为{x|x≠1},定义域不关于原点对称, f(x)一定不是奇函数,故a≠0,所以f(x)为奇函数需满足 -a≠0变形可得(1-x)[1-a(1-x)]≠0, 所以1-a(1-x)=0的解为-1,解得a=,故f(x)=log4||-b. 又f(x)为奇函数,则有f(-x)+f(x)=0,即log4||-b+log4||-b=0, 即-2b+log4||+log4||=0, 所以-2b+log4||=0,即-2b-1=0,解得b=-,所以ab=(故选C. (2)(2025福建宁德模拟)函数f(x)=ax-3+2x(a>0且a≠1)的图象恒过的定点为 　　　　　.  (3,7) 解析 令x-3=0,解得x=3,且f(3)=7,所以f(x)的图象恒过定点(3,7). 考点二　函数的零点 考向1　函数零点个数的判断 例2　(1)(2025广东湛江模拟)函数f(x)=lg(x+1)-零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析 由得函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,+∞), 由f(x)=0得lg(x+1)=,所以f(x)的零点个数就是函数y=lg(x+1)(-1<x<0或x>0)和y=(-1<x<0或x>0)图象的交点个数,作出两个函数的图象(如图),可知交点个数为2,因此函数f(x)有2个零点.故选C. (2)(2025江西宜春模拟)设函数f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是　　 　　　.  (-∞,0]∪[2,+∞) 解析 当x<1时,令f(x)=0,即(x-a+1)(x+1)=0,得x=-1或x=a-1. 当a=0或a≥2时,方程f(x)=0在区间(-∞,1)上有唯一解x=-1; 当a<0或0<a<2时,方程f(x)=0在区间(-∞,1)上有两解为x=-1或x=a-1. 当x≥1时,令f(x)=0,即lg x-a=0,得x=10a, 所以当a≥0时,x=10a≥1,即方程f(x)=0在区间[1,+∞)上有一个解x=10a; 当a<0时,由于10a<1,所以f(x)=0在区间[1,+∞)上无解. 综上,当a<0时,函数f(x)有两个零点-1,a-1,当a=0时,函数f(x)有两个零点-1,1,当0<a<2时,函数f(x)有三个零点-1,a-1,10a, 当a≥2时,函数f(x)有两个零点-1,10a. 因为f(x)恰有2个零点,所以a≥2或a≤0, 故实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞). 2.已知零点个数求参数范围的方法 (1)直接法:利用零点存在定理构建不等式求解; (2)数形结合法:将函数解析式或者方程进行适当的变形,把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题,再结合图象求参数的取值范围; (3)分离参数法:分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. 【对点训练2】(2025四川绵阳模拟)已知f(x)=cos(πx+)·ln x,则函数f(x)在区间(0,3]上的所有零点之和为　　　　　.  5 解析 因为x∈(0,3],所以πx+(,3π+], 由cos(πx+)=0可得πx+,πx+,πx+,所以x=,x=,x= 又由ln x=0可得x=1, 所以函数f(x)在区间(0,3]上的所有零点是,1,其和为1+=5. 考向2　函数零点的应用 例3　(1)(2024新高考Ⅱ,8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 C 解析 当x≤-a时,x+a≤0,当x≥-a时,x+a≥0,当-b<x≤1-b时,ln(x+b)≤0, 当x≥1-b时,ln(x+b)≥0,要使f(x)≥0,必须-a=1-b,即b=a+1, 所以a2+b2=(a+1)2+a2=2,当且仅当a=-,b=时,等号成立.故选C. (2)(多选题)(2025安徽安庆模拟)若实数x1,x2满足=2-x1,x2ln x2=1-2x2,则下列选项正确的有(　 　) A.0<x1< B.x2(2-x1)=1 C.x2<x1 D.x2-x1< ABD 解析 设函数f(x)=ex+x-2,显然为增函数,f(0)=-1<0,f()=>0, 所以f(x)在区间(0,)上有唯一零点,由已知f(x1)=0,得0<x1<,故A正确; 由x2ln x2=1-2x2,有+ln-2=0, 因此x1=ln,则,故x2(2-x1)=1,故B正确; 由0<ln,得<x2<1,所以x2>x1,故C错误; 由x2(2-x1)=1得x1=2-,则x2-x1=x2+-2, 由于<x2<1,得0<x2+-2<,故D正确.故选ABD. 【对点训练3】(2025四川成都模拟)已知a,b是正实数,若函数f(x)= (ax-1)(eb-x-e)≤0对任意x∈R恒成立,则-a的最大值为(　　) A. B. C.1 D.e C 解析 由题意可知,y=ax-1为增函数,y=eb-x-e为减函数,且零点分别为,b-1,因为f(x)≤0对任意x∈R恒成立,则函数y=ax-1与y=eb-x-e有相同的零点,所以=b-1,即b-=1,则-a=(-a)(b-)=5-(ab+)≤5-2=1,当且仅当ab=,即a=1,b=2时,等号成立,则-a的最大值为1.故选C. 考点三　函数模型及其应用 例4　(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 ACD 解析 由题意可知,燃油汽车=20×lg[60,90], 所以[60,90],① 同理,[50,60],② =102=100.③ 对于A选项,由表知,所以A正确; 对于B选项,由②÷③,得[,10], 所以10,所以p2≤10p3,所以B错误; 对于C选项,由③,得=100,故p3=100p0,所以C正确; 对于D选项,由①÷②,得[1,102], 所以[1,100].所以p1≤100p2.所以D正确.故选ACD. 【对点训练4】(2025山东青岛模拟)近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,臭氧含量Q与时间t(单位:年)的关系为Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(　　) (ln 2≈0.693,精确到1年) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 D 解析 令Q=Q0Q0可得,可得-=ln=-ln 2, 所以t=400ln 2≈277,故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.故选D. $