1 方法1 运用函数与方程思想方法解题-（配套课件）【金版新学案】2026年高考数学大二轮专题复习与测试

方法1　运用函数与方程思想方法解题 　 第二篇 增分一 思想方法 03 应用三　利用函数关系解决问题 02 应用二　转换函数关系解决问题 应用一　同构函数关系解决问题 01 内容索引 04 应用四　建立方程(组)解决问题 　　函数与方程是紧密相联、可以相互转化的.在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题.例如，方程f(x)＝0解的个数可以转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数. 应用一　同构函数关系解决问题 返回 √ 典例 1 (1)设a＝，b＝ln ，c＝，其中e是自然对数的底数，则 A.b＜a＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.c＜b＜a 令函数f(x)＝，x＞e，求导得f'(x)＝＜0，即函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，而a＝＝，b＝，c＝＝，又3＜＜4，因此f(3)＞f()＞f(4)，所以a＜c＜b.故选B. (2)已知函数f(x)＝xa－aln x(a＞0)，若当x∈(1，e2)时，f(x)≤ex－x恒成立，则实数a的最大值为 A.1 B.e C. D.e2 √ 由题意知，当x∈(1，e2)时，f(x)≤ex－x恒成立，即xa－aln x≤ex－x在(1，e2)上恒成立，即－ln xa≤ex－x在(1，e2)上恒成立.令m(x)＝ex－x(x＞0)，则m'(x)＝ex－1＞0，即m(x)在(0，＋∞)上单调递增，则由－ln xa≤ex－x，即m(ln xa)≤m(x)，可得ln xa≤x，即a≤在(1，e2)上恒成立.令n(x)＝，x∈(1，e2)，n'(x)＝，当x∈(1，e)时，n'(x)＜0，n(x)单调递减；当x∈(e，e2)时，n'(x)＞0，n(x)单调递增，故n(x)在x＝e时取最小值，且n(e)＝＝e，则由a≤在(1，e2)上恒成立，可知a≤e，故实数a的最大值为e.故选B. 规律反思 　　对于结构相同(相似)的不等式，通常考虑变形，构造函数，再通过函数的单调性进行求解. 预测练1.若2a＋log2a＜＋log2b＋1，则 A.ln(2b－a＋1)＜0 B.ln(2b－a＋1)＞0 C.ln｜a－2b｜＞0 D.ln｜a－2b｜＜0 √ 对已知不等式变形可得2a＋log2a＜＋log22b.令f(x)＝2x＋log2x，x＞0，因为函数y＝2x与y＝log2x在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，2a＋log2a＜＋log22b即f(a)＜f(2b)，所以2b＞a＞0，所以2b－a＞0，所以2b－a＋1＞1，则ln (2b－a＋1)＞ln 1＝0，故A错误，B正确；无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大小，故C、D错误.故选B. 预测练2.已知x(aex＋1)＞ln 有解，则实数a的取值范围是 A.(－，＋∞) B.( －，＋∞) C.(－1，＋∞) D.( －∞，) √ 不等式x(aex＋1)＞ln 可化为a(xex)＋x＋ln x＞1，即a(xex)＋ln (xex)＞1.令t＝xex，t＞0，则at＋ln t＞1在(0，＋∞)上有解，所以a＞在(0，＋∞)上有解.令f(t)＝(t＞0)，则f'(t)＝，当0＜t＜e2时，f'(t)＜0，f(t)在(0，e2)上单调递减；当t＞e2时，f'(t)＞0，f(t)在(e2，＋∞)上单调递增.所以f(t)min＝f(e2)＝－，所以a＞－，所以实数a的取值范围为( －，＋∞).故选A. 返回 应用二　转换函数关系解决问题 返回 典例 2 已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间； 解：函数f(x)的定义域为，f'(x)＝2x－5＋＝， 当x∈∪时，f'(x)＞0；当x∈时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，. (2)记g(x)＝x－k－2ln x，若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同交点，求实数k的取值范围. 解：令f(x)＝g(x)，即x2－5x＋2ln x＝x－k－2ln x，得k＝－x2＋6x－4ln x. 设h(x)＝－x2＋6x－4ln x， 则h'(x)＝－2x＋6－＝－. 令h'(x)＞0，得1＜x＜2； 令h'(x)＜0，得0＜x＜1或x＞2. 所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以h(x)极小值＝h＝5，h(x)极大值＝h＝8－4ln 2， 且当x→0时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→－∞. 所以要使函数f(x)与g(x)的图象有三个不同交点，必须有5＜k＜8－4ln 2， 即实数k的取值范围是. 规律反思 转化函数关系主要包括的两个方面 1.将函数的性质或函数图象的各类形态转化为方程(不等式)表示，然后利用方程(不等式)的运算规则求解. 2.将方程(不等式)转化为函数表示，然后利用函数的性质及图象间的对应关系求解. 预测练3.已知函数f(x)＝aln x＋x2，若对任意正数x1，x2(x1≠x2)，都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是 A.(0，1] B.(0，2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞) √ 根据＞2，可知＞0.令g(x)＝f(x)－2x＝aln x＋x2－2x(x＞0)， 由＞0，知g(x)单调递增，所以g'(x)＝＋x－2＝≥0(x＞0)恒成立，分离参数得a≥2x－x2.而当x＞0时，y＝2x－x2在x＝1时取最大值1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞).故 选C. 返回 应用三　利用函数关系解决问题 返回 典例 3 已知函数f(x)＝x2＋3x＋3，g(x)＝2ex＋1－x－2. (1)判断g(x)的零点个数； 解：由函数g(x)＝2ex＋1－x－2，可得其定义域为(－∞，＋∞)，且g'(x)＝2ex＋1－1， 令g'(x)＞0，得x＞－1－ln 2；令g'(x)＜0，得x＜－1－ln 2， 可知g在(－∞，－1－ln 2)上单调递减，在(－1－ln 2，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(－1－ln 2)＝ln 2＞0，故g的零点个数为0. (2)求曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)公切线的条数. 解：因为f(x)＝x2＋3x＋3，g(x)＝2ex＋1－x－2，所以f'(x)＝2x＋3，g'(x)＝2ex＋1－1， 所以曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y－＝， 即y＝x－＋3， 曲线y＝g(x)在点处的切线方程为y－(2－x2－2)＝(2－1)(x－x2)， 即y＝x＋－2. 消去x2，整理得－5＋[4－2ln ](x1＋2)＝0， 令x1＋2＝t(t＞0)，可得t2－2tln t－1＝0， 等价于t－2ln t－＝0， 令 可得 设h(t)＝t－2ln t－(t＞0)，则h'(t)＝≥0，所以h(t)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为h(1)＝0，所以h(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点t＝1， 由x1＋2＝1，得x1＝－1，所以曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)有且仅有一条公 切线. 规律反思 　　当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平. 预测练4.甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.则甲以3∶1获胜的概率的最 大值为　　　　. 甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，若所求概率用f(p)表示，则f(p)＝·p2·(1－p)·p＝3p3－3p4，0＜p＜1，则f'(p)＝9p2－12p3＝3p2(3－4p).令f'(p)＞0，得0＜p＜；令f'(p)＜0，得＜p＜1.所以f(p)在上单调递增，在上单调递减，所以当p＝时，f(p)取得最大值为. 预测练5.已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图)，若P在上，且＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值 为　　　　. 如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，θ∈[π，2π].又A(－1，2)，B(－1，0)，C(1，0)，D(1，2)，则＝(cos θ＋1，sin θ－2)，＝(2，0)，＝(0，－2). 因为＝λ＋μ，即(cos θ＋1，sin θ－2)＝λ(0，－2) ＋μ(2，0)，所以 λ＋μ＝＋＝(cos θ－sin θ＋3)＝［cos (θ＋)＋3］.因为θ∈[π，2π]，则θ＋∈［，］，所以当θ＋＝2π时，cos( θ＋)取得最大值1，则λ＋μ的最大值为. 返回 应用四　建立方程(组)解决问题 返回 典例 4 √ 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝ A. B. C. D. 如图所示，设｜｜＝m，｜｜＝n，则有m2＋n2＝4c2， m＋n＝2a＝2×c＝c，则(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝c2， 即2mn＝c2－4c2＝c2，则(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝4c2－c2 ＝c2，即m－n＝c，即m＝＝c，n＝＝c，则｜｜＝λ｜｜＝λm＝λc，由｜｜＝｜｜，则有( λc)2＝(c－λc)2＋( c)2，整理得8λ＝5，即λ＝.故选B. 规律反思 　　分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，构造方程法是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面. 预测练6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S9＝81，则S12＝ A.288 B.144 C.96 D.25 √ 由题意于是S12＝12×1＋×2＝144.故选B. 预测练7.设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，〈b，c〉＝120°， 则｜b｜的最大值为　　　　. 因为a＋b＋c＝0，所以a＝－(b＋c)，所以｜a｜2＝｜b｜2＋2｜b｜｜c｜cos 120°＋｜c｜2，即｜c｜2－｜b｜｜c｜＋｜b｜2－4＝0，所以Δ＝｜b｜2－4(｜b｜2－4)≥0，解得0＜｜b｜≤，即｜b｜的最大值为. 返回 谢 谢 观 看！ $