11.1不等式学案2025-2026学年人教版七年级数学下册

不 等 式 知识点一 不等式 内容叙述 一般地，用“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子 也是不等式． 知 识 详 解 常规的不等号有“>、<、≠、≥、≤”五种，它们的读法及其意义如下： 符号 读 法 意 义 “≠” 读作“不等于” 表示两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大， 哪个小 “<” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “>” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 一般来说，不等式可分为三种： (1)条件不等式，如，只有当时才能成立； (2)绝对不等式，如； (3)矛盾不等式，如． 特 别 提 醒 (1)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，如中，表 示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立；否则，不等式不成立． (2)不等号“>”和“<”被称为互为相反方向的符号，所谓不等号方向改变，就是不等式方 向改变成其相反的方向，如“>”改变方向后就变成“<”． 例1 用不等式表示下列问题： (1)是正数； (2)是非负数； (3)50与的3倍的差小于2； (4)的一半与的的和是非正数； (5)两数的和的平方的2倍再加上小于12． 知识点二 不等式的解及不等式的解集（重点） 内容叙述 (1)与方程类似，我们把能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． (2)对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识详解 (1)一般地，一个不等式的解不止一个，往往有无数个，如所有大于3的数都是的解， 但也存在特殊情况，如，就只有一个解． (2)不等式的解集必须符合两个条件：一是解集中的每一个数值都能使不等式成立；二是 能够使不等式成立的所有的数值都在解集中． (3)不等式的解集与不等式的解的关系是：解集包含解，所有的解组成了解集． 特别提醒 不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解集是由使不等式成立的所有未 知数的值组成的，不等式的解集包括不等式的每一个解． 例2 当时，不等式成立吗？当时呢？当时呢？ 例3 下列说法中正确的有哪些？ (1)不等式的解集是； (2)不等式的解集是； (3)不等式的整数解有有限个； (4)不等式的正整数解只有两个． 知识点三 不等式的解集在数轴上的表示（重点） 内容叙述 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向． (1)边界：有等号是实心圆点，无等号是空心圆圈． (2)方向：大向右，小向左． 知识 详解 (1)在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解， 它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． (2)用数轴表示不等式解集的一般步骤是：①画数轴；②定界点，注意空心点和实心点的 区别；③定方向，原则是“小于向左，大于向右”， 特别 提醒 (1)弄清“≥”“≤”的意义，“≥”读作“大于或等于”，也可以说成“不小于”； “≤”读作“小于或等于”，也可以说成“不大于”， 与的区别在于前者 解集中不包括4，而后者包括4； (2)在数轴上表示4的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点；画实心圆点，表示包 括这一点． 例4 如图所示，用或的形式写出下列各数轴上所表示的不等式的解集． 知识点四 不等式的性质（重、难点） 内 容 叙 述 (1)不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果，那么． (2)不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，用式子表 示：如果，，那么（或）． (3)不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．用式子表 示：如果，，那么（或）． 知 识 详 解 (1)不等式两边不能同乘O，否则不等式就变成等式；也不能除以0，因为没有意义． (2)性质3中，不等号方向改变是指大于号变为小于号，小于号变为大于号． (3)不等式的性质与等式的性质的异同点． 类别 不同点 相同点 不等式 两边乘（或除以）同一个负数， 不等号要改变方向 (1)两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等式和等式仍成立 等式 两边乘（或除以）同一个负数， 等式仍然成立 (2)两边乘（或除以）同一个正数（或正 的式子），不等式和等式仍成立 特别提醒 (1)不等式的性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质 既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除 以）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 例5 填空． (1)若，，则 0； (2)若．则 ； (3)若， ，则； (4)若，则 ； (5)若，且，则 ； (6)若，则 ． 例6 根据不等式的性质，解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 误区一 在利用不等式的性质来解不等式时，往往对不等式的性质3的内容记不牢，忘记改变不等号的方向，导致产生错误的结果． 例7 利用不等式的性质解不等式： 误区二 为了更清楚、直观地表示出不等式的解集，我们常常利用数轴，在数轴上把解集表示出来，需要注意的是：大于向右画，小于向左画，包括端点用“实心圆点”，不包括端点用“空心圆圈”．很多同学混淆解集的表示方法而出现错误． 例8 不等式的解集在数轴上表示出来应为( ) 综合题型展示 题型一 不等式及其相关概念的应用 例9 用不等式表示下列语句中的数量关系： (1)减去不小于1； (2)的与1的差是个非负数； (3)10与的3倍的和不大于5； (4)小于1与的差． 题型二 不等式的性质的应用 例10 用“>”或“<”填空，若，且，则 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 题型三 比较大小 例11 比较大小 (1)若，则 ； (2)若，，则 ． 中考典例剖析 例12 已知，为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A． B． C． D． 例13 在数轴上表示不等式的解集，正确的是( ) 轻松练习： 1．不等式的正整数解是( ) A. 1 B. 0，1 C. 1，2 D. 0，1，2 2．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示为( ) 4．据某市气象台天气预报报道，今天该市的最低气温是，最高气温是， 则今天气温的范围是( ) A． B． C． D． 5．下列各式不能用不等式表示的是( ) A．是负数 B．是正数 C．等于 D．是正数 6．无论取何值，下列不等式一定成立的是( ) A． B． C. D． 7．右图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重取值范围在数轴上表示正确的是( ) 8．不等式的解集为，则的取值范围是 ． 9．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求它们的正整数解。 (1)； (2) 10．若，，，试将从小到大排列． - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $