临考押题卷03（黑龙江省专用）2026年高考数学押题模拟卷

2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为奇数集合，中的奇数有，所以. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数. 因此的虚部为. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，得；， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，得 ，所以 ， 于是 ，故 ， 由于 ，且 ，则 ，， 因此 ，. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意只需与同正且即可. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆，所以有. 6．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列{an}满足，数列的前n项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. 于是， 因为， 所以， 又，故. 7．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体表面及其内部所有点构成的集合为，已知集合，记为中所有点构成的几何体，则的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可采用补集法求解，先确定平面与正方体的交点，将所求几何体转化为正方体减去三棱台，再利用三棱台体积公式计算其体积，最后用正方体体积减去该三棱台体积，得到的体积为． 【详解】 如图，与正方体的交点有，，，， 可看作正方体减去三棱台， ，， 所以， 所以的体积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 【答案】AC 【分析】以为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B利用数量积的定义得出判断B；利用平面平面以及判断三点共线可判断C；利用向量的加减运算判断D. 【详解】对于A，设，， 则， 于是，故A正确； 对于B，因为，，所以，则夹角等于， 因为，则为锐角，由数量积的定义可知，故B错误； 对于C，因为，平面，则平面， 同理，平面，则平面， 又平面平面，故，即三点共线，故C正确； 对于D，因 ，故D错误. 11．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 【答案】/ 【详解】由题意得. 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，因此要使，只需使最大角，由此可将问题转化为直线上的点到圆心O的距离，从而求出的取值范围． 【详解】点到直线的距离为，所以直线与圆相离. 此时，从直线上的点向圆上的点连线成角时，当且仅当两条线均为切线时所成的角最大， 因此若直线上存在点，使，则最大角， 如图所示，过作圆的切线，则，即. 即，. 又点在直线 上，∴. ∴，即. ∴. ∴的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 16．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理结合平行四边形的性质得到，再结合线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法求出点坐标，再由点到平面距离的向量法求解即可. 【详解】（1）取PB中点，连接， 分别为的中点， 且，且， ，且，则四边形为平行四边形， ，平面平面， 平面. （2）取AB中点，连接OP，OD，BD 因为，所以， ∵平面平面，面，为交线， 平面，， 为正三角形，， 以为原点，分别以OB，OD，OP为，，轴建系，如图， 设， 则，，，，， 所以， 易知平面PAB的法向量可取， 设平面PAE的法向量为， 因为，令，可取， 所以，解得， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 因为，令，可得， 所以. 17．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表为 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 有关联，解释见解析， (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到，由此可得结论； （2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望值. 【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为， 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的，故样本中女性驾驶员的人数为， 由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联． 根据列联表数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01． 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为，前者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大． （2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为人，偏好新能源汽车的人数为人． 随机变量的可能值为0，1，2，3． ，， ，． 所以，随机变量的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． 18．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 19．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析； 【分析】（1）根据椭圆的离心率、短轴长、的关系列方程组求解的值，可得椭圆的方程； （2）（ⅰ）设，则根据斜率关系可得，设，，，，其中，，联立直线与椭圆确定交点坐标关系，再由，，成等差数列，得，结合斜率的坐标运算列方程即可得的值，从而得所求；（ⅱ）若的重心是坐标原点，讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，当直线的斜率存在时结合点差法得，从而得直线的方程，联立直线与椭圆，利用的面积公式得，结合三角形重心性质即可证得结论. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆方程为； （2）（ⅰ）设，则，， 所以， 设，，，，其中，， 由，消去，得， 则 从而， 同理，可得，， 则， 由，，成等差数列，得，即， 解得，，或（舍），（舍）， 所以点的坐标为． （ⅱ）证明：设，，， 当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为，或，直线的方程为， 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积， 当直线的斜率存在时，有的中点，则， 因为，在椭圆上，则，相减得， 整理得，所以可得， 所以直线的方程为， 即， 令，可得直线在轴上的截距为，则， 将代入椭圆的方程，得， 即，则，， 所以， 所以， 又因为是的重心，所以， 综上，的面积是定值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列{an}满足，数列的前n项和，则（ ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体表面及其内部所有点构成的集合为，已知集合，记为中所有点构成的几何体，则的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间恰有一个零点 D．将图象向左移个单位后关于轴对称 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 11．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知A，B是圆上两点，若直线上存在点，使，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 16．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点. (1)证明：平面PBC； (2)若平面平面ABCD，，，，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为，求点到平面PBC的距离. 17．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人． 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响. (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 19．（2026·黑龙江吉林·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设，，均为椭圆上的动点． （ⅰ）若直线、直线分别过的左右焦点，记直线、、的斜率分别为，，，当，，成等差数列时，求点的坐标； （ⅱ）若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $