临考押题卷02（黑龙江省专用）2026年高考数学押题模拟卷

2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江大庆·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 4．（2026·黑龙江·一模）已知数列的前项和公式为，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（2026·黑龙江绥化·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知向量，，则（    ） A．存在，使得 B．的最小值为2 C．若，则 D．与的夹角为锐角 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．当是直角三角形时， D．的取值范围是 11．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，锐角C满足，则____. 13．（2026·黑龙江·模拟预测）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为_____. 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，侧棱． (1)求证：平面底面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 17．（2026·黑龙江绥化·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 19．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若对恒成立，求整数的最大值； (3)令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考押题卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数范围内求补集即可得出结果. 【详解】化简集合，分式不等式等价于， 整理得， 解得或，即， 化简集合，对数函数要求真数大于0， 即，解得，即， ，. 故选：A 2．（2026·黑龙江大庆·二模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性结合充分、必要条件的概念进行判断. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】设复数，利用复数模的公式把等式变形即可得圆的方程，根据圆的周长公式即可求解 . 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即  ，两边平方得， 这表示圆心为、半径， 圆的周长. 4．（2026·黑龙江·一模）已知数列的前项和公式为，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】先通过求出数列的通项公式，即可得出的值. 【详解】当时，， 当时，由，① 有，② ①减②得：， 即，当时，满足， 所以，所以， 故选：A. 5．（2026·黑龙江绥化·一模）学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，则十名护旗手身高的分位数为（    ） A．177.5 B．178 C．178.5 D．179 【答案】C 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】先将这十名护旗手的身高进行从小到大排序，得： 174，175，175，176，176，177，178，178，179，180， 因为，为整数，故取第个数与第个数的平均数， 即十名护旗手身高的分位数为， 故选：C. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用已知条件求出，再联立椭圆方程结合即可求出. 【详解】，故点位于线段的中点，设，则， ，又，，化简得， 又M为椭圆上一点，，联立得，即， 此方程有解，则，化简得，即恒成立， 方程的两个根为和， 又，，，解得. 则C的离心率的取值范围是. 8．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数以4为周期, 即， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知向量，，则（    ） A．存在，使得 B．的最小值为2 C．若，则 D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】对A：借助向量平行的坐标运算可得不存在，使得；对B：借助模长公式与基本不等式计算即可得；对C：借助数量积公式计算即可得；对D：计算可得且与不共线，即可得两向量夹角为锐角. 【详解】对A：令，即，该方程无解，故不存在，使得，故A错误； 对B：，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，故B正确； 对C：若，则，，则，， 故，故，故C正确； 对D：，则， 由A知，不存在，使得， 故、不共线，则与不共线，故与的夹角为锐角，故D正确. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．当是直角三角形时， D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】选项，用正弦定理将条件角化边，再用余弦定理求出角；选项，用正弦定理结合已知边求出角，再用内角和求角，最后用面积公式计算验证；选项，先确定直角位置，用正弦定理求出三边，再用直角三角形内切圆半径公式计算；选项，用正弦定理边化角，结合内角和统一变量，用辅助角公式化简后根据角的范围求值域. 【详解】选项：根据正弦定理角化边，原式可化为. 由余弦定理，代入得. ∵，∴，故选项正确. 选项：若，∵， ∴，又A是锐角，∴. 则，即为直角三角形，斜边. 由勾股定理得，故的面积，选项错误. 选项C：∵，∴若为直角三角形，因为是锐角，则直角只能为，则， ∵，，. 半周长，面积， ∴，选项C正确. 选项D：∵，，∴， 又是锐角，即，∴. 由正弦定理得，，则： 展开 ，代入得： ， 故. ∵，∴，因此 ， 即的取值范围是，选项D错误. 【点睛】方法归纳：解三角形综合问题常通过正弦定理、余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和定理、三角函数的值域求解范围问题；三角形内切圆半径公式为（其中为三角形面积，为半周长），是求解内切圆半径的常用方法. 易错归纳：1. 易忽略题目中“A是锐角”的条件，导致角A的范围求解错误；2. 讨论直角三角形时，遗漏直角的可能位置，仅考虑一种情况；3. 在求取值范围时，未正确确定三角函数的定义域，导致范围计算错误. 11．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的外接球的表面积为 C．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定定理判断A的真假；根据三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，求外接球的表面积；明确点的轨迹，可求动点的轨迹长度，判断C的真假；转化为平面上圆外一点与圆上的点的距离问题，判断D的真假. 【详解】如图：    对于A：在正方体中，，平面平面，所以平面，故A正确； 对于B：三棱锥与正方体有相同的外接球， 所以外接球的半径，所以，故B正确； 对于C：当平面时，因为平面平面，所以， 因为，所以， 所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是； 同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为； 当点为正方形内部及边界上的动点时， 若，则；若，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的，其长度是； 同理，当点为正方形或内部及边界上的动点时，点的轨迹长度均为， 所以动点的轨迹长度为.故C不正确； 对于D：在正方体中，平面平面， 因为点满足平面，所以点在平面上. 又因为点在正方体的内切球表面上， 所以点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为.    则的最小值为，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在中，，，锐角C满足，则____. 【答案】/ 【详解】因为，且C为锐角，所以， 由余弦定理， 可得，得， 由正弦定理可得. 13．（2026·黑龙江·模拟预测）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】由，得， 所以在处的切线斜率为：， 由垂直关系可得：， 所以， 故答案为： 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形，侧棱． (1)求证：平面底面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先在梯形ABCD中，证得；再在中利用勾股定理逆定理，得到，进而证明面面垂直. （2）先建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量和平面的法向量，利用两个平面法向量的夹角公式，计算出两个平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）过作于，因为，所以， 又，则， 连接，在中，由余弦定理得 ， 则，得到， 在中，由，得到， 又，，且， 而平面，平面，故平面， 又底面，平面底面. （2）以为坐标原点，方向为轴正方向. 垂直于面方向为轴正方向，建立如图所示坐标系. 则，，，，. 而平面的法向量，设平面的法向量为， 而，， 则， 令，解得，即， 故平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 可得. 故平面与平面夹角的余弦值为. 16．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积； （2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围. 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 17．（2026·黑龙江绥化·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1：根据焦距和点在双曲线上列方程组求解即可； 方法2：利用双曲线定义求得，再利用及求解即可； （2）设过的直线为，由得点和点到直线的距离相等，利用点到直线距离公式列式求解即可. 【详解】（1）方法1：根据题意，得，解得，所以双曲线C的标准方程为； 方法2：根据题意知， ，则，     双曲线C的标准方程为； （2）由题知直线斜率不为0，设过的直线为，     因为，所以， 即点和点到直线的距离相等， 则有，解得（舍），     则直线MN的方程为.    18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)答案见解析 【分析】（1）先计算和，再推导和；计算、时，先根据期望公式计算、，再利用方差公式计算方差； （2）根据种植面积，确定总产量的方差之和的表达式，利用方差性质展开得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值对应的值； （3）分别计算三种方案下总产量的期望和方差，因为期望反映总产量水平，方差反映稳产性和种植风险，所以结合期望和方差的意义，从三个角度逐一分析三种方案的特点，再给出建议. 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 19．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若对恒成立，求整数的最大值； (3)令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用得到数列的通项公式． （2）首先根据必要性，不等式代入几个特殊的，得到整数的最大值， 再证明此时不等式恒成立． （3）首先关于对取最小值，然后对因式分解，求出零点， 得到实数的最小值． 【详解】（1）时，，得 时，， 解得，时，也满足． 综上，，． （2），即， 由必要性，时不等式成立，得，故整数最大值为． 下证时，对恒成立． ． 对于，取最小值，故． 又，故． 综上整数最大值为． （3）． ． 时，最小，记为， 观察得，故， 的零点为（二重），，． 故实数的最小值为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $