专题5.1 分式及其基本性质（4大知识点+11大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

本讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，系统梳理分式的概念（含定义、判断三要素及与整式区分）、有/无意义及值为0的条件（表格归纳条件与注意事项）、基本性质（文字与符号表示及符号法则）、约分与最简分式（步骤及公因式确定），构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型强化概念辨析与条件应用，培优题型提升约分及最简分式判断能力，压轴题型融入规律探究与新定义运算，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过例题变式与易错点总结查漏补缺，夯实知识体系。

专题5.1 分式及其基本性质 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（A,B是整式，中含有字母，且）的式子叫做分式，为分子，为分母。 2.判断三要素：①形如；②A,B均为整式；③分母含字母；④。 3.区分：是整式，是分式（是常数，不是字母）。 知识点2：分式有/无意义、值为0的条件 情形 条件 注意 分式有意义 分母 只看分母，与分子无关 分式无意义 分母 分母为0，分式无意义 分式值为0 分子且分母 双条件缺一不可 知识点3：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.符号表示：（为整式，）。 3.符号法则：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 即：。 知识点4：分式的约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 3.约分步骤： ①分子分母为多项式→先因式分解； ②找公因式→系数最大公约数+相同字母最低次幂； ③约去公因式→化为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】分式的概念辨析 1.核心知识点 分式定义；分母含字母；与整式区分 2.解题方法技巧 只看原式是否满足、整式、分母含字母，不看化简结果 【例题1】.（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：，，，，其中是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】分式有/无意义的条件 1.核心知识点 分母≠0有意义；分母=0无意义 2.解题方法技巧 列不等式/方程求解；多项式分母先分解再令每个因式≠0 【例题2】.（25-26八年级下·山东济宁·期中）若式子有意义，则的取值范围是_____． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）要使有意义，则x的取值范围是_______． 【变式题2-2】.（2026·广西南宁·一模）若分式无意义，则________________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若分式无意义，则的值为_____． 【题型3】分式值为0的条件 1.核心知识点 分子=0且分母≠0；双条件同时满足 2.解题方法技巧 先求分子为0的解，再代入分母检验排除增根 【例题3】.（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 【变式题3-1】.（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【变式题3-2】.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【题型4】分式基本性质的直接应用 1.核心知识点 同乘/除以同一个非零整式，值不变 2.解题方法技巧 看清“同乘同除、不为0、分子分母都变”三要点 【例题4】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【题型5】分式符号法则运用 1.核心知识点 变两处符号，值不变 2.解题方法技巧 先统一最高次项符号，再判断变形是否正确 【例题5】.（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型6】分式的约分 1.核心知识点 找公因式；多项式先分解；化为最简分式 2.解题方法技巧 先分解再约分；约分要彻底，结果为最简分式 【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·山西运城·一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（2025·四川雅安·中考真题）化简：______． 【题型7】判断最简分式 1.核心知识点 分子分母无公因式；平方和一般不能分解 2.解题方法技巧 能因式分解先分解，再看是否有公因式可约 【例题7】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏·单元复习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【题型8】系数化整与符号规整 1.核心知识点 分式基本性质；小数/分数系数统一化为整数 2.解题方法技巧 小数同乘10ⁿ；分数同乘分母最小公倍数 【例题8】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【变式题8-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 【题型9】求分式的值（代入求值） 1.核心知识点 先化简再代入；保证分式有意义 2.解题方法技巧 先约分简化运算；代入前检验分母≠0 【例题9】.（25-26九年级下·四川成都·期中）若，则_______． 【变式题9-1】.（2026·四川成都·二模）已知，则的值为______． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·山西·期中）已知实数满足，则的值为___________． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·福建福州·期中）若，则的值是______． 【压轴素养题型】 【题型10】规律探究型分式问题 1.核心知识点 分式变形；从特殊到一般归纳规律 2.解题方法技巧 算前几项→找周期/通项→用规律求解 【例题10】.（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，． 【应用】求的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·四川内江·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【题型11】新定义运算与分式结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式概念与性质综合 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为分式问题→规范求解检验 【例题11】.（2026·辽宁大连·一模）定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 【变式题11-1】.（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·全国·期末）[新定义阅读] 对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 易错点 1.判断分式时化简后再判断，忽略原式分母含字母。 2.分式值为0时只看分子为0，忘记分母≠0，出现增根。 3.运用基本性质时不同乘/除、漏乘、乘0，导致变形错误。 4.约分不彻底，未化为最简分式；多项式分母未分解就约分。 5.混淆与字母，误把当成分式。 6.符号法则记错，只变一处或三处符号。 重点 1.分式的概念判断，区分分式与整式。 2.分式有/无意义、值为0的条件应用。 3.分式的基本性质与符号法则。 4.分式约分与最简分式判断。 难点 1.分式值为0的双条件综合运用。 2.复杂多项式分母的因式分解与约分。 3.分式基本性质的灵活变形（系数化整、符号规整）。 4.新定义、规律探究、实际情境等创新题型建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算的结果正确的是（   ） A．3 B． C． D． 3．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 二、填空题 4．已知，则__________． 5．当正整数________时，分式的值也为整数． 6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 三、解答题 7．约分： (1)； (2)． 8．已知分式的值为0，求分式的值． 9．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 10．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 分式及其基本性质 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（A,B是整式，中含有字母，且）的式子叫做分式，为分子，为分母。 2.判断三要素：①形如；②A,B均为整式；③分母含字母；④。 3.区分：是整式，是分式（是常数，不是字母）。 知识点2：分式有/无意义、值为0的条件 情形 条件 注意 分式有意义 分母 只看分母，与分子无关 分式无意义 分母 分母为0，分式无意义 分式值为0 分子且分母 双条件缺一不可 知识点3：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.符号表示：（为整式，）。 3.符号法则：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 即：。 知识点4：分式的约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 3.约分步骤： ①分子分母为多项式→先因式分解； ②找公因式→系数最大公约数+相同字母最低次幂； ③约去公因式→化为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】分式的概念辨析 1.核心知识点 分式定义；分母含字母；与整式区分 2.解题方法技巧 只看原式是否满足、整式、分母含字母，不看化简结果 【例题1】.（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式． 【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式； 选项B．的分母是，不含字母，属于整式； 选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项D．是整式，不是分式． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义进行判断，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此解答即可． 【详解】选项A中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项B中的分母是含有字母的整式，符合分式定义，故是分式； 选项C中的分母是常数，不含字母，故不是分式； 选项D中是常数，因此是常数，分母不含字母，故不是分式． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式：，，，，其中是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式，注意是常数不是字母． 【详解】解：根据分式的定义逐一判断： ∵是常数，∴的分母不含字母，是整式； 的分母是常数，不含字母，是整式； 的分母是常数，不含字母，是整式； 中含有分母为字母的分式，因此该式是分式， 综上，只有个分式，故选：A． 【题型2】分式有/无意义的条件 1.核心知识点 分母≠0有意义；分母=0无意义 2.解题方法技巧 列不等式/方程求解；多项式分母先分解再令每个因式≠0 【例题2】.（25-26八年级下·山东济宁·期中）若式子有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式，得 解不等式，得 因此的取值范围是且． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）要使有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据分式分母不为0，二次根式被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得： 【变式题2-2】.（2026·广西南宁·一模）若分式无意义，则________________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件，得到分母为零，列出一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：无意义， ， 解得： 【变式题2-3】.（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若分式无意义，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 【题型3】分式值为0的条件 1.核心知识点 分子=0且分母≠0；双条件同时满足 2.解题方法技巧 先求分子为0的解，再代入分母检验排除增根 【例题3】.（2026·山东济南·一模）代数式的值为0，则______． 【答案】0 【分析】本题根据分式值为零的条件求解，分式值为零需满足分子为零且分母不为零． 【详解】解：分式的值为， ∴， 解， 得， 由得， 综上可得． 【变式题3-1】.（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 【题型4】分式基本性质的直接应用 1.核心知识点 同乘/除以同一个非零整式，值不变 2.解题方法技巧 看清“同乘同除、不为0、分子分母都变”三要点 【例题4】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A选项：，变形错误； B选项：，变形错误； C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确； D选项：，变形错误， 只有选项C正确． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，同时扩大为原来的倍后代入分式，根据分式值扩大为原来的倍，推得分母替换后应为原来的倍，验证选项即可得到答案． 【详解】解：设原分母为，则原分式为​，新分式为，根据题意： ​， 化简得：​，即， A选项：，扩大后，，不符合，故A错误； B选项：，扩大后，符合，故B正确； C选项：，扩大后，不符合，故C错误； D选项：，扩大后，不符合，故D错误． 【变式题4-3】.（24-25八年级下·山西临汾·期末）能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 【题型5】分式符号法则运用 1.核心知识点 变两处符号，值不变 2.解题方法技巧 先统一最高次项符号，再判断变形是否正确 【例题5】.（19-20八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【变式题5-1】.（24-25八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·湖北荆门·期末）下列各式由左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的变形及分式的基本性质，需根据相关规则逐一判断各选项的变形是否正确． 【详解】A选项： ，该变形正确，符合题意； B选项： ，该变形错误，不符合题意； C选项： ，该变形错误，不符合题意； D选项： 分式的基本性质要求分子分母同乘的数不为0，当时，，分式无意义， 该变形不一定成立，错误，不符合题意； 故选：A． 【培优高频题型】 【题型6】分式的约分 1.核心知识点 找公因式；多项式先分解；化为最简分式 2.解题方法技巧 先分解再约分；约分要彻底，结果为最简分式 【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原选项约分错误； B．，原选项约分错误； C. ，原选项约分正确； D．，原选项约分错误． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形，再约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题6-2】.（2026·山西运城·一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，先对分子分母因式分解，再约去所有公因式即可得到结果． 【详解】解；． 【变式题6-3】.（2025·四川雅安·中考真题）化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【题型7】判断最简分式 1.核心知识点 分子分母无公因式；平方和一般不能分解 2.解题方法技巧 能因式分解先分解，再看是否有公因式可约 【例题7】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式． 【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式， 选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式， 选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式． 选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在公因式，不存在公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； B选项：=，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C选项：的分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江苏·单元复习）在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 【题型8】系数化整与符号规整 1.核心知识点 分式基本性质；小数/分数系数统一化为整数 2.解题方法技巧 小数同乘10ⁿ；分数同乘分母最小公倍数 【例题8】.（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分式的分子系数和分母系数都乘60即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题8-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·全国·课前预习）不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 【题型9】求分式的值（代入求值） 1.核心知识点 先化简再代入；保证分式有意义 2.解题方法技巧 先约分简化运算；代入前检验分母≠0 【例题9】.（25-26九年级下·四川成都·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据，设，，代入计算求值即可． 【详解】解：， 设，， 则有． 【变式题9-1】.（2026·四川成都·二模）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，将所求分式变形后，整体代入已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：. 【变式题9-2】.（25-26八年级下·山西·期中）已知实数满足，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据推出，将化为，再代入变形后的式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·福建福州·期中）若，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据完全平方公式可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ． 【压轴素养题型】 【题型10】规律探究型分式问题 1.核心知识点 分式变形；从特殊到一般归纳规律 2.解题方法技巧 算前几项→找周期/通项→用规律求解 【例题10】.（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，． 【应用】求的值． 【答案】 【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得． 【详解】解： ． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 【变式题10-2】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·四川内江·月考）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 【题型11】新定义运算与分式结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式概念与性质综合 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为分式问题→规范求解检验 【例题11】.（2026·辽宁大连·一模）定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式题11-1】.（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·全国·期末）[新定义阅读] 对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数，见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简、有理数的运算，理解新定义运算法则是解答的关键． （1）先根据新运算法则列式，然后根据有理数的运算法则求解即可； （2）先根据新运算法则列方程，然后解分式方程即可； （3）先根据新运算法则列式，再根据分式的性质化简，然后比较结果可得结论． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴所列方程的解为，即所求x的值为3； （3）解：∵， ∴． 【变式题11-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据，为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 所以分式是分式的“差分式”； （2）解：， ， 解得； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 易错点 1.判断分式时化简后再判断，忽略原式分母含字母。 2.分式值为0时只看分子为0，忘记分母≠0，出现增根。 3.运用基本性质时不同乘/除、漏乘、乘0，导致变形错误。 4.约分不彻底，未化为最简分式；多项式分母未分解就约分。 5.混淆与字母，误把当成分式。 6.符号法则记错，只变一处或三处符号。 重点 1.分式的概念判断，区分分式与整式。 2.分式有/无意义、值为0的条件应用。 3.分式的基本性质与符号法则。 4.分式约分与最简分式判断。 难点 1.分式值为0的双条件综合运用。 2.复杂多项式分母的因式分解与约分。 3.分式基本性质的灵活变形（系数化整、符号规整）。 4.新定义、规律探究、实际情境等创新题型建模。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有符合条件． 2．计算的结果正确的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．根据下列表格信息，y可能是（　　） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * * 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义（分母为0）和分式值为0（分子为0且分母不为0）的性质，结合表格数据筛选选项． 【详解】解：A．当时，分母，不合题意； B．当时，分母，当时，分子，符合题意； C．当时，分子，不合题意； D．当时，分母，不合题意； 故选：B． 二、填空题 4．已知，则__________． 【答案】 【分析】对已知等式利用等式的基本性质变形，整理得到所求分式的值． 【详解】解：， ， ， ． 5．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】由分式有意义的条件得，由二次根式有意义的条件得，解不等式求解可得x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 三、解答题 7．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了约分，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用分式的基本性质约分； （2）先将分子、分母分别分解因式，再约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． 8．已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 9．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 10．[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $