专题2.1 不等式及其基本性质（4大知识点+ 9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

本讲义系统梳理不等式的概念与不等号、解与解集、基本性质及与等式性质的对比等核心知识点，从概念理解到解集表示，再到性质应用，构建层层递进的学习支架，帮助学生夯实基础。 资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固概念，培优题型提升推理能力，压轴题型培养创新意识。结合实际情境应用题（如车高限制、购物预算），引导学生用数学眼光观察现实世界，通过对比归纳培养数学思维，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.1 不等式及其基本性质 知识点1：不等式的概念与不等号 1.定义：用不等号表示数量之间不等关系的式子叫做不等式（与式子是否成立无关，只要含不等号即为不等式）。 2.常见不等号及含义： 不等号 名称 读法 实际意义 示例 < 小于号 小于 不足、低于、少于 、 > 大于号 大于 超过、高出、多于 、 ≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 、 ≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 、 ≠ 不等于号 不等于 两数量不相等 、 知识点2：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值（一个或多个具体数值），如是的一个解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合（一个范围），如的解集是。 3.解集的表示方法： 文字表示：如“大于1”； 符号表示：如、； 数轴表示： 解集符号 边界点类型 数轴图示（预留） 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 知识点3：不等式的基本性质 性质序号 文字表述 数学符号表示（以为例） 注意事项 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 、（为任意数或整式） 加减的是“同一个数或整式”，不等号方向不变 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，则、 乘除的是“正数”，不等号方向不变 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，则、 乘除的是“负数”，必须改变不等号方向（核心易错点） 性质4（传递性） 若且，则 —— 仅适用于同向不等式的传递 知识点4：不等式性质与等式性质的对比 运算类型 等式性质（以为例） 不等式性质（以为例） 核心区别 加（减）同一个数 、 、 规则一致，均不改变等式/不等号方向 乘（除）同一个正数 、（） 、（） 规则一致，均不改变方向 乘（除）同一个负数 、（） 、（） 不等式需改变不等号方向，等式不变 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与判断 1.核心知识点 不等式的定义（含不等号的式子） 区分不等式与等式、代数式 2.解题方法技巧 关键看式子是否含“<”“>”“≤”“≥”“≠”，与式子是否成立无关（如是不等式）； 不含不等号的式子（等式、代数式）均不是不等式（如、）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2】根据不等关系列不等式 1.核心知识点 常见不等关系的文字表述与符号转换 代数式的正确表示 2.解题方法技巧 抓住关键词：“至少”→“≥”、“至多”→“≤”、“超过”→“>”、“不大于”→“≤”等； 先表示出相关量的代数式，再用不等号连接（如“的3倍与2的差不小于5”表示为）。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【题型3】不等式的解与解集的辨析 1.核心知识点 不等式的解与解集的区别（个体与整体） 解集的数轴表示方法 2.解题方法技巧 判断某个数是否为解：代入不等式验证是否成立； 数轴表示解集：先确定边界点类型（空心/实心），再确定箭头方向（左小右大）。 【例题3】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）函数中，自变量x的取值范围是_______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·陕西宝鸡·月考）在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【题型4】利用不等式性质判断变形正误 1.核心知识点 不等式的三条基本性质 不等号方向改变的条件（乘除负数） 2.解题方法技巧 逐题分析变形依据：看是加减、乘正还是乘负； 重点检查乘除负数时，不等号是否改变方向（如变形为是错误的，应改为）。 【例题4】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】根据解集求字母取值范围 1.核心知识点 不等式性质3（乘除负数变号） 解集的逆向推导 2.解题方法技巧 若不等式的解集为，说明变形时不等号方向改变，故，解得； 关键：根据解集方向判断未知数系数的正负（系数正，方向不变；系数负，方向改变）。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知为非零实数，若的解集为，则________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【题型6】利用不等式性质比较大小 1.核心知识点 不等式的基本性质（加、减、乘、除变形） 作差法比较大小（则） 2.解题方法技巧 已知，比较含、的代数式大小：通过加减乘除变形转化（如比较与，利用性质2乘2，再用性质1加1）； 未知大小关系时，用作差法（如比较与，作差得，故）。 【例题6】.（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： (1)比较与的大小； (2)若，，请比较与的大小． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·广东深圳·月考）【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 【题型7】实际情境中的不等式建模 1.核心知识点 列不等式表示实际不等关系 不等式性质的实际应用（如购物预算、行程限速） 2.解题方法技巧 明确实际问题中的限制条件（如“资金不超过7200元”“监控半径大于1600米”）； 设未知数，用代数式表示相关量，结合关键词列出不等式（如购物问题：单价×数量+其他费用≤预算）。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义下的不等式运算 1.核心知识点 新定义运算规则的理解 不等式性质的综合应用 2.解题方法技巧 先明确新定义运算（如“”），将不等式转化为常规形式（如转化为）； 结合不等式性质求解，注意新定义中隐含的限制条件。 【例题8】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集．例如：不等式是不等式的子集． 请写出不等式的一个子集：_______． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，． (1)若，且，求的值； (2)若，求证：． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将任意两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．若点的“切比雪夫距离”为3，则t的值为__________________． 【题型9】不等式性质的证明与探究 1.核心知识点 不等式基本性质的逻辑推导 分类讨论思想 2.解题方法技巧 证明“若且，则”：利用性质1（两边加）和相反数性质推导； 探究型问题：分类讨论字母取值（如比较与的大小，分、、三种情况）。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，，，求证：． (1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)请用另一种方法证明． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）已知，则______． （2）已知，求证：①；②． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）已知，则__________． （2）已知，且，求证：． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 易错点 运用性质3时忘记改变不等号方向（如变形为，正确应为）。 混淆“不等式的解”与“解集”（解是单个数值，解集是范围，如是的解，但不是解集）。 数轴表示解集时，边界点类型错误（如用实心圆点，用空心圆圈）。 4.列不等式时关键词翻译错误（如“不小于”误译为“<”，正确应为“≥”）。 5.不等式两边乘除含字母的式子时，未考虑字母正负（如直接变形为，忽略的情况）。 重点 1.不等式的定义、不等号的含义及列不等式的方法。 2.不等式的三条基本性质（尤其是性质3，乘除负数变号）。 3.不等式的解与解集的区别，以及解集的数轴表示。 4.利用不等式性质进行变形、比较大小和求字母取值范围。 难点 1.不等式性质3的灵活应用（乘除负数时不等号方向的改变）。 2.根据解集逆向推导未知数系数的正负（如由的解集为，求的范围）。 3.代数式取值范围的叠加推导（如已知、，求、的范围）。 4.实际情境和跨学科问题中不等关系的建模（准确提取限制条件，转化为不等式）。 【对应练习题】 2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 6．已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 7．用不等式表示“与2026的和不大于”：____________． 8．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 9．已知，用“”或“”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 10．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 三、解答题 11．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 12．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 13．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 14．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 15．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 不等式及其基本性质 知识点1：不等式的概念与不等号 1.定义：用不等号表示数量之间不等关系的式子叫做不等式（与式子是否成立无关，只要含不等号即为不等式）。 2.常见不等号及含义： 不等号 名称 读法 实际意义 示例 < 小于号 小于 不足、低于、少于 、 > 大于号 大于 超过、高出、多于 、 ≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 、 ≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 、 ≠ 不等于号 不等于 两数量不相等 、 知识点2：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值（一个或多个具体数值），如是的一个解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合（一个范围），如的解集是。 3.解集的表示方法： 文字表示：如“大于1”； 符号表示：如、； 数轴表示： 解集符号 边界点类型 数轴图示（预留） 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 知识点3：不等式的基本性质 性质序号 文字表述 数学符号表示（以为例） 注意事项 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变 、（为任意数或整式） 加减的是“同一个数或整式”，不等号方向不变 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，则、 乘除的是“正数”，不等号方向不变 性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，则、 乘除的是“负数”，必须改变不等号方向（核心易错点） 性质4（传递性） 若且，则 —— 仅适用于同向不等式的传递 知识点4：不等式性质与等式性质的对比 运算类型 等式性质（以为例） 不等式性质（以为例） 核心区别 加（减）同一个数 、 、 规则一致，均不改变等式/不等号方向 乘（除）同一个正数 、（） 、（） 规则一致，均不改变方向 乘（除）同一个负数 、（） 、（） 不等式需改变不等号方向，等式不变 【基础必考题型】 【题型1】不等式的识别与判断 1.核心知识点 不等式的定义（含不等号的式子） 区分不等式与等式、代数式 2.解题方法技巧 关键看式子是否含“<”“>”“≤”“≥”“≠”，与式子是否成立无关（如是不等式）； 不含不等号的式子（等式、代数式）均不是不等式（如、）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共个； 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·周测）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的定义，即用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫做不等式，理解不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵不等式需含有不等号， ∴①；②；④；⑥，是用不等号连接的式子，故是不等式． 而③是等式；⑤；⑦，是代数式，这三个都不是不等式． ∴共有个不等式. 故选：B． 【题型2】根据不等关系列不等式 1.核心知识点 常见不等关系的文字表述与符号转换 代数式的正确表示 2.解题方法技巧 抓住关键词：“至少”→“≥”、“至多”→“≤”、“超过”→“>”、“不大于”→“≤”等； 先表示出相关量的代数式，再用不等号连接（如“的3倍与2的差不小于5”表示为）。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 【详解】解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 【题型3】不等式的解与解集的辨析 1.核心知识点 不等式的解与解集的区别（个体与整体） 解集的数轴表示方法 2.解题方法技巧 判断某个数是否为解：代入不等式验证是否成立； 数轴表示解集：先确定边界点类型（空心/实心），再确定箭头方向（左小右大）。 【例题3】.（25-26八年级上·安徽池州·期末）函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，求不等式的解集．根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，从而得到不等式，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·陕西宝鸡·月考）在数轴上所表示的关于的不等式的解集如图所示，则该解集为_________． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，数轴的某一段上面，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，向右，向左． 【详解】解：由图可知，该解集为：． 故答案为： 【题型4】利用不等式性质判断变形正误 1.核心知识点 不等式的三条基本性质 不等号方向改变的条件（乘除负数） 2.解题方法技巧 逐题分析变形依据：看是加减、乘正还是乘负； 重点检查乘除负数时，不等号是否改变方向（如变形为是错误的，应改为）。 【例题4】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故A、B、D成立，不符合题意； C不成立，符合题意． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，则下列式子错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵已知， 选项不等式两边同时减去，不等号方向不变， ∴，正确； 选项不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得， 两边再同时加，不等号方向不变，可得， ∴错误，错误； 选项由，可得，即，正确； 选项不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，正确． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式两边加（或减）同一个整式，不等号方向不变的性质判断各选项即可． 【详解】解：选项，左右加减不同的数，不满足性质，举反例，可得，，，选项错误； 选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，选项错误； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项正确； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项错误． 【培优高频题型】 【题型5】根据解集求字母取值范围 1.核心知识点 不等式性质3（乘除负数变号） 解集的逆向推导 2.解题方法技巧 若不等式的解集为，说明变形时不等号方向改变，故，解得； 关键：根据解集方向判断未知数系数的正负（系数正，方向不变；系数负，方向改变）。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以， ∵不等号由“”变成“”， ∴， 故答案为：． 【变式题5-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知为非零实数，若的解集为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 【详解】解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 【题型6】利用不等式性质比较大小 1.核心知识点 不等式的基本性质（加、减、乘、除变形） 作差法比较大小（则） 2.解题方法技巧 已知，比较含、的代数式大小：通过加减乘除变形转化（如比较与，利用性质2乘2，再用性质1加1）； 未知大小关系时，用作差法（如比较与，作差得，故）。 【例题6】.（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： (1)比较与的大小； (2)若，，请比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求差法比较大小的应用及不等式的性质，熟练掌握整式的运算及不等式的性质是解题的关键． （1）利用求差法比较大小即可； （2）利用求差法及不等式的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， ； （2）， ，， ，， ． ． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·山东聊城·期末）某数学学习小组在比较有理数大小时发现两个数的大小与它们差的符号之间有着密切联系，为了让同学们也发现这个规律，他们设计了如下的探究活动： (1)完成表格： a b 比较与0的大小 比较a与b的大小 5 3 5 ① ② (2)发现规律： 若， 则a b； 若， 则a b； 若，则． (3)利用数式通性，借助上面的规律比较与的大小关系． 【答案】(1)①② (2)； (3) 【分析】本题考查有理数大小比较，解题的关键是掌握不等式的性质． （1）根据表格填空即可； （2）观察表格规律可得答案； （3）求出，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由得； 由得； 故答案为：，； （2）解：若，则，若，则； 故答案为：，； （3）解：； 任意实数a， ． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)不等式的基本性质1 (2) (3)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【分析】本题主要考查不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算，熟练掌握不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算是解题的关键； （1）根据不等式的性质可进行求解； （2）由题意可得，然后进行作差，进而问题可求解； （3）作差可得，然后对a的值进行分类讨论即可求解 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·广东深圳·月考）【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知， ，其中，求证：． 证明： ，故． 【新知理解】（1）比较大小： (填“”“”或“”) 【问题解决】（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(a为正整数)，其面积分别为，，请比较、的大小关系． 【拓展应用】（3）请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案，方案一：用5块A型钢板，6块型钢板；方案二：用4块A型钢板，7块型钢板．每块A型钢板的面积比每块型钢板的面积小，方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较的大小． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）作差即可作出判断； （2）分别求出，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，，分别求出，然后作差，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ， ∴ ∵a为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设A型钢板的面积为，型钢板的面积为，， 根据题意可知：，， ， ∵， ∴， ∴ 【题型7】实际情境中的不等式建模 1.核心知识点 列不等式表示实际不等关系 不等式性质的实际应用（如购物预算、行程限速） 2.解题方法技巧 明确实际问题中的限制条件（如“资金不超过7200元”“监控半径大于1600米”）； 设未知数，用代数式表示相关量，结合关键词列出不等式（如购物问题：单价×数量+其他费用≤预算）。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·课后作业）某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果10千克，价格为每千克b元的乙种糖果20千克，商店以每千克元的价格全部卖完，为保证盈利，求a与b的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了不等式基本性质的应用，正确理解题意列不等式求解是关键．根据题意列出不等式，整理得，再根据不等式基本性质即可得出． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 不等式两边都减去，得， 不等式两边都除以5，得， 所以a与b的大小关系为． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 【详解】解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·河南信阳·期末）为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一：元；方案二：元 (3)当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据两种采购方案的方式解答即可； （2）根据两种采购方案的方式解答即可； （3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：方案一：费用为（元）， 方案二：费用为（元）． （2）解：方案一：费用为， 方案二：费用为． （3）解：根据题意得：， 解得． 当时，， 所以当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示下列问题中的数量关系： (1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积． (2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）长方形的面积为，正方形的面积为，根据“长方形的面积小于正方形的面积”即可列出不等式； （2）客车到站乘客上下车后，车上有乘客人，“车内仍有空余座位”意味着车上乘客数少于40人，即可列出不等式． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义下的不等式运算 1.核心知识点 新定义运算规则的理解 不等式性质的综合应用 2.解题方法技巧 先明确新定义运算（如“”），将不等式转化为常规形式（如转化为）； 结合不等式性质求解，注意新定义中隐含的限制条件。 【例题8】.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，定义 （1）当时，_______； （2）当时，的范围是_______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了新定义、代数式求值、不等式的性质等知识点，灵活运用知识成为解题的关键． （1）直接运用新定义求解即可； （2）分、、三种情况，分别根据新定义和不等式的性质求解即可． 【详解】解（1）有题意可得：当时，． ∴当时，． 故答案为：． （2）当时： 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 当时，． 将代入，可得． 当时，． 将代入，可得． ∵， ∴，即． 综上，y的取值范围为或． 答案为或． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的子集．例如：不等式是不等式的子集． 请写出不等式的一个子集：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，根据定义写一个任意一个解都是不等式的一个解的不等式即可． 【详解】解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，． (1)若，且，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组： （1）根据新运算的法则，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）根据新定义，结合不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，得     化简，得     ，得． （2）证明：由条件，得．     ∴ ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将任意两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”．若点的“切比雪夫距离”为3，则t的值为__________________． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义的含义是解题的关键，注意分情况求解．先求出点M横坐标差的绝对值，点M纵坐标差的绝对值，根据两点的“切比雪夫距离”定义，①当时，，时，，分别求解即可． 【详解】解：点M横坐标差的绝对值为， 纵坐标差的绝对值为， 根据两点的“切比雪夫距离”定义， ①当时，， 解得或， 当t=3时，， 此时， 故不符合题意； 当时，， 此时， 故符合题意； ②时， ， 解得或， 当时， ， 此时， 故符合题意； 当时， ， 此时， 故不符合题意； 综上所述，符合条件的t的值为或， 故答案为：或． 【题型9】不等式性质的证明与探究 1.核心知识点 不等式基本性质的逻辑推导 分类讨论思想 2.解题方法技巧 证明“若且，则”：利用性质1（两边加）和相反数性质推导； 探究型问题：分类讨论字母取值（如比较与的大小，分、、三种情况）。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，，，求证：． (1)证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)请用另一种方法证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题考查了实数大小比较，能准确地理解和应用算术平方根和作差法是解题的关键． （1）结合题意应用不等式的性质进行求解； （2）运用算术平方根和平方差公式等知识进行变式、求解． 【详解】（1）解：，， ，． ， ，． ． ． 故答案为：，． （2），，． ，，，． ，，即． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）（1）已知，则______． （2）已知，求证：①；②． 【答案】 （1）c （2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的性质，不等式的性质． （1）直接利用二次根式的性质求解； （2）①利用不等式性质进行证明；②利用二次根式的性质和分母有理化进行证明． 【详解】（1）解：已知，则， 故答案为：； （2）证明：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）（1）已知，则__________． （2）已知，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． （1）直接利用二次根式的性质求解； （2）利用二次根式的性质和不等式性质进行证明． 【详解】（1）解：已知，则， 故答案为：； （2）证明：∵ ，，且 ， ∴ ， 即 ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如下： 证明：∵， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)，， ， (2)②④，证明见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质填空； （2）根据两个负数，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴ ． ∴ ． 故答案为：，， ，； （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：②④． 易错点 运用性质3时忘记改变不等号方向（如变形为，正确应为）。 混淆“不等式的解”与“解集”（解是单个数值，解集是范围，如是的解，但不是解集）。 数轴表示解集时，边界点类型错误（如用实心圆点，用空心圆圈）。 4.列不等式时关键词翻译错误（如“不小于”误译为“<”，正确应为“≥”）。 5.不等式两边乘除含字母的式子时，未考虑字母正负（如直接变形为，忽略的情况）。 重点 1.不等式的定义、不等号的含义及列不等式的方法。 2.不等式的三条基本性质（尤其是性质3，乘除负数变号）。 3.不等式的解与解集的区别，以及解集的数轴表示。 4.利用不等式性质进行变形、比较大小和求字母取值范围。 难点 1.不等式性质3的灵活应用（乘除负数时不等号方向的改变）。 2.根据解集逆向推导未知数系数的正负（如由的解集为，求的范围）。 3.代数式取值范围的叠加推导（如已知、，求、的范围）。 4.实际情境和跨学科问题中不等关系的建模（准确提取限制条件，转化为不等式）。 【对应练习题】 次不等式，在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 解得：， 在数轴上表示为：． 故选：B． 2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，熟记不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如 ）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，使用 ，是不等式； ②，使用 ，是不等式； ③，使用，是等式，不是不等式； ④，使用，是不等式； ⑤没有不等号，不是不等式； ⑥，使用，是不等式． ∴ 不等式有①②④⑥，共个． 故选：C． 4．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边加、减、乘（或除以）同一个数（或式子）时不等号方向的变化规律，进而判断出各式是否成立． 【详解】解：， 不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故不成立； ， 不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，故一定成立． 故选：． 5．下列式子的变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确． B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确． C、∵， ∴， ∵， ∴，变形正确． D、当时，，此时 ∴不能推出，变形错误． 二、填空题 6．已知不等式，有，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据不等式的性质解题即可． 【详解】解：由 和 可知，不等式两边乘以 后不等号方向改变， ∴ ， 解得 ． 故答案为： ． 7．用不等式表示“与2026的和不大于”：____________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，熟练掌握根据题意列不等式是解题的关键． 根据题意，“与2026的和不大于”可转化为不等式； 【详解】解：∵与2026的和不大于， ∴； 故答案为：． 8．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 9．已知，用“”或“”填空： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】依据不等式的基本性质，对每个小题逐一分析判断即可． 【详解】解：（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． （2）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数2，不等号的方向不变， 因为，所以，即． （3）根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号的方向不变， 因为，所以． 10．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____． 【答案】6075 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． 根据不等式的整数解定义，确定和的值，再计算乘积即可． 【详解】解：由，得最小整数解为，故； 由，得最大整数解为，故． 因此． 故答案为：． 三、解答题 11．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 12．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 13．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【答案】见解析 【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【详解】解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 14．果农通过网络直播宣传，使物美价廉的水果畅销全国各地粉丝小级想在直播间购买凤梨和山竹，凤梨每箱元，山竹每箱元，．为了方便快递，直播间要求一单需买两箱，且整箱购买．小级决定在直播间下一单． (1)若小级一单买了箱凤梨，则需花费______元；若他一单买了凤梨和山竹各箱，则需花费 ______元． (2)比较与的大小，并用不等式的基本性质说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，不等式的性质． （1）根据题意列代数式即可； （2）利用不等式的性质即可求得答案． 【详解】（1）由题意得元，元， 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ， ． 15．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴ （不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $