23.2 一次函数的图象和性质 第1课时 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

探索 · 发现 · 应用| 从直观图形到抽象规律 一次函数的图象和性质（第1课时） 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习一个非常重要的函数类型——一次函数。我们将一起探索它的图象长什么样，以及它有哪些独特的性质。掌握了这些，我们就能更好地理解和运用一次函数解决实际问题。 ‹#› 学习目标 01 / 知识与技能 • 掌握正比例函数和一次函数的图象画法。 • 理解并掌握正比例函数和一次函数的性质。 • 理解一次函数图象的平移规律。 02 / 过程与方法 • 经历“列表-描点-连线”画函数图象的过程，体会数形结合的思想。 • 通过对比、归纳，总结函数的性质，提升数学抽象与逻辑推理能力。 03 / 情感态度与价值观 • 感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养对待学习认真细致的态度。 • 在解决问题的过程中体验成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。 1.7.2013 本节课我们的学习目标主要有三个方面：首先，我们要学会如何画出一次函数的图象；其次，要深入理解它的性质；最后，还要掌握图象平移的规律。希望通过这节课的学习，大家能真正掌握一次函数的核心知识。 ‹#› 一、正比例函数的图象 💡 回顾：什么是正比例函数？ 一般地，形如y = kx(k 是常数，且 k ≠ 0) 的函数，叫做正比例函数。 01 列表 以函数y = 2x为例： x: ... -2 -1 0 1 2 ... y: ... -4 -2 0 2 4 ... 02 描点 在平面直角坐标系中，以表格里各组 x、y 的对应值为坐标，在坐标系中描出相应的点。 如点 (-1, -2)、(0, 0)、(1, 2) 等 03 连线 把描出的这些点，用一条平滑的直线依次连接起来，并向两端无限延伸。 结论：图象是一条经过原点的直线 1.7.2013 我们先从最简单的一次函数——正比例函数开始。还记得什么是正比例函数吗？对，就是形如 y=kx 的函数，其中k是不为零的常数。现在，我们以具体的函数 y=2x 为例，看看如何画出它的图象。我们遵循“列表、描点、连线”这三个标准步骤。第一步列表，找出几组x和y的对应值；第二步描点，把这些数值对在平面直角坐标系中找到对应的位置；最后一步连线，把这些点连接起来，我们就得到了一条经过原点的直线。 ‹#› 正比例函数图象示例 O y = 2x y = -1.5x 观察与思考：对比异同 ✅ 相同点： 两个函数的图象都属于“直线型”，并且都严格经过**原点 (0, 0)**。 🔄 不同点： •位置：y=2x 过一、三象限；y=-1.5x 过二、四象限。 •趋势：y=2x 随x增大而增大(上升)；y=-1.5x 随x增大而减小(下降)。 1.7.2013 同样地，我们可以画出y=-1.5x的图象。大家看，这条直线经过了第二、四象限，并且是从左到右下降的。对比y=2x和y=-1.5x的图象，我们发现它们都是过原点的直线，但位置和增减趋势完全不同。这是为什么呢？关键就在于k的符号。 ‹#› 二、正比例函数的性质 当 k > 0 时（例如 y = 2x） ● 图象特征：直线经过平面直角坐标系的第一、三象限。 ● 变化规律：y 的值随着 x 值的增大而增大。 当 k < 0 时（例如 y = -1.5x） ● 图象特征：直线经过平面直角坐标系的第二、四象限。 ● 变化规律：y 的值随着 x 值的增大而减小。 💡 核心总结 1. 比例系数k 的符号决定了函数图象经过的象限和 y 随 x 变化的增减性。 2. 所有正比例函数的图象，都是一条经过坐标原点 (0,0)的直线。 1.7.2013 通过刚才的例子，我们可以总结出正比例函数的性质。当比例系数k大于0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k小于0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小。请大家牢记这个结论，这是解决正比例函数问题的关键。 ‹#› 课堂练习（一） 01 正比例函数 y = -3x 的图象经过第 ______ 象限，y 随 x 的增大而 ______。 参考答案： 图象经过第二、四象限；y随x的增大而减小。 02 若正比例函数 y = (m-1)x 的图象经过第一、三象限，则 m 的取值范围是 ______。 参考答案： 根据题意，k值需大于0，即 m-1 > 0，所以m > 1。 03 点 A(2, m) 和点 B(-3, n) 都在函数 y = -4x 的图象上，比较 m 和 n 的大小。 参考答案： ∵ k=-4 < 0，y随x增大而减小，且 2 > -3， ∴m < n。 1.7.2013 我们来做几道练习题巩固一下。第一题，考察k值对图象和性质的影响。第二题，反过来，通过图象位置判断k的符号。第三题，利用函数的增减性比较函数值的大小。这些都是非常基础和重要的题型。 ‹#› 三、一次函数的图象 核心定义 一般地，形如y = kx + b(k, b 是常数, 且k ≠ 0) 的函数，叫做一次函数。 注：当 b = 0 时，即 y = kx，因此正比例函数是一种特殊的一次函数。 探究：画 y = -3x + 1 的图象 💡关键方法：两点法— 因为一次函数的图象本质上是一条直线，而几何中“两点确定一条直线”，所以只需找到直线上任意两点，连接即可。 Step 1 · 找 y 轴交点 令x = 0，代入函数式计算，得到y = 1。 即与 y 轴的交点为(0, 1)。 Step 2 · 找 x 轴交点 令y = 0，代入函数式计算，得到x = 1/3。 即与 x 轴的交点为(1/3, 0)。 Step 3 · 描点并连线 在平面直角坐标系中，准确标出上面两个交点，最后用直尺连接两点并向两端适当延长，即为所求直线。 1.7.2013 现在我们进入一般的一次函数y=kx+b。它的图象也是一条直线。画它的图象，我们有一个更简便的方法——两点法。因为两点确定一条直线，我们只需要找到直线与坐标轴的两个交点，然后连接起来就可以了。比如画y=-3x+1，我们找到它与y轴的交点(0,1)和与x轴的交点(1/3,0)，连接这两点，图象就画好了。 ‹#› 一次函数图象示例 O y = -3x y = -3x + 1 观察与思考 问题：直线y = -3x + 1与y = -3x的位置关系如何？ 结论：互相平行 (斜率k相同，截距b不同) 规律总结 一次函数y = kx + b的图象，可由正比例函数y = kx的图象经过平移得到。 （当 b>0 向上平移 |b| 个单位，当 b<0 向下平移 |b| 个单位） 1.7.2013 我们把y=-3x和y=-3x+1的图象画在一起进行比较。大家会发现，这两条直线是互相平行的。这说明，一次函数的图象其实就是正比例函数图象的平移。那么，具体是如何平移的呢？ ‹#› 四、一次函数图象的平移规律 规律解析 直线y = kx + b可看作由直线y = kx平移|b|个单位长度得到。 • 当 b > 0 时，向上平移 b 个单位 • 当 b < 0 时，向下平移 |b| 个单位 核心记忆口诀 “上加 下减” b 的符号决定上下，绝对值决定距离 经典示例 y = 2x + 3 ← y = 2x向上平移 3 个单位 y = -x - 5 ← y = -x向下平移 5 个单位 1.7.2013 平移的规律非常简单，我们可以总结为“上加下减”。也就是说，b的值决定了平移的方向和距离。b是正数，就向上平移；b是负数，就向下平移。掌握了这个规律，我们就能快速判断一次函数图象的位置。 ‹#› 五、一次函数的性质 当 k > 0 时 📈 图象特征：直线从左到右呈上升趋势。 📊 变化规律：y 的值随 x 的增大而增大。 当 k < 0 时 📉 图象特征：直线从左到右呈下降趋势。 📊 变化规律：y 的值随 x 的增大而减小。 b 的几何意义 决定直线与y 轴交点的位置。 无论 k 取何值，一次函数图象必过点(0, b)。 💡 核心总结 •k 决定增减性：k > 0 函数递增，k < 0 函数递减。 •b 决定位置：直线与 y 轴交于点 (0, b)。 1.7.2013 一次函数的性质和正比例函数非常相似。k的符号决定了函数的增减性，k大于0，y随x增大而增大；k小于0，y随x增大而减小。而b的值，则决定了直线与y轴交点的位置。记住这两点，我们就能掌握一次函数的核心性质。 ‹#› 例题讲解：一次函数解析式求解 【例】已知一次函数y = kx + b的图象经过点(2, -1)和(-3, 4)，求这个一次函数的解析式。 思路分析 1. 核心方法：本题考查“待定系数法”，即先设出函数解析式，再根据条件确定未知系数。 2. 关键步骤：将两点坐标代入解析式，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组。 3. 最终目标：解方程组求出 k 和 b，还原解析式。 解题过程 将点代入解析式，得到方程组： {-1 = 2k + b (1) { 4 = -3k + b (2) 解得：k = -1，b = 1 ∴ 解析式为：y = -x + 1 1.7.2013 我们来看一个综合例题。已知一次函数图象经过两个点，求它的解析式。解决这类问题的方法叫做“待定系数法”。我们把点的坐标代入解析式，得到一个关于k和b的方程组，解出k和b，解析式就确定了。 ‹#› 课堂练习（二） Q1. 图象象限判断 一次函数 y = 2x - 3 的图象不经过第 ______ 象限。 答案：二 (第二象限) 解析: k>0, b<0，过一、三、四象限 Q2. 图象平移变换 将直线 y = -4x 向下平移 2 个单位，得到的直线解析式为 ______。 答案：y = -4x - 2 解析: “上加下减”，直接在常数项加减 Q3. 函数取值范围 对于一次函数 y = -x + 7，当自变量 x > 2 时，求函数值 y 的取值范围。 答案：y < 5 解析: k=-1<0，y随x增大而减小 1.7.2013 再来几道练习题。第一题考察k和b对图象位置的综合影响。第二题考察平移规律。第三题结合了函数的增减性和不等式，需要我们灵活运用知识。请大家认真思考，独立完成。 ‹#› 课堂小结 01. 图象特征 • 正比例函数 y=kx：过原点 (0,0) 的一条直线。 • 一次函数 y=kx+b：一条直线，可看作由 y=kx 平移得到。 02. 核心性质 •k决定增减性：k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小。 •b决定位置：直线与y轴交点为定点 (0, b)。 03. 函数画法 • 通用步骤：列表 → 描点 → 连线。 • 简便技巧：两点法。通常选取直线与坐标轴的两个交点，连线即可。 04. 平移规律 • 口诀：“上加下减”。 • 含义：直线 y=kx+b 可由基础直线 y=kx 向上（b>0）或向下（b<0）平移 |b| 个单位长度得到。 1.7.2013 好了，我们来总结一下本节课的主要内容。我们学习了一次函数（包括正比例函数）的图象、性质、画法和平移规律。核心是理解k和b的作用：k决定增减性，b决定与y轴的交点。希望大家能把这些知识点串联起来，形成一个完整的知识体系。 ‹#› 课后作业 01 基础题 • 分别画出函数 y = 3x - 2 和 y = -x + 5 的图象。 • 已知一次函数 y = (m+2)x + 1，y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。 02 提高题 • 一次函数的图象经过点 A(1, 3) 和 B(2, 5)，求此函数的解析式，并判断点 C(-1, -1) 是否在该函数图象上。 03 拓展题 • 某地长途汽车客运公司规定，乘客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付行李费，行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数。已知小明带了60kg行李，交了2元行李费；小红带了90kg行李，交了5元行李费。求y与x之间的函数关系式。 1.7.2013 课后请大家完成这几道作业题。基础题帮助大家巩固今天所学的基本技能。提高题和拓展题则需要大家综合运用知识解决问题，特别是拓展题，是一次函数在实际生活中的应用，希望大家认真思考。 ‹#› 谢谢观看 数学是思维的体操 1.7.2013 今天的课程到此结束。数学是思维的体操，希望大家能通过不断的练习，让自己的思维更加敏捷。谢谢大家！ ‹#› $