2.8函数的图象讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖描点法与变换法作图、图象识别及应用，按知识清单梳理（平移等变换规律）、自主诊断检测、命题点分层突破（变换、识别、应用）架构知识，通过考点梳理、方法指导（如变换顺序技巧）、真题训练（2025北京卷等）帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出核心素养导向，如例2通过奇偶性判断、特殊点计算培养数学思维（推理意识），跟踪训练设基础与综合题分层设计，结合即时反馈提升应用能力。创新采用“知识清单+命题点精讲+分层训练”模式，助力学生高效掌握图象问题解法，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第八节　函数的图象 知识清单 1.利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线． 剖析　运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝________的图象． ②y＝f(x)的图象y＝________的图象． ③y＝f(x)的图象y＝________的图象． ④y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝________________的图象． (3)伸缩变换 y＝f(x)的图象纵坐标不变,各点横坐标变为原来的(a>0)y＝f(ax)的图象． y＝f(x)的图象横坐标不变,各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍y＝Af(x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f(x)的图象保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去y＝________的图象． ②y＝f(x)的图象保留y轴右侧图象，并作其,关于y轴对称的图象y＝________的图象． 剖析　图象的左右平移仅仅是相对于x而言的，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换． 图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　) 2．(人教A版必修一P101T12改编)函数f(x)＝x－的图象关于(　　) A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 3．(人教A版必修一P72练习T1改编)所给四个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为(　　) (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④B.②③④ C．①③④D.④①② 4．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数图象的变换 例1 (1)(链接· 2025年北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 (2)作出下列函数的图象： ①y＝； ② y＝|log2(x＋1)|. [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 　跟踪训练　(1)要得到y＝lg x－1的图象，只需将函数y＝lg x的图象上所有点的横坐标(　　) A．缩小到原来的(纵坐标不变) B．扩大到原来的10倍(纵坐标不变) C．向左移动1个单位(纵坐标不变) D．向右移动1个单位(纵坐标不变) (2)作出下列函数的图象： ①f(x)＝|2x－2|(x∈R)；②y＝x2－2|x|－1. 命题点二　函数图象的识别 考向1　由式选图 例2 函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象是否循环往复． (5)由函数的特殊点，排除不符合要求的函数图象． 　跟踪训练　函数f(x)＝(x3－5x)cos x的部分图象大致为(　　) 考向2　由图选式(求参) 例3 (1)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝(x2＋1)sin x D．f(x)＝x sin x (2)(多选)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，则下列结论正确的为(　　) A．a<0 B．b>0 C．> D．> [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域． (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性． (3)从图象的对称性，观察函数的奇偶性． (4)从图象是否循环往复，观察函数的周期性． (5)从图象与x轴的交点情况，观察函数的零点． 　跟踪训练　(1)如图，下列函数的图象和如图最接近的是(　　) A．y＝2x－x2－1 B．y＝(x2－2x)ex C．y＝ D．y＝ (2)(2026·商丘模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a>0，b<0，c<0 C．a>0，b>0，c>0 D．a<0，b>0，c>0 命题点三　函数图象的应用 考向1　解不等式 例4 函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为(　　) A．{x|－<x<0，或<x≤1} B．{x|－1≤x<－，或<x≤1} C．{x|－1≤x<－，或0<x<} D．{x|－<x<，或x≠0} [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 　跟踪训练　已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________． 考向2　求参数的范围 例5 已知函数 若关于x的方程f(x)＝m有5个不等的实根，则实数m的取值范围为(　　) A．(0，2) B．(0，2] C．(1，2] D．(1，2) [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：利用函数图象求参数范围问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数问题． 　跟踪训练　已知函数f(x)＝x|2x－a|.若存在实数m，使得f(x)＝m在区间[1，2]上有两个不等实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，4) B．(4，8) C．(2，8) D．(2，4) 第八节　函数的图象 必备知识·助学教材 知识清单 2．(1)f(x)＋k　f(x＋h)　f(x－h)　f(x)－k　(2)①－f(x) ②f(－x)　③－f(－x)　④logax(a>0，且a≠1)　(4)①|f(x)|　②f(|x|) 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，关于原点对称．故选C. 答案：C 3．解析：(1)根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图象④符合；(2)根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后在一段时间内保持不变，最后继续沿直线上升，符合的图象为①；(3)根据描述，符合的图象为②.故选D. 答案：D 4．解析：由题意可知f(x)＝e－x，把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)＝e－(x-1)＝e－x+1的图象． 答案：e－x+1 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象．故选A. 答案：(2)①由y＝得y＝＋2， 作出y＝的图象，将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得y＝＋2的图象． ②作出y＝log2x的图象，将此图象向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象，再保留其y≥0部分，加上其y＜0的部分关于x轴的对称部分，即得y＝|log2(x＋1)|的图象． 答案：(1)A　(2)见解析 跟踪训练　解析：(1)因为y＝lg x－1＝lg ，所以由函数图象的变换知，只需将函数y＝lg x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的10倍(纵坐标不变)．故选B. (2)①作出函数y＝2x的图象，并沿y轴负方向平移2个单位得到y＝2x－2的图象， 再将所得的图象在x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方与y＝2x－2在x轴上方的图象合在一起得到y＝|2x－2|的图象，如图中实线． ②因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得到函数图象如图所示． 答案：(1)B　 (2)见解析 例2　解析：f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，又函数的定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除AC；又f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin >>0，故可排除D.故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：函数f(x)＝(x3－5x)cos x的定义域为R，且f(－x)＝(－x3＋5x)cos (－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，AD不符合要求；又f(1)＝－4cos 1<0，C不符合要求，B符合．故选B. 答案：B 例3　解析：(1)由题图可得f(x)为奇函数，而f(x)＝x sin x为偶函数，故D错误；由图可得f(x)在x＝0处有定义，而f(x)＝的定义域为{x，而f＝sin ＋1>1，故C错误．故选A. 解析：(2)由题图反映的函数定义域得c＝1，f(x)＝，f(0)＝b>0，B正确；f(x)＝0⇒x＝－，所以－<－1，所以b>a>0，A错误，所以<，C正确，又<0，因此<，D错误．故选BC. 答案：(1)A　 答案：(2)BC 跟踪训练　解析：(1)由题图可得[0，＋∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数为正，对于A，当x＝－2时，2-2－(－2)2－1＝－5＋<0，故A不符合；对于D，y＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故D不符合；对于C，当x＝－时<0，故C不符合．故选B. 解析：(2)依题意，函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}．由图象可得－c>0，所以c<0；由f(0)＝<0，所以b<0；由图可知a≠0，否则当a＝0时，f(x)＝0无解，和x轴无交点，不符合题意，令f(x)＝0，得x＝－>0，所以a>0.故选B. 答案：(1)B　 答案：(2)B 例4　解析： 根据图象可知函数f(x)是定义在[－1，0)∪(0，1]上的奇函数，故f(－x)＝－f(x).所以原不等式转化为f(x)<－f(x)＋2x.即f(x)<x，如图所示．由图可知A，B.要使不等式成立，根据图象可知不等式的解集为∪.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题图可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)，由题图知函数f(x)单调递减，所以x＋t∈(0，3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，又因为等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，所以－t＝－1且3－t＝2，可得t＝1. 答案：1 例5　解析：因为当x≤0时，f′(x)＝－(x2＋4x＋3)＝－(x＋3)(x＋1)，所以当x∈(－∞，－3)∪(－1，0)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－3)，(－1，0)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(－3)＝0，f(x)的极大值为f(－1)＝2；当x>0时，f(x)＝＝所以f(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，据此可做出函数f(x)的大致图象，如图所示， f(x)＝m有5个不等的实根，等价于f(x)的图象与直线y＝m有5个不同交点．由图可得0<m<2.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：函数f(x)＝x|2x－a|＝二次函数y＝2x2－ax与y＝－2x2＋ax图象的对称轴均为x＝，当a≤0时，函数f(x)＝2x2－ax在[1，2]上单调递增，此时不满足题意，则a>0，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为存在实数m，使得f(x)＝m在区间[1，2]上有两个不等实数根，所以函数f(x)在区间[1，2]上不单调，所以∈(1，2)或∈(1，2)，所以a∈(2，4)∪(4，8)．故选D. 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $