精品解析：2026年山东济南市历下区九年级数学学情调研（2026.04）

九年级数学学情调研（2026.04） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱．某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 7. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 该函数的图象与坐标轴无交点 B. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C. 若点在该函数的图象上，则 D. 满足的 的取值范围为 8. 大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅．若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 为等腰直角三角形，其中 ，按如下步骤作图： （1）在和上分别截取，，使 ，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； （2）以点C为圆心，以 的长为半径作弧，交射线于点P，分别以点D和P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线交线段 于点E． 有以下结论：① 是直角三角形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知点在抛物线（ 为常数， ）上，点在直线上．若有且仅有一个整数 使得成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的 的值：______． 12. 一个不透明的袋中装有3个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅拌均匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 _______． 13. 两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，的长为半径作弧．若 ，则图中阴影部分的面积是________． 14. 甲、乙两种物质的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则x的值为______． 15. 如图，在矩形纸片中，点E是边上一点，将纸片沿直线 折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段 的中点，，则_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 18. 已知：在平行四边形中， ，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且 ．求证：． 19. 为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图所示．图 为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41 ． （1）当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； （2）该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面与地面平行，踏板的倾斜角减小至 ．若公交站台的高度为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据： ，，，） 20. 如图，点，在上， ，点在的延长线上，过作的切线，切点为 ，连接交于点 ． （1）求证： ； （2）若， ，求的长． 21. 围绕全市项目赋能年规划，某区启动青春护航志愿服务行动．为了解该行动中智慧工地项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行整理．数据分为四组，具体如下：A组：；B组： ；C组： ；D组：． 下面给出了相关信息： a．C组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49． b．不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下： 组别 频数 频率 A： 9 B： C： 12 D： 6 c．各组志愿者的平均服务时长如下： 组别 A： B： C： D： 平均服务时长（单位：小时） 20 38 45.5 55 根据以上信息，回答下列问 （1）统计表格中m的值为________，n的值为_________； （2）本次志愿者服务时长的中位数是_________小时； （3）扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角是________度； （4）求这30名志愿者的平均服务时长． 22. 为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买 本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． （1）求两种图书的单价； （2）该校计划购买两种图书共 本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 23. 正比例函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当 是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：与 轴交于，两点（点在点左侧），与 轴交于点，抛物线：经过，两点． （1）求点的坐标和 ， 的值； （2）已知点 是抛物线上一点，过点 作直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，与直线交于点，设点 的横坐标为． 如图，当点 与点重合时，求的值； 如图 ，当点是的中点时，连接 ，， ， ，判断四边形 的形状，并说明理由． 25. 在 中， （ ），点D在边上，且 ．将射线 绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． （1）如图1，当 时，若，与的位置关系为______，与 的数量关系为______（用等式表示）； （2）当 时，与交于点F，连接． ①如图2，若 ，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若 ，求与 的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研（2026.04） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 的倒数是． 2. 为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱．某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：由三视图的定义可知，某款升降柱的主视图与左视图相同． 3. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为． 4. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，将点A先向右平移、再向下平移得点，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，将点A先向右平移、再向下平移得点 ∴点的横坐标大于 ，纵坐标小于1， 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 6. 计算的结果是（ ） A. x B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算，整理分子后因式分解，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 7. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 该函数的图象与坐标轴无交点 B. 若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 C. 若点在该函数的图象上，则 D. 满足的 的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】根据可判断A正确；根据可得B正确；根据解方程求出 的值，可得C错误；结合函数图象即可得D正确． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴该函数的图象与坐标轴无交点，则选项A正确； 若点在该函数的图象上，则 ， ∴， ∴点也在该函数的图象上，则选项B正确； ∵点在该函数的图象上， ∴， 解得或，则选项C错误； 对于反比例函数， 当时， ， 当 时，，且 随 的增大而减小， 令 ，则， ∴结合函数图象可知，满足的 的取值范围为，则选项D正确． 8. 大辛庄遗址博物馆是济南市首个以商代遗址为主题的专题博物馆，该馆一楼设有“东土大邑”、“率民事神”、“百工惟时”三个展厅．若小明从三个展厅中随机选择两个展厅参观，则他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记“东土大邑”为 ，“率民事神”为，“百工惟时”为，根据题意画树状图法得到所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，代入概率公式求解即可． 【详解】解：记“东土大邑”为 ，“率民事神”为，“百工惟时”为， 根据题意画树状图如下， 一共有种等可能的结果，其中恰好选中“东土大邑”和“百工惟时”的结果有种， ∴他恰好选择“东土大邑”和“百工惟时”的概率为． 9. 如图，为等腰直角三角形，其中 ，按如下步骤作图： （1）在和 上分别截取，，使 ，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D； （2）以点C为圆心，以 的长为半径作弧，交射线于点P，分别以点D和P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线 交线段 于点E． 有以下结论：① 是直角三角形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，作图的痕迹得到是的角平分线， 延长线于点 ，由角的和差计算可判定①②正确；过点 作于点 ，设，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理得到的值，由相似三角形的判定和性质得到，则可用含a的式子表示出 ，结合周长的计算，线段的数量关系可判定③④错误，由此即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ， ∴， 根据作图得到，是的角平分线， 延长线于点 ， ∴， ∴ 是直角三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点 作于点 ， ∵是角平分线，， ∴， 设， ∵，， ∴，则， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴，故③错误； ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 10. 已知点在抛物线（ 为常数， ）上，点在直线上．若有且仅有一个整数 使得成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用作差法得到关于 的二次函数，利用二次函数开口方向和对称轴位置，判断满足条件的唯一整数，通过相邻整数点的函数值符号列出不等式组，解不等式组求出 的范围即可． 【详解】解：∵点在抛物线上，点在直线上， ∴，， 令， ∵ ， ∴二次函数开口向上，且的对称轴为， 要使仅有一个整数 满足，即，由对称轴位置可知，满足条件的唯一整数只能是 ， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴ 的取值范围是． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的 的值：______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义得到，然后解不等式，取恰当的值即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴ 的值为 （答案不唯一）． 12. 一个不透明的袋中装有3个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅拌均匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则 _______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据概率公式列方程即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得， 经检验是原分式方程的解． 13. 两个全等的正五边形按如图所示的方式拼接在一起，以点A为圆心，的长为半径作弧．若 ，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的一个内角度数，利用周角的定义求出扇形的圆心角度数，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为，正五边形的每个内角为， 由图可知，，  则阴影部分的面积为． 14. 甲、乙两种物质的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则x的值为______． 【答案】28 【解析】 【分析】分别求出甲和乙的表达式，然后根据“甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多”列方程求解即可． 【详解】解：设甲的表达式为 将代入得， 解得 ∴甲的表达式为 同理可得，乙的表达式为 ∵当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多 ∴ 解得 ． 15. 如图，在矩形纸片 中，点E是边上一点，将纸片沿直线 折叠，使点A落在点F处，连接并延长，交边于点G，若点F为线段 的中点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意设，则，再根据勾股定理求出，进而得出，然后设 ，则，作，可得，再表示出，接下来根据勾股定理求出，根据折叠性质表示出，再根据勾股定理可得，即可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：在 中，， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． ∵点F为线段 的中点， ∴． 设 ，则，连接 ，过点F作，交于点H， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角三角函数、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式这几类运算规则计算每一项的值，各项计算后的值进行加减运算． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它所有的正整数解． 【答案】不等式组的正整数解为1、2 【解析】 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，求出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，再在总解集中找出所有正整数即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解为： 则不等式组的正整数解为：1、2． 18. 已知：在平行四边形 中， ， 是对角线 上的两点，且， ， 分别是边，上的点，且 ．求证：． 【答案】 解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，；再由推出，结合已知，证明，得到；最后利用，通过线段的和差关系推出 【详解】略 19. 为践行“以人为本”的服务理念，济南公交集团采购了配有无障碍踏板设施和“侧跪”功能的新型公交车，有效解决了残障人士、老年人等特殊群体的出行难题，如图 所示．图为某辆新型公交车未启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧与地面垂直，踏板的倾斜角为30°，踏板顶端A处到地面的距离为41 ． （1）当该公交车未启动“侧跪”功能停靠时，求踏板底端处到车厢左侧的距离； （2）该公交车到达车站后，为方便轮椅乘客上下车，驾驶员启动“侧跪”功能来降低车门一侧车身的高度．图3为该公交车启动“侧跪”功能停靠时的正面示意图，车厢左侧向站台方向倾斜，踏板顶端A处到地面的距离随之减小，站台表面 与地面平行，踏板的倾斜角减小至 ．若公交站台的高度 为，求此时踏板顶端A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据： ，，，） 【答案】（1）踏板底端处到车厢左侧的距离约为； （2）此时踏板顶端处到地面的距离约为． 【解析】 【分析】（ ）过点作地面于点 ，则，在 中，，，，则，再求解即可； （）过点作地面于点 ，过点作于点，由题意可知踏板长度不变，即，由站台高度，且平行地面，则有，在 中，，则，然后再由线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作地面于点 ，则， 在 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：踏板底端处到车厢左侧的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作地面于点 ，过点作于点， 由题意可知，踏板长度不变，即， ∵站台高度，且平行地面， ∴， 在 中，， ∴， ∴， 答：此时踏板顶端处到地面的距离约为． 20. 如图，点，在 上， ，点在的延长线上，过作 的切线，切点为 ，连接交于点 ． （1）求证： ； （2）若， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ 是 的切线， ∴，即 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ； （2） 的长为． 【解析】 【分析】（ ）连接，由 是 的切线，则，即 ，所以，又，则，从而可得，然后通过等角对等边可得 ； （）设 的半径为 ，则，解得 或 （舍去），则， 在 中，由勾股定理得，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 的半径为 ，则， ∵， ， ∴， ∴， 由（ ）知 ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 或 （舍去）， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∴ 的长为． 21. 围绕全市项目赋能年规划，某区启动青春护航志愿服务行动．为了解该行动中智慧工地项目的参与情况，某校数学兴趣小组对参与该项目的30名志愿者的服务时长（服务时长用x表示，单位：小时）进行了调查，并将所得数据（服务时长）进行整理．数据分为四组，具体如下：A组：；B组： ；C组： ；D组：． 下面给出了相关信息： a．C组全部数据为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49． b．不完整的服务时长的统计表格和扇形统计图如下： 组别 频数 频率 A： 9 B： C： 12 D： 6 c．各组志愿者的平均服务时长如下： 组别 A： B： C： D： 平均服务时长（单位：小时） 20 38 45.5 55 根据以上信息，回答下列问 （1）统计表格中m的值为________，n的值为_________； （2）本次志愿者服务时长的中位数是_________小时； （3）扇形统计图中，B组对应扇形的圆心角是________度； （4）求这30名志愿者的平均服务时长． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据总人数为30，用总人数减去A、C、D组的频数，求出 的值；再用C组频数除以总人数，求出 的值． （2）将30个数据按从小到大排列，中位数为第15、16个数据的平均数，结合各组频数确定这两个数据所在的组，进而求出中位数． （3）先计算B组的频率，再用乘以B组的频率，得到B组对应扇形的圆心角度数． （4）根据加权平均数公式，用各组的平均服务时长乘以对应频数，求和后除以总人数，得到30名志愿者的平均服务时长． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：总共有30个数据，中位数为第15、16个数据的平均数． A组频数为9，B组频数为3， ，说明前12个数据为A、B组数据， 第13到第24个数据为C组数据，因此第15、16个数据都在C组． C组数据按从小到大排列为：40，40，42，43，45，46，47，48，48，49，49，49． ∴第个数据是42，第 个数据是43， ∴中位数； 【小问3详解】 解：组的频率， 圆心角度数； 【小问4详解】 解：平均服务时长 （小时）， 22. 为深入推进“书香校园”建设，营造浓厚读书氛围，某学校决定于月中旬举办“校园读书节”，现需采购两种图书．已知购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元． （1）求两种图书的单价； （2）该校计划购买两种图书共 本，且种图书的数量不超过种图书数量的一半，通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】（1） 种图书单价为 元，种图书单价为元 （2） 购买种图书本，种图书 本 【解析】 【分析】（ ）设种图书单价为 元，种图书单价为 元，根据购买本种图书和本种图书共需元，购买本种图书比购买本种图书多元，可列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （）设购买种图书本，则购买种图书本，根据种图书的数量不超过种图书数量的一半，可列出一元一次不等式，解不等式得到 的取值范围，再根据总费用 单价 数量，结合 的取值范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种图书单价为 元，种图书单价为 元， 根据题意，列方程组得：， 解得：， 答：种图书单价为 元，种图书单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种图书本，则购买种图书本，总费用为元， 根据题意，列不等式：， 解得， ∵是正整数， ∴， 总费用表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最小， 此时种图书数量为(本)， (元)， 答：购买种图书本，种图书 本时所需费用最少． 23. 正比例函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 【答案】（1） ， （2）①10；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作于点 ，根据角平分线的性质定理得到，设点，，其中，求出 长，利用两点间距离公式求出长，最后利用求解即可； ②根据等腰三角形的性质的得到，设，则，求出 、 和 长，利用列出等式，求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得： ， ， 将代入 得： ， 解得：； 【小问2详解】 ①解：由题意得：轴， 如图，过点作于点 ， 平分， ， 由（1）知， ， 设点，，其中， 、， ； ②解：由（1）知，， 是以为底的等腰三角形， ， 设，则，其中， 、、， ， ， 解得：或 （舍去）， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、两点间距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系 中，抛物线：与 轴交于，两点（点在点左侧），与 轴交于点，抛物线：经过，两点． （1）求点的坐标和 ，的值； （2）已知点 是抛物线上一点，过点 作直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，与直线交于点 ，设点 的横坐标为． 如图 ，当点 与点重合时，求的值； 如图，当点 是的中点时，连接 ， ， ， ，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）点的坐标为， 的值为 ，的值为； （2）的值为； 四边形 是菱形，理由如下： 设 横坐标为 ， 横坐标为 ，则，， 如图，分别过点 作轴，交于点 ，过 作轴，交于点 ， ∴， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得直线解析式为 ， ∴，， ∴，， ∴，整理得， ∵ ， ∴ ，即 的横坐标为， ∵，， ∴中点坐标为， ∴点 也是中点， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵直线解析式为 ，直线解析式为，， ∴， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（ ）先求出，，，然后利用待定系数法即可求解； （）如图 ，分别过点 作轴，交于点 ，过 作轴，交于点 ，求出，直线解析式为 ，当 时，，则，所以，当时，，则，所以，证明，所以，故的值为； 设 横坐标为 ， 横坐标为 ，则，，如图，分别过点 作轴，交于点 ，过 作轴，交于点 ，证明，所以，由得直线解析式为 ，故有，，则，，得，整理得，从而有 ，即 的横坐标为，则点 也是中点，所以，从而证明四边形 是平行四边形，因为，所以四边形 是菱形． 【小问1详解】 解：由抛物线：可得，当时，， 解得： ，， ∴，， 当 时， ， ∴， ∵抛物线：经过，两点， ∴，解得：， 综上可得：点的坐标为， 的值为 ，的值为； 【小问2详解】 解：如图 ，分别过点 作轴，交于点 ，过 作轴，交于点 ， 则， ∵直线过， ∴，解得：， ∴直线， 由（ ）得， ∴抛物线：， 联立得：， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为 ， 当 时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为； 略 25. 在中， （ ），点D在边上，且 ．将射线 绕点C按顺时针方向旋转得射线，点E在射线上（点E与点C不重合），连接，． （1）如图1，当 时，若，与 的位置关系为______，与 的数量关系为______（用等式表示）； （2）当 时， 与交于点F，连接 ． ①如图2，若 ，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②如图3，若 ，求与的面积比． 【答案】（1） ， （2）①（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交的延长线于点 ． ， ， ， ． ． ， ， ， ． ， ， ． ， ， （1）中结论仍然成立． ②． 【解析】 【分析】（1）延长交延长线于点 ，先证 ，利用平行线性质和 ，证明 ，再结合，推导线段与角的数量、位置关系． （2）①延长交延长线于点 ，先证 ，由边长比例证明 ，推出 ，结合 得 ，进而验证（1）中结论是否成立．②过点 作 交 于，先由平行证 得比例；再证 ，得 ；设份数表示各三角形面积，依次推导、 、的面积关系，最终求出面积比． 【小问1详解】 解：延长交的延长线于点 ． ， ， ． ． ， ． 在 和 中， ， ． ． ， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：①略 ②过点 作 ，交 于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设 ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ∵，与 同高，面积比等于底之比： ∴， ， ， ，， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $